第二章IIR數字濾波器設計all(2009)

1、2.1 濾波器的基本概念濾波器的基本概念2.2 模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器設計2.3 模擬高通、帶通及帶阻濾波器設計模擬高通、帶通及帶阻濾波器設計2.4 從模擬濾波器到數字濾波器的轉換從模擬濾波器到數字濾波器的轉換2.5 數字高通、帶通及帶阻濾波器設計數字高通、帶通及帶阻濾波器設計1. 1. 濾波原理濾波原理)(nx)(ny( )h n)()()(nhnxny )()()( jjjeHeXeY | )(| )( jeYc| )(| )( jeXa| )(| )( jeHb( )( )( )|,|ccx nh ny n 通通過過系系統(tǒng)統(tǒng)后后使使輸輸出出中中不不再再含含有有的的頻頻率率成成分

2、分 而而使使的的成成分分不不失失真真的的通通過過. 信號信號中的有用成分和希望去除的成分各自中的有用成分和希望去除的成分各自, , 通過一個線性系統(tǒng)可將欲去通過一個線性系統(tǒng)可將欲去除的成分有效去除除的成分有效去除. .低通低通(LP), 高通高通(HP),帶通帶通(BP), 帶阻帶阻(BS) 分類分類: : 10)()(NnnznhzHFIR DF NkkkMrrrzazbzH101)(IIR DF 從含有噪聲的數據記錄從含有噪聲的數據記錄(又稱時間序列又稱時間序列)中估計出信號的某些特征或信號本身中估計出信號的某些特征或信號本身. 維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性

3、預測、自適應濾波器預測、自適應濾波器通通帶帶截截止止頻頻率率:p 3. 3. 濾波器的技術指標濾波器的技術指標1 ：通帶允許的最大衰減；通帶允許的最大衰減；阻帶截止頻率阻帶截止頻率:s 實際低通實際低通：阻帶內應達到的最小衰減阻帶內應達到的最小衰減2 理想低通理想低通高通：高通：低通：低通：帶通：帶通：帶阻：帶阻：p s pasa)( a1( )20lg20lg|()|()|jjH eH e 單位 (dB)技術指標還常用表示4. DF 設計流程1）根據實際需要確定技術指標；）根據實際需要確定技術指標；wp=49.0, 51.0Hzws=49.5, 50.5Hzwp=20Hz,ap=0.1dBw

4、s=30Hz, as=30dB2) 用一個用一個、系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數H(z)去去逼逼 近這個指標；近這個指標；3) 實現：結構的選擇，硬件或軟件。實現：結構的選擇，硬件或軟件。 10)()(NnnznhzHFIR DF NkkkMrrrzazbzH101)(IIR DF5. IIR DF 5. IIR DF 設計方法設計方法1）先設計模擬濾波器，再轉換成數字濾波器；）先設計模擬濾波器，再轉換成數字濾波器；2) 利用計算機輔助設計，直接設計數字濾波利用計算機輔助設計，直接設計數字濾波器。器。p s pasa)( a1( )20lg20lg|()|()|jjH eH e 單位 (dB)技術技術指標還

5、常用指標還常用表示表示)(sHa給定給定濾波器的技術指標濾波器的技術指標設計低通濾波器設計低通濾波器,psps使其衰減函數使其衰減函數2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa在在 處達到處達到sp ,spaa ,幅度平方函數幅度平方函數N 階數，階數， -3dB頻率頻率cNcajH22)(11| )(| 定義：定義： 幅度平方函數幅度平方函數不同不同N時的時的2| )(| jHa根據給定的指標根據給定的指標ssppaa,;, NcajH22)(11| )(| 由：由：2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa有：有：)(1lg10)(2Nca 2. 2

