期末考試復(fù)習(xí)提綱

1、滿足性質(zhì)：滿足性質(zhì)：,VkR 1 ( ,)( , ) 2(,)( ,)kk 3(, ),( , ) 4( , )0, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí)0 ( , )0. 1. 歐式空間的定義歐式空間的定義設(shè)設(shè)V是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域 R上的上的線性空間線性空間，對(duì)，對(duì)V中任意兩個(gè)向量中任意兩個(gè)向量、定義一個(gè)、定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)二元實(shí)函數(shù)，記作，記作 ，若，若,( ,) ( ,) （對(duì)稱性）（對(duì)稱性）（數(shù)乘）（數(shù)乘）（可加性）（可加性）（正定性）（正定性）2. 2. 向量長(zhǎng)度的定義向量長(zhǎng)度的定義,( , )V 稱為向量稱為向量 的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度. 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱 為為單位向量單位向量. P361

2、1 同一個(gè)線性空間可以定義不同的內(nèi)積同一個(gè)線性空間可以定義不同的內(nèi)積得到不同的歐式空間得到不同的歐式空間對(duì)對(duì)歐氏空間歐氏空間V中任意兩個(gè)向量中任意兩個(gè)向量 ，有，有 、( ,) （5） 設(shè)設(shè)V為歐氏空間，為歐氏空間， 為為V中任意兩中任意兩非零非零、向量，向量， 的的夾角夾角定義為定義為 、4. 4. 歐氏空間中兩非零向量的夾角歐氏空間中兩非零向量的夾角 P362P362定義定義1：( ,),cosarc 0, 設(shè)設(shè) 為歐氏空間中為歐氏空間中兩個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量，若內(nèi)積，若內(nèi)積 P363、 ,0 則稱則稱 與與 正交正交或或互相垂直互相垂直，記作，記作 . 定義定義：矩陣：矩陣 111212122

3、212(,) (,)(,)(,),(,)(,) (,)(,)nnnnnnA 稱為基稱為基 的的度量矩陣度量矩陣. P36412,.,n 1122,ijn nnnxyxyAaXYxy （9）則則 11( ,)nnijijija x yX AY （10）維歐氏空間中，由維歐氏空間中，由 個(gè)向量構(gòu)成的正交向量組個(gè)向量構(gòu)成的正交向量組nn稱為稱為正交基正交基；1. 1. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義 P366P366由單位向量構(gòu)成的正交基稱為由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基. 設(shè)為歐氏空間，設(shè)為歐氏空間，非零向量非零向量12,.,mV 如果它們兩兩正交，則稱之為如果它們兩兩正交，則稱

4、之為正交向量組正交向量組. 維歐氏空間維歐氏空間V中的一組基中的一組基 為標(biāo)準(zhǔn)正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基n1,.,n 1(,),1,2,0ijiji jnij ，(1) (ii)11221( ,)nnniiix yx yx yx y (3)(iii)221|nxx (定理定理1) 維歐氏空間中任維歐氏空間中任一個(gè)正交向量組一個(gè)正交向量組都能都能n擴(kuò)充成一組正交基擴(kuò)充成一組正交基.2. 2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基的構(gòu)造 P367P367 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化過程正交化過程 都可找到一組都可找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基 使使 P36812,.,n 1212(,.,)

5、(,.,),1,2,.,iiLLin (定理定理2) 對(duì)于對(duì)于 維歐氏空間中任一組基維歐氏空間中任一組基12,.,n n則稱則稱A為為正交矩陣正交矩陣. 1定義定義A AE (),n nijAaR 設(shè)設(shè)若滿足若滿足2簡(jiǎn)單性質(zhì)簡(jiǎn)單性質(zhì)3）設(shè)）設(shè) 是標(biāo)準(zhǔn)正交基，是標(biāo)準(zhǔn)正交基，12,.,n 則則 是標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)A為正交為正交12,.,n 1212(,.,)(,.,)nnA 矩陣矩陣定義：定義：實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上歐氏空間上歐氏空間V與與V稱為稱為同構(gòu)的同構(gòu)的，如果由如果由V到到 V 有一個(gè)有一個(gè)雙射雙射，適合，適合 1)()( )( ), ,VkR 2)()( ),kk 3)(

6、 ), ( )( ,), 這樣的映射稱為這樣的映射稱為歐氏空間歐氏空間V到到V的的同構(gòu)映射同構(gòu)映射. P2655、兩個(gè)有限維、兩個(gè)有限維歐氏空間歐氏空間V與與V同構(gòu)同構(gòu) P372dimdim.VV 由于由于任一維歐氏空間任一維歐氏空間V必與必與 同構(gòu)，所以同構(gòu)，所以nnR1. .定義定義即即 ， ( ), ( )( ,),V 歐氏空間歐氏空間V的的線性變換線性變換 如果保持向量的內(nèi)積不變，如果保持向量的內(nèi)積不變， 則稱則稱 為為正交變換正交變換. 歐氏空間中的正交變換是幾何空間中保持歐氏空間中的正交變換是幾何空間中保持長(zhǎng)度長(zhǎng)度不變的正交變換的推廣不變的正交變換的推廣.2.2.歐氏空間中的正交變

