向量組的線性表示與線性相關(guān)性

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1教學(xué)目的掌握向量的概念，掌握向量組線性表示向量掌握向量的概念，掌握向量組線性表示向量（組）的判定方法，會(huì)用初等變換求解向量（組）的判定方法，會(huì)用初等變換求解向量的線性表達(dá)式。掌握線性相關(guān)性的概念和基的線性表達(dá)式。掌握線性相關(guān)性的概念和基本判定方法。本判定方法。作業(yè)重點(diǎn)向量組的線性表示、相關(guān)性及判定方法向量組的線性表示、相關(guān)性及判定方法練習(xí)冊(cè)練習(xí)冊(cè)難點(diǎn)向量組線性表示方法向量組線性表示方法講授方法講授講授講授內(nèi)容講授內(nèi)容主線主線向量定義向量定義- -分類分類線性組合線性組合線性表示及秩的線性表示及秩的判斷定理和推論判斷定理和推論

2、練習(xí)練習(xí)向量組線性表示及向量組線性表示及等價(jià)和秩的判斷方法等價(jià)和秩的判斷方法向量組線性相關(guān)定義向量組線性相關(guān)定義判定方法判定方法時(shí)間安排向量向量組的線性表示通過解析成矩陣方程向量向量組的線性表示通過解析成矩陣方程組組, ,可用秩的判定方法來(lái)判定和求解線性表示可用秩的判定方法來(lái)判定和求解線性表示系數(shù)。線性相關(guān)性則是通過等價(jià)定義的齊次系數(shù)。線性相關(guān)性則是通過等價(jià)定義的齊次方程組來(lái)判定方程組來(lái)判定. .班級(jí)： 星期 ： 節(jié) 年 月 日第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2友情提示友情提示 本次課講

3、第四章第一二節(jié)：向量組的線性表本次課講第四章第一二節(jié)：向量組的線性表示與線性相關(guān)性；示與線性相關(guān)性； 下一次課講第四章第二節(jié)（續(xù)）與第三節(jié)：下一次課講第四章第二節(jié)（續(xù)）與第三節(jié)：相關(guān)性與向量組的秩；相關(guān)性與向量組的秩； 下次上課時(shí)下次上課時(shí)交作業(yè)交作業(yè)P25P25P26P26線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性3 的的變變量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為注注意意：有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解。有有唯唯一一解解；有有解解無(wú)無(wú)解解；有有非非零零解解。有有唯唯一一零零解解；XnrBARBARARBARARBARXAnARnA nARnAR0X),(),(,ARnmnmB BBAXbbbXXX

4、AbAXmm 即即：數(shù)數(shù)方方程程組組的的結(jié)結(jié)論論推推廣廣到到多多個(gè)個(gè)同同系系將將復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)方方程程組組秩秩的的解解法法：),(),(2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4一、向量組及其相關(guān)概念一、向量組及其相關(guān)概念1.向量向量:(1)向量的定義向量的定義個(gè)個(gè)分分量量是是第第因因此此個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為向向量量的的分分量量維維向向量量所所組組成成的的數(shù)數(shù)組組稱稱為為個(gè)個(gè)有有次次序序的的數(shù)數(shù)iannaaanin,;,21 (2)向量與矩陣向量與矩陣 n 維向量可寫成一行維向量可寫成一行行向量行

5、向量；也稱行矩陣；也可寫；也稱行矩陣；也可寫成一列成一列列向量，也稱列矩陣列向量，也稱列矩陣總總被被看看成成是是不不同同的的向向量量維維列列向向量量與與維維行行向向量量并并且且 nnaaanaaan2,121),(因此規(guī)定：因此規(guī)定：行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算（3）向量的記法：）向量的記法： 1）列向量用用字母）列向量用用字母 表示；表示； 、ba行向量用行向量用、TTba表示表示.TT 、第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性52.向量組的概念向

