貝葉斯公式公式在數學模型中的應用

1、哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）題目： 貝葉斯公式公式在數學模型中的應用院（系）理學院專 業(yè)數學與應用數學年 級2009級姓 名魯威學 號09031213指導教師張俊超職 稱講師2013 年 6月 1 日 目 錄摘 要1Abstract2前 言3第一章 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述51.1 貝葉斯公式與證明51.1 貝葉斯公式及其與全概率公式的聯(lián)系51.3 貝葉斯公式公式推廣與證明6貝葉斯公式的推廣61.4 貝葉斯公式的推廣總結7第二章 貝葉斯公式在數學模型中的應用82.1數學建模的過程82.2 貝葉斯中常見的數學模型問題92.2.1 全概率公式在醫(yī)療診斷中的應用9全概率公式在市場預測中的應

2、用11全概率公式在信號估計中的應用.14全概率公式在概率推理中的應用15全概率公式在工廠產品檢查中的應用162.3全概率公式的推廣在風險決策中的應用17背景簡介17風險模型18實例分析18第三章 總結213.1貝葉斯公式的概括213.2貝葉斯公式的實際應用21結束語22參考文獻23后 記24摘 要貝葉斯公式在概率論這本書中占有很高的位置，在概率論的運算中也有著不可替代的位置。本文詳細的對貝葉斯公式進行了深入的探究，而且列舉了一些生活中的實例來說明了他的運用以及他所使用的生活模型，便于以后我們更好深入的理解貝葉斯公式我們必須先要了解全概率公式以及它在實際生活中的運用。簡單的貝葉斯公式并不能滿足生

3、活中的需求，所以我們把貝葉斯公式進行了深入的了解，并用實際例子證明了貝葉斯公式推廣后的公式在生產生活中所適合的模型比以前的貝葉斯公式更加的廣闊。數學建模是一種科學的思維方法，隨著社會的發(fā)展，數學模型運用于各學科以及各領域.本文通過對一些典型題的分析研究?？傮w概括出貝葉斯公式和貝葉斯公式的推廣在數學模型中實際運用.構造數學模型更準確的利用貝葉斯公式求解問題的分析問題的方法、解決問題的步驟。關鍵詞 貝葉斯公式；全概率公式；數學模型；AbstractThe bayes formula is one important formulas in theory of probability, has a

4、important role in the calculation of probability theory. Carefully analyzed in this paper, the bayes formula, and illustrates his usage and the applicable scheme, in order to better understand the bayes formula we need to introduce the whole probability formula. In order to solve practical problems,

5、 we will be the bayes formula for promotion, promotion after the formula in practical application is illustrated by an example of the applicable model wider than the original formula. Mathematical modeling is a kind of scientific thinking method, with the development of the society, the mathematical

6、 model used in various disciplines, and in various fields. In this article, through analysis and study of some typical questions. Summarizes the bayes formula and bayes formula promotion application in mathematical model. Mathematical model is set up and better using the bayes formula to solve the p

7、roblem analysis, problem solving steps.Key words ：The bayes formula; Full probability formula; Mathematical model;前 言貝葉斯公式在概率論一書中占有很中要的位置，它集中用于計算相對繁瑣事件的發(fā)生概率,它本質上是乘法公式和加法公式的總體運用。概率論與數理統(tǒng)計是探索隨即狀況統(tǒng)計規(guī)律的一門現(xiàn)代數學學科出現(xiàn)于十幾世紀。從出現(xiàn)這一門學科以來，已經開始深入到各個科學領域當中并有著舉足輕重的位置。從十七世紀到現(xiàn)在很多國家對這個公式有了很多方面的研究。很長時間以來，由于許多這方面工作人員的積極工作

8、，使概率論與數理統(tǒng)計在理論方面有了更深一步的進展，在實際生活中的應用也更加的寬泛了，促成了大小不一的許多分支，在當代數學中有著不可替代的獨特位置。貝葉斯公式是在1763年由貝葉斯（Bayes）這位偉大的數學家發(fā)現(xiàn)的，它的實質是觀察到事件A已經出現(xiàn)的情況下，尋求致使A出現(xiàn)的每個原因的概率.這個公式在我們的生活中有很多的應用在論文中我將逐一介紹。貝葉斯公式可以有助于人們了解一個結果（事件 A）出現(xiàn)的最大的可能性。運用貝葉斯公式我們可以更加簡單明了的計算生活中遇到的一些數學問題，她在數學計算中有著很寬泛的應用。其本質就是在將各種前提引進的情況下，先將所給出的樣本空間分成若干份，并可以簡單明了的計算出