6、. 求求 和和 Nc)(1lg102Ncppa )(1lg102Ncssa 通帶條件通帶條件)/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN 求得求得：阻帶條件阻帶條件c3. 3. 確定確定)(sHaNcajH22)(11| )(| sjaaajHjHjH | )()(| )(|*2由：由：得：得：NcaajssHsH2)(11)()( 共共2N個極點個極點N取左半平面的取左半平面的 個賦予個賦予 ， 右半平面的右半平面的 個賦予個賦予 N)(sHa)( sHa12 , 1 , 0,2)12(2 NkesNkjck 2Nc即即 個極點均勻分布在個極點均勻分布在 平面半

7、徑為平面半徑為的圓上。的圓上。N=3N=4 10)()(NkkcNasssH為了設計方便。將頻率用為了設計方便。將頻率用 歸一化歸一化c 10)(1)(NkckcasssH歸一化傳遞函數歸一化傳遞函數 10)(1)(NkkapppHcspaapHsH | )()(Step1. 由由求求 和和 Ncssppaa,;, N, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s) )/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa Step2. 求歸一化極點和傳遞函數求歸一化極點和傳遞函數12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkj

8、k 10)(1)(NkkapppHz, p, k=buttap(N) b,a=zp2tf(z,p,k)Step3. 反歸一化，得到反歸一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) cspaapHsH | )()(,0,1,1kkcspkN 例6.2.1： 設計Butterworth LP AF Step1. dBakHzfdBakHzfsspp30,12;2,5 求求 和和 Nc)/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa N, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s) =5)/(015. 62sk

9、radc P158 butterlp1.mStep2. 求歸一化極點和傳遞函數求歸一化極點和傳遞函數12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkjk N-101( )()akkHppp z, p, k=buttap(N) p = -0.3090 + 0.9511i -0.3090 - 0.9511i -0.8090 + 0.5878i -0.8090 - 0.5878i -1.0000 b,a=zp2tf(z,p,k)b = 0 0 0 0 0 1a=1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 12361. 32361. 52361. 52361.

10、31)(2345 ppppppHaStep3. 反歸一化，得到反歸一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) 12361. 32361. 52361. 52361. 31)(2345 ppppppHacspaapHsH | )()(5423324552361. 32361. 52361. 52361. 3ccccccsssss 4.Butterworth4.Butterworth濾波器的特點濾波器的特點NcajH22)(11| )(| 0)0(,1| )(|,02 ajHa（1）無衰減無衰減dBajHccac3)(,5 . 0| )(|,2 （2）即在通帶內越平即在通帶內越平

11、慢，慢，下降下降大大 2| )(|,jHNa單單調調下下降降2| )(|,0 jHac（3）仍仍單單調調下下降降2| )(|, jHac（4)NcajH22)(11| )(| 但比通帶內衰減速度加快，但比通帶內衰減速度加快，N越越大，衰減速度越大大，衰減速度越大)(sHa給定給定濾波器的技術指標濾波器的技術指標設計低通濾波器設計低通濾波器,psps使其衰減函數使其衰減函數2| )(|1lg10| )(|1lg20)( jHjHaaa在在 處達到處達到sp ,spaa ,幅度平方函數幅度平方函數Step1. 由由求求 和和 Ncssppaa,;, N, Wc = buttord(Wp, Ws,

12、Ap, As, s) )/lg()110/()110lg(211 . 01 . 0spaaspN )(1lg102Ncssa NcajH22)(11| )(| Step2. 求歸一化極點和傳遞函數求歸一化極點和傳遞函數12 , 1 , 0,2)12(2 NkepNkjk 10)(1)(NkkapppHz, p, k=buttap(N) b,a=zp2tf(z,p,k)Step3. 反歸一化，得到反歸一化，得到)(sHaB, A=lp2lp(b, a, Wc) cspaapHsH | )()(,0,1,1kkcspkN 由于由于Chebyshev 濾波器將允許的衰減均勻濾波器將允許的衰減均勻分布

