八年級數(shù)學下冊專題突破講練方程(組)與不等式組的綜合應用試題(新版)青島版

1、方程（組）與不等式組的綜合應用【重點難宜易佶點點點精通】二元一次方程（組）的應用對于含有多個未知數(shù)的問題，利用列方程組來解，一般要比列一元一次方程解題容易, 列方程組解應用題有以下幾個步驟：（1）選定幾個未知數(shù)；（2） 依據(jù)已知條件列出與未知數(shù)的個數(shù)相等的獨立方程，組成方程組;（3）解方程組，得到方程組的解；（4）檢驗求得未知數(shù)的值是否符合題意，符合題意即為應用題的解。二、一元一次不等式（組）的應用列不等式（組）解應用題的步驟大體與列方程 （組）解應用題相同，應緊緊抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“大于”、“小于”等關鍵詞。 注意分析題目中的不等關系，能準確分析題意

2、，列出不等關系式，然后根據(jù)不等式（組）的解法求解。根據(jù)題目所給信息，運用不等式知識建立數(shù)學模型， 再對可能出現(xiàn)的各種情況進行分類 討論從而獲解，這是本節(jié)內(nèi)容的一種常見題型，應注意加強自我練習， 以增強對數(shù)學知識的應用能力。三、利用不等式（組）解決方案選擇問題方案選擇問題就是根據(jù)要求提供或?qū)で蟮蕉喾N解決問題的方案，并考慮到實施中的經(jīng)濟因素，選擇最佳（可行）方案，主要方法為建立方程模型、不等式（組）模型、函數(shù)模型、概率模型以解決問題。建立不等式（組）模型解決方案選擇問題，即通過不等式（組）對代數(shù)式進行比較，以 確定最佳方案，獲取最大收益，考查對數(shù)學的應用能力，考查的熱點是與實際生活密切相關的不等式

3、（組）應用題。這類問題，首先要認真分析題意， 即讀懂題目，然后建立數(shù)學模型，即用列不等式（組） 的方法求解，解決這類問題的關鍵是正確地設未知數(shù)，找出不等關系，從不等式（組）的解 集中尋求正確的、符合題意的答案。x2a+bv0,例題1 若不等式組*2x+ 3a 5b 0o解析：先用含有 a、b 的代數(shù)式表示出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組的解集是-1vxv6，列出關于 a、b 二元一次方程組，解之即可。答案：解不等式組，得5b3ax 165,5解之得：zv2/z0且為整數(shù)，- z= 0, 1, 2; - 6 z= 6, 5, 4。車隊共有 3 種購車方案：1載重量為 8 噸的卡車不購買，10 噸

4、的卡車購買 6 輛；2載重量為 8 噸的卡車購買 1 輛，10 噸的卡車購買 5 輛；3載重量為 8 噸的卡車購買 2 輛，10 噸的卡車購買 4 輛。點撥：此題主要考查了二元一次方程組的應用以及不等式的應用，根據(jù)已知得出正確的不等式關系是解題關鍵。例題 3 某綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶，他們種植了A B 兩類蔬菜，兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表：5b3a2=1,2ab= 6.a= 4,解得弋b= 2.般先求出已知不等式3種植戶種植 A 類蔬菜 面積（單位：畝）種植 B 類蔬菜 面積（單位：畝）總收入 （單位：元）甲31125004乙2316500說明：不同種植戶種植的

5、同類蔬菜每畝平均收入相等。（1）求A B兩類蔬菜每畝平均收入各是多少元？（2） 某種植戶準備租 20 畝地用來種植 A、B 兩類蔬菜，為了使總收入不低于 63000 元, 且種植 A 類蔬菜的面積多于種植 B 類蔬菜的面積（兩類蔬菜的種植面積均為整數(shù)），求該種植戶所有租地方案。解析：（1）根據(jù)甲、乙兩種植戶的總收入分別是12500 元、16500 元，找出兩個相等關系，分別得出等式組成方程組，求出即可；（2）根據(jù)“總收入不低于 63000 元”、“種植 A 類蔬菜的面積多于種植 B 類蔬菜的面積” 這兩個不等關系，列出不等式組，解之求出種植A （或 B）類蔬菜的面積的取值范圍；再根據(jù)“兩類蔬菜

