高一數(shù)學(xué)5175講義

1、高一數(shù)學(xué) 1-6 次課講義第 1 講正弦定理與余弦定理滿分晉級(jí)三角函數(shù) 5 級(jí)任意角的三角函數(shù)三角函數(shù) 4 級(jí)正弦定理與余弦定理三角函數(shù) 3 級(jí)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用新課標(biāo)剖析1三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版北京高考2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年（新課標(biāo)）當(dāng)前形勢(shì)解三角形在近五年北京卷(理)考查 56 分高考要求內(nèi)容要求層次具體要求ABC正弦定理、余弦定理能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題解三角形通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題1.1 正弦

2、定理與其在解三角形中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)睛在ABC 中的三個(gè)內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊，分別用 a ，b ，c 表示，1正弦定理：在三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即abc=sin Asin Bsin C a = 2R sin A ， b = 2R sin B ， c = 2R sin C sin A =， sin B =， sin C =；(其中 R 為ABC 的外接圓的半徑)；abc2R2R2R a : b : c = sin A : sin B : sin C 2解三角形：三角形的三個(gè)內(nèi)角和它們的對(duì)邊分別叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形3正弦定

3、理用于兩類解三角形的問題：已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其它兩邊和另一角；已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其它的邊與角經(jīng)典精講【例1】 已知ABC 中， a ，b ，c 分別是 A、B、C 的對(duì)邊， c = 3 ， A = 60 ， C = 45 ，則a 等于()D 3B 32A 3C 3 222 已知ABC 中， a ，b ，c 分別是 A、B、C 的對(duì)邊， a = 4，b = 4 3 ，A = 30 ，則 B 等于()A 30B 30 或150C 60D 60 或120 已知 a ，b ，c 分別是ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B ，C 所對(duì)的邊，若 a = 2

4、，b = 1 ，B + C = 3A ，2三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版解讀第 12 題 5 分第 11 題 5 分第 12 題 5 分第 15 題6 分第 10 題 5 分則 B =B D6【】abc=在DABC 中，若A直角三角形C鈍角三角形【例2】 ，則ABC 是（）cos Acos Bcos CB等邊三角形 D等腰直角三角形（2009 海淀二模文 11）在DABC 中， A 、B 、C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a ，b ，c 若b = 2a sin B ，則角 A 的大小為 已知ABC ，三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別記為 a，b，c ，若c = x，b = 2，B = 4

5、5 ，且這個(gè)三角形有兩解，求 x 的取值范圍】 B 30 或150【2 x b】AB a bC a = bD a 與b 的大小關(guān)系不能確定【（2010 山東卷理數(shù)）在ABC 中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a、b、c ，若 a = 2 ， b = 2 ， sin B + cos B = 2 ， 則角 A 的大小為】 【61.2 余弦定理及其在解三角形中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)睛1余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，3三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版a2 + b2 - c2cos C =,2aba2 + c2 - b2c2 = a2 +

6、b2 - 2ab cos C,即： b = a + c - 2ac cos B,它的變形為： cos B =222,2aca2 = b2 + c2 - 2bc cos Abcos A =+ c - a222.2bc2余弦定理及其變形常用來解決這樣兩類解三角形的問題：已知兩邊和任意一個(gè)內(nèi)角解三角形；已知三角形的三邊解三角形經(jīng)典精講在ABC 中， a = 5 ， b = 8 ， C = 60 ，則c = 在ABC 中， a = 5 ， b = 8 ， c = 7 ，則sin C =【例3】 13 ， b = 8 ， A = 60 ，則c =在ABC 中， a = 2在ABC 中， a2 = b2

7、+ c2 + bc ，則 A 等于（）A7322 或6CBCD604512030【】在ABC 中，若 a = 7 ，b = 8，cos C = 13 ，則最大角的余弦是(【例4】 )14A - 1B - 1C - 1D - 15678(2008卷文 12)3 ， b = 3 ， C = 30 ，則在ABC 中， a、b、c 分別是角 A ， B ， C 所對(duì)的邊，已知 a =A =C30 .【】【拓2】 （2010 海南卷理 16）在ABC 中， D 為邊 BC 上一點(diǎn)， BD = 1 DC ， ADB = 120 ， AD = 2 ，若ADC 的面積23 ，則BAC =為3 -】 60 【A

