貝葉斯公式公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用

1、哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 貝葉斯公式公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用院（系）理學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)2009級(jí)姓 名魯威學(xué) 號(hào)09031213指導(dǎo)教師張俊超職 稱講師2013 年 6月 1 日 目 錄摘 要1Abstract2前 言3第一章 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述51.1 貝葉斯公式與證明51.1 貝葉斯公式及其與全概率公式的聯(lián)系51.3 貝葉斯公式公式推廣與證明6貝葉斯公式的推廣61.4 貝葉斯公式的推廣總結(jié)7第二章 貝葉斯公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用82.1數(shù)學(xué)建模的過程82.2 貝葉斯中常見的數(shù)學(xué)模型問題92.2.1 全概率公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用9全概率公式在市場預(yù)測中的應(yīng)

2、用11全概率公式在信號(hào)估計(jì)中的應(yīng)用.14全概率公式在概率推理中的應(yīng)用15全概率公式在工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用162.3全概率公式的推廣在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用17背景簡介17風(fēng)險(xiǎn)模型18實(shí)例分析18第三章 總結(jié)213.1貝葉斯公式的概括213.2貝葉斯公式的實(shí)際應(yīng)用21結(jié)束語22參考文獻(xiàn)23后 記24摘 要貝葉斯公式在概率論這本書中占有很高的位置，在概率論的運(yùn)算中也有著不可替代的位置。本文詳細(xì)的對貝葉斯公式進(jìn)行了深入的探究，而且列舉了一些生活中的實(shí)例來說明了他的運(yùn)用以及他所使用的生活模型，便于以后我們更好深入的理解貝葉斯公式我們必須先要了解全概率公式以及它在實(shí)際生活中的運(yùn)用。簡單的貝葉斯公式并不能滿足生

3、活中的需求，所以我們把貝葉斯公式進(jìn)行了深入的了解，并用實(shí)際例子證明了貝葉斯公式推廣后的公式在生產(chǎn)生活中所適合的模型比以前的貝葉斯公式更加的廣闊。數(shù)學(xué)建模是一種科學(xué)的思維方法，隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型運(yùn)用于各學(xué)科以及各領(lǐng)域.本文通過對一些典型題的分析研究?？傮w概括出貝葉斯公式和貝葉斯公式的推廣在數(shù)學(xué)模型中實(shí)際運(yùn)用.構(gòu)造數(shù)學(xué)模型更準(zhǔn)確的利用貝葉斯公式求解問題的分析問題的方法、解決問題的步驟。關(guān)鍵詞 貝葉斯公式；全概率公式；數(shù)學(xué)模型；AbstractThe bayes formula is one important formulas in theory of probability, has a

4、important role in the calculation of probability theory. Carefully analyzed in this paper, the bayes formula, and illustrates his usage and the applicable scheme, in order to better understand the bayes formula we need to introduce the whole probability formula. In order to solve practical problems,

5、 we will be the bayes formula for promotion, promotion after the formula in practical application is illustrated by an example of the applicable model wider than the original formula. Mathematical modeling is a kind of scientific thinking method, with the development of the society, the mathematical

6、 model used in various disciplines, and in various fields. In this article, through analysis and study of some typical questions. Summarizes the bayes formula and bayes formula promotion application in mathematical model. Mathematical model is set up and better using the bayes formula to solve the p

7、roblem analysis, problem solving steps.Key words ：The bayes formula; Full probability formula; Mathematical model;前 言貝葉斯公式在概率論一書中占有很中要的位置，它集中用于計(jì)算相對繁瑣事件的發(fā)生概率,它本質(zhì)上是乘法公式和加法公式的總體運(yùn)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是探索隨即狀況統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科出現(xiàn)于十幾世紀(jì)。從出現(xiàn)這一門學(xué)科以來，已經(jīng)開始深入到各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中并有著舉足輕重的位置。從十七世紀(jì)到現(xiàn)在很多國家對這個(gè)公式有了很多方面的研究。很長時(shí)間以來，由于許多這方面工作人員的積極工作