6、的種植面積均為整數(shù)”，確定該種植戶所有租地方案。答案：解：（1 ）設 A、B 兩類蔬菜每畝平均收入分別是x元，.y元。由題意，得3x+y= 12500,x= 3000 ,4解得：2x+ 3y= 16500.y= 3500.答：A B 兩類蔬菜每畝平均收入分別是 3000 元，3500 元。（2）設用來種植 A 類蔬菜的面積a畝，則用來種植 B 類蔬菜的面積為（20 a）畝。由 題意，3000a+3 頑 20 a-63000.得*解得 10vaw 14。a 20 a./a取整數(shù)為：11、12、13、14。租地方案為：類別種植面積單位：（畝）A11121314B9876點撥：（1）以圖表、信息的形

7、式出現(xiàn)的實際問題，常用方程和不等式的方法解決。解決 問題的關鍵要分析圖表、信息，找出相等關系和不等關系，達到求解的目的。（2）禾 U 用不等式組進行方案設計，首先要通過審題設未知數(shù)，列出不等式（組）并解 不等式（組），然后通過所設未知數(shù)的實際意義或具體限制，求出各種方案，進而得到解決 問題的最優(yōu)方案。近年來，考查“新定義”的題型在各地的中考中屢見不鮮, 不等式模型，通過列一元一次不等式（組）來解決。例題 設 A 是由 2X4 個整數(shù)組成的 2 行 4 列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之 和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”。（1）數(shù)表 A 如表 1 所示，如果經(jīng)過

8、兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列 的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可）表 112372101知【拓展總結著提升竊分強讀】而這類問題有時就需要建立5（2）數(shù)表 A 如表 2 所示，若經(jīng)過任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各 數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a 的值。表 2aa2 1a2a2 a1 a2a 22a解析：（1）根據(jù)某一行（或某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有 數(shù)的符號，稱為 一 次 “ 操 作 ” ， 先 改 變 表1的 第4列 ， 再 改 變 第2行 即 可 ；（2）根據(jù)每一列所有數(shù)之和分別為

9、2, 0，- 2, 0，每一行所有數(shù)之和分別為1,1,然后分別根據(jù)如果操作第三列或第一行，每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù), 列出不等式組，求出不等式組的解集即可得出答案。答案：（1）根據(jù)題意得:（2）v每一列所有數(shù)之和分別為2, 0, 2, 0,每一行所有數(shù)之和分別為則：如果操作第三列,aa2 1a2a2 a“ 22 a21 aa則第一行之和為 2a 1，第二行之和為 5 2a,2a -1 _05-2a一0解得：一乞a乞5,2 2又 a 為整數(shù)， a= 1 或 a= 2,如果操作第一行，aa2 1a2a2 a1 a2a 22a則每一列之和分別為 2 2a, 2 2a2, 2a 2,

10、 2a2,改變第 4 列改變第 2 行1,1,62 2a _02a -2 _0解得 a = 1,此時 2-2a2= 0, 2a2= 2,綜上可知：a = 1。點撥：此題考查了一元一次不等式組的應用，關鍵是讀懂題意，根據(jù)題目中的操作要求,列出不等式組，注意 a 為整數(shù)。ram測（答題時間：45 分鐘）、選擇題2x 31.不等式組丿的最小整數(shù)解是（）x -1龍-2x物種將會滅絕或瀕臨滅絕，2012 年底，長江江豚數(shù)量僅剩約1000 頭，其數(shù)量年平均下降的百分率在 13%15（范圍內(nèi)，由此預測，2013 年底剩下江豚的數(shù)量可能為（）頭。A. 970B. 860C. 750D. 7203.在蘆山地震搶

11、險時，太平鎮(zhèn)部分村莊需8 組戰(zhàn)士步行運送物資，要求每組分配的人數(shù)相同，若按每組人數(shù)比預定人數(shù)多分配1 人，則總數(shù)會超過 100 人；若按每組人數(shù)比預定人數(shù)少分配 1 人，則總數(shù)不夠 90 人，那么預定每組分配的人數(shù)是（）A. 10 人B. 11 人C. 12 人D. 13 人3x y = 6 - p4.關于x,y的方程組的解滿足XWy，則p的取值范圍是 （）、x+3y=p+15555A.p2B.pC.P-2D.PW-2二、填空題7.一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字比個位數(shù)字小2,如果這個數(shù)大于 20 且小于 40,那么此數(shù)為_ 。8.若點 M（3a-9, 1 -a）是第三象限的整數(shù)點，則M點的坐標為

12、_ 。三、解答題A. - 1B. 02.地球正面臨第六次生物大滅絕,C. 2D. 3據(jù)科學家預測,到 2050 年，目前的四分之一到一半的x -a5.已知x= 3 是方程 一 2 =x- 1 的解，那么不等式XV1 1的解集是36.對于整數(shù)a,b,c,d,定義=ac bd， 已知1 c:3，貝 U b+ d 的值為79.為了保護環(huán)境，某造紙廠決定購買20 臺污水處理設備，現(xiàn)有代B兩種型號的設備,其中每臺的價格、日處理污水量如下表：A型B型價格（萬元/臺）2420處理污水量（噸/ 日）480400經(jīng)預算，該造紙廠購買設備的資金不能高于410 萬元。（1）該造紙廠有幾種購買方案；（2） 若造紙廠每

13、日排出的污水量大于8060 噸而小于 8172 噸，為了節(jié)約資金，該廠應 選擇哪種購買方案？10.某中學為落實市教育局提出的 “全員育人，創(chuàng)辦特色學?！钡臅h精神，決心打造“書香校園”，計劃用不超過 1900 本科技類書籍和 1620 本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書 角共 30個。已知組建一個中型圖書角需科技類書籍 80 本，人文類書籍 50 本；組建一個小型圖書角需科技類書籍 30 本，人文類書籍 60 本。（1） 符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；（2） 若組建一個中型圖書角的費用是860 元，組建一個小型圖書角的費用是570 元，試說明（1）中哪種方案費用最低，最低費用是

14、多少元？* 11.為了保護環(huán)境，某化工廠一期工程完成后購買了3 臺甲型和 2 臺乙型污水處理設備，共花費資金 54 萬元，且每臺乙型設 備的價格是每臺甲型設備價格的75%實際運行中發(fā)現(xiàn)每臺甲型設備每月能處理污水200 噸，每臺乙型設備每月能處理污水160 噸，且每年用于每臺甲型設備的各種維護費和電費為1 萬兀，每年用于每臺乙型設備的各種維護費和電費為1.5 萬元。今年該廠二期工程即將完成，產(chǎn)生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩種設備共 8 臺用于二期工程的污水處理，預算本次購買資金不超過84 萬元，預計二期工程完成后每月將產(chǎn)生不少于1300 噸污水。（1）請你計算每臺甲型設備和每臺乙

15、型設備的價格各是多少元？（2）請你求出用于二期工程的污水處理設備的所有購買方案；（3）若兩種設備的使用年限都 為 10 年，請你說明在（2）的所有方案中，哪種購買方 案的總費用最少？（總費用=設備購買費+各種維護費和電費）*12.某公司欲租賃甲、乙兩種設備，用來生產(chǎn) A 產(chǎn)品 80 件、B 產(chǎn)品 100 件。已知甲種 設備每天租賃費為 400 元，每天滿負荷可生產(chǎn) A 產(chǎn)品 12 件和 B 產(chǎn)品 10 件；乙種設備每天租 賃費為 300 元，每天滿負荷可生產(chǎn) A 產(chǎn)品 7 件和 B 產(chǎn)品 10 件。（1）若在租賃期間甲、乙兩種設備每天均滿負荷生產(chǎn)，則需租賃甲、乙兩種設備各多少天恰好完成生產(chǎn)任務

16、？（2） 若甲種設備最多只能租賃 5 天，乙種設備最多只能租賃 7 天，該公司為確保完成 生產(chǎn)任務，決定租賃這兩種設備合計 10 天（兩種設備的租賃天數(shù)均為整數(shù)） ，問該公司共 有哪幾種租賃方案可供選擇？所需租賃費最少是多少？8311. A 解析：解不等式組的解集為一 x，其中的最小整數(shù)為一 1。故選 A。232.B 解析：T2012 年年底，長江江豚數(shù)量僅剩約1000 頭，其數(shù)量年平均下降的百分率在 13%15 范圍內(nèi)， 2013 年年底剩下江豚的數(shù)量可能為1000X(1- 13% 100X(1-15%，即 850870 之間， 2013 年年底剩下江豚的數(shù)量可能為860 頭，故選 B。3.

17、 C解析：設預定每組分配 x 人，根據(jù)題意得：- 8(X- 1) 90解得：11 丄vxv12, x 為整數(shù)， x= 12。故選 Co2454. A解析：得 2 (xy)= 5 2p。：xWy, 5 2pW0op。故選 A。2二、填空題15.xv解析：先將x= 3 代入方程，可解得a= 5,再將a= 5 代入不等式，解不9等式得出結果。6. 3 解析：由定義得1：bd：3，而b,d都是整數(shù)，.b d二3。7. 24 或 35 解析：設十位上的數(shù)為x,根據(jù)“這個數(shù)大于 20 且小于 40”，列出不等式組, 求出x的取值范圍；再根據(jù)x為正整數(shù)，求出x的值，就可以求出這個兩位數(shù)。8.( 3, 1)

18、解析：根據(jù)點M在第三象限列不等式組，求出解集后再根據(jù)它的坐標 為整數(shù)求解。三、解答題9. 解：(1)設購買A型設備x臺，B型設備(20 x)臺。 24x+ 20 (20 x) 410ox 2.5 ,x=0, 1 , 2。三種方案：萬案一：A：0 臺；B B：20 臺;萬案二：A：1 臺;B B：19 臺;萬案二：A：2 臺; B B：18 臺。(2)依題意，得 8060v480X+ 400 (20 x)v8172。0.75vxv2.15,x=1,2o當x= 1 時，購買資金為 404 萬元；當x= 2 時，購買資金為 408 萬元。答：為節(jié)約資金，應購買A型設備 1 臺，B型設備 19 臺。1

19、0.解：(1)設組建中型圖書角 x 個，則組建小型圖書角為(30 x)個。80 x 30(30 - x)乞1900由題意，得，Ox+60(30 x)蘭1620解這個不等式組，得 18 x 20o由于 x 只能取整數(shù)， x 的取值是 18, 19, 20o當 x = 18 時，30 x = 12;當 x = 19 時，30 x = 11;當 x = 20 時，30 x = 10。9故有三種組建方案：10萬案一， 中型圖書角18 個，小型圖書角12 個；萬案二， 中型圖書角19 個，小型圖書角11 個；萬案三， 中型圖書角20 個，小型圖書角10 個。（2）方案一的費用是:860X18+ 570X12=22320 (元);方案二的費用是：860X19+ 570X11=22610 （元）;方案三的費用是：860X20+ 570X10=22900 （元）。故方案一費用最低，最低費用是22320 元。11.解：（1）設一臺甲型設備的價格是x萬元，由題意，得 3x+ 2X75%x= 54,解得x= 12./ 12X75%=9,臺甲型設備的價格是 12 萬元，一臺乙型設備的價格是9