13、于整個通帶內，所以，對于同樣的指分布于整個通帶內，所以，對于同樣的指標，所需的階數較少。標，所需的階數較少。切比雪夫多項式：切比雪夫多項式：)(11| )(|222pNaCjH N 為階數，為階數， 為通帶截止為通帶截止頻率頻率1. 1. 定義：幅度平方函數定義：幅度平方函數p 1,)(1,)arccos(cos()(pppppNNarcchchNC222111| )(|,1)(010 jHCapNp，通通帶帶內內，)(11| )(|222pNaCjH 單調下降單調下降單調上升單調上升，阻帶內，阻帶內，22| )(|,)(1 jHCapNp2. 2. 求求 和和 N根據給定的指標根據給定的指標

14、ssppaa,;, )(11| )(|222pNaCjH 1lg10)(22 pNCa 1)(, pNpC1lg102 pa1101 . 0 pa 由通帶條件由通帶條件由阻帶條件求由阻帶條件求 N1lg1022 psNsCa 21 . 02/ )110()( sapsNC21 . 02/ )110()( sapsNarcchch)()/110(1 . 0psaarccharcchNs 3. 求極點，確定求極點，確定)(sHa)(11| )(|222pNaCjH )(11)()(22pNaajsCsHsH 可導出，可導出，2N個極點分布在短軸為個極點分布在短軸為 ，長軸，長軸在在 的橢圓上的橢圓

15、上papb)(2111NNa )(2111NNb 1112 實際轉移函數為實際轉移函數為 反映反映了實際頻率了實際頻率歸一化歸一化傳遞函數傳遞函數p NiiNapppH11)(21)( NipiNNpspaapspHsHp11)(2| )()( 例6.2.2： 設計Chebyshev LP AF N, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap, As, s) dBakHzfdBakHzfsspp60,12;1 . 0,5 Step1. 求求 和和 N1101 . 0 pa )()/110(1 . 0psaarccharcchNs Step2. 求歸一化極點和傳遞函數求歸一化極點和傳遞函

16、數z, p, k=cheb1ap(N，Ap) b,a=zp2tf(z,p,k) NiiNapppH11)(21)( 1101 . 0 pa Step3. 反歸一化，得到反歸一化，得到B, A=lp2lp(b, a, Wc) )(sHa NipiNNpspaapspHsHp11)(2| )()( 【例2】 cheb1lp.ml1. 階次計算函數；階次計算函數；l(1) Butterworth模擬濾波器模擬濾波器lN, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s)；l(2) Chebyshev I型模擬濾波器型模擬濾波器lN, Wc = cheb1ord(Wp, Ws, Ap,

17、As, s)l(3) Chebyshev II型模擬濾波器型模擬濾波器lN, Wc = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As, s)l(4) 橢圓濾波器橢圓濾波器lN, Wc = ellipord(Wp, Ws, Ap, As, s)l其中：其中：Wp, Ws分別是通帶和阻帶的截止分別是通帶和阻帶的截止頻率，單位為弧度頻率，單位為弧度/秒。對低通和高通，秒。對低通和高通，Wp, Ws都是標量，對帶通和帶阻，都是標量，對帶通和帶阻，Wp, Ws是是12的向量。的向量。Ap, As 分別是通帶和分別是通帶和阻帶的衰減阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應低通濾是求出的相應低通濾波器的階次，波

18、器的階次，Wc是求出的是求出的3dB頻率，它頻率，它和和Wp稍有不同。稍有不同。 l(1) Butterworth模擬濾波器模擬濾波器lz, p, k=buttap(N)；l l(2) Chebyshev I型模擬濾波器型模擬濾波器lz, p, k=cheb1ap(N,Ap)l(3) Chebyshev II型模擬濾波器型模擬濾波器lz, p, k= cheb2ap (N,As) l(4) 橢圓濾波器橢圓濾波器l z, p, k=ellipap(N,Ap,As) 模擬高通模擬高通, 帶通帶通, 帶阻濾波器設計流程帶阻濾波器設計流程設計模擬設計模擬濾波器濾波器G(p)G(p)頻率轉換頻率轉換得到