8、120CBD4三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版1.3 正余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)睛面積公式： S = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B 222經(jīng)典精講已知ABC ，三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別記為 a，b，c ，b = 43，c = 4，B = 60 ，求S ABC 【例5】 已知ABC ，三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊分別記為 a，b，c ，若 a = 2，b = 3，c = 4 ，求 SABC 【】 SDABC= 8 3 = 3 S15 DABC4【例6】 (2010卷理 11)已知 a ，b ，c 分別是ABC 的三

9、個(gè)內(nèi)角 A，B ，C 所對(duì)的邊，若 a = 1 ，3 ， A + C = 2B ，則sin C =b =（2010卷理 3）在ABC 中， a = 15 ， b = 10 ， A = 60 ，則cos B = （）A - 212B 226363CD -33【】C【拓1】 （2010 上海卷文 18）若ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C = 51113 則ABC（）A一定是銳角三角形C一定是鈍角三角形】CB一定是直角三角形 D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形【15）在ABC 中，角 A ， B ， C 所對(duì)的邊分別為 a ，b ，c ，且滿足【例7】 （ 2008 崇文二模

10、理b cos A + a cos B = 2c cos C ， ABC 的面積為4 求角C 的大小； 若 a = 2 ，求邊長(zhǎng)c 3 5三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角（如 a ，B ，C ）正弦定理由 A + B + C = ，求角 A ；由正弦定理求出b 與c 兩邊和夾角（如 a ，b ，C ）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊 c ；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角(此角一定是銳角)；再由 A + B + C = 三邊（ a ，b ，c ）余弦定理由余弦定理求出角 A 、 B ；再 A + B + C = ，求出角C 兩邊和其中一邊的對(duì)角（如 a

11、 ，b ，A ）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 B ；由 A + B + C = ，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c C = p 【】3c = 2 13 【拓2】 （2010 西城二模理 15）如圖， 在四邊形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = BC = CD = 2 ，A = 60 求sin ABD 的值； 求BCD 的面積CDAB21 【】 sin ABD =7 DBCD 的面積 S = 3 7 4實(shí)戰(zhàn)演練【演練1】（2010 北京卷文理 10）在ABC 中，若b = 1，c = 3 ，C = 2 ，則 a =3【】1【演練2】（2008 福建卷理 10)在ABC 中，

12、角 A，B ，C 的對(duì)邊分別為 a ，b ，c ，若(a2 + c2 - b2 )tan B =為（）3ac ，則角 B 的值63C 或 52或33ABD66【】D【演練3】在ABC 中，已知sin2 B - sin2 C - sin2 A = 3 sin Asin C ，則角 B 的大小為（）A150】AB 30C120D 60【演練4】在ABC 中，角 A，B ，C 所對(duì)的邊分別是 a ，b ，c ， tan A = 1 ， cos B = 310 ，210若ABC 最長(zhǎng)的邊為1 ，則最短邊的長(zhǎng)為（）A 2】D5B 35C 4555D555【6三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版

13、【演練5】如圖，在山頂鐵塔上 B 處測(cè)得地面上一點(diǎn) A 的俯角為a ，在塔底C 處測(cè)得 A 的俯角為b ，已知鐵塔 BC 部分的長(zhǎng)為 a ，求山高CD B【】山高CD = AC sin b = a cosa sin b sin(a - b )C大千世界AD（第 22 屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二 14）已知DABC 的三條邊的長(zhǎng)分別是 a = x2 - x +1， b = x2 - 2x ， c = 2x - 1，則DABC 的內(nèi)角的最大值是 】 A = 120【7三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版ab第 1 講 數(shù)列基本概念及等差數(shù)列初步滿分晉級(jí)數(shù)列 3 級(jí)等差數(shù)列深入數(shù)列 2 級(jí)等比

14、數(shù)列初步數(shù)列 1 級(jí)數(shù)列基本概念及等差數(shù)列初步新課標(biāo)剖析8三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版北京高考解讀2007 年2008 年2009 年第 10 題 5 分第 6,14 題 10 分第 14 題 5 分當(dāng)前形勢(shì)數(shù)列初步在近五年北京卷(理)考查 510 分高考要求內(nèi)容要求層次具體要求ABC數(shù)列的概念理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的法；數(shù)列的通項(xiàng)公式表示法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，理解 an 與 Sn 之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系1.1 數(shù)列的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)睛1. 數(shù)列的相關(guān)定義按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)