8、，使概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論方面有了更深一步的進(jìn)展，在實(shí)際生活中的應(yīng)用也更加的寬泛了，促成了大小不一的許多分支，在當(dāng)代數(shù)學(xué)中有著不可替代的獨(dú)特位置。貝葉斯公式是在1763年由貝葉斯（Bayes）這位偉大的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，它的實(shí)質(zhì)是觀察到事件A已經(jīng)出現(xiàn)的情況下，尋求致使A出現(xiàn)的每個(gè)原因的概率.這個(gè)公式在我們的生活中有很多的應(yīng)用在論文中我將逐一介紹。貝葉斯公式可以有助于人們了解一個(gè)結(jié)果（事件 A）出現(xiàn)的最大的可能性。運(yùn)用貝葉斯公式我們可以更加簡單明了的計(jì)算生活中遇到的一些數(shù)學(xué)問題，她在數(shù)學(xué)計(jì)算中有著很寬泛的應(yīng)用。其本質(zhì)就是在將各種前提引進(jìn)的情況下，先將所給出的樣本空間分成若干份，并可以簡單明了的計(jì)算出

9、所需結(jié)果的概率，最后加以分析得出結(jié)果。在當(dāng)今社會(huì)中，隨著發(fā)展的飛速前行，市場需求的突飛猛進(jìn)，領(lǐng)導(dǎo)者不能在著眼于以前的生產(chǎn)信息，而是應(yīng)該把過往的和現(xiàn)在的生產(chǎn)信息一同考慮分析，做出個(gè)比較全面的決策。決定性概率分析越來越顯示其重要性。而在其中貝葉斯公式的主要用途就是用于處理先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率，是進(jìn)行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學(xué)、市場預(yù)測、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及產(chǎn)品檢查等一系列不確定的問題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用貝葉斯公式來解決實(shí)際中的一些問題。然后將貝葉斯公式推廣，舉例說明推廣后的貝葉斯公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型。概率論對醫(yī)學(xué)的滲透與結(jié)合，已成為現(xiàn)代醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的顯著特征。

10、利用數(shù)學(xué)方法充分利用好貝葉斯公式及其推廣形式，定量的對醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論更加有可信度，更有利于促進(jìn)對病人的對癥施治。利用好貝葉斯公式可以用來解決投資、保險(xiǎn)、工程等一些列問題中，公式及其推廣形式的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下誘發(fā)事件的概率，有助于把握隨機(jī)事件相互影響關(guān)系，為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息。靈活使用貝葉斯公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便，而這些推廣形式將進(jìn)一步拓展貝葉斯公式的適用范圍，稱為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具。本文研究了六類數(shù)學(xué)模型，闡述了貝葉斯公式及推廣的全概率公式在：產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，銷售、決策模型，摸球模型，實(shí)際比賽模型，醫(yī)療診斷模型

11、，金融保險(xiǎn)模型中的應(yīng)用。財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的保險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)雜變性,使得保險(xiǎn)精算中賠款額的估計(jì)異常重要,通過應(yīng)用推廣的全概率公式,本文對存在保險(xiǎn)責(zé)任判定概率的賠款額進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,并由計(jì)算實(shí)例來闡述相關(guān)結(jié)論.全概率公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，本文只是從他的某些方面做了一個(gè)概括，總的說來，全概率公式是概率當(dāng)中一個(gè)非常重要而且實(shí)用的一個(gè)公式，能夠在我們的生產(chǎn)實(shí)際中發(fā)揮著舉足輕重的作用。用數(shù)學(xué)方法，充分利用好全概率公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用與推廣形式。定量的對實(shí)際生活中的問題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論更具可信度。更有利于促進(jìn)對病人的對癥施治,利用好全概率公式可以用來解決投資,保險(xiǎn),工程等一系列不確定的問題中,全概率

12、及推廣形式的正確應(yīng)用有助于進(jìn)一步研究多個(gè)隨機(jī)過程的試驗(yàn)中目標(biāo)事件及其條件下各誘發(fā)事件的概率,有助于把握隨機(jī)事件間的相互影響關(guān)系,為生產(chǎn)實(shí)踐提供更有價(jià)值的決策信息,靈活使用全概率公式會(huì)給我們的解題帶很大方便,而這些推廣形式將進(jìn)一步拓展全概率的活用范圍,成為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具。第一章 貝葉斯公式及全概率公式的推廣概述1.1 貝葉斯公式與證明設(shè)為 的一個(gè)分割，即互不相容，且，如果P( A ) > 0 ， ,則。證明 由條件概率的定義（所謂條件概率，它是指在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為） 對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, 結(jié)論的證。1.2 貝葉斯公式及其與全