19、得到或或濾波器濾波器H(s)H(s)的技術指標的技術指標,pspsaa 濾波器技濾波器技術指標術指標頻率轉換頻率轉換,pspsaapqs頻率轉換頻率轉換,pspsaa ,pspsaa給定給定HPHP、BPBP或或BSBS的技術指標的技術指標 jssHa, )(歸一化歸一化 jqqHa , )(LPLP技術指標技術指標 jssG, )(歸一化歸一化 jppG , )(,pspsaa頻率轉換頻率轉換,psps ,psps 給定給定HP、BP或或BS的技術指標的技術指標 jssHa, )(歸一化歸一化 jqqHa , )(LP技術指標技術指標 jssG, )(歸一化歸一化 jppG , )(想辦法實

20、現高通到低通的轉換想辦法實現高通到低通的轉換：高通幅頻高通幅頻給定高通濾波器的技術指標給定高通濾波器的技術指標：,pspsaa先作頻率歸一化先作頻率歸一化：,1,1pps 10sp01sp1/( )( )|( )|ppq spsH sH qG p于是可得到模擬高通濾波器的轉移函數于是可得到模擬高通濾波器的轉移函數【例6.2.3】 butterhp1.m11jjj1pq1/( )( )|pqH qG p對帶通濾波器，如何實現頻率的歸一化對帶通濾波器，如何實現頻率的歸一化定義：定義：有有 ：31BWBW 用帶寬歸一化1s 2s 1 3 2 1s 2s 1 3 2 213 然后要實現然后要實現技術指

21、標到技術指標到的轉換。關鍵問題是找到的轉換。關鍵問題是找到 對應關系：對應關系： 0spps 與 的轉換關系0spps 1230slsh 1230slsh 2213 222 ,pspsaa 由由設計歸一化低通設計歸一化低通 jppG , )(BW/( )( ) |aaq sHsHq 222 2222222132222( / )( / )()()( /)BWBWBWq jpjjjq jsqqs 21331()sps 21331()( )( )|spsH sG p N階低通濾波器轉換到帶通后階低通濾波器轉換到帶通后, 階次變?yōu)殡A次變?yōu)?N?！纠?】 cheb1bp.m帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通

22、濾波器帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波器定義：定義：有有 ：31BWBW 2312000sppsshsl 22/1322p312221,1,p ( )( )得得到到中中的的 和和中中之之間間的的對對應應關關系系為為G ppH ss31213()sps 帶帶阻阻濾濾波波器器的的轉轉移移函函數數為為31213()( )( )|spsH sG p l1. 階次計算函數；階次計算函數；l(1) Butterworth模擬濾波器模擬濾波器lN, Wc = buttord(Wp, Ws, Ap, As, s)；l(2) Chebyshev I型模擬濾波器型模擬濾波器lN, Wc = cheb1ord(W

23、p, Ws, Ap, As, s)l(3) Chebyshev II型模擬濾波器型模擬濾波器lN, Wc = cheb2ord(Wp, Ws, Ap, As, s)l(4) 橢圓濾波器橢圓濾波器lN, Wc = ellipord(Wp, Ws, Ap, As, s)l其中：其中：Wp, Ws分別是通帶和阻帶的截止分別是通帶和阻帶的截止頻率，單位為弧度頻率，單位為弧度/秒。對低通和高通，秒。對低通和高通，Wp, Ws都是標量，對帶通和帶阻，都是標量，對帶通和帶阻，Wp, Ws是是12的向量。的向量。Ap, As 分別是通帶和分別是通帶和阻帶的衰減阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應低通濾是求出的相

24、應低通濾波器的階次，波器的階次，Wc是求出的是求出的3dB頻率，它頻率，它和和Wp稍有不同。稍有不同。 l(1) Butterworth模擬濾波器模擬濾波器lz, p, k=buttap(N)；l l(2) Chebyshev I型模擬濾波器型模擬濾波器lz, p, k=cheb1ap(N,Ap)l(3) Chebyshev II型模擬濾波器型模擬濾波器lz, p, k= cheb2ap (N,As) l(4) 橢圓濾波器橢圓濾波器l z, p, k=ellipap(N,Ap,As) 將模擬低通原型轉換為實際的低通、高通、帶將模擬低通原型轉換為實際的低通、高通、帶通及帶阻濾波器。通及帶阻濾波器