7、換的刻劃歐氏空間中的正交變換的刻劃 P372P372下述命題是等價(jià)的：下述命題是等價(jià)的：（定理定理4 4）設(shè)是歐氏空間）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換. ( ), ( ),ddV 3） 保持向量間的距離不變，即保持向量間的距離不變，即 2） 保持向量長(zhǎng)度不變，即保持向量長(zhǎng)度不變，即 1） 是正交變換；是正交變換； ( ),;V n1. . 維歐氏空間中的變換維歐氏空間中的變換 為正交變換為正交變換當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n把任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基把任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基 2. . 維歐氏空間維歐氏空間V中的線性變換是正交變換中的線性變換是正交變換 P372n 在任一組在

8、任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣的矩陣是正交矩陣 4. 維歐氏空間中正交變換的分類：維歐氏空間中正交變換的分類：P374n設(shè)維歐氏空間設(shè)維歐氏空間V中的線性變換在中的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基n 1）如果）如果 則稱為則稱為第一類的第一類的（旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)）; 1,A 2）如果）如果 則稱為則稱為第二類的第二類的 1,A 下的矩陣是正交矩陣下的矩陣是正交矩陣A，則，則12,.,n 1.A 1 1定義定義 P379 ( ), ( ) ,V 則稱為則稱為對(duì)稱變換對(duì)稱變換 設(shè)為歐氏空間設(shè)為歐氏空間V中的中的線性變換線性變換，如果滿足，如果滿足 1）n維歐氏空間維歐氏空間V的對(duì)稱變換與的對(duì)

9、稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定相互確定的：的： 2任意任意n元實(shí)二次型的元實(shí)二次型的正交線性替換正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形化標(biāo)準(zhǔn)形1）正交線性替換正交線性替換 P384如果線性替換如果線性替換X=CY的矩陣的矩陣C是正交矩陣，則稱之為是正交矩陣，則稱之為正交線性替換正交線性替換.必為非退化線性變換必為非退化線性變換由于由于 ( (定理定理7 7) )對(duì)對(duì) 總有總有正交矩陣正交矩陣T，使，使,n nARAA 112(,.,).nT ATTATdiag 1211(,.,),nnnijijijjiijf x xxx xi j定理定理8 任一任一n元實(shí)二次型元實(shí)二

10、次型 P384都可以通過都可以通過正交的線性替換正交的線性替換 變成平方和變成平方和 XCY 221122.nnnyyy其中平方項(xiàng)的系數(shù)其中平方項(xiàng)的系數(shù) 為為A的全部特征值的全部特征值12,.,n 高等代數(shù)復(fù)習(xí)提綱：高等代數(shù)復(fù)習(xí)提綱： 第一、考試范圍：第一、考試范圍： 第第6、7、9章章不考的內(nèi)容：不考的內(nèi)容：第第7章章 第第9節(jié)最小多項(xiàng)式節(jié)最小多項(xiàng)式第第9章章 P384定理定理8之后內(nèi)容不考之后內(nèi)容不考 第第7節(jié)向量到子空間的距離、最小二乘法節(jié)向量到子空間的距離、最小二乘法考試重點(diǎn)考試重點(diǎn) 第六章第六章 (1)線性空間的定義線性空間的定義 P243 (2)*線性空間維數(shù)的確定線性空間維數(shù)的確

11、定 P248 定理定理1(3)維數(shù)公式維數(shù)公式 P260 定理定理7 (4)*兩組基之間的過渡矩陣兩組基之間的過渡矩陣,新舊基之間的新舊基之間的坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式 P251 , P252 (5) (5) 向量在給定基底下的坐標(biāo)向量在給定基底下的坐標(biāo) 定義和確定方法定義和確定方法P248 例例1考試重點(diǎn)考試重點(diǎn) 第七章第七章(1)*線性變換的定義及證明線性變換的定義及證明 P273 (2) 線性變換的運(yùn)算方法線性變換的運(yùn)算方法(3)*如何確定線性變換在給定基底下的如何確定線性變換在給定基底下的 矩陣矩陣 P283 定義定義2(4) 兩個(gè)矩陣相似的定義和性質(zhì)兩個(gè)矩陣相似的定義和性質(zhì)P288 定義定義3(5)*線性變換的值域和核的定義以及確定方法線性變換的值域和核的定義以及確定方法,維數(shù)關(guān)系維數(shù)關(guān)系 P302 定義定義6 P323 14 (6) 線性變換的特征多項(xiàng)式相關(guān)的結(jié)論和性質(zhì)線性變換的特征多項(xiàng)式相關(guān)的結(jié)論和性質(zhì) P296公式公式 (5) 跡的概念跡的概念,行列式與特征值得關(guān)系行列式與特征值得關(guān)系考試重點(diǎn)考試重點(diǎn) 第九章第九章(1)歐氏空間的定義歐氏空間的定義P359(2)*標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義和相關(guān)結(jié)論標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義和相關(guān)結(jié)論P(yáng)366(3)歐氏空間同構(gòu)的充要條件歐氏空間同構(gòu)的充要條件P372 定理定理3(4)兩向量垂直的定義兩