15、列的第 1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），第 2 項(xiàng)，第 n 項(xiàng)，所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1 ，a2 ，a3 ， 簡(jiǎn)記為an 其中數(shù)列an 的第 n 項(xiàng) an 也叫做數(shù)列的通項(xiàng)如果數(shù)列an 的第n 項(xiàng)與序號(hào)n 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和用 Sn 來表示，如果 Sn 與 n 的關(guān)系可用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式2. 數(shù)列的分類 按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的多少可分為：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列 按照數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況可分為：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列從第 2項(xiàng)起

16、，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；從第 2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做擺動(dòng)數(shù)列 按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否小于某一正數(shù)可分為：有界數(shù)列和3數(shù)列的表示方法數(shù)列a通項(xiàng)公式法：如果數(shù)列an 的第 n 項(xiàng) n 與 n 之間的關(guān)系可用一個(gè)函數(shù)關(guān)系 an =f (n) 來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 理解數(shù)列的通項(xiàng)公式：數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集 N* 或它的有限子集1，2 ， ， n 為定義域的函數(shù)的表達(dá)式；如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用1，2， ，n 去

17、替代公式中的 n 就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)；同時(shí)，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以幾項(xiàng)；某數(shù)是否是某數(shù)列中的項(xiàng)，如果是的話，是第不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，好比不是所有的函數(shù)都有有的數(shù)列有通項(xiàng)公式，但在形式上不一定是惟一的式一樣；= -1，n為奇數(shù)，如數(shù)列：-1，1，-1，1，-1，1，它可以寫成 a = (-1)n ，也可以寫成 ann1，n為偶數(shù).n+2還可以寫成 an = (-1)等這些通項(xiàng)公式，形式上雖然不同，但都表示同一個(gè)數(shù)列有些數(shù)列，只給出它的前幾項(xiàng)，并沒有給出它的的通項(xiàng)公式并不惟一規(guī)律，那么僅由前面幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列a 遞推公式法：如果已知數(shù)列an 的第 1 項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任意一項(xiàng) n

18、與它相鄰的一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做數(shù)列的遞推公式如：數(shù)列 3，4，5，6，9三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版7，用遞推公式可這樣表示： a = 3 ， a= a+ 1 ， n N* n+1n1 列表法：與函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用列表的方法來表示如：全體正偶數(shù)按從小到大的順序的數(shù)列 2，4，6，8，用列表法可表示為列表法可以清楚地反映出數(shù)列的許多具體的項(xiàng)，但由于受某些條件的限制，用列表的方法有時(shí)不能完整的反映一個(gè)數(shù)列，或數(shù)列的具體規(guī)律，所以并不是每一個(gè)數(shù)列都可以用列表的方法表示圖象法：數(shù)列是以正整數(shù)集 N* （或它的有限子集1，2 ， ，n ）為

19、定義域的函數(shù) a =nf (n) ，當(dāng)自變量按照從小到大的順序取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是一系列函數(shù)值所以，可以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)作圖來表示這個(gè)數(shù)列上面的數(shù)列用圖象法可以表示為：數(shù)列圖象與一般函數(shù)圖象的區(qū)別在于數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)an108642On12 3 4 54求通項(xiàng)公式的題型：求數(shù)列中的項(xiàng)由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的其他方法類比分段函數(shù),介紹分段通項(xiàng)公式(如奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不同的數(shù)列的通項(xiàng)公式)由 Sn = a1 + a2 + an-1 + an ， Sn-1 = a1 + a2 + an-1 ，= S1n = 1,n 2.可得 a = S - S(n

20、2) ，且 n = 1 ， a = S aSnnn-111n- S nn-1經(jīng)典精講考點(diǎn) 1：數(shù)列的定義與分類【例1】 下面數(shù)列哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列？哪些是有窮數(shù)列，無窮數(shù)列？全體自然數(shù)組成數(shù)列：0，1，2，3，；某校 6 個(gè)班學(xué)生人數(shù)的數(shù)列：15，16，18，20，22，30；數(shù)列：5， -1，3， -2.6 ， -1.5 ，8；數(shù)列： 5，5，5，5，5；數(shù)列：100，90，80，70，60，50， 根據(jù)數(shù)列的定義填空15123583 106 15 1210三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版n123kan2462k31529217 33 346（2010

