差分方程模型

1、 差分方程模型差分方程模型第四講第四講 養(yǎng)老保險養(yǎng)老保險 第一講第一講 差分方程差分方程第二講第二講 蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型第三講第三講 商品銷售量預(yù)測商品銷售量預(yù)測1、差分方程簡介、差分方程簡介t 規(guī)定 只取非負整數(shù)，記 為變量在 點的取值，則稱 為 的一階向前差分，稱為 的二階差分。 由 、 及 的差分給出的方程稱為 的差分方程。其中含 的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式，例如二階差分方程 可以寫成ttytttyyy1tytttttttyyyyyyy12122)(tyttttytytyty02tttyyy012tttyyy 滿足一階差分方程的序列 稱為差分

2、方程的解，若解中含有獨立的常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)時，稱此解為該差分方程的通解。 稱如下形式的差分方程 為 階常系數(shù)線性差分方程，其中 是常數(shù)， 。其對應(yīng)的齊次方程為ty)(110tbyayayatnntntnnaaa,1000a0110tnntntyayaya 求非齊次常系數(shù)線性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解對應(yīng)的特征方程 2.根據(jù)特征根的不同情況，求解齊次方程的通解 若特征方程有 個不同的實根 ，則齊次方程的通解為 ； 若 是特征方程的 重實根，則齊次方程的通解為 ； 若特 征方程有單重復(fù)根 ，則齊次方程的通解為 ，其中 為 的模， 為 的幅角； 0110nnnaaann,1tnn

3、tcc11ktkktcc)(11itctcttsincos1122arctan 若特征方程有 重復(fù)根 ，則齊次方程的通解為 3.求非齊次方程的一個特解 ，若 為齊次方程的通解，則非齊次方程的通解為 。 對特殊形式的特解 可以使用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解。例如 ， 為 的 次多項式時可以證明：若 不是特征根，則非齊次方程有形如 的特解， 也是 的 次多項式；若 是 重特征根，則非齊次方程有形如 的特解。進而可以用待定系數(shù)法求出 ，從而得到非齊次方程的一個特解。kittccttcctkktkksin)(cos)(1111tytyttyy )(tb)()(tpbtbkt)(tpktkb)(tqb

4、kt)(tqktkbr)(1tqtbkrt)(tqk例例1. 1. 求解兩階差分方程求解兩階差分方程 解 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，其特征根為 ，故齊次方程的通解為，原方程有形如 的特解，帶入原方程求得 ，所以原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問題時，需要討論解的穩(wěn)定性。對常系數(shù)非齊次線性差分方程，若不論其對應(yīng)齊次方程的通解中的任意常數(shù)如何取值，當 時， ，則稱方程的解是穩(wěn)定的。tyytt2012i2, 1tctcyt2sin2cos21bat 2/1, 2/1ba21212sin2cos21ttctct0ty2、常系數(shù)線性差分方程的、常系數(shù)線性差分方程的 變換解法變換解法 采用上述解析解法求

5、解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較繁瑣，下面介紹 變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程去求解 設(shè)有離散序列 ，則 的 變換定義為其中 是復(fù)變量，上式右端的級數(shù)的收斂域是某個圓的外部 的 反變換記作 ZZ, 1 , 0),(kkx)(kxZ0)()()(kkzkxkxZzXz)(zXZ)()(1zXZkx幾個常用離散函數(shù)的幾個常用離散函數(shù)的 變換變換 (3) 單邊指數(shù)函數(shù) 的 變換( 為不等于1的正常數(shù))(1) 單位沖激函數(shù) 的 變換(2) 單位階躍函數(shù) 的 變換Z0011 )()(kkkkzzkkZ)(kZ)(kUZ) 1|(|11)()(00zzzzzkUkUZkkkkkakf)(Za)|(|0aza

