空間向量與立體幾何知識點(diǎn)和習(xí)題(含答案)

1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)和習(xí)題(含答案)空間向量與立體幾何【知識要點(diǎn)】1空間向量及其運(yùn)算：(1)空間向量的線性運(yùn)算：空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則拓廣到空間依然成立空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律：加法交換律：abba；加法結(jié)合律：(abc)a(bc)；分配律：(l m )al am a；l (ab)l al b(2)空間向量的基本定理：共線(平行)向量定理：對空間兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)l ，使得al b共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是存在惟一一對實數(shù)l ，m ，使得cl am b

2、空間向量分解定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組l 1，l 2，l 3，使得pl 1al 2bl 3c(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算：空間向量的數(shù)量積的定義：a·b|a|bcosa，b；空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a·e|acosa，e；aba·b0；|a|2a·a；|a·b|a|b空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(l a)·bl (a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：(ab)·ca·cb·c(4)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：空間向量的正交分解：建

3、立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底i，j，k，由空間向量分解定理，對于空間任一向量a，存在惟一數(shù)組(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，那么有序數(shù)組(a1，a2，a3)就叫做空間向量a的坐標(biāo)，即a(a1，a2，a3)空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；l a(l a1，l a2，l a3)；a·ba1b1a2b2a3b3空間向量平行和垂直的條件：ab(b0)a

4、l ba1l b1，a2l b2，a3l b3(l R)；aba·b0a1b1a2b2a3b30向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計算公式：設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，則A，B兩點(diǎn)間的距離是2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定如果直線l平面a ，取直線l的方向向量a，則向量a

5、叫做平面a 的法向量由此可知，給定一點(diǎn)A及一個向量a，那么經(jīng)過點(diǎn)A以向量a為法向量的平面惟一確定(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系：設(shè)直線l，m的方向向量分別是a，b，平面a ，b 的法向量分別是u，v，則lmabakb，kR；lmaba·b0；la aua·u0；la auaku，kR；a uvukv，kR；a b uvu·v0(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任意一點(diǎn)O作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的

6、夾角為q ，顯然則直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角設(shè)直線a的方向向量是u，平面a 的法向量是v，直線a與平面a 的夾角為q ，顯然，則二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角記作a lb 在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個半平面內(nèi)分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角a lb 的平面角利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角a lb 的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角a lb 的大小就是向量的夾角的大小方法二：如圖，m1，m2分別是二面角的兩個半平面a ，b 的法向量，則m1，m2與

7、該二面角的大小相等或互補(bǔ)(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題【復(fù)習(xí)要求】1了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直4理解直線的方向向量與平面的法向量5能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系6能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題【例題分析】例1 如圖，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點(diǎn)P在棱AA1上，且AP2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上，且B1

8、S2SB，點(diǎn)Q，R分別是O1B1，AE的中點(diǎn)，求證：PQRS 【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實數(shù)k，使得解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1， 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，又RPQ，PQRS【評述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個向量所在的直線上即可2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請完成這個證明例2 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面AMN平面EFBD【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個平面的法向量平行解法一：設(shè)正方體的棱長為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)取MN的中點(diǎn)K，EF的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O，則O(2，2，0)