21、湖南卷文 20）給出下面的數(shù)表序列：表11表2134表33514812其中表 n(n = 1，2，3，) 有 n 行，第 1 行的n 個(gè)數(shù)是 1,3,5， 2n - 1 ，從第 2 行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和，寫出表 4 (2010 豐臺(tái)一模理 8）已知正整數(shù)按如下規(guī)律排成一列：(1 , 1) 、(1 , 2) 、(2 , 1) 、(1 , 3) 、(2 , 2) ，(3 , 1) ，(1 , 4) ，(2 , 3) ，(3 , 2) ，65(4 , 1) ，則第60 個(gè)數(shù)對(duì)是（4）3A (10 , 1)B (2 , 10)C (5 , 7)D (7 , 5)2【】 遞增數(shù)列

22、無窮數(shù)列遞增數(shù)列 有窮數(shù)列1O123456擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列 13.20，24659有窮數(shù)列有窮數(shù)列無窮數(shù)列13578412122032C考點(diǎn) 2：數(shù)列的通項(xiàng)公式【例2】 觀察數(shù)列前幾項(xiàng)，求出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 -11 -1 1 1 0 1 -2 3 -4 11 111 1111 011（2010 西城二模理 5）數(shù)列an 滿足 a1 = 1 ， a2 = 3 ， an+1 = (2n - l )an （ n = 1 , 2 ,）則 a3等于（A15）B10C 9D 511三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版= -1 n為奇數(shù)= cos n 或 a【】 a = (-1)n 或

23、 annn1n為偶數(shù)1+ (-1)n0n為奇數(shù)an = 或； an =1n為偶數(shù)2(-1)n+1 n ；1 (10n -1) ；9 A【拓1】 （08 新課標(biāo)江蘇卷理 10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第 n 行(n3) 從左向右的第 3 個(gè)數(shù)為 】 n - n + 62【2【例3】 根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并分析 ，求出 an = f (n) ， an 是否有最大、最小值？2124148 1611816求出 af (n) ， a 是否有最大、最小值？=nn - 121- 14- 1- 1- 18161- 1 求

24、出 af (n) ， a 是否有最大、最小值？=nn 求出 af (n) ， a 是否有最大、最小值？=nn24816 類比函數(shù)的單調(diào)性、有界性來分析數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列an 的通項(xiàng)公式是 a= n2 - 6n + 10 ， n N* ，當(dāng) n 取何值時(shí)， a最小？nn 數(shù)列a 的通項(xiàng)公式是 a= (n - 3.6)2 +1， n N* ，當(dāng)n 取何值時(shí)， a最?。縩nn【】 an = 2 ，最小值為首項(xiàng) 2，沒有最大值n12n1a =，最大值為首項(xiàng) 2 ，沒有最小值na =- 1，最小值為- 1 ，沒有最大值n2n2= (-1)n+1 ，最大值為 1 ，最小值為- 1 1an2n24 n = 3

25、 時(shí)， an 最小為 1 該數(shù)列無最大值 n = 4 時(shí)， an 最小為1.16 該數(shù)列無最大值n ,n為奇數(shù), n為偶數(shù) (n N)（2010 西城二模理 14）我們可以利用數(shù)列an 的遞推公式 an = a*【拓2】n2求出這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值，使得這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)則 a24 + a25 =；12三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第8 個(gè)5 是該數(shù)列的第項(xiàng)】 28 ； 640 【（2009 北京卷理 14）已知數(shù)列an 滿足： a4n-3 = 1 ， a4n-1 = 0 ， a2n = an ， n N ，*則 a2009 =；

26、a2014 =】 a2009 = 1； a2014 = 0 【拓3】【 【拓3】 若數(shù)列 a滿足：對(duì)任意的 n N ，只有有限個(gè)正整數(shù) m 使得 a n 成立，記這樣的 m 的個(gè)*nm數(shù)為(a )* ，則得到一個(gè)新數(shù)列(a )例如，若數(shù)列 a是 1，2，3，n ，則數(shù)列 (a)* *nnnn是 0，1，2，n - 1，已知對(duì)任意的 n N* ，a = n2 ，則(a )* = . (a )* )* = n5n【】2； n2 【例4】 （2007卷）已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 S = n2 - 9n ，則其通項(xiàng) a = ；若它的第k 項(xiàng)滿足5 a 1)2a =na n-1設(shè) Sn 是等差數(shù)列a

