2020屆高考數(shù)學(xué)(文)總復(fù)習(xí)課堂測(cè)試：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十) 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題1. (2019 西安質(zhì)檢) )已知函數(shù) f(x)= In x, g(x)= x 1.求函數(shù) y= f(x)的圖象在 x = 1 處的切線方程；若不等式 f(x)0 , g(x)0.1當(dāng) a 1 時(shí)，f(x)vg(x)wag(x)；2當(dāng) aw0 時(shí)，f(x)0, ag(x) 0,不滿足不等式 f(x) ag(x)；13當(dāng) 0a1),1令 / (x)= 0，得 x=-,a當(dāng) x 變化時(shí)，獷( (x), $(x)的變化情況如下表:綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為1 ,+ ).22a x2.已知函數(shù) f(x)=e(a R).e(1)求函數(shù) f(x)的

2、單調(diào)區(qū)間；若？ x 1,+s)，不等式 f(x) 1 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.x? 2 2a解：(1)f (x)=e為(1 . ;2a + 1, 1 + 2a+ 1).22ax2 x匕，匕，a)1 aG，+T( (X) )+0一以 1) = 0，不滿足不等式.Xjmax(2)f(x) 1 ?-x 1 ? 2ax e ,e由條件知，2ax2 ex對(duì)？x 1 恒成立.令 g(x)= x2 ex, h(x)= g (x)= 2x ex,.h (x)= 2 ex.當(dāng) x1,+s)時(shí)，h(x)=2ex2e0,.h(x) = g (x)= 2x ex在1, +)上單調(diào)遞減,.h(x) = 2x e

3、x 2 e0, 即卩 g (x)0 , g(x) = x2 ex在1,+s)上單調(diào)遞減, g(x) = x2 ex 1 在1, +g)上恒成立，則需 2ag(x)max= 1 e, a1e，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是e，+g.x123.設(shè) f(x)= xe , g(x)= ?x + x.(1) 令 F(x)= f(x) + g(x)，求 F(x)的最小值；(2) 若任意 X1, x? 1 , +g),且 xix2,有 mf(xi) f(X2) g(x g(X2)恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.解：( (1) / F (x) = f(x) + g(x)= xex+ 衣2+ x , F (x)= (

4、x+ 1)(ex+ 1),令 F (x)0 ,解得 x 1,令 F (x)0 ,解得 xX2,有mf(x1) f(X2) g(X1) g(X2) )恒成立, mf(x1) g(x1)mf(x2) g(x2)恒成立.令 h(x)=mf(x)g(x)=mxeX討一 x,x1, + g),即只需 h(x)在1, +g)上單調(diào)遞增即可.故 h (x)= (x+ 1)(mex 1) 0 在1, +g)上恒成立，故 m1,而-XWe,故 m e , 即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是e , +g).綜上可知，所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 0, 1Ue, + a).x24. (2018 開(kāi)封高三定位考試) )已知函數(shù)

5、f(x)= a + x -xln a(a0 ,1).求函數(shù) f(x)的極小值；若存在 xi, 1,1,使得 fg) 心2) )|e- 1(e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：(l)f (x)= axin a+ 2x In a= 2x+ (ax 1)ln a.當(dāng) a1 時(shí)，In a0，函數(shù) y= (ax 1)ln a 在 R 上是增函數(shù)，當(dāng) 0a1 時(shí)，In a1 或 0a0 的解集為( (0,+), f (x) e 1,只需f(x)maxf(x)mine1即可.由(1)可知，當(dāng) x 1,1時(shí)，f(x)在1,0上是減函數(shù)，在( (0,1上是增函數(shù),當(dāng) x 1,1時(shí)，f(x)min

6、= f(0) = 1, f(x)max為 f ( 1)和 f(1)中的較大者.1令 g(a)= a 2In a(a0),a(a)=1+4 a=1-a20,1 g(a) = a一一一 2In a 在(0, +a)上是增函數(shù).a而 g(1) = 0，故當(dāng) a1 時(shí)，g(a)0,即 f(1)f( 1);當(dāng) 0a1 時(shí)，g(a)0,即 f(1)1 時(shí)，f(1) f(0) e 1，即 a In a e 1.由函數(shù) y= a In a 在(1, +a)上是增函數(shù)，解得 a e;當(dāng) 0a e 1，即-+ In a e 1,11由函數(shù) y=一一+ In a 在(0,1)上是減函數(shù)，解得0aw-.aef(1) f( 1) = (a+ 1 In a)1+ In a = a寸寸-2ln a,綜上可知，所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 0, 1Ue, + a).a12當(dāng) a0, f (x)0,函數(shù) f(x)在( (8,+)上單調(diào)遞增.當(dāng) a1時(shí)，令