9、所需結果的概率，最后加以分析得出結果。在當今社會中，隨著發(fā)展的飛速前行，市場需求的突飛猛進，領導者不能在著眼于以前的生產信息，而是應該把過往的和現(xiàn)在的生產信息一同考慮分析，做出個比較全面的決策。決定性概率分析越來越顯示其重要性。而在其中貝葉斯公式的主要用途就是用于處理先驗概率與后驗概率，是進行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學、市場預測、信號估計、概率推理以及產品檢查等一系列不確定的問題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用貝葉斯公式來解決實際中的一些問題。然后將貝葉斯公式推廣，舉例說明推廣后的貝葉斯公式在實際應用中所適用的概型。概率論對醫(yī)學的滲透與結合，已成為現(xiàn)代醫(yī)學領域的顯著特征。

10、利用數學方法充分利用好貝葉斯公式及其推廣形式，定量的對醫(yī)學問題進行相關分析，使其結論更加有可信度，更有利于促進對病人的對癥施治。利用好貝葉斯公式可以用來解決投資、保險、工程等一些列問題中，公式及其推廣形式的正確應用有助于進一步研究多個隨機實驗中目標事件及其條件下誘發(fā)事件的概率，有助于把握隨機事件相互影響關系，為生產實踐提供更有價值的決策信息。靈活使用貝葉斯公式會給我們的解題帶來很大方便，而這些推廣形式將進一步拓展貝葉斯公式的適用范圍，稱為我們解決更復雜問題的有效工具。本文研究了六類數學模型，闡述了貝葉斯公式及推廣的全概率公式在：產品檢驗模型，銷售、決策模型，摸球模型，實際比賽模型，醫(yī)療診斷模型

11、，金融保險模型中的應用。財產保險的保險標準的復雜變性,使得保險精算中賠款額的估計異常重要,通過應用推廣的全概率公式,本文對存在保險責任判定概率的賠款額進行數學建模,并由計算實例來闡述相關結論.全概率公式在數學模型中的應用遠遠不止這些，本文只是從他的某些方面做了一個概括，總的說來，全概率公式是概率當中一個非常重要而且實用的一個公式，能夠在我們的生產實際中發(fā)揮著舉足輕重的作用。用數學方法，充分利用好全概率公式在數學模型中的應用與推廣形式。定量的對實際生活中的問題進行相關分析，使其結論更具可信度。更有利于促進對病人的對癥施治,利用好全概率公式可以用來解決投資,保險,工程等一系列不確定的問題中,全概率

12、及推廣形式的正確應用有助于進一步研究多個隨機過程的試驗中目標事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率,有助于把握隨機事件間的相互影響關系,為生產實踐提供更有價值的決策信息,靈活使用全概率公式會給我們的解題帶很大方便,而這些推廣形式將進一步拓展全概率的活用范圍,成為我們解決更復雜問題的有效工具。第一章 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述1.1 貝葉斯公式與證明設為 的一個分割，即互不相容，且，如果P( A ) > 0 ， ,則。證明 由條件概率的定義（所謂條件概率，它是指在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為） 對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, 結論的證。1.2 貝葉斯公式及其與全

13、概率公式的聯(lián)系 在介紹了貝葉斯公式以后還得介紹下全概率公式，因為全概率公式和貝葉斯公式是一組互逆公式接下來先來看下全概率公式的概念。 設為樣本空間的一個分割，即互不相容，且，如果，則對任一事件A有 證明：因為 且互不相容，所以由可加性得 再將代入上式即得 由證明可以知道全概率公式其實就是貝葉斯公式的一種變形，它與貝葉斯公式是互逆應用的。它與貝葉斯公式一樣在實際生活中也有很廣泛的應用。下面來探討貝葉斯公式在一下幾個方面的應用。1.3 貝葉斯公式推廣與證明貝葉斯公式的推廣 設當試驗的隨機過程不少于兩個的時候，在影響目標事件的每一個試驗過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進一步推廣.貝葉斯公式

14、推廣定理設和是先后兩個試驗過程中的劃分，為目標事件.當,時，則有：（1）（2）（3） 證明：（1）：=同理可以證明（2）、（3）.1.4 貝葉斯公式推廣總結整理文獻之后，能把貝葉斯公式歸為兩種形式，事件型和隨機變量型，這是就樣本本身的性質而言的。上述推廣結論，是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發(fā)，討論拓寬公式應用的面。在經典的貝葉斯公式當中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計算。從公式的形式出發(fā)，增加公式的靈活度。例如：在經典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實際計算當中，遇到復雜事件的時候，就不太實用了，這時候可以把全概率公式推

15、廣到隨機變量的情形。當然，隨機變量有可能是離散的，或者是連續(xù)的，也可能是混合型隨機變量，所以我們就可以再利用分布律來求解有關問題。從公式的計算輔助出發(fā)，創(chuàng)新的利用公式的推廣。用在風險模型的改進、風險計算和風險過程的分析當中。但是，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨機變量的貝葉斯公式的推廣結論，要明顯少于事件型的推廣結論。這一方面是，隨機過程是一門很深很難的學科，另一方面，貝葉斯公式還是局限在概率的計算這個問題當中，用于例子的一般計算，采用事件型就能夠完成。不過，隨著各個學科的相互滲透，事件型概率雖然已經有這么多的推廣形式值得我們學習和借鑒，但是當遇到實際問題時，還是要對貝葉斯公式形式作一些新的變化，使之能更好的

16、為我們的計算和研究服務。 第二章 貝葉斯公式在數學模型中的應用數學是一切科學和技術的基礎，是研究現(xiàn)實世界數量關系，空間形式的科學。隨著社會的發(fā)展，電子計算機出現(xiàn)和不斷完善，數學不但運用于自然科學各學科，各領域，而且滲透到經濟，管理以至于社會科學和社會活動的各領域，眾所周知，利用數學解決實際問題，首先要建立數學模型，然后才能在該模型的基礎上對實際問題進行分析，計算和研究。數學建?；顒邮怯懻摻祵W模型和解決實際問題的全過程，是一種數學思維方式。2.1數學建模的過程數學建模的過程是通過對現(xiàn)實問題的簡化，假設，抽象提煉出數學模型，然后運用數學方法各計算機工具等，得到數學上的解答，再把它反饋到現(xiàn)實問題

17、給出解釋，分析，并進行檢驗，若檢驗結果符合實際或基本符合，就可以用來指導實踐否則再假設，再抽象，再修改，再求解再應用，構造數學模型不是一件容易的事，其建模過程和技巧具體主要包括以下步驟模型準備在建模前要了解實際問題的背景，明確建模的目的和要求深入調研，去粗取精，去偽存真，找出主要矛盾，并按要求收集必要的數據。模型假設在明確目的，掌握資料的基礎上，抓住復雜問題的主要矛盾，舍去一些次要因素，對實際問題做出幾個適當的假設，使復雜的實際問題得到必要的簡化。建立模型首先根據主要矛盾確定主要變量，然后利用適當的數學工具刻畫變量間的關系，從而形成數學模型模型要盡量簡化，不必復雜，以能獲得實際問題的滿意解為標

18、準。模型檢驗建模后要對模型進行分析，用各種方法求得數學結果，將所求得的答案返回到實際問題中去檢驗其合理性，并反復修改模型的有關內容，使其更切合實際，從而更具有實用性。模型應用用建立的模型分析，解釋已有的現(xiàn)象，并預測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考?？傊當祵W建模是一種創(chuàng)造性勞動，成功的模型往往是科學與藝術的結晶，一個好的數學模型應該具有以下特點:考慮全面，抓住本質；新穎獨特，大膽創(chuàng)新，善于檢驗，結果合理。而模型檢驗一般包括下列幾個方面，穩(wěn)定性和敏感性分析，統(tǒng)計檢驗和誤差分析新舊模型的比較實際可行性檢驗因此數學建模的分析方法和操作途徑不可能用一些條條框框規(guī)定得死板，下面通過實例探析建模過程

19、與技巧。2.2 貝葉斯中常見的數學模型問題貝葉斯公式可以作如下解釋：假定有n個兩兩互斥的“原因” 可引起同一種“現(xiàn)象”的發(fā)生，若該現(xiàn)象已經發(fā)生，利用貝葉斯公式可以算出由某一個原因所引起的可能性有多大，如果能找到某個，使得 則就是引起“現(xiàn)象” 最大可能的“原因”。 生活中經常會遇到這樣的情況，事件A 已發(fā)生,我們需要判斷引起A 發(fā)生的“原因”這就需要用到貝葉斯公式來判斷引起A 發(fā)生的“原因”的概率。貝葉斯決策就是在不完全情報下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計，然后用貝葉斯公式對發(fā)生概率進行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。2.2.1貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應用例1 某地區(qū)肝癌的發(fā)病率

20、為0.0004，先用甲胎蛋白法進行普查。醫(yī)學研究表明，化驗結果是存在錯誤的。已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性（有?。?，而沒有患肝癌的人其化驗結果99.9%呈陰性（無?。，F(xiàn)某人的檢查結果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少？解 記事件“被檢查者患有肝癌”， 為事件“檢查結果為陽性”，有題設知 我們現(xiàn)在的目的是求，由貝葉斯公式得 這表明，在檢查結果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%。這個結果可能會使人吃驚，但仔細分析一下就可以理解了。因為肝癌發(fā)病率很低，在10000人中越有四人，而約有9996人不患肝癌。對10000個人中，用甲胎蛋白法進行檢查，按其錯檢的概率可知，9996個不患肝癌者中約有

21、約有99960.00190996個呈陽性。另外四個真患肝癌者的檢查報告中約有40.993.96個呈陽性，僅從13.956個呈陽性者中看出，真患肝癌的3.96人約占28.4%。進一步降低錯檢的概率是提高檢驗精度的關鍵，在實際中由于技術和操作等種種原因，降低錯檢的概率有事很困難的。所以在實際中，常采用復查的方法來減少錯誤率。或用另一些簡單易行的輔助方法先進行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對被懷疑的對象進行檢查，此時被懷疑的對象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高了，譬如，對首次檢查得的人群再進行復查，此時=0.284，這時再用貝葉斯公式計算得 這就大大提高了甲胎蛋白法的準確率了。在上

22、面的例子里面，如果我們將事件(“被檢查者患有肝癌”)看作是“原因”，將事件（“檢查結果呈陽性”）看作是最后“結果”。則我們用貝葉斯公式在已知“結果”的條件下，求出了“原因”的概率。而求“結果”的（無條件）概率,用全概率公式。在上例中若取=0.284，則 條件概率的三公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求一個復雜事件的概率，而貝葉斯是求一個條件概率。在貝葉斯公式中，如果為的先驗概率，稱為的后驗概率，則貝葉斯公式是專門用于計算后驗概率的，也就是通過A的發(fā)生這個新信息，來對的概率作出的修正。評注：此例子是現(xiàn)實生活中很常見的一個例子。用了兩次貝葉斯公式，第一次利用貝葉斯公式計算出檢出是陽性然

23、后患肝癌的概率，第二次利用貝葉斯公式計算出利用甲胎蛋白檢測的準確率。通過計算出來的概率，人們采用有效的方法降低錯檢的概率。使人們的生命財產得到更多的保障。2.2.2 貝葉斯公式在市場預測中的應用例2、我們知道，國外的舊車市場很多。出國留學或訪問的人有時花很少的錢就可以買一輛相當不錯的車，開上幾年也沒問題。但運氣不好時，開不了幾天就這兒壞那兒壞的，修車的錢是買車錢的好幾倍，經常出毛病帶來的煩惱就更別提了。為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質量和性能，國外出版一種專門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質量數據的舊車雜志。比如有個買主想買某種型號的舊車，他從舊車雜志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%

24、的傳動裝置有質量問題。除了從舊車雜志上尋找有關舊車質量的信息外，在舊車市場上買舊車時還需要有懂車的內行來幫忙。比如可以找會修車的朋友幫助開一開，檢查各主要部件的質量。因為舊車雜志上給出的是某種車輛質量的平均信息，就要買的某一輛來講可能是好的傳動裝置，也可能會有問題。比較常見的方法是花一點錢請個汽車修理工幫助開幾圈，請他幫助判斷一下傳動裝置和其他部件的質量。當然，盡管汽車修理工很有經驗，也難免有判斷不準的時候。假定從過去的記錄知道某個修理工對于傳動裝置有間題的車，其中90%他可以判斷出有問題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問題。對于傳動裝置沒問題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會判斷

25、沒問題，另外的20%他會認為有問題，即發(fā)生判斷的錯誤。根據這些已知信息請你幫助買主計算如下的問題：1、若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動裝置有問題的車的概率是多少?2、若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當修理工說該車“傳動裝置有問題”時該車傳動裝置真有問題的概率是多少?3、當修理工說該車“傳動裝置沒問題”時而該車傳動裝置真有問題的概率是多少?解 1、問題是簡單的，即有30%的可能性買到一輛有傳動裝置間題的舊車，我們在這里只利用舊車雜志的信息。第2問和第3問是貝葉斯估計或者利用貝葉斯公式進行決策的問題。 2、我們知道，貝葉斯公式是個條件概率的公式，即其中稱為事件的后驗概率，即在已知事件發(fā)生條件下

26、事件發(fā)生的概率；是事件的先驗概率；稱為樣本信息，即在發(fā)生條件下事件的概率。對于第2問，我們不妨令：=實際有問題，=實際沒問題=修理工判斷“有問題”， =修理工判斷“沒問題”則可將貝葉斯公式改寫成： 根據已知條件，計算式中各項的概率分別為：代入上式這個結果表明，當修理工判斷某輛車的傳動裝置“有問題”時，實際有問題的概率為0.66，即修理工的判斷有問題使得真有問題的概率由0.30增長到0. 66。3、由問題2知道0.05這個結果表明，當修理工判斷某輛車的傳動裝置“沒問題”時，實際有問題的概率為0.05，即修理工的判斷沒問題而實際上有問題的概率由0.3下降到0.05。評注 這是一個生活中很常見的問題

27、。利用貝葉斯公式計算出買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當修理工說該車“傳動裝置有問題”時該車傳動裝置真有問題的概率，當修理工說該車“傳動裝置沒問題”時而該車傳動裝置真有問題的概率。如果買主沒有請修理工，他買到的舊車有質量問題的概率高達0.3，但是如果請修理工幫忙試車的話買到的舊車有質量問題的概率卻可以降到0.05。這樣不僅為買主剩下較多修車的錢，還幫助買主避免了日后的很多麻煩。2.2.3 貝葉斯公式在信號估計中的應用例3 背景：1948年，美國科學家香農發(fā)表了著名的論文通信的數學理論。世界上第一個給通信系統(tǒng)建立了數學模型。他認為通信系統(tǒng)由以下幾個基本要素組成：信源、信道、編碼、譯碼和干擾源。信

28、源指產生信息的來源。信道指傳遞信息的通道。將噪聲統(tǒng)一為干擾源。編碼是從消息到信號的函數，而譯碼是從信號到消息的函數。因為信源發(fā)出什么消息是隨機的，所以信源發(fā)出的消息可用隨機變量來表示，于是可以用隨機變量的分布律來描述信源。信道由三個因素構成：輸入信號，輸出信號，以及輸入信號與輸出信號間的統(tǒng)計聯(lián)系轉移概率。轉移概率一般用轉移概率矩陣表示。當信源發(fā)出某個消息后，由編碼轉變?yōu)樾盘枺盘柾ㄟ^信道，因為信道中存在干擾，所以進入信道的是某個信號，從信道出來的可能不再是這個信號。那么自然我們要問，當接收到一個信號后，進入信道的信號是什么？ 解 建模：有一個通信系統(tǒng)，假設信源發(fā)射0、1兩個狀態(tài)信號（我們將編碼

29、過程省略），其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。無論信源發(fā)送的是什么，接收端可能接收到的是0，1，或“不清”。它的轉移概率矩陣為：分析: 利用貝葉斯公式求解， 設事件A表示信源發(fā)出“0”的信號，表示信源發(fā)出“1”的信號，B表示接收到一個“1”的信號。當B發(fā)生后，分別計算事件A與事件的概率。由貝葉斯公式： 因為 ，即接收到信號“1”后，信源發(fā)出的是“0”的可能性比信源發(fā)出的是“1”的可能性小得多，所以我們應該判斷信源發(fā)出的信號是“1”。評注 某一信號在傳輸后得到各種信號的概率稱為轉移概率（包括得到它自身）。此例子運用貝葉斯公式，求得當B發(fā)生后，分別計算事件A與事件的概率，人們通過此概

30、率可以做出最好的決策。2.2.4 貝葉斯公式在概率推理中的應用例4、有朋自遠方來，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機的概率分別是0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機遲到的概率分別是0.25，0.3，0.1，0，實際上他是遲到了，推測他坐那種交通工具來的可能性大。解 設 由貝葉斯公式分別可以算得 比較以上四個概率值，可見他坐火車和坐船的概率大，坐汽車的可能性很小，且不可能是坐飛機過來的。評注 此例子運用了四次貝葉斯公式，用所求出的概率判斷某人遲到了，選擇了何種交通工具的可能行最大。由果索因,果是某人遲到了，因是某人選擇了那種交通工具。2.2.5 貝葉斯公式在工廠產品檢查中

31、的應用 例5、某廠生產的產品次品率為0.1%，但是沒有適當的儀器進行檢驗，有人聲稱發(fā)明一種儀器可以用來檢驗，誤判的概率僅為5%.試問廠長能否采用該人所發(fā)明的儀器?分析：“5%的誤判率”給檢驗帶來怎樣的可信度，這是廠長決策的依據，即弄清“被檢驗出的正(或次)品中實際正(或次)品率”. 解：設事件表示“客觀的次品”，事件表示“經檢驗判為次品的產品”，由題意知： ,，,.由貝葉斯公式可計算“被檢驗出的次品中實際次品率”為： 同理，“被檢驗出的正品中實際正品率”為： 由可知，如果產品的成本較高，廠長就不能采用這儀器，因為被儀器判為次品的產品中實際上有98%以上的是正品，這樣導致?lián)p耗過高.同時，我們也注

32、意到該儀器對正品的檢驗還是相當精確的，若檢驗對產品沒有破壞作用，倒是可以在“被認定次品”的產品中反復檢驗，挑出“假次品”，這就降低了損耗，又保證了正品具有較高的可信度. 2.3貝葉斯公式的推廣在風險決策模型中的應用2.3.1背景簡介 信息是決策的基礎。由于市場環(huán)境中存在大量不確定因素和決策者本身知識能力的限制，再加上統(tǒng)計信息的不充分，決策者往往無法掌握與決策有關的所有信息，的決策必然會給決策者帶來某種程度的風險。信息是減少風險的有力手段。!信息越充分，決策環(huán)境的不確定性越小，風險也就越小。于是貝葉斯公式在風險決策中作為判斷風險大小的工具就顯的尤為重要。2.3.2風險模型 以離散情況為例，設風險

33、決策問題為：（），狀態(tài)集,行動集，收益/損失函數為狀態(tài)變量的先驗分布為，決策信息值為。決策信息值的準確率為：，即在狀態(tài)值的條件下，信息值的準確率。則狀態(tài)變量的后驗分布的貝葉斯公式為：=.2.3.3實例分析某廠商要確定下一計劃期內產品的生產批量，有三種方案可供選擇，即大批量生產（A）、中批量生產（B）、小批量生產（C）。市場的銷路狀態(tài)有三種：銷路好（）、銷路一般（）、銷路差（），根據以前的資料，銷路狀態(tài)分布為，三種生產方案在不同需求狀態(tài)下的收益如下表所示：三種方案的期望收益分別為：（萬元）(萬元)（萬元）結果是>，所以按照期望值原則，選A方案。但由于未來各種因素的不確定性，無論是進行大批量

34、生產還是中批量生產，以及小批量生產都要承擔一定的風險。選擇大批量生產并不意味著結果一定能獲得30萬元的收益，而是以70%的概率（市場銷路好）獲得)30萬元的收益，以50%:的概率獲得30 萬元的收益，以20%:的概率損失獲得30 萬元的收益。因而影響期望值的概率和損益都與風險關聯(lián)，對風險的測定就成為風險決策的重要內容。我們可以用三個方案的風險系數來測度其風險度，即得到三個方案每一單位期望收益的離散程度指標。該指標越大，則風險度越大，決策風險就越大。首先得到三個方案的期望損益標準差：，因此，三方案的風險系數為：由此可見，盡管進行大批量生產的期望收益較大，但風險也較大。而進行小批量生產雖然期望收益

35、不是最大的，但基本上無風險，即無論銷路如何都能獲得一定收益，所以c方案也是值得考慮的一種選擇。因而，進一步進行靈敏度分析。若銷路狀態(tài)的分布發(fā)生變化：則有：（萬元）（萬元）（萬元）結果是，最優(yōu)方案應選擇為小批量生產了。由上可知，若狀態(tài)的概率發(fā)生變化，會引起最優(yōu)選擇發(fā)生變化。因為上述的銷路狀態(tài)的概率是先驗概率，未考慮當前和未來可能出現(xiàn)的各種情況，顯然，這樣選擇的最優(yōu)方案是很不穩(wěn)定的，靈敏度較高時，風險較大。為此，要使期望損益值更準確可靠，決策者應及時取得市場調查信息，不斷加大信息量，以減少其中的不確定性。而最簡捷的方式就是向市場咨訊公司購買產品的市場銷路狀態(tài)預報的信息數據資料，以保證決策的相對準確

36、性。 因此在風險決策中，需要根據已經掌握的信息，通過借助貝葉斯公式得出最佳的決策方案。如果需要是決策風險降低，則企業(yè)需要搜集更多的信息，運用貝葉斯公式計算不同方案下的不同收益，找出最優(yōu)方案。 第三章 總結3.1全概率公式的概括貝葉斯公式是概率論中的一個重要公式，在實際中有廣泛的應用。本文對貝葉斯公式做了全面的分析，對應用貝葉斯公式的詳細做了分析，并給出了應用全概率解決實際問題的實際步驟。此外還對貝葉斯公式的條件做了一系列推廣，擴大了貝葉斯公式的應用范圍。本文詳細介紹了貝葉斯公式及貝葉斯公式的應用，貝葉斯公式的推廣及其在數學模型中的應用，通過這些詳細的講述，我們知道貝葉斯公式是一個由原因推出結果

37、的公式，貝葉斯公式的應用也是多方面的，靈活使用貝葉斯公式會給我們的解題帶來很大方便，而貝葉斯公式的推廣形式將進一步拓展了概率公式的使用范圍，成為我們解決更復雜問題的有效工具。3.2全概率公式的實際應用貝葉斯公式在實際中有許多應用。例如, 解決醫(yī)學、市場預測、信號估計、概率推理以及產品檢查等一系列不確定的問題用全概率公式來解決會很方便。生活中這樣的例子還有很多，解決這些實際問題可以首先將它們轉化為數學模型，然后利用求解全概率的方法來得到最優(yōu)解，進而得出這些實際問題的最終結論。貝葉斯公式在很多數學模型中有很重要的作用。對貝葉斯公式進行仔細地分析，用例子說明了它的用法及它所適用的概型，為了解決實際問

38、題的需要，我們將貝葉斯公式進行了推廣，用例子說明了推廣的貝葉斯公式在實際應用中所適用的概型比貝葉斯公式的更廣因此，貝葉斯公式在數學模型的求解中有著十分廣泛的作用，它是數學模型中一個經常會被用到的工具。社會在飛速發(fā)展，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，決策概率分析越來越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先驗概率與后驗概率，是進行決策的重要工具。結 束 語隨著社會的飛速發(fā)展，市場競爭日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，利用概率來決策越來越顯得重要。利用貝葉斯公式定量地對醫(yī)學問題進行相關分析，使其結論具有與可信度，更有利于促進對病人的對癥施治等。本文詳細地介紹了貝葉斯公式的定義，貝葉斯公式在醫(yī)學診斷、市場預測、