6、zzzaaZkkkk(1)線性性質(zhì) 設(shè) ，則 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(2)平移性質(zhì)：設(shè) ，則Z)()(),()(2211zXkxZzXkxZ)()()()(2121zbXzaXkbxkaxZ)()(zXkxZ)0()()1(xzXzkxZ)()()(10NkkNzkxzXzNkxZ) 1()()1(1zxzXzkxZ)()()(1NkkNzkxzXzNkxZ例例2. 2. 求解齊次差分方程求解齊次差分方程 解 令 ，對差分方程取 變換得 對上式取 反變換，便得差分方程的解為1) 1 (, 0)0(, 0)(2) 1(3)2(xxkxkxkx)()(zXkxZZ0)(2)(3)(2zXzzXzzX

7、z2123)(2zzzzzzzzXZkkkx)2() 1()(1、問題的提出、問題的提出 在自由競爭的社會中，很多領(lǐng)域會出現(xiàn)循環(huán)波動的現(xiàn)象。在經(jīng)濟領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種商品的價格的變化看到如下現(xiàn)象：在某一時期，商品的上市量大于需求，引起價格下跌，生產(chǎn)者覺得該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他商品，一段時間之后，隨著產(chǎn)量的下降，供不應(yīng)求又會導致價格上升，又會有很多生產(chǎn)商進行該商品的生產(chǎn)，隨之而來的是商品過剩，價格下降。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象會反復(fù)出現(xiàn)。 如何從數(shù)學的角度來描述上述現(xiàn)象呢？2、模型假設(shè)、模型假設(shè) (1)設(shè) 時段商品數(shù)量為 ，其價格為 ，這里把時間離散化為時段，一個時期相當于

8、商品的一個生產(chǎn)周期。 (2)同一時段的商品價格取決于該時段商品的數(shù)量，稱為需求函數(shù)。出于對自由經(jīng)濟的理解，商品的數(shù)量越多，其價格就越低。故可以假設(shè)需求函數(shù)為一個單調(diào)遞減函數(shù)。 (3) 下一時段的商品數(shù)量由上一時段的商品價格決定，稱為供應(yīng)函數(shù)，由于價格越高可導致產(chǎn)量越大，所以可以假設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)。kkxky)(kkxfy )(1kkygx3、模型求解、模型求解 在同一坐標系中同時做出供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的圖形，設(shè)兩條曲線相交于 則 為平衡點。因為此時 若某個 有 ，則可推出即商品的數(shù)量保持在 ，價格保持在 。不妨假設(shè) 下面考慮 在圖上的變化如右圖所示。),(000yxP0P)(),

9、(0000 xfyygxk0 xxk), 1( ,00kklxxyyll0 x0y01xx kkyx ,當 給定后，價格 由 上的 點決定，下一時段的數(shù)量 由 上的 點決定， 又可由 上的點 決定。依此類推，可得一系列的點圖上的箭頭表示求出 的次序，由圖知即市場經(jīng)濟趨于穩(wěn)定。1x1yf1P1P2xg2P2yff3P),(),(),(),(234223122111yxPyxPyxPyxPkPkP),(),(lim000yxPyxPkk并不是所有的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定的 和 的圖形如右圖所示，得到的就不趨于 ，此時市場經(jīng)濟趨于不穩(wěn)定。gfg,21PP0P圖1和圖2中的折線 形如蛛網(wǎng)

10、，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進行市場經(jīng)濟分析中， 取決于消費者對某種商品的需求程度及其消費水平， 取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。 當已知需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù)和 的性質(zhì)判斷平衡點 的穩(wěn)定性。當較小時， 的穩(wěn)定性取決于 和 在點 的斜率，即當時， 點穩(wěn)定。當時， 點不穩(wěn)定。,3221PPPPfgfg0P|01xx 0Pfg0P| )(| )(|00ygxf0P| )(| )(|00ygxf0P 這一結(jié)論的直觀解釋是，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利于經(jīng)濟穩(wěn)定。 設(shè) 在 點附近取 和 的線性近似，于是得從上兩式中消去 得 .| )(|1|,)(|00ygxf0Pfg)(00 xxy

