對數(shù)學本質特征的若干認識

1、對數(shù)學本質特征的假設干認識什么是數(shù)學？這是任何一個數(shù)學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數(shù)學的本質特征有比擬清晰的認識 ,才能在數(shù)學教育研究中把握正確的方向。1、數(shù)學 ,其英文是mathematics ,這是一個復數(shù)名詞 ,“數(shù)學曾經(jīng)是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂 ,處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。自古以來 ,多數(shù)人把數(shù)學看成是一種知識體系 ,是經(jīng)過嚴密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和 ,它既反映了人們對“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的認識 ,又反映了人們對“可能的量的關系和形式的認識。數(shù)學既可以來自現(xiàn)實世界的直接抽象 ,也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。2、從人類

2、社會的開展史看 ,人們對數(shù)學本質特征的認識在不斷變化和深化?！皵?shù)學的根源在于普通的常識 ,最顯著的例子是非負整數(shù)。"歐幾里德的算術來源于普通常識中的非負整數(shù) ,而且直到19世紀中葉 ,對于數(shù)的科學探索還停留在普通的常識 ,另一個例子是幾何中的相似性 ,“在個體開展中幾何學甚至先于算術 ,其“最早的征兆之一是相似性的知識 ,相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早 ,“就象是大生的。因此 ,19世紀以前 ,人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經(jīng)驗科學 ,因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切 ,隨著數(shù)學研究的不斷深入 ,從19世紀中葉以后 ,數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位 ,這種觀點在布爾巴基

3、學派的研究中得到開展 ,他們認為數(shù)學是研究結構的科學 ,一切數(shù)學都建立在代數(shù)結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應 ,從古希臘的柏拉圖開始 ,許多人認為數(shù)學是研究模式的學問 ,數(shù)學家懷特海A. N. Whiiehead ,186-1947在?數(shù)學與善?中說 ,“數(shù)學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究 ,數(shù)學對于理解模式和分析模式之間的關系 ,是最強有力的技術。1931年 ,歌德爾K ,G0de1 ,1978不完全性定理的證明 ,宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾 ,這樣 ,人們又想到了數(shù)學是經(jīng)驗科學的觀點 ,著名數(shù)學家馮·諾伊曼就認為 ,

4、數(shù)學兼有演繹科學和經(jīng)驗科學兩種特性。3、對于上述關于數(shù)學本質特征的看法 ,我們應當以歷史的眼光來分析 ,實際上 ,對數(shù)本質特征的認識是隨數(shù)學的開展而開展的。由于數(shù)學源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐 ,因而這時的數(shù)學對象作為抽象思維的產(chǎn)物與客觀實在是非常接近的 ,人們能夠很容易地找到數(shù)學概念的現(xiàn)實原型 ,這樣 ,人們自然地認為數(shù)學是一種經(jīng)驗科學；隨著數(shù)學研究的深入 ,非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生 ,特別是現(xiàn)代數(shù)學向抽象、多元、高維開展 ,人們的注意力集中在這些抽象對象上 ,數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離越來越遠 ,而且數(shù)學證明作為一種演繹推理在數(shù)學研究中占據(jù)了重要地位 ,因此 ,出現(xiàn)了認

5、為數(shù)學是人類思維的自由創(chuàng)造物 ,是研究量的關系的科學 ,是研究抽象結構的理論 ,是關于模式的學問 ,等等觀點。這些認識 ,既反映了人們對數(shù)學理解的深化 ,也是人們從不同側面對數(shù)學進行認識的結果。正如有人所說的 ,“恩格斯的關于數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的 ,前者反映了數(shù)學的來源 ,后者反映了現(xiàn)代數(shù)學的水平 ,現(xiàn)代數(shù)學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。而關于數(shù)學是研究模式的學問的說法 ,那么是從數(shù)學的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學本質特征的闡釋 ,另外 ,從思想根源上來看 ,人們之所以把數(shù)學看成是演繹科學、研究結構的科學 ,是基于人類對數(shù)學推理的必然

6、性、準確性的那種與生俱來的信念 ,是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中表達 ,因此人們認為 ,開展數(shù)學理論的這套方法 ,即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理 ,是絕對可靠的 ,也即如果公理是真的 ,那么由它演繹出來的結論也一定是真的 ,通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯 ,數(shù)學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。4、事實上 ,上述對數(shù)學本質特征的認識是從數(shù)學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的 ,并且主要是從數(shù)學研究的結果來看數(shù)學的本質特征的。顯然 ,結果作為一種理論的演繹體系并不能反映數(shù)學的全貌 ,組成數(shù)學整體的另一個非常重要的方面是數(shù)學研究的過程 ,而且從總體上來說