27、n 的前 n 項(xiàng)和， a12 = -8 ， S9 = -9 ，則 S16 =【演練5】卷 26）如果等差數(shù)列an 中， a3 + a4 + a5 = 12 ，那么 a1 + a2 + a7 = （2010A14】 S16 = -72 C）B21C28D35【大千世界（第 21 屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一 16）已知等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若不經(jīng)過點(diǎn)O 的直線上的三點(diǎn) A、B、C 滿足OB = a3 OA + a2008 OC ，則 S2010 =.【】100516三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版第 2 講等比數(shù)列初步滿分晉級(jí)數(shù)列 3 級(jí)等差數(shù)列深入數(shù)列 2 級(jí)等比數(shù)列

28、初步數(shù)列 1 級(jí)數(shù)列基本概念及等差數(shù)列初步新課標(biāo)剖析17三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版當(dāng)前形勢(shì)等比數(shù)列在近五年北京卷(理)考查 514 分高考要求內(nèi)容要求層次具體要求ABC等比數(shù)列的概念利用定義計(jì)算基本量，并能是否為等比數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式， 并能利用知識(shí)解決相關(guān)問題2.1 等比數(shù)列的的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)睛1等比數(shù)列的概念 文字定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 0) 表示a 0) （常數(shù)），則稱a 為等比數(shù)列n+1 符號(hào)定義

29、：數(shù)列 a中，若nnan 必要條件：對(duì)任意的 n N* ，都有 a 0 n2等比數(shù)列的相關(guān)定義等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和已知等比數(shù)列an ，首項(xiàng)為 a1 ，公比為 q ，第 n 項(xiàng)為 an ，前 n 項(xiàng)和為 Sn ,有：(q = 1)na1= a (1 -前n 項(xiàng)和公式： S通項(xiàng)公式： a = a qn-1 = aqn-m 1n1mn 1)經(jīng)典精講考點(diǎn) 1：等比數(shù)列基本量計(jì)算【例1】 已知數(shù)列an 是等比數(shù)列， a1 = 2 ，公比是 3，求 a3 = 已知數(shù)列an 是等比數(shù)列， a2 = 8 ， a4 = 32 ，求公比 q = （2010 東城一模文 11）設(shè)an 是等比數(shù)列，若 a

30、1 = 1, a4 = 8 ，則 q =，數(shù)列an 的前6 項(xiàng)的和 S6 = 已知數(shù)列an 是等比數(shù)列，前 n 項(xiàng)和記為 Sn ，若 a1 = 2 ，公比q = 3 ，求使得 Sn = 26 ，求項(xiàng)數(shù) n =【】 18 2 2, 6318三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版北京高考解讀2007 年2008 年2009 年2010 年第 15 題 13 分第 20 題 13 分第 20 題 13 分第 2 題 5 分 3【拓1】 （2010 豐臺(tái)一模文 10）設(shè)等比數(shù)列a 的公比為 q = 1 ，前 n 項(xiàng)和為 S ，則 S4 =nn2a4【】15（2010 重慶理 1）在等比數(shù)列an

31、 中， a2010 = 8a2007【例2】 , 則公比q 的值為（）A 2B 3C 4D 8已知等比數(shù)列an 中， a3 = 3 ， a10 = 384 ，則該數(shù)列的通項(xiàng) an = 【】 A a = 3 2n-1 = 3 2n-3n4（2010 北京理 2）在等比數(shù)列an 中，a1 = 1 ，公比 q 1 ，若 am = a1a2 a3a4 a5 ，則 m =（【拓2】）A9】CB10C11D12【= 3 ， S = 9 ，求首項(xiàng) a 和公比 q 已知等比數(shù)列a 中， a【拓3】n33122【】 q =- 1 ， q = 1（舍）； a = 6122.2 等比數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)睛等比中項(xiàng)：三個(gè)

32、數(shù) x ， G ， y 組成等比數(shù)列， G 叫做 x ， y 的等比中項(xiàng) 如果G 是 x 和 y 的等比中項(xiàng)，則G2 = xy 等比數(shù)列的主要性質(zhì)：若an 是等比數(shù)列，則 am = an qm-n 若 a是等比數(shù)列， m ， n ， p ， t N ，當(dāng) m + n = p + t 時(shí)， a a = a a ，*nmnpt特別地：當(dāng) m + n = 2 p 時(shí)， a a = a2 mnp若an 是等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的子列等比數(shù)列若an 是等比數(shù)列， Sn 是an 前n 項(xiàng)和，則 Sm ， S2m - Sm ， S3m - S2m 成等比數(shù)列 ( Sm ，S2m - Sm ，S3m -