13、概率公式的聯(lián)系 在介紹了貝葉斯公式以后還得介紹下全概率公式，因?yàn)槿怕使胶拓惾~斯公式是一組互逆公式接下來先來看下全概率公式的概念。 設(shè)為樣本空間的一個(gè)分割，即互不相容，且，如果，則對任一事件A有 證明：因?yàn)?且互不相容，所以由可加性得 再將代入上式即得 由證明可以知道全概率公式其實(shí)就是貝葉斯公式的一種變形，它與貝葉斯公式是互逆應(yīng)用的。它與貝葉斯公式一樣在實(shí)際生活中也有很廣泛的應(yīng)用。下面來探討貝葉斯公式在一下幾個(gè)方面的應(yīng)用。1.3 貝葉斯公式推廣與證明貝葉斯公式的推廣 設(shè)當(dāng)試驗(yàn)的隨機(jī)過程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣.貝葉斯公式

14、推廣定理設(shè)和是先后兩個(gè)試驗(yàn)過程中的劃分，為目標(biāo)事件.當(dāng),時(shí)，則有：（1）（2）（3） 證明：（1）：=同理可以證明（2）、（3）.1.4 貝葉斯公式推廣總結(jié)整理文獻(xiàn)之后，能把貝葉斯公式歸為兩種形式，事件型和隨機(jī)變量型，這是就樣本本身的性質(zhì)而言的。上述推廣結(jié)論，是由不同的技巧推廣而來的。從公式的條件出發(fā)，討論拓寬公式應(yīng)用的面。在經(jīng)典的貝葉斯公式當(dāng)中要求事件列是“互不相容”的，這方面削弱了這一條件給出廣義的貝葉斯公式，無論相容與否都可以直接計(jì)算。從公式的形式出發(fā)，增加公式的靈活度。例如：在經(jīng)典的貝葉斯公式中，樣本是離散的，但是實(shí)際計(jì)算當(dāng)中，遇到復(fù)雜事件的時(shí)候，就不太實(shí)用了，這時(shí)候可以把全概率公式推

15、廣到隨機(jī)變量的情形。當(dāng)然，隨機(jī)變量有可能是離散的，或者是連續(xù)的，也可能是混合型隨機(jī)變量，所以我們就可以再利用分布律來求解有關(guān)問題。從公式的計(jì)算輔助出發(fā)，創(chuàng)新的利用公式的推廣。用在風(fēng)險(xiǎn)模型的改進(jìn)、風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算和風(fēng)險(xiǎn)過程的分析當(dāng)中。但是，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)變量的貝葉斯公式的推廣結(jié)論，要明顯少于事件型的推廣結(jié)論。這一方面是，隨機(jī)過程是一門很深很難的學(xué)科，另一方面，貝葉斯公式還是局限在概率的計(jì)算這個(gè)問題當(dāng)中，用于例子的一般計(jì)算，采用事件型就能夠完成。不過，隨著各個(gè)學(xué)科的相互滲透，事件型概率雖然已經(jīng)有這么多的推廣形式值得我們學(xué)習(xí)和借鑒，但是當(dāng)遇到實(shí)際問題時(shí)，還是要對貝葉斯公式形式作一些新的變化，使之能更好的

16、為我們的計(jì)算和研究服務(wù)。 第二章 貝葉斯公式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用數(shù)學(xué)是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系，空間形式的科學(xué)。隨著社會(huì)的發(fā)展，電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)和不斷完善，數(shù)學(xué)不但運(yùn)用于自然科學(xué)各學(xué)科，各領(lǐng)域，而且滲透到經(jīng)濟(jì)，管理以至于社會(huì)科學(xué)和社會(huì)活動(dòng)的各領(lǐng)域，眾所周知，利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，然后才能在該模型的基礎(chǔ)上對實(shí)際問題進(jìn)行分析，計(jì)算和研究。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是討論建立數(shù)學(xué)模型和解決實(shí)際問題的全過程，是一種數(shù)學(xué)思維方式。2.1數(shù)學(xué)建模的過程數(shù)學(xué)建模的過程是通過對現(xiàn)實(shí)問題的簡化，假設(shè)，抽象提煉出數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法各計(jì)算機(jī)工具等，得到數(shù)學(xué)上的解答，再把它反饋到現(xiàn)實(shí)問題

