著名數(shù)學(xué)定理

1、著名數(shù)學(xué)定理15定理15-定理是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway，1937-)和W.A.Schneeberger于1993年證明的定理，內(nèi)容為：如果一個(gè)二次多項(xiàng)式可以通過變量取整數(shù)值而表示出115的值(更嚴(yán)格的結(jié)論是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的話(例如a2+b2+c2+d2)，該二次多項(xiàng)式可以通過變量取整數(shù)值而表示出所有正整數(shù).6714(黑洞數(shù))定理 黑洞數(shù)又稱陷阱數(shù)，是類具有奇特轉(zhuǎn)換特性的整數(shù).任何一個(gè)數(shù)字不全相同整數(shù)，經(jīng)有限“重排求差”操作，總會(huì)得某一個(gè)或一些數(shù)，這些數(shù)即為黑洞數(shù).“重排求差”操作即把組成該數(shù)的數(shù)字重排后

2、得到的最大數(shù)減去重排后得到的最小數(shù).或者是冰雹原理中的“1”黑洞數(shù).舉個(gè)例子，三位數(shù)的黑洞數(shù)為495.簡(jiǎn)易推導(dǎo)過程：隨便找個(gè)數(shù)，如297，三個(gè)位上的數(shù)從小到大和從大到小各排一次，為972和279，相減，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反復(fù)都得到495.再如，四位數(shù)的黑洞數(shù)有6174.阿貝爾-魯菲尼定理 定理定義：阿貝爾-魯菲尼定理并不是說明五次或更高次的多項(xiàng)式方程沒有解.事實(shí)上代數(shù)基本定理說明任意非常數(shù)的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中都有根.然而代數(shù)基本定理并沒有說明根的具體形式.通過數(shù)值方法可以計(jì)算多項(xiàng)式的根的近似值，但數(shù)學(xué)家也關(guān)心根的精確值，以及它們能否通過簡(jiǎn)單的方式

3、用多項(xiàng)式的系數(shù)來表示.例如，任意給定二次方程ax2+bx+c=0(a0)，它的兩個(gè)解可以用方程的系數(shù)來表示：.這是一個(gè)僅用有理數(shù)和方程的系數(shù)，通過有限次四則運(yùn)算和開平方得到的解的表達(dá)式，稱為其代數(shù)解.三次方程，四次方程的根也可以使用類似的方式來表示.阿貝爾-魯菲尼定理的結(jié)論是：任意給定一個(gè)五次或以上的多項(xiàng)式方程： ，那么不存在一個(gè)通用的公式(求根公式)，使用  和有理數(shù)通過有限次四則運(yùn)算和開根號(hào)得到它的解.或者說，當(dāng)n大于等于5時(shí)，存在n次多項(xiàng)式，它的根無(wú)法用自己的系數(shù)和有理數(shù)通過有限次四則運(yùn)算和開根號(hào)得到.換一個(gè)角度說，存在這樣的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，它滿足某個(gè)五次或更高

4、次的多項(xiàng)式方程，但不能寫成任何由方程系數(shù)和有理數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式.這并不是說每一個(gè)五次或以上的多項(xiàng)式方程，都無(wú)法求得代數(shù)解.比如的解就是.具體區(qū)分哪些多項(xiàng)式方程可以有代數(shù)解而哪些不能的方法由伽羅瓦給出，因此相關(guān)理論也被稱為伽羅瓦理論.簡(jiǎn)單來說，某多項(xiàng)式方程有代數(shù)解，等價(jià)于說它對(duì)應(yīng)的域擴(kuò)張上的伽羅瓦群是一個(gè)可解群.對(duì)于一般的二次，三次和四次方程，它們對(duì)應(yīng)的伽羅瓦群是二次，三次和四次對(duì)稱群：  ，它們都是可解群.但一般的五次方程對(duì)應(yīng)的是五次對(duì)稱群，這是一個(gè)不可解群.當(dāng)次數(shù)n大于等于5時(shí)，情況也是如此.阿貝爾二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理可以用以下公式表示：.其中，又有  