6、量組的概念（1）向量組的定義）向量組的定義：若干個(gè)若干個(gè)同維數(shù)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合：的行向量）所組成的集合：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A如矩陣：如矩陣：有有 n 個(gè)個(gè) m 維列向量維列向量,21 mjjjaaa nj,2, 1 ja（2）所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，）所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量都當(dāng)作列向量 T120112013如如：量量的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置的的形形式式，也也將將列列向向量量寫寫成成行行向向）經(jīng)經(jīng)常常地地，為為書書寫寫方方便便（ 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講

7、：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性6（2）矩陣與向量組：）矩陣與向量組：由由 m 個(gè)個(gè) n 維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組 構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè) mn矩陣矩陣TmTT ,21.21TmTTB 因此，矩陣與它所對(duì)應(yīng)的行（列）向量組有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)因此，矩陣與它所對(duì)應(yīng)的行（列）向量組有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，向量組稱矩陣的向量組，矩陣稱向量組的矩陣系，向量組稱矩陣的向量組，矩陣稱向量組的矩陣的的行行向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣的的行行向向量量組組同同理理，組組成成矩矩陣陣AATmTT ,21naaa,21矩陣矩陣A組成的向量組組成的向

8、量組稱為稱為矩陣矩陣 A 的列向量組的列向量組；反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣. 由由 m 個(gè)個(gè) n 維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組 構(gòu)成構(gòu)成一個(gè)一個(gè)nm矩陣矩陣maaa,21;,21maaaA第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性73.線性組合的概念線性組合的概念：定義定義2 2給定向量組給定向量組 A ： ，maaa,21對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)對(duì)于任何一組實(shí)數(shù),21mkkk向量向量mmakakak 2211 稱為向量

9、組稱為向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合，mkkk,21稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù).4.線性表示的概念：線性表示的概念：給定向量組給定向量組 A ： 和向量和向量 ，maaa,21b如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù),21m使使,2211mmaaab則向量則向量 是向量組是向量組 A 的線性組合，的線性組合，b這時(shí)稱這時(shí)稱向量向量 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示。b線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性

10、向量組的線性相關(guān)性8,01020011021即向量 能由向量組 線性表示.021010001,例如：例如：5.向量組由向量組線性表示概念向量組由向量組線性表示概念定義定義3 3設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組 A： 及及 B： ，maaa,2112,lb bb則稱則稱向量組向量組 B 能由向能由向量組量組 A 線性表示線性表示。6.向量組的等價(jià)：向量組的等價(jià)：向量組向量組 A 與向量組與向量組 B 能相互線性表示，能相互線性表示，則稱這兩個(gè)則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。向量組等價(jià)。 這是第二次遇到等價(jià)概念：一個(gè)是矩陣間互相初等這是第二次遇到等價(jià)概念：一個(gè)是矩陣間互相初等變換的等價(jià)；這里是向量組間間互相線性

11、表示的等價(jià)變換的等價(jià)；這里是向量組間間互相線性表示的等價(jià)若若 B 組中的每個(gè)向量都能由向量組組中的每個(gè)向量都能由向量組 A 線性表示，線性表示，B第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性97.向量組的線性相關(guān)概念向量組的線性相關(guān)概念(1)(1)定義定義給定向量組給定向量組 A ： ，maaa,21如果如果存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù),21mkkk使使021maaa mkkk 21則稱向量組則稱向量組 A 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它的，否則稱它線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)“否則否則”只有當(dāng)只有當(dāng)0

12、21mkkk時(shí)，時(shí)，式才成立。式才成立?；蛉粝蛄拷M或若向量組 A ： ，maaa,21線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，且且式成立，式成立，則必有則必有. 0 21 mkkk第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性相關(guān)。線性相關(guān)。，證明向量組證明向量組：設(shè)：設(shè)例例43212112112112113,)1(P31T 0144332214321 ）（）（）（）（證明：由定義，證明：由定義， 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性10二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù)二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù) ),(,);()(2121

13、baaaRaaaRBRARmm 或或即即： 的的秩秩的的秩秩等等于于是是件件線線性性表表示示的的充充分分必必要要條條能能由由向向量量組組向向量量定定理理：baaaBaaaAaaaAbmmm,),(,:. 1212121 向量向量 能由向量組能由向量組 A 線性表示，線性表示，b也就是方程組有解也就是方程組有解baaam 21mxxx 21證：證： maaa,21 mxxx21b 將方程組變形為：將方程組變形為：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線線性性相相關(guān)關(guān)。使使得得存存在在43214321,0, 1, 1 , 1, 1 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章

14、向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性11為線性表示系數(shù)為線性表示系數(shù)其中解其中解的解的問題，的解的問題，為方程組：為方程組：即線性表示問題恒變形即線性表示問題恒變形TmxxxXBAX),(21 ),()(,:21bARARbAXaaaAbm 有有解解線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量 式式無(wú)無(wú)窮窮多多。一一，有有無(wú)無(wú)窮窮解解，則則表表示示有有唯唯一一解解，則則表表示示式式唯唯來(lái)來(lái)求求線線性性表表示示系系數(shù)數(shù)。）可可以以用用方方程程組組（來(lái)來(lái)線線性性表表示示。能能否否由由來(lái)來(lái)判判斷斷）可可以以用用秩秩（定定理理告告訴訴我我們們，bAXaaabbaaaRaaaRmmm 2,),(,121

15、2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性12（1 1）秩的等式定理）秩的等式定理2:2:的秩等于矩陣的秩等于矩陣向量組向量組 : : 能由向量組能由向量組 : : 線性線性表示的表示的充分必要條件充分必要條件是矩陣是矩陣BmaaaA,21,1212ml(A,B)= a ,a ,a ,b ,bb12ma ,a ,a12lb ,b ,bA的秩的秩.( )()R A = R A,B即即:2.用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù)用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù).設(shè)向量組設(shè)向量組 A

16、與向量組與向量組 B 所構(gòu)成的矩陣依次記作所構(gòu)成的矩陣依次記作 sbbbB,21 和和 maaaA,21 B 組能由組能由 A 組線性表示，組線性表示，即對(duì)每個(gè)向量即對(duì)每個(gè)向量jb , 2 , 1sj :,21使得使得存在存在mjjjxxx,),(21212211 mjjjmmmjjjjxxxaaaaxaxaxb , 2 , 1sj 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性13BAXbbbBXXXXbbbAXAXAXbAXbAXbAXAsssssss :),(),(),(),( :,212121

17、212211矩矩陣陣方方程程組組則則上上式式成成令令即即寫寫成成矩矩陣陣形形式式的的方方程程組組個(gè)個(gè)同同系系數(shù)數(shù)這這是是.),(:.21個(gè)個(gè)向向量量線線性性表表示示的的系系數(shù)數(shù)組組個(gè)個(gè)向向量量用用組組為為的的列列向向量量分分別別其其中中的的解解的的判判定定與與求求解解問問題題陣陣方方程程組組線線性性表表示示問問題題變變成成了了矩矩由由向向量量組組向向量量組組mAsBXXXXBAXABs 有有解解無(wú)無(wú)解解是是否否有有解解線線性性表表示示由由向向量量組組向向量量組組),()(),()(BARARBARARBAXAB系系數(shù)數(shù)解解的的列列向向量量即即線線性性表表示示用用初初等等行行變變換換解解出出有有

18、解解時(shí)時(shí)),(,21sXXXX 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性14特別提示：特別提示：定理所涉及的向量組均是列向量組，方程組的定理所涉及的向量組均是列向量組，方程組的解也是列向量表示，解也是列向量表示，“行變換、列向量行變換、列向量”一定要記牢一定要記牢(2)兩個(gè)推論。由以上定理，不難推出以下結(jié)論兩個(gè)推論。由以上定理，不難推出以下結(jié)論)()(),(),(),()(2BRARBRBARBARAR 故故由秩的不等式知由秩的不等式知，知：知：分析：由定理分析：由定理),()(),()(:,:

19、,:21212121smmsbbbRBRaaaRARaaaAbbbB 則則線線性性表表示示能能由由向向量量組組若若向向量量不不等等式式推推論論),()()(,:,:2121BARBRARbbbBaaaAlm ：等等價(jià)價(jià)的的充充分分必必要要條條件件是是與與組組向向量量組組等等價(jià)價(jià)結(jié)結(jié)論論：向向量量分析：由定理分析：由定理2和向量組等價(jià)定義易推出結(jié)論成立和向量組等價(jià)定義易推出結(jié)論成立第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性15（4）線性表示秩的解法的概括：）線性表示秩的解法的概括：)()()(),(

20、)()(),()(BRARARBARBRXABXABBRBARARXBAXBABA 為為表表示示系系數(shù)數(shù)解解有有解解線線性性表表示示為為表表示示系系數(shù)數(shù)解解有有解解線線性性表表示示等等價(jià)價(jià)、例例2：設(shè)向量組 111,22a 212,13a 311,40a10,31b 證明: 能 由向量組 線性表示,并求出表達(dá)式.123,aaab第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性16證：證：10320121000000001111121021432301BR(A)=R(B)=2,因 能 由向量組 線性表示.

21、123,a aab所以 cccxxxcxxxxx1223,122332133231得得通通解解為為：令令解解方方程程組組：(其中其中C可取任意值可取任意值)123( 32)(21).bcacaca 112323(,)xba a axx第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性17)(),(,)(),(,),min(),(),(),()(0212121ARnBARnARBARnsnnRBARnRARAAsnn 且且：，又又滿滿秩秩，即即：，證證明明： 線線性性表表示示能能由由，證證明明：若若，：組組

22、成成，向向量量組組個(gè)個(gè)向向量量由由維維向向量量組組：設(shè)設(shè)例例nssnABnAn , 0.,221212121 線線性性表表示示能能由由，要要條條件件，由由向向量量組組線線性性表表示示的的充充ns ,2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性18第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性例例3（05，2，9分）分） 線性表示線性表示，不能由向量組不能由向量組，線性表示，但向量組線性表示，但向量組可由向量組可由向量組使向量組使向量組確定常數(shù)確定常數(shù)32132132

23、13212,42,11:11,11,11:, TTTTTTaaaaBaaaAa 作作初初等等行行變變換換故故首首先先對(duì)對(duì)增增廣廣矩矩陣陣即即無(wú)無(wú)解解即即線線性性表表示示不不能能由由向向量量組組同同理理即即有有解解即即線線性性表表示示能能由由向向量量組組分分析析),(),()(,:).,()(,:,:ABBARARBAXABABRBRABXBA 211034201102201122111411111221aaaaaaaaaaaaaaaa線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性192) 1(33040011022011221aaaaaaaa線線性性表表示示。，可可由由，

24、即即，方方程程組組有有解解，時(shí)時(shí)，可可見見，321321),()(2, 4 ABRBRaa 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性 aaaaaaaaaaaaaaaa342011022011022111411111221112),(),()(BABARARBAXAB考考察察增增廣廣矩矩陣陣無(wú)無(wú)解解，即即線線性性表表示示，即即不不能能由由同同理理，由由已已知知， 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性20線線性性表表示示，不不能能由由，時(shí)時(shí)，或或可可見見：32132121 aa 24620)1)(20022011022111aaaaa

25、aaaa（繼續(xù)往行階梯化下去：繼續(xù)往行階梯化下去：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性21三、用方程組判定線性相關(guān)無(wú)關(guān)性三、用方程組判定線性相關(guān)無(wú)關(guān)性只有零解。只有零解。則則有非零解，無(wú)關(guān)，有非零解，無(wú)關(guān)，向量組相關(guān)向量組相關(guān)將等式看作一個(gè)方程，將等式看作一個(gè)方程，鍵式：鍵式：復(fù)述相關(guān)無(wú)關(guān)定義：關(guān)復(fù)述相關(guān)無(wú)關(guān)定義：關(guān)mmmmkkkkkkkkk,0. 121212211 三三點(diǎn)點(diǎn)共共面面滿滿足足三三個(gè)個(gè)向向量量相相關(guān)關(guān)兩兩點(diǎn)點(diǎn)共共線線。同同理理：空空間間中中兩兩點(diǎn)點(diǎn)成成比比例例向向量量相相關(guān)關(guān)

26、，兩兩個(gè)個(gè)維維向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)空空間間中中的的點(diǎn)點(diǎn)注注：設(shè)設(shè)相相關(guān)關(guān)的的幾幾何何意意義義值值得得關(guān)關(guān) , 0, 03. 2321332211kkkkkk 為為線線性性系系數(shù)數(shù)其其中中的的解解，TmmmxxxXAXkkk),(00. 3212211 。是是否否有有唯唯一一零零解解的的問問題題成成了了方方程程組組的的相相關(guān)關(guān)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)問問題題就就演演變變。因因此此向向量量組組于于方方程程列列向向量量），則則等等式式恒恒等等題題。在在這這一一等等式式中中，令令系系數(shù)數(shù)是是否否只只有有零零解解的的問問的的向向量量關(guān)關(guān)鍵鍵是是等等式式線線性性相相關(guān)關(guān)與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)問問題題的的00(),(),(0212122

27、11 AXAXxxxXAkkkTmmmm 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性22（1）按照定義判定。）按照定義判定。思路：用定義，無(wú)關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解，思路：用定義，無(wú)關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解，即系數(shù)行列式不等于零即系數(shù)行列式不等于零證證:設(shè)有 使321,xxx0321bbb 321 xxx即0133221aaaaaa 321 xxx322131 xxxxxx0321aaa 因 線性無(wú)關(guān)，故321,aaa321,aaa的系數(shù)只有零解的系數(shù)只有零解4.線性相關(guān)性的判

28、定：線性相關(guān)性的判定：例例4 已知向量組 線性無(wú)關(guān)，,322211aabaab試證向量組 線性無(wú)關(guān).321,bbb,133aab321,aaa第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性23 000322131xxxxxx此方程組的系數(shù)行列式為110011101. 02 方程組只有零解, 0321 xxx所以向量組 線性無(wú)關(guān).321,bbb定理定理4 4（2）按照向量組的秩判定：）按照向量組的秩判定：向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)的充分必要條件是它所構(gòu)maaa,21成的矩陣成的

29、矩陣 的秩的秩R(A) m；maaaA,21向量組向量組線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的充分的充分必要條件是必要條件是 R(A) =m .maaa,21：是是否否有有唯唯一一零零解解的的問問題題因因此此相相關(guān)關(guān)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是為為等等式式可可恒恒等等變變形形中中系系數(shù)數(shù)是是否否為為零零。由由于于相相關(guān)關(guān)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是等等式式組組前前面面已已經(jīng)經(jīng)分分析析到到：向向量量0, 00,:221121 AXAXaxaxaxaaaAmmm第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性24mARAXaaamAR

30、AXaaaaxaxaxAXmmmm )(0,)(0,0:21212211有唯一零解有唯一零解線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)有非零解有非零解線性相關(guān)線性相關(guān)組向量的線性表示系數(shù)組向量的線性表示系數(shù)解為解為例例5 已知已知,742 ,520 ,111321 aaa試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.321,aaa21,aa解解對(duì)矩陣對(duì)矩陣 施行施行初等行變換初等行變換，321,aaa751421201,321aaa12rr 13rr 201 2205502325rr 000220201 則則 R, 2,321aaa向量組向量組321,aaa21,aaR =2,線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).