7、 ,數(shù)學是一個動態(tài)的過程 ,是一個“思維的實驗過程 ,是數(shù)學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系那么是這個過程的一種自然結果。在數(shù)學研究的過程中 ,數(shù)學對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞G. Poliva ,1888一1985認為 ,“數(shù)學有兩個側面 ,它是歐幾里德式的嚴謹科學 ,但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學 ,但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。弗賴登塔爾說 ,“數(shù)學是一種相當特殊的活動 ,這種觀點“是區(qū)別于數(shù)學作為印在書上和銘 ,記在腦子里的東西。他認為 ,數(shù)學家或者數(shù)學教科書喜歡把數(shù)學表示成“一種組織得很好的狀態(tài)

8、 ,也即“數(shù)學的形式是數(shù)學家將數(shù)學活動內(nèi)容經(jīng)過自己的組織活動而形成的；但對大多數(shù)人來說 ,他們是把數(shù)學當成一種工具 ,他們不能沒有數(shù)學是因為他們需要應用數(shù)學 ,這就是 ,對于群眾來說 ,是要通過數(shù)學的形式來學習數(shù)學的內(nèi)容 ,從而學會相應的應用數(shù)學的活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動的含義。菲茨拜因Efraim Fischbein說 ,“數(shù)學家的理想是要獲得嚴謹?shù)?、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體 ,這一事實并不排除必須將數(shù)學看成是個創(chuàng)造性過程：數(shù)學本質上是人類活動 ,數(shù)學是由人類創(chuàng)造的 ,數(shù)學活動由形式的、算法的與直覺的等三個根本成分之間

9、的相互作用構成。庫朗和羅賓遜Courani Robbins也說 ,“數(shù)學是人類意志的表達 ,反映積極的意愿、深思熟慮的推理 ,以及精美而完善的愿望 ,它的根本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強調不同的側面 ,但只有這些對立勢力的相互作用 ,以及為它們的綜合所作的奮斗 ,才構成數(shù)學科學的生命、效用與高度的價值。5、另外 ,對數(shù)學還有一些更加廣義的理解。如 ,有人認為 ,“數(shù)學是一種文化體系 ,“數(shù)學是一種語言 ,數(shù)學活動是社會性的 ,它是在人類文明開展的歷史進程中 ,人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數(shù)學對人類的思維方式產(chǎn)生了關鍵性

10、的影響也有人認為 ,數(shù)學是一門藝術 ,“和把數(shù)學看作一門學科相比 ,我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術 ,因為數(shù)學家在理性世界指導下雖然不是控制下所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動 ,具有和藝術家的 ,例如畫家的活動相似之處 ,這是真實的而并非臆造的。數(shù)學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人假設不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣 ,不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學家 ,這些品質是最根本的 , ,它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優(yōu)秀的藝術家或優(yōu)秀的數(shù)學家的素質 ,其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力?！皵?shù)學是推理的音樂 ,而“音樂是形象的數(shù)學這是從數(shù)學研究的過程和數(shù)學家

11、應具備的品質來論述數(shù)學的本質 ,還有人把數(shù)學看成是一種對待事物的根本態(tài)度和方法 ,一種精神和觀念 ,即數(shù)學精神、數(shù)學觀念和態(tài)度。尼斯Mogens Niss等在?社會中的數(shù)學?一文中認為 ,數(shù)學是一門學科 ,“在認識論的意義上它是一門科學 ,目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現(xiàn)象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數(shù)學實體所構成的 ,數(shù)學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下 ,數(shù)學以內(nèi)在的自我開展和自我理解為目標 ,獨立于外部世界 , ,另一方面 ,如果所考慮的領域存在于數(shù)學之外 , ,數(shù)學就起著用科學的作用· ,數(shù)學的這兩個側面之間的差異并非數(shù)學內(nèi)容本身的問題 ,而

12、是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的 ,作為科學的數(shù)學有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數(shù)學也是一個工具、產(chǎn)品以及過程構成的系統(tǒng) ,它有助于我們作出與掌握數(shù)學以外的實踐領域有關的決定和行動· ,數(shù)學是美學的一個領域 ,能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和沖動的體驗· ,作為一門學科 ,數(shù)學的傳播和開展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學的學習不會同時而自動地進行 ,需要靠人來傳授 ,所以 ,數(shù)學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目從上所述可以看出 ,人們是從數(shù)學內(nèi)部又從數(shù)學的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個角度。數(shù)學與社會的關系、數(shù)學與其它學科的關系、數(shù)學與人的開展的關

13、系等幾個方面來討論數(shù)學的性質的。它們都從一個側面反映了數(shù)學的本質特征 ,為我們?nèi)嬲J識數(shù)學的性質提供了一個視角。唐宋或更早之前 ,針對“經(jīng)學“律學“算學和“書學各科目 ,其相應傳授者稱為“博士 ,這與當今“博士含義已經(jīng)相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者 ,又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W官稱謂。前者始于宋 ,乃“宗學“律學“醫(yī)學“武學等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設立了 ,主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學問 ,其教書育人的職責也十清楚晰。唐代國子學、太學等所設之“助教一席 ,也是當朝打眼的學官。至明清兩代 ,只設國子監(jiān)國子學一科的“助教 ,其

14、身價不謂顯赫 ,也稱得上朝廷要員。至此 ,無論是“博士“講師 ,還是“教授“助教 ,其今日教師應具有的根本概念都具有了。與當今“教師一稱最接近的“老師概念 ,最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學 ,穎悟非凡貌 ,屬句有夙性 ,說字驚老師。于是看 ,宋元時期小學教師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師 ,而一般學堂里的先生那么稱為“教師或“教習?？梢?,“教師一說是比擬晚的事了。如今體會 ,“教師的含義比之“老師一說 ,具有資歷和學識程度上較低一些的差異。辛亥革命后 ,教師與其他官員一樣依法令任命 ,故又稱“教師為“教員。6、基于對數(shù)學本質特征的上述認識 ,

15、人們也從不同側面討論了數(shù)學的具體特點。比擬普遍的觀點是 ,數(shù)學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點 ,其中最本質的特點是抽象性。A ,。亞歷山大洛夫說 ,“甚至對數(shù)學只有很淺薄的知識就能容易地覺察到數(shù)學的這些特點：第一是它的抽象性 ,第二是精確性 ,或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論確實定性 ,最后是它的應用的極端廣泛、性 ,王粹坤說 ,“數(shù)學的特點是：內(nèi)容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必這種看法主要從數(shù)學的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學的作用等方面來理解數(shù)學的特點 ,是數(shù)學特點的一個方面。另外 ,從數(shù)學研究的過程方面、數(shù)學與其它學科之間的關系方面來看 ,數(shù)學還有形象性、似真性、擬

16、經(jīng)驗性?！翱勺C偽性的特點。對數(shù)學特點的認識也是有時代特征的 ,例如 ,關于數(shù)學的嚴謹性 ,在各個數(shù)學歷史開展時期有不同的標準 ,從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系 ,關于嚴謹性的評價標準有很大差異 ,尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理以后 ,人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴謹?shù)目茖W方法也是有缺陷的。因此 ,數(shù)學的嚴謹性是在數(shù)學開展歷史中表現(xiàn)出來的 ,具有相對性。關于數(shù)學的似真性 ,波利亞在他的?數(shù)學與猜測?中指出 ,“數(shù)學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面 ,以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學 ,好似是僅含證明的純論證性的材料 ,然而 ,數(shù)學的創(chuàng)造過程是

17、與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的 ,在證明一個數(shù)學定理之前 ,你先得猜測這個定理的內(nèi)容 ,在你完全作出詳細證明之前 ,你先得推測證明的思路 ,你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比你得一次又一次地進行嘗試。數(shù)學家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理 ,即證明；但是這個證明是通過合情推理 ,通過猜測而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的創(chuàng)造過程的話 ,那么就應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢?。正是從這個角度 ,我們說數(shù)學確實定性是相對的 ,有條件的 ,對數(shù)學的形象性、似真性、擬經(jīng)驗性。“可證偽性特點的強調 ,實際上是突出了數(shù)學研究中觀察、實驗、分析。比擬、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。我國古代

18、的讀書人,從上學之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學語文教學效果差,中學語文畢業(yè)生語文水平低,十幾年上課總時數(shù)是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學本國語文,卻是大多數(shù)不過關,豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中水平以上的學生都知道議論文的“三要素是論點、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本結構:提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