25、。l(1) B, A=lp2lp(b, a, wc),l(2) B, A=lp2hp(b, a, wc)l(3) B, A=lp2bp(b, a, wo, Bw),l(4) B, A=lp2bs(b, a, wo, Bw)l b, a 是是AF LP 的分子、分母的系數向量，的分子、分母的系數向量，B, A是轉換后的的分子、分母的系數向量；在是轉換后的的分子、分母的系數向量；在（1）、（）、（2）中，）中，wc是低通或高通濾波器的截是低通或高通濾波器的截止頻率；在（止頻率；在（3）、（）、（4）中，）中，wo是帶通或帶阻是帶通或帶阻濾波器的中心頻率，濾波器的中心頻率，Bw是其帶寬。是其帶寬。

26、(1) Butterworth模擬濾波器模擬濾波器lb,a=butter(N,Wc,s) % 低通或帶通低通或帶通lb,a=butter(N,Wc,high,s) %高通高通lb,a=butter(N,Wc,stop,s) %帶阻帶阻 (2) Chebyshev I型模擬濾波器型模擬濾波器lb,a= cheby1 (N,Ap,Wc,s) % 低通或帶通低通或帶通lb,a= cheby1 (N,Ap,Wc,high,s) %高通高通lb,a= cheby1(N,Ap,Wc,stop,s) %帶阻帶阻 l(3) Chebyshev II型模擬濾波器型模擬濾波器lb,a= cheby2 (N,As,

27、Wc,s) % 低通或帶通低通或帶通lb,a= cheby2 (N,As,Wc,high,s) %高通高通lb,a= cheby2(N,As,Wc,stop,s) %帶阻帶阻l (4) 橢圓濾波器橢圓濾波器lb,a= ellip(N,Ap,As,Wn,s) % 低通或帶通低通或帶通lb,a= ellip (N,Ap,As,Wn,high,s) %高通高通lb,a= ellip(N,Ap,As,Wn,stop,s) %帶阻帶阻 l舉例舉例 lSmp311Butterworth Analog bandpass filter smp306Chebyshev Analog bandpass filte

28、r沖激響應不變法沖激響應不變法雙線性變換法雙線性變換法sz( )H s( )H z（1) 1) 穩(wěn)定，穩(wěn)定， )(sHa)(zH穩(wěn)定穩(wěn)定要求：要求：(2) | )(| jHa| )(| jeH1. 1. 原理原理( (principle)principle)AF的微分方程的微分方程DF的差分方程的差分方程2. 2. )(zH)(sHa(Bilinear Transform)(sHaL)(zHZ（1)1)()()(001txdtyCdttdyC 010)()()(CsCdsXsYsHa 2)1()(2)1()()1()(001TnxnTxdTnynTyCTTnynTyCAF微分方程微分方程（2)

29、2)微分方程微分方程 差分方程差分方程（3)3) Z變換變換)()1 (2)()1 (2)()1 (101011zXzdzYzCzYzTC)()1 (2)()1 (2)()1 (101011zXzdzYzCzYzTC)1(2)1()1(2)()()(101110 zCzTCzdzXzYzH01110112)(cczzTdzH 010)(CsCdsHa 11112 zzTs)(sHa)(zHsTsTz 223. S3. S與與Z Z平面的映射關系平面的映射關系11112 zzTs11112zzTs（1)1)S 平面的虛軸平面的虛軸 Z平面的單位圓平面的單位圓設設 jez )2tan(2)2cos