17、給出解釋，分析，并進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果符合實(shí)際或基本符合，就可以用來指導(dǎo)實(shí)踐否則再假設(shè)，再抽象，再修改，再求解再應(yīng)用，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型不是一件容易的事，其建模過程和技巧具體主要包括以下步驟模型準(zhǔn)備在建模前要了解實(shí)際問題的背景，明確建模的目的和要求深入調(diào)研，去粗取精，去偽存真，找出主要矛盾，并按要求收集必要的數(shù)據(jù)。模型假設(shè)在明確目的，掌握資料的基礎(chǔ)上，抓住復(fù)雜問題的主要矛盾，舍去一些次要因素，對實(shí)際問題做出幾個(gè)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，使復(fù)雜的實(shí)際問題得到必要的簡化。建立模型首先根據(jù)主要矛盾確定主要變量，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫變量間的關(guān)系，從而形成數(shù)學(xué)模型模型要盡量簡化，不必復(fù)雜，以能獲得實(shí)際問題的滿意解為標(biāo)

18、準(zhǔn)。模型檢驗(yàn)建模后要對模型進(jìn)行分析，用各種方法求得數(shù)學(xué)結(jié)果，將所求得的答案返回到實(shí)際問題中去檢驗(yàn)其合理性，并反復(fù)修改模型的有關(guān)內(nèi)容，使其更切合實(shí)際，從而更具有實(shí)用性。模型應(yīng)用用建立的模型分析，解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考?？傊?dāng)?shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性勞動(dòng)，成功的模型往往是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)晶，一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該具有以下特點(diǎn):考慮全面，抓住本質(zhì)；新穎獨(dú)特，大膽創(chuàng)新，善于檢驗(yàn)，結(jié)果合理。而模型檢驗(yàn)一般包括下列幾個(gè)方面，穩(wěn)定性和敏感性分析，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析新舊模型的比較實(shí)際可行性檢驗(yàn)因此數(shù)學(xué)建模的分析方法和操作途徑不可能用一些條條框框規(guī)定得死板，下面通過實(shí)例探析建模過程

19、與技巧。2.2 貝葉斯中常見的數(shù)學(xué)模型問題貝葉斯公式可以作如下解釋：假定有n個(gè)兩兩互斥的“原因” 可引起同一種“現(xiàn)象”的發(fā)生，若該現(xiàn)象已經(jīng)發(fā)生，利用貝葉斯公式可以算出由某一個(gè)原因所引起的可能性有多大，如果能找到某個(gè)，使得 則就是引起“現(xiàn)象” 最大可能的“原因”。 生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，事件A 已發(fā)生,我們需要判斷引起A 發(fā)生的“原因”這就需要用到貝葉斯公式來判斷引起A 發(fā)生的“原因”的概率。貝葉斯決策就是在不完全情報(bào)下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用貝葉斯公式對發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。2.2.1貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應(yīng)用例1 某地區(qū)肝癌的發(fā)病率

20、為0.0004，先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查。醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性（有?。鴽]有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無?。，F(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少？解 記事件“被檢查者患有肝癌”， 為事件“檢查結(jié)果為陽性”，有題設(shè)知 我們現(xiàn)在的目的是求，由貝葉斯公式得 這表明，在檢查結(jié)果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%。這個(gè)結(jié)果可能會(huì)使人吃驚，但仔細(xì)分析一下就可以理解了。因?yàn)楦伟┌l(fā)病率很低，在10000人中越有四人，而約有9996人不患肝癌。對10000個(gè)人中，用甲胎蛋白法進(jìn)行檢查，按其錯(cuò)檢的概率可知，9996個(gè)不患肝癌者中約有

21、約有99960.00190996個(gè)呈陽性。另外四個(gè)真患肝癌者的檢查報(bào)告中約有40.993.96個(gè)呈陽性，僅從13.956個(gè)呈陽性者中看出，真患肝癌的3.96人約占28.4%。進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵，在實(shí)際中由于技術(shù)和操作等種種原因，降低錯(cuò)檢的概率有事很困難的。所以在實(shí)際中，常采用復(fù)查的方法來減少錯(cuò)誤率?；蛴昧硪恍┖唵我仔械妮o助方法先進(jìn)行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對被懷疑的對象進(jìn)行檢查，此時(shí)被懷疑的對象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高了，譬如，對首次檢查得的人群再進(jìn)行復(fù)查，此時(shí)=0.284，這時(shí)再用貝葉斯公式計(jì)算得 這就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。在上

22、面的例子里面，如果我們將事件(“被檢查者患有肝癌”)看作是“原因”，將事件（“檢查結(jié)果呈陽性”）看作是最后“結(jié)果”。則我們用貝葉斯公式在已知“結(jié)果”的條件下，求出了“原因”的概率。而求“結(jié)果”的（無條件）概率,用全概率公式。在上例中若取=0.284，則 條件概率的三公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求一個(gè)復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯是求一個(gè)條件概率。在貝葉斯公式中，如果為的先驗(yàn)概率，稱為的后驗(yàn)概率，則貝葉斯公式是專門用于計(jì)算后驗(yàn)概率的，也就是通過A的發(fā)生這個(gè)新信息，來對的概率作出的修正。評注：此例子是現(xiàn)實(shí)生活中很常見的一個(gè)例子。用了兩次貝葉斯公式，第一次利用貝葉斯公式計(jì)算出檢出是陽性然

23、后患肝癌的概率，第二次利用貝葉斯公式計(jì)算出利用甲胎蛋白檢測的準(zhǔn)確率。通過計(jì)算出來的概率，人們采用有效的方法降低錯(cuò)檢的概率。使人們的生命財(cái)產(chǎn)得到更多的保障。2.2.2 貝葉斯公式在市場預(yù)測中的應(yīng)用例2、我們知道，國外的舊車市場很多。出國留學(xué)或訪問的人有時(shí)花很少的錢就可以買一輛相當(dāng)不錯(cuò)的車，開上幾年也沒問題。但運(yùn)氣不好時(shí)，開不了幾天就這兒壞那兒壞的，修車的錢是買車錢的好幾倍，經(jīng)常出毛病帶來的煩惱就更別提了。為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質(zhì)量和性能，國外出版一種專門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質(zhì)量數(shù)據(jù)的舊車雜志。比如有個(gè)買主想買某種型號(hào)的舊車，他從舊車雜志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%

24、的傳動(dòng)裝置有質(zhì)量問題。除了從舊車雜志上尋找有關(guān)舊車質(zhì)量的信息外，在舊車市場上買舊車時(shí)還需要有懂車的內(nèi)行來幫忙。比如可以找會(huì)修車的朋友幫助開一開，檢查各主要部件的質(zhì)量。因?yàn)榕f車雜志上給出的是某種車輛質(zhì)量的平均信息，就要買的某一輛來講可能是好的傳動(dòng)裝置，也可能會(huì)有問題。比較常見的方法是花一點(diǎn)錢請個(gè)汽車修理工幫助開幾圈，請他幫助判斷一下傳動(dòng)裝置和其他部件的質(zhì)量。當(dāng)然，盡管汽車修理工很有經(jīng)驗(yàn)，也難免有判斷不準(zhǔn)的時(shí)候。假定從過去的記錄知道某個(gè)修理工對于傳動(dòng)裝置有間題的車，其中90%他可以判斷出有問題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問題。對于傳動(dòng)裝置沒問題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會(huì)判斷

25、沒問題，另外的20%他會(huì)認(rèn)為有問題，即發(fā)生判斷的錯(cuò)誤。根據(jù)這些已知信息請你幫助買主計(jì)算如下的問題：1、若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動(dòng)裝置有問題的車的概率是多少?2、若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置有問題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率是多少?3、當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置沒問題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率是多少?解 1、問題是簡單的，即有30%的可能性買到一輛有傳動(dòng)裝置間題的舊車，我們在這里只利用舊車雜志的信息。第2問和第3問是貝葉斯估計(jì)或者利用貝葉斯公式進(jìn)行決策的問題。 2、我們知道，貝葉斯公式是個(gè)條件概率的公式，即其中稱為事件的后驗(yàn)概率，即在已知事件發(fā)生條件下

26、事件發(fā)生的概率；是事件的先驗(yàn)概率；稱為樣本信息，即在發(fā)生條件下事件的概率。對于第2問，我們不妨令：=實(shí)際有問題，=實(shí)際沒問題=修理工判斷“有問題”， =修理工判斷“沒問題”則可將貝葉斯公式改寫成： 根據(jù)已知條件，計(jì)算式中各項(xiàng)的概率分別為：代入上式這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“有問題”時(shí)，實(shí)際有問題的概率為0.66，即修理工的判斷有問題使得真有問題的概率由0.30增長到0. 66。3、由問題2知道0.05這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“沒問題”時(shí)，實(shí)際有問題的概率為0.05，即修理工的判斷沒問題而實(shí)際上有問題的概率由0.3下降到0.05。評注 這是一個(gè)生活中很常見的問題