11、ykk)(001yyxxkkky02231201201)1 ()()()()1)()()()1 (xxxxxxxxxkkkkkk以上 個式子相加，有若 是穩(wěn)定點，則應(yīng)有 ，所以 點穩(wěn)定的條件是同理 點不穩(wěn)定的條件是 01121022132)1 ()()()()1 ()()()(xxxxxxkkkkkkk011011)(1 )()()(1 )1 ()(xxxxxkkkkk0P0limxxkk0P10P14、模型修正、模型修正 在上述模型的基礎(chǔ)上，對供應(yīng)函數(shù)進行改進。下面在決定商品的生產(chǎn)數(shù)量 時，不僅考慮前一時期的價格 ，而且考慮了價格 ，取 ，在 附近取線性近似，則有于是得將上述兩式整理得到二階

12、線性差分方程 1kxky1ky)2(11kkkyygx0P)2(20101yyyxxkkk)(00 xxyykk)(0101xxyykk), 3 , 2( ,)1 (22011kxxxxkkk其特征方程為經(jīng)計算得其特征根結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，則 為穩(wěn)定點。當 時，該特征方程有兩個實根，因則有 ，故此時 不是穩(wěn)定點。當 時，特征方程有兩個共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的模的絕對值為02248)(22, 10P8448)(222|20P824)(84)(|2/1222, 1要使 點為穩(wěn)定點只需 與前面的模型的結(jié)果相比， 的范圍擴大了。這是由于經(jīng)營管理者的水平提高帶來的結(jié)果。0P2,商品銷售量預(yù)測商

13、品銷售量預(yù)測 在利用差分方程建模究實際問題時，常常需要根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)并用最小二乘法來擬合出差分方程的系數(shù)。其系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論要用到代數(shù)方程的求根。 例3 某商品前五年的銷售量見右表1?，F(xiàn)希望根據(jù)前五年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)預(yù)測第六年起該商品在各季度中的銷售量。第一第一 年年第二第二 年年第三第三 年年第四第四 年年第五第五 年年1111213151621618224253252627303241214151517 由于該問題的數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。 如果認為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或者前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。以第一季度為例，以 表示第 年第一季度的銷

14、售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。即選取 使得最小。根據(jù)這一方程可以迭代求解以后各年第一 季度銷售tyt32211ayayayttt321,aaa53232211ttttayayay量的預(yù)測值 。第7年銷售量預(yù)測值居然小于第6年的，稍作分析，不難看出，如分別對第一季度建立差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會相差甚大，但對同一種商品，這種差異應(yīng)當是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個共用于各個季度的差分方程，為此，將季度編號為 ，令 ，利用全體數(shù)據(jù)來擬合求擬合得到最好的系數(shù)。即求 使得最小。于是得二階差分方

15、程為由此式可得 ，這個結(jié)果還是較為可信的。,19,2176yy20, 2 , 1t38241ayayayttt321,aaa209238241321),(ttttayayayaaaQ)21( ,6957. 01941. 08737. 084tyyyttt1676.19,5869.172521yy1、問題的提出、問題的提出 某保險公司的一份材料指出，在每月交費200元至59歲年底，60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老保險金的約定下，男子若25歲開始投保，屆時月養(yǎng)老金2282元；假定人的壽命為75歲，是求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責任，每月應(yīng)至少有多少投資收益率 （也就是投保人的實際收益率）？ 2、模型的建立與求解、模型的建立與求解 設(shè)投保人在投保后第 個月所交保險費及利息的累計總額為 ，那么得到數(shù)學模型為分段表示的差分方程其中 分別為60歲前所交月保險費和60歲起所領(lǐng)取的月養(yǎng)老金的數(shù)目（月）， 是所交保險金獲得的利率， 分別是自投保起至停交保險費和至停領(lǐng)取養(yǎng)老金的時間（月），這里 ，可推出差分方程的解（這里 ），得 kkF1