第12周第二節(jié)中值定理

1、第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù). 若對于一點(diǎn)若對于一點(diǎn) 存在它的某一鄰域存在它的某一鄰域 使得使得則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) f(x)的的極大值極大值, 是是 f(x)的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn).0( , ),xa b 00(,) (0),xx 000( )(),(,),1f xf xxxx 0()f x0 x則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) f(x)的的極小值極小值, 是是 f(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn).000( )(),(,),2f xf xxxx 0()f x0 x0000( )( )( )()0f xxf xxf xxfx設(shè)在 附近有定義

2、，若在 達(dá)到極值，且在 可導(dǎo)，則切線是水平的（平行于X軸）0 x0 x0 x0 x0 x0 xOOxxyy 2 費(fèi)馬定理xyo)(xfy ab1 2 ba幾何解釋幾何解釋: :.0位于水平位置的那一點(diǎn)位于水平位置的那一點(diǎn)續(xù)滑動時(shí)，就必然經(jīng)過續(xù)滑動時(shí)，就必然經(jīng)過，當(dāng)切線沿曲線連，當(dāng)切線沿曲線連率為率為顯然有水平切線，其斜顯然有水平切線，其斜曲線在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)曲線在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)換句話說，若函數(shù)換句話說，若函數(shù)f f( (x x) )在其極值點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)處在其極值點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)處必存在唯一的一條平行于必存在唯一的一條平行于x x軸的切線。軸的切線。注意：注意：當(dāng)當(dāng)f(x)可微時(shí)，條件可

3、微時(shí)，條件“f (x)=0”只是只是f(x)存在極值的必要存在極值的必要條件，而非充分條件。即導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)。條件，而非充分條件。即導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)。3 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 則在開區(qū)間則在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得使得 ( )( )( )().f bf afba 證證: 如圖如圖，直線直線AB的方程為的方程為( )( )( )(),f bf ayf axaba ab1 xoy)(xfy ABC拉格朗日中值定理

4、拉格朗日中值定理的幾何意義：的幾何意義： 如果連續(xù)曲線( )yf x 的弧AB上除端點(diǎn)外處處 有不垂直于有不垂直于 x 軸的切線，那么曲線弧軸的切線，那么曲線弧 AB上至少上至少 有一點(diǎn)有一點(diǎn) C, 使曲線在點(diǎn)使曲線在點(diǎn)C 處的切線平行弦處的切線平行弦 AB . ab1 2 xoy)(xfy ABCD推論推論若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足( )0,fx 則則( )f x在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù).( )f x證：證： 在在 I 上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)1212,(),xxxx 12,xx在在上上用用拉拉格朗日中值公式格朗日中值公式 , 得得0 21()()f xf x 21( )(

5、)fxx 12()xx 21()(),f xf x由由 的任意性知的任意性知, 12,xx( )f x在在 I 上為常數(shù)上為常數(shù) .因此有因此有( )( )0.f xCfx 拉格朗日拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813）簡介： 據(jù)拉格朗日本人回憶，幼年家境富裕，可能不會作數(shù)學(xué)研究，但到青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家F.A.雷維里（R-evelli）指導(dǎo)下學(xué)幾何學(xué)后，萌發(fā)了他的數(shù)學(xué)天才。17歲開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。他的學(xué)術(shù)生涯可分為三個(gè)時(shí)期：都靈時(shí)期（1766年以前）、柏林時(shí)期（17661786）、巴黎時(shí)期（17871813）。 拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)

6、科中都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過500篇。 拉格朗日的學(xué)術(shù)生涯主要在18世紀(jì)后半期。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)是自然科學(xué)主體。數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分析，以歐洲大陸為中心；物理學(xué)了主流是力學(xué)；天文學(xué)的主流是天體力學(xué)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而力學(xué)和天體力學(xué)的課題又成為數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動力。當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)代表人物都在此三個(gè)學(xué)科做出了歷史性重大貢獻(xiàn)。 拉格朗日是18世紀(jì)的偉大科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中都有歷史性的重大貢獻(xiàn)。但主要是數(shù)學(xué)家，他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基

7、礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用。使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，而不僅是其他學(xué)科的工具。同時(shí)在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析上也起了歷史性的作用，促使力學(xué)和天文學(xué)（天體力學(xué)）更深入發(fā)展。由于歷史的局限，嚴(yán)密性不夠妨礙著他取得更多成果。若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 ( )( ),f af b 則在開區(qū)間則在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得使得 ( )0.f 羅爾羅爾（Rolle，16521719）簡介：羅爾是法國數(shù)學(xué)家。1652年4月21

8、日生于昂貝爾特，1719年11月8日卒于巴黎。羅爾出生于小店家庭，只受過初等教育，且結(jié)婚過早，年輕時(shí)貧困潦倒，靠充當(dāng)公證人與律師抄錄員的微薄收入養(yǎng)家糊口，他利用業(yè)余時(shí)間刻苦自學(xué)代數(shù)與丟番圖的著作，并很有心得。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家奧扎南提出一個(gè)數(shù)論難題，受到了學(xué)術(shù)界的好評，從而名身雀起，也使他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，此后擔(dān)任初等數(shù)學(xué)教師和陸軍部行征官員。1685年進(jìn)入法國科學(xué)院，擔(dān)任低級職務(wù)，到1690年才獲得科學(xué)院發(fā)給的固定薪水。此后他一直在科學(xué)院供職，1719年因中風(fēng)去世。羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)方面，專長于丟番圖方程的研究。羅爾所處的時(shí)代正當(dāng)牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由于這一新生

9、事物不存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對派中最直言不諱的一員。1700年，在法國科學(xué)院發(fā)生了一場有關(guān)無窮小方法是否真實(shí)的論戰(zhàn)。在這場論戰(zhàn)中，羅爾認(rèn)為無窮小方法由于缺乏理論基礎(chǔ)將導(dǎo)致謬誤，并說：“微積分是巧妙的謬論的匯集”。瓦里格農(nóng)、索弗爾等人之間，展開了異常激烈的爭論。約翰.貝努利還諷刺羅爾不懂微積分。由于羅爾對此問題表現(xiàn)得異常激動，致使科學(xué)院不得不屢次出面干預(yù)。直到1706年秋天，羅爾才向瓦里格農(nóng)、索弗爾等人承認(rèn)他已經(jīng)放棄了自己的觀點(diǎn)，并且充分認(rèn)識到無窮小分析新方法價(jià)值。羅爾于1691年在題為任意次方程的一個(gè)解法的證明的論文中指出了：在多項(xiàng)式方程 的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，方程 至少有一個(gè)根。一百多