27、。利用貝葉斯公式計(jì)算出買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置有問題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置沒問題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率。如果買主沒有請修理工，他買到的舊車有質(zhì)量問題的概率高達(dá)0.3，但是如果請修理工幫忙試車的話買到的舊車有質(zhì)量問題的概率卻可以降到0.05。這樣不僅為買主剩下較多修車的錢，還幫助買主避免了日后的很多麻煩。2.2.3 貝葉斯公式在信號(hào)估計(jì)中的應(yīng)用例3 背景：1948年，美國科學(xué)家香農(nóng)發(fā)表了著名的論文通信的數(shù)學(xué)理論。世界上第一個(gè)給通信系統(tǒng)建立了數(shù)學(xué)模型。他認(rèn)為通信系統(tǒng)由以下幾個(gè)基本要素組成：信源、信道、編碼、譯碼和干擾源。信

28、源指產(chǎn)生信息的來源。信道指傳遞信息的通道。將噪聲統(tǒng)一為干擾源。編碼是從消息到信號(hào)的函數(shù)，而譯碼是從信號(hào)到消息的函數(shù)。因?yàn)樾旁窗l(fā)出什么消息是隨機(jī)的，所以信源發(fā)出的消息可用隨機(jī)變量來表示，于是可以用隨機(jī)變量的分布律來描述信源。信道由三個(gè)因素構(gòu)成：輸入信號(hào)，輸出信號(hào)，以及輸入信號(hào)與輸出信號(hào)間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移概率一般用轉(zhuǎn)移概率矩陣表示。當(dāng)信源發(fā)出某個(gè)消息后，由編碼轉(zhuǎn)變?yōu)樾盘?hào)，信號(hào)通過信道，因?yàn)樾诺乐写嬖诟蓴_，所以進(jìn)入信道的是某個(gè)信號(hào)，從信道出來的可能不再是這個(gè)信號(hào)。那么自然我們要問，當(dāng)接收到一個(gè)信號(hào)后，進(jìn)入信道的信號(hào)是什么？ 解 建模：有一個(gè)通信系統(tǒng)，假設(shè)信源發(fā)射0、1兩個(gè)狀態(tài)信號(hào)（我們將編碼

29、過程省略），其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。無論信源發(fā)送的是什么，接收端可能接收到的是0，1，或“不清”。它的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：分析: 利用貝葉斯公式求解， 設(shè)事件A表示信源發(fā)出“0”的信號(hào)，表示信源發(fā)出“1”的信號(hào)，B表示接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。當(dāng)B發(fā)生后，分別計(jì)算事件A與事件的概率。由貝葉斯公式： 因?yàn)?，即接收到信號(hào)“1”后，信源發(fā)出的是“0”的可能性比信源發(fā)出的是“1”的可能性小得多，所以我們應(yīng)該判斷信源發(fā)出的信號(hào)是“1”。評注 某一信號(hào)在傳輸后得到各種信號(hào)的概率稱為轉(zhuǎn)移概率（包括得到它自身）。此例子運(yùn)用貝葉斯公式，求得當(dāng)B發(fā)生后，分別計(jì)算事件A與事件的概率，人們通過此概

30、率可以做出最好的決策。2.2.4 貝葉斯公式在概率推理中的應(yīng)用例4、有朋自遠(yuǎn)方來，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)的概率分別是0.3，0.2，0.1，0.4，而他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)遲到的概率分別是0.25，0.3，0.1，0，實(shí)際上他是遲到了，推測他坐那種交通工具來的可能性大。解 設(shè) 由貝葉斯公式分別可以算得 比較以上四個(gè)概率值，可見他坐火車和坐船的概率大，坐汽車的可能性很小，且不可能是坐飛機(jī)過來的。評注 此例子運(yùn)用了四次貝葉斯公式，用所求出的概率判斷某人遲到了，選擇了何種交通工具的可能行最大。由果索因,果是某人遲到了，因是某人選擇了那種交通工具。2.2.5 貝葉斯公式在工廠產(chǎn)品檢查中

31、的應(yīng)用 例5、某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為0.1%，但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)，有人聲稱發(fā)明一種儀器可以用來檢驗(yàn)，誤判的概率僅為5%.試問廠長能否采用該人所發(fā)明的儀器?分析：“5%的誤判率”給檢驗(yàn)帶來怎樣的可信度，這是廠長決策的依據(jù)，即弄清“被檢驗(yàn)出的正(或次)品中實(shí)際正(或次)品率”. 解：設(shè)事件表示“客觀的次品”，事件表示“經(jīng)檢驗(yàn)判為次品的產(chǎn)品”，由題意知： ,，,.由貝葉斯公式可計(jì)算“被檢驗(yàn)出的次品中實(shí)際次品率”為： 同理，“被檢驗(yàn)出的正品中實(shí)際正品率”為： 由可知，如果產(chǎn)品的成本較高，廠長就不能采用這儀器，因?yàn)楸粌x器判為次品的產(chǎn)品中實(shí)際上有98%以上的是正品，這樣導(dǎo)致?lián)p耗過高.同時(shí)，我們也注

32、意到該儀器對正品的檢驗(yàn)還是相當(dāng)精確的，若檢驗(yàn)對產(chǎn)品沒有破壞作用，倒是可以在“被認(rèn)定次品”的產(chǎn)品中反復(fù)檢驗(yàn)，挑出“假次品”，這就降低了損耗，又保證了正品具有較高的可信度. 2.3貝葉斯公式的推廣在風(fēng)險(xiǎn)決策模型中的應(yīng)用2.3.1背景簡介 信息是決策的基礎(chǔ)。由于市場環(huán)境中存在大量不確定因素和決策者本身知識(shí)能力的限制，再加上統(tǒng)計(jì)信息的不充分，決策者往往無法掌握與決策有關(guān)的所有信息，的決策必然會(huì)給決策者帶來某種程度的風(fēng)險(xiǎn)。信息是減少風(fēng)險(xiǎn)的有力手段。!信息越充分，決策環(huán)境的不確定性越小，風(fēng)險(xiǎn)也就越小。于是貝葉斯公式在風(fēng)險(xiǎn)決策中作為判斷風(fēng)險(xiǎn)大小的工具就顯的尤為重要。2.3.2風(fēng)險(xiǎn)模型 以離散情況為例，設(shè)風(fēng)險(xiǎn)

33、決策問題為：（），狀態(tài)集,行動(dòng)集，收益/損失函數(shù)為狀態(tài)變量的先驗(yàn)分布為，決策信息值為。決策信息值的準(zhǔn)確率為：，即在狀態(tài)值的條件下，信息值的準(zhǔn)確率。則狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布的貝葉斯公式為：=.2.3.3實(shí)例分析某廠商要確定下一計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，有三種方案可供選擇，即大批量生產(chǎn)（A）、中批量生產(chǎn)（B）、小批量生產(chǎn)（C）。市場的銷路狀態(tài)有三種：銷路好（）、銷路一般（）、銷路差（），根據(jù)以前的資料，銷路狀態(tài)分布為，三種生產(chǎn)方案在不同需求狀態(tài)下的收益如下表所示：三種方案的期望收益分別為：（萬元）(萬元)（萬元）結(jié)果是>，所以按照期望值原則，選A方案。但由于未來各種因素的不確定性，無論是進(jìn)行大批量

34、生產(chǎn)還是中批量生產(chǎn)，以及小批量生產(chǎn)都要承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)。選擇大批量生產(chǎn)并不意味著結(jié)果一定能獲得30萬元的收益，而是以70%的概率（市場銷路好）獲得)30萬元的收益，以50%:的概率獲得30 萬元的收益，以20%:的概率損失獲得30 萬元的收益。因而影響期望值的概率和損益都與風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)，對風(fēng)險(xiǎn)的測定就成為風(fēng)險(xiǎn)決策的重要內(nèi)容。我們可以用三個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)來測度其風(fēng)險(xiǎn)度，即得到三個(gè)方案每一單位期望收益的離散程度指標(biāo)。該指標(biāo)越大，則風(fēng)險(xiǎn)度越大，決策風(fēng)險(xiǎn)就越大。首先得到三個(gè)方案的期望損益標(biāo)準(zhǔn)差：，因此，三方案的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為：由此可見，盡管進(jìn)行大批量生產(chǎn)的期望收益較大，但風(fēng)險(xiǎn)也較大。而進(jìn)行小批量生產(chǎn)雖然期望收益