31、向量組向量組21,aa線性相關(guān)線性相關(guān)；第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性25（3）按照整體與部分的關(guān)系判定）按照整體與部分的關(guān)系判定定理定理5 5 （1 1）若向量組）若向量組 A： 線性相關(guān)，線性相關(guān)，maaa,21則向量組則向量組 B：121,mmaaaa也相關(guān)也相關(guān)；反言之，反言之， 若向量組若向量組 B 線性無(wú)關(guān)，則向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組A 也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).即即線線性性相相關(guān)關(guān)顯顯然然，, 1)(,)(1)()|()(1 mBRmARARaARBRm（4）用向量的維數(shù)判定

32、）用向量的維數(shù)判定： m 個(gè)個(gè) n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù)m 時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān).所所以以線線性性相相關(guān)關(guān)分分析析：顯顯然然，smARmnnmAR,)(),min()( （5）線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理）線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理：一一線性表示，且表示式唯線性表示，且表示式唯能由向量組能由向量組則向量則向量線性相關(guān)，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，而向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組若向量組若向量組AbbaaaBaaaAmm,:,:2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量

33、組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性26證明：證明：記,21maaaA,21baaaBm由秩的定理，有R(A)R(B).因 A 組線性無(wú)關(guān)，有R(A) = m；因 B 組線性相關(guān)，有R(B) m+1.所以 mR(B) m+1, 即有R(B) = m.由 R(A) = R(B) = m,及線性方程組秩的解法定理，知方程組bxaaam,21有唯一解， 即b能由A組線性表示且表示唯一.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性27證證:1)234,aaa因因線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), 由定理由定理23,aa線性無(wú)關(guān)

34、線性無(wú)關(guān),又又123,a aa線性相關(guān)線性相關(guān), 由定理由定理23,aa1a能由能由 線性表示線性表示.所以所以2)設(shè)設(shè)4a能由能由 線性表示線性表示.123,a aa由由(1)4a能由能由 線性表示線性表示.23,aa234,aaa線性無(wú)關(guān)矛盾線性無(wú)關(guān)矛盾.與與證明證明:1)23,aa1a能由能由 線性表示線性表示.2)4a123,a aa不能由不能由 線性表示線性表示.分析：分析：1.部分無(wú)關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無(wú)關(guān)組線性部分無(wú)關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無(wú)關(guān)組線性表示，表示，2.否定命題多用反證，若能線性表示推出矛盾即可否定命題多用反證，若能線性表示推出矛盾即可第八講：向量組的線性表示

35、與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性例例4.設(shè)向量組設(shè)向量組 線性相關(guān)線性相關(guān),向量組向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),123,a aa234,aaa線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性28第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性與與假假設(shè)設(shè)相相關(guān)關(guān)矛矛盾盾線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，則則，若若, 0,021211 mmm 不不全全為為零零，其其中中線線性性表表示示可可由由向向量量組組，則則若若mmmmmmmxxxxxxAl,)(102122111112211121 矛矛盾盾，故故結(jié)結(jié)論論成成立立。線線性性表表示示，與與題題設(shè)設(shè)條條件件

36、能能由由向向量量組組即即Alxlxlxmmmmmmm212122111112)()()(1 0)(0,1,:. 52112211, 121212121212121 lllmAAAmmmmmmm使使得得，的的為為線線性性相相關(guān)關(guān)，則則存存在在不不全全，證證：假假設(shè)設(shè)必必線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。，個(gè)個(gè)向向量量線線性性表表示示。證證明明：不不能能由由向向量量組組而而向向量量線線性性表表示示，可可由由向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，向向量量設(shè)設(shè)向向量量組組線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性29 不不等等價(jià)價(jià)。與與為為何何值值時(shí)時(shí)，向向量量組組等等價(jià)價(jià)，當(dāng)當(dāng)與與組組為為何何值值時(shí)時(shí)，向向量量試試問問，當(dāng)當(dāng)向向量量組組分分）設(shè)