33、S2m 均不為零)經(jīng)典精講考點(diǎn) 2：等比數(shù)列的性質(zhì)19三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版【鋪1】 （省界首中學(xué) 08-09 學(xué)年數(shù)學(xué)必修 5 試題）在等比數(shù)列an 中, a1 = -16 ， a4 = 8 ，則 a7 = （）A -4】AB 4C -2D 2【在等比數(shù)列an 中， a4 = 4 ，則 a2 a6 等于（【例3】 ）D 32A 4B 8C 16a + a 等比數(shù)列 a的各項(xiàng)為正，公比q 滿足 q = 4 ，則234的值為（）na + a451 112AB 2CD42在等比數(shù)列a 中,若a , a 是方程3x2 - 2x - 6 = 0 的兩根，則 a a = n1 1

34、047在等比數(shù)列an 中， a5 = 20 ，a15 = 5 ， 則 a= 20 在等比數(shù)列an 中，前 n 項(xiàng)和為 Sn ， S4 = 1 ， S8 = 4 ，則 a17 + a18 + a19 + a20 =】 C D -2【 52 8110）在正項(xiàng)等比數(shù)列an 中， a3a7 = 4 ，則數(shù)列l(wèi)og2 an 的前9 項(xiàng)之和【拓2】 （2008 崇文一模理為【】 9在等比數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)中， a1 最小，且 a1 + an = 66 ，a2an-1 = 128 ，前 n 項(xiàng)和 Sn = 126 ，求n和公比q【拓3】【】q = 2n = 6【例4】 （2010 東城二模文 18）已知

35、等比數(shù)列an 的公比 q 1，4 2 是 a1 和 a4 的一個(gè)等比中項(xiàng)， a2 和 a3 的等差中項(xiàng)為6 ，若數(shù)列b 滿足b= log a （ n N* ）nn2 n求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；求數(shù)列anbn 的前 n 項(xiàng)和 Sn 】【an = 2 nSn = (n -1) 2+ 2 n+120三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版【備選】已知an 是公比為q 的等比數(shù)列，且 a1 + 2a2 = 3a3 求q 的值;設(shè)bn 是首項(xiàng)為2 ，公差為q 的等差數(shù)列，其前n 項(xiàng)和為Tn 當(dāng) n 2 時(shí)，試比較bn的大小與Tn【】q =1 或 q =- 13當(dāng)q =1 時(shí)， Tn bn (n 2

36、) 當(dāng)q =- 1 時(shí)，若 n 14 ， T b ；若 n = 14 ， T = b; 若2 n b nnnnnn32.3 等比數(shù)列的證明及應(yīng)用經(jīng)典精講考點(diǎn) 3：等比數(shù)列的證明， S = 1 (a -1) (n N* )已知數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和為 S【例5】nnnn3 求a1 ， a2 ；求證：數(shù)列an 是等比數(shù)列】 a =- 1 【12a = 1 24a 是首項(xiàng)為- 1 ，公比為- 1 的等比數(shù)列n22【拓1】 已知數(shù)列an ， a1 = -2 ，an+1 = Sn ，證明：數(shù)列an (n 2) 是等比數(shù)列，并試求an 的通項(xiàng)公式【】 a1 = -2 ，= -2，n = 1an-n-12，n 2的前 n 項(xiàng)和為 S ， 且 a = 1，a= 1 S ，n = 1，2 ，3，已知數(shù)列 a 【拓2】證明： 數(shù)列nn1n+1n3an (n 2) 是等比數(shù)列并求an 的通項(xiàng)公式【】21三角函數(shù)（上）第 4 講提高-尖子-目標(biāo)教師版n = 11= an-21 4 nn 23 3 考點(diǎn) 4：等比數(shù)列的證明及應(yīng)用【例6】 （2010 石景山一模理 18）在數(shù)列a 中， a = 3 ， a = -a- 2n + 1 (n 2 且 n N* ) n1nn-1 求 a2 ， a3 的值； 證明：數(shù)列an + n 是等比數(shù)列，并求an 的通項(xiàng)公式； 求數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn