數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)題

1、數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)題1、為連續(xù)函數(shù)，初值條件，假設(shè)其增長率為常數(shù)，顯然有，則其滿足微分方程 ；微分方程滿足初值條件的解為 ；這個模型稱為 。2、敘述數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應(yīng)用3、簡述數(shù)學(xué)模型按以下方面的分類：按應(yīng)用領(lǐng)域可分為：人口、交通、能源、環(huán)境、經(jīng)濟、規(guī)劃等等；按建立模型的數(shù)學(xué)方法可分為：初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程模型、統(tǒng)計回歸模型、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型等等；按模型的表現(xiàn)特征可以分為：確定性和隨機性、線性和非線性、靜態(tài)和動態(tài)、連續(xù)與離散等等4、在超市購物時你可能注意到大包裝商品比小包裝商品便宜，比如中華牙膏65g每支2.5元，120g每支

2、3.8元，二者單位重量的價格比約為1.21：1。（1）分析商品單位重量價格C與商品重量w的關(guān)系。價格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本所決定，這些成本中有的與體積成正比、有的與表面積成正比、有的與體積（重量w）無關(guān)。（2）給出單位重量價格C與w的關(guān)系，畫出它們的簡圖。說明w越大C越小，但是隨著w的增加C減小的速度變慢，解釋其意義是什么？5、2005級新生入學(xué)后，統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院共有在校學(xué)生1050人，其中統(tǒng)計學(xué)專業(yè)600人，信息與計算科學(xué)專業(yè)400人，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)50人。要在全院推選23名學(xué)生組成學(xué)生代表團，試用下面的方法分配各專業(yè)的學(xué)生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名額按慣例分

3、配給小數(shù)部分較大者；（2）用值方法進行分配6、工廠定期訂購原料，存入倉庫供生產(chǎn)之用。設(shè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，原料每天的需求量為常數(shù)，每次的定貨費用為，每天每單位原料的存儲費為，訂貨后可立即到貨，每次訂貨量為。（1）建立一周期的總費用函數(shù)（包括訂貨費與庫存費，購貨費是常數(shù)可不予考慮）；（2）為使每天的平均費用最小，求最佳訂貨批量、訂貨周期和最小成本。7、一飼養(yǎng)場每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計可使一頭80公斤重的生豬每天體重增加2公斤。目前生豬的出售價格為每公斤8元，但是預(yù)測價格每天降低0.1元。（1）問該飼養(yǎng)場應(yīng)該在什么時候出售這樣的生豬最劃算？（2）在最佳出售時機的價格之下，作體重增加

4、關(guān)于時間的彈性分析，并對彈性分析作出相應(yīng)的解釋；（3）在最佳出售時機的價格之下，作價格的降低關(guān)于時間的彈性分析，并對彈性分析作出相應(yīng)的解釋；8、利潤是銷售收入與生產(chǎn)支出之差，為每單位商品的售價，即。稱為 ；稱為 ；稱為 ；利潤最大化的條件是 。給定，需求函數(shù)，已知（1）建立利潤函數(shù)的表達式；（2）利用上述條件求利潤最大化時的價格。9、消費者對甲、乙兩種商品的效用曲線（無差異曲線），問他如何利用手中的錢購買兩種單價分別為和的商品以達到效用最大。（1）建立效用最大化的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型；（2）利用Lagrange乘數(shù)法求出利潤最大化的條件，并對結(jié)果進行解釋。10、某公司用木頭雕刻士兵模型出售。公司的兩大

5、主要產(chǎn)品分別是“盟軍”和“聯(lián)軍”士兵，每件利潤分別是28美元和30美元。制作一個“盟軍”士兵需要使用2張木版，花費4小時的木工，再經(jīng)過2小時的整修；制作一個“聯(lián)軍”士兵需要使用3張木版，花費3.5小時的木工，再經(jīng)過3小時的整修。該公司每周能得到100張木版，可供使用的木工（機器時間）為120小時，整修時間為90小時。（1）確定每種士兵的生產(chǎn)數(shù)量，使得每周的利潤最大，建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。（2）對于你建立的線性規(guī)劃模型，利用LINDO6.0求解結(jié)果如下：請你進行對偶價格分析和進行全面的靈敏度分析（目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束條件右斷的常數(shù)項），并作出解釋。LP OPTIMUM FOUND AT S

6、TEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 972.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 0.000000 X2 24.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 10.000000 0.000000 3) 0.000000 4.800000 4) 0.000000 4.400000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

7、 CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 28.000000 6.285715 8.000000 X2 30.000000 12.000000 5.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 100.000000 INFINITY 10.000000 3 120.000000 60.000000 14.999999 4 90.000000 10.000000 30.00000011、牧場主知道，對于一匹

8、體型中等的馬來說，最低的營養(yǎng)需求為：40磅蛋白質(zhì)、20磅碳水化合物、45磅粗飼料，這些營養(yǎng)成分是從不同的飼料中得到的，飼料及其價格如下表： 飼料營養(yǎng)成分干草（每捆）燕麥片（每袋）飼料塊（每塊）高蛋白濃縮料（每袋）每批馬的需求（每天）蛋白質(zhì)（磅）0.51.02.06.040.0碳水化合物（磅）2.04.00.51.020.0粗飼料（磅）5.02.01.02.545.0價格（美元）1.803.500.401.00（1）建立數(shù)學(xué)模型，確定如何以最少的成本滿足最低的營養(yǎng)需求。對于你建立的線性規(guī)劃模型，利用LINDO6.0求解結(jié)果如下：請你進行對偶價格分析和進行全面的靈敏度分析（目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)和約束條件

9、右斷的常數(shù)項），并作出解釋。LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 17.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.000000 0.000000 X2 0.000000 1.500000 X3 20.000000 0.000000 X4 0.000000 0.100000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.500000 0.000000 3) 0.000000 -0.400000 4) 0.000000 -0.200000 NO. ITERATI

10、ONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.800000 0.200000 0.200000 X2 3.500000 INFINITY 1.500000 X3 0.400000 0.046875 0.040000 X4 1.000000 INFINITY 0.100000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWA

11、BLE RHS INCREASE DECREASE 2 40.000000 2.500000 INFINITY 3 20.000000 2.500000 0.131579 4 45.000000 0.333333 5.00000012、用和分別表示甲乙交戰(zhàn)雙方時刻的兵力（人數(shù)），每一方的戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,分別為；每一方的非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑等因素引起）只與本方的兵力成正比；甲乙雙方的增援率是給定的時間的函數(shù)，分別為。則兵力變化的微分方程為：根據(jù)以下條件，求出甲乙兵力的函數(shù)，分析甲、乙方獲勝的條件。正規(guī)戰(zhàn)爭：游擊戰(zhàn)爭：混合戰(zhàn)爭：13、在經(jīng)濟增長模型中，為了適用于不同的對象

12、，可將產(chǎn)量函數(shù)折算成現(xiàn)金，考慮到物價上漲因素，我們記物價上升指數(shù)為，則產(chǎn)品的表面價值、實際價值和物價指數(shù)之間有關(guān)系。（1）導(dǎo)出的相對增長率之間的關(guān)系，并作出解釋；（2）設(shè)雇傭工人數(shù)為，每個工人的工資，其他成本企業(yè)的利潤函數(shù)為根據(jù)CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù)討論，企業(yè)應(yīng)雇傭多少工人可使利潤最大？14、記時刻漁場中的魚量為，在無捕撈的條件下的增長服從Logistic規(guī)律其中是固有增長率，是環(huán)境容許的最大魚量。解這個微分方程滿足初值條件，并解釋何時魚量達到最大？15、Volterra食餌捕食者模型（1）消去后，化為關(guān)于的微分方程；（2）分離變量，求解上述微分方程并進行化簡；（3）解釋食餌捕食者兩類

13、生物數(shù)量變化的規(guī)律。16、敘述層次分析法的基本步驟17、用層次分析法解決一個實際問題，建立合理的層次結(jié)構(gòu)，并給出層次結(jié)構(gòu)中所有關(guān)系的判別矩陣。（不必求解）18、試用和法求下列正互反矩陣的最大特征值與對應(yīng)的權(quán)重。計算一致性指標(biāo)，根據(jù)3階判斷矩陣的隨機性一致指標(biāo)為，計算一致性比率并作一致性檢驗。,19、已知6支球隊循環(huán)比賽的鄰接矩陣（1）畫圖用箭頭表示的這6個球隊的勝負關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級得分向量，并按名次高低排除順序已知4支球隊循環(huán)比賽的鄰接矩陣（1）畫圖用箭頭表示的這6個球隊的勝負關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級得分向量，并按名次高低排除順序已知5支球隊循環(huán)比賽的鄰接矩陣（

14、1）畫圖用箭頭表示的這6個球隊的勝負關(guān)系；（2）根據(jù)矩陣的乘法，算出各級得分向量，并按名次高低排除順序20、有個工人，他們的生產(chǎn)是相互獨立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，個工作臺均勻排列；每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；在一個周期內(nèi)有個鉤子通過每一個工作臺上方，鉤子均勻排列，到達第一個工作臺上方的鉤子都是空的；每個工人在任何時候都能觸到一只鉤子，也只能觸到一只鉤子，于是他在生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的那只鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果那只鉤子非空，則他只能將這件產(chǎn)品放在地上，永遠退出這個系統(tǒng)。（1）證明：任一個鉤子非空的概率為；（2）計算這個傳送系統(tǒng)的傳送率21、報童每天

15、清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)每份報紙的購進價為，零售價為，退回價為，滿足。如果每天報紙的需求量是隨機的，需求份的概率，或者可以把看作連續(xù)變化的，其密度函數(shù)為。如果報童每天從報社購進份報紙，是報童每天所得利潤，則是與的函數(shù)（1）建立利潤函數(shù)；（2）確定每天的購進量，使報童每天的期望利潤最大。22、某商店每天要訂購一批牛奶零售，設(shè)購進價，售出價，當(dāng)天銷售不出去則削價處理，處理價并能處理完所有剩余的牛奶。如果該商店每天銷售牛奶的數(shù)量是隨機變量，其概率密度函數(shù)為。如果商店每天訂購牛奶的數(shù)量為，該商店銷售牛奶每天所得利潤，則是與的函數(shù)（1）建立利潤函數(shù)；（2）確定每天的購進量，使

16、報童每天的期望利潤最大。23、水泥凝固時放出的熱量Y與其四種成分的記錄：3（%）；：3（%）；：4（%）；：2（%）序號123456789101112137111117113122111110262956315255713154474066686158869172218423986052204733226442226341212Y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4假如Y與、呈線性關(guān)系，利用EXCEL進行回歸，計算結(jié)果如下： SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計Multiple R0.991149R Square0

17、.982376Adjusted R Square0.973563標(biāo)準誤差2.446008觀測值13方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.47924.76E-07殘差847.863645.982955總計122715.763Coefficients標(biāo)準誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%回歸常數(shù)62.4053770.070960.8906020.399134-99.1787223.98941.5511030.744772.082660.070822-0.166343.2685460.5101680.723

18、7880.7048580.500901-1.158892.1792270.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842273-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491017（1）求Y對、的線性回歸方程；（2）對輸出結(jié)果進行分析，并對回歸效果進行顯著性檢驗；通過計算、的相關(guān)系數(shù)矩陣如下：對該模型作何診斷？應(yīng)該如何處理？刪除變量與重新計算如下： SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計Multiple R0.989282R Square0.978678Adjusted R Square0.974414標(biāo)準誤差2.406335觀測值13方差分析dfSSMSFSignific