35、不是最大的，但基本上無風(fēng)險(xiǎn)，即無論銷路如何都能獲得一定收益，所以c方案也是值得考慮的一種選擇。因而，進(jìn)一步進(jìn)行靈敏度分析。若銷路狀態(tài)的分布發(fā)生變化：則有：（萬元）（萬元）（萬元）結(jié)果是，最優(yōu)方案應(yīng)選擇為小批量生產(chǎn)了。由上可知，若狀態(tài)的概率發(fā)生變化，會(huì)引起最優(yōu)選擇發(fā)生變化。因?yàn)樯鲜龅匿N路狀態(tài)的概率是先驗(yàn)概率，未考慮當(dāng)前和未來可能出現(xiàn)的各種情況，顯然，這樣選擇的最優(yōu)方案是很不穩(wěn)定的，靈敏度較高時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)較大。為此，要使期望損益值更準(zhǔn)確可靠，決策者應(yīng)及時(shí)取得市場調(diào)查信息，不斷加大信息量，以減少其中的不確定性。而最簡捷的方式就是向市場咨訊公司購買產(chǎn)品的市場銷路狀態(tài)預(yù)報(bào)的信息數(shù)據(jù)資料，以保證決策的相對準(zhǔn)確

36、性。 因此在風(fēng)險(xiǎn)決策中，需要根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，通過借助貝葉斯公式得出最佳的決策方案。如果需要是決策風(fēng)險(xiǎn)降低，則企業(yè)需要搜集更多的信息，運(yùn)用貝葉斯公式計(jì)算不同方案下的不同收益，找出最優(yōu)方案。 第三章 總結(jié)3.1全概率公式的概括貝葉斯公式是概率論中的一個(gè)重要公式，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。本文對貝葉斯公式做了全面的分析，對應(yīng)用貝葉斯公式的詳細(xì)做了分析，并給出了應(yīng)用全概率解決實(shí)際問題的實(shí)際步驟。此外還對貝葉斯公式的條件做了一系列推廣，擴(kuò)大了貝葉斯公式的應(yīng)用范圍。本文詳細(xì)介紹了貝葉斯公式及貝葉斯公式的應(yīng)用，貝葉斯公式的推廣及其在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用，通過這些詳細(xì)的講述，我們知道貝葉斯公式是一個(gè)由原因推出結(jié)果

37、的公式，貝葉斯公式的應(yīng)用也是多方面的，靈活使用貝葉斯公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便，而貝葉斯公式的推廣形式將進(jìn)一步拓展了概率公式的使用范圍，成為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具。3.2全概率公式的實(shí)際應(yīng)用貝葉斯公式在實(shí)際中有許多應(yīng)用。例如, 解決醫(yī)學(xué)、市場預(yù)測、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及產(chǎn)品檢查等一系列不確定的問題用全概率公式來解決會(huì)很方便。生活中這樣的例子還有很多，解決這些實(shí)際問題可以首先將它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后利用求解全概率的方法來得到最優(yōu)解，進(jìn)而得出這些實(shí)際問題的最終結(jié)論。貝葉斯公式在很多數(shù)學(xué)模型中有很重要的作用。對貝葉斯公式進(jìn)行仔細(xì)地分析，用例子說明了它的用法及它所適用的概型，為了解決實(shí)際問

38、題的需要，我們將貝葉斯公式進(jìn)行了推廣，用例子說明了推廣的貝葉斯公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型比貝葉斯公式的更廣因此，貝葉斯公式在數(shù)學(xué)模型的求解中有著十分廣泛的作用，它是數(shù)學(xué)模型中一個(gè)經(jīng)常會(huì)被用到的工具。社會(huì)在飛速發(fā)展，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，決策概率分析越來越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率，是進(jìn)行決策的重要工具。結(jié) 束 語隨著社會(huì)的飛速發(fā)展，市場競爭日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，利用概率來決策越來越顯得重要。利用貝葉斯公式定量地對醫(yī)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)分析，使其結(jié)論具有與可信度，更有利于促進(jìn)對病人的對癥施治等。本文詳細(xì)地介紹了貝葉斯公式的定義，貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)診斷、市場預(yù)測、