30、()2sin(2112 jTjTeeTjsjj )2tan(2,0 T jezr ,1非線性關系非線性關系一對一轉換一對一轉換)2tan(2 T （2)2) S 平面的左半平面平面的左半平面 Z平面的單位圓內平面的單位圓內S 平面的右半平面平面的右半平面 Z平面的單位圓外平面的單位圓外 jTjTsTsTz)2()2(22 2222)2()2(| TTz 1|,01|,0zz則則則則 4. 4. 評價評價（3) 3) 頻率變換非線性頻率變換非線性（1) 1) 穩(wěn)定，穩(wěn)定， )(sHa)(zH穩(wěn)定穩(wěn)定（2)2)無混疊失真無混疊失真)2tan(2T解決方法：解決方法：“預畸預畸”AF DF 幅頻特性

31、產幅頻特性產生畸變生畸變 。 和和 的非線的非線性關系稱為頻率的畸性關系稱為頻率的畸變。變。上述上述 和和 的非線性關系又稱為頻率的非線性關系又稱為頻率的預變形（的預變形（Freq. Warping) 。例如。例如 ： DF:100Hz,300Hz,1000Hz0.2 ,0.6 ,2AF:tan(/2)685.82109(Hz)2tan(/2)2452.762438(Hz)psspsppssssffFTT 設計的設計的 AF 并不是按給定的技術指標，但再并不是按給定的技術指標，但再由由 變回變回 后，保證了后，保證了 DF的技術要求。的技術要求。sz),2/tan(2),2/tan(2sssp

32、spTT ,psps 給給定定 D D F F 技技術術指指標標Step1.Step2. 將將DF指標轉換成指標轉換成AF指標指標：Step3.).()2(sH設設計計模模擬擬濾濾波波器器Step4.11112)|()(zzTssHzHbilinear bilinear 雙線性變換雙線性變換實現模擬濾波器到數字濾波器的變換。實現模擬濾波器到數字濾波器的變換。Bz, Az=impinvar(B, A, Fs) Bz, Az=bilinear(B, A, Fs)式中式中B, A分別是模擬濾波器傳遞函數分別是模擬濾波器傳遞函數G（s）的分子、分母多項式的系數向量，的分子、分母多項式的系數向量， Bz

33、, Az分別是數字濾波器系統(tǒng)函數分別是數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)的分子、的分子、分母多項式的系數向量，分母多項式的系數向量，Fs是抽樣頻率。是抽樣頻率。 Impinvar Impinvar 沖激沖激響應不變法應不變法 【例【例7.5.1】設計】設計 IIR LP DF DF :100Hz,300Hz,1000HAF :2109(Hz),2438(Hz)psspsffF 3dB,20dB,ps%MATLAB PROGRAM example751_p228 給出給出數字高通數字高通的技術要求的技術要求)(zHdhpspsp , 得到得到模擬高通模擬高通的技術要求的技術要求)(sHahpspsp ,

34、 得到得到模擬低通模擬低通的技術要求的技術要求)(pGspsp ,)2tan(2 T 1stepp 1 2step設計出設計出)(pG3stepspp 4step 得到得到模擬高通轉移模擬高通轉移函數函數)(sHahp5step最后得到最后得到數字高通轉移數字高通轉移函數函數)(zHdhp數字高通濾波器設計步驟數字高通濾波器設計步驟11112 zzTs例例6.5.16.5.1： 設計一設計一Butterworth DF HP Butterworth DF HP p183 p183Step2. 將將DF HP 指標轉換成指標轉換成AF HP 指標：指標：Step3.dBapp3,8 . 0 dBass15,44. 0 Step1.DF HP 指標指標sradpp/155.6)2tan(2 sradss/655. 1)2tan(2 1 T設設將將AF HP 指標轉換成指標轉換成AF LP 指標：指標：163. 0155. 61 p604. 0655. 11 s2N 121)(2 pppG求出：求出：Step4.設計歸一化設計歸一化AF LPStep5.Step6.將將AF LP 轉換成轉換成AF HP (含反歸一化含反歸一化)222( )( )|2capsccsHsG pss 將將AF HP 轉換成轉換成DF HP11112| )()( zzsasHzH 階次計算函數階次計算