5、;等記法，稱為二項(xiàng)式系數(shù)，即取的組合數(shù)目.此系數(shù)亦可表示為楊輝三角形.它們之間是互通的關(guān)系.艾森斯坦因判別法 艾森斯坦判別法是說：給出下面的整系數(shù)多項(xiàng)式如果存在素?cái)?shù)p，使得p不整除an ，但整除其他ai(i=0，1，.，n-1)；p² 不整除a0 ，那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.阿基米德折弦定理奧爾定理 離散數(shù)學(xué)中圖論的一個(gè)定理)如果一個(gè)總點(diǎn)數(shù)至少為3的簡(jiǎn)單圖G滿足：G的任意兩個(gè)點(diǎn)u和v度數(shù)之和至少為n，即deg(u)+deg(v)n，那么G必然有哈密頓回路.它描述了簡(jiǎn)單圖擁有哈密頓回路的一個(gè)充分條件.表達(dá)式deg(u)+deg(v)nG有哈密頓通路相關(guān)概念

6、：簡(jiǎn)單圖：沒有重邊和環(huán)的無(wú)向圖.度數(shù)：某點(diǎn)所連接的邊的數(shù)目.哈密頓回路：經(jīng)過圖的所有的點(diǎn)的一條回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中點(diǎn)定理） AB和BC是O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.折弦定義：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦.伯特蘭·切比雪夫定理 伯特蘭·切比雪夫定理說明：若整數(shù)n > 3，則至少存在一個(gè)質(zhì)數(shù)p，符合n < p < 2n 2.另一個(gè)稍弱說法是：對(duì)于所有大于1的整數(shù)n，存在一個(gè)質(zhì)數(shù)p，符合n <

7、; p < 2n.貝亞蒂定理 定義一個(gè)正無(wú)理數(shù)r的貝亞蒂列Br為Br=r，2r，3r，.=nr(n1)，這里的 是取整函數(shù).若然有兩個(gè)正無(wú)理數(shù)p，q且，(即) ，則Bp=np(n1)，Bq=nq(n1)構(gòu)成正整數(shù)集的一個(gè)分劃：.布利安桑定理 布利安桑定理敘述如下：如果六邊形的邊交替地通過兩個(gè)定點(diǎn)P和Q，則連接六邊形的相對(duì)的頂點(diǎn)的三條對(duì)角線是共點(diǎn)的.布列安桑(Brainchon)定理是一個(gè)射影幾何中的著名定理，它斷言六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對(duì)角線共點(diǎn)，此點(diǎn)稱為該六邊形的布列安桑點(diǎn).布朗定理 設(shè)P(x)為滿足p x的素?cái)?shù)數(shù)目，使得p+ 2也是素?cái)?shù)(也就是說，

8、P(x)是孿生素?cái)?shù)的數(shù)目).那么，對(duì)于x 3，我們有：，其中c是某個(gè)常數(shù).婆羅摩笈多定理裴蜀定理(貝祖定理) 對(duì)任何整數(shù)a、b和它們的最大公約數(shù)d，關(guān)于未知數(shù)x和y的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：若a,b是整數(shù),且(a,b)=d，那么對(duì)于任意的整數(shù)x,y,ax+by都一定是d的倍數(shù)，特別地，一定存在整數(shù)x,y，使ax+by=d成立。拿破侖定理半角定理半角定理 做三角形內(nèi)切圓，在AB，AC，BC邊上的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，令 (其中A，B，C為三角形內(nèi)角的符號(hào))，則有，.代數(shù)學(xué)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元n次多項(xiàng)式 方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根(n1)，由此推出，n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程

9、在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).簡(jiǎn)介：(n1) 代數(shù)學(xué)基本定理說明，任何復(fù)系數(shù)一元n次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根.由此推出，n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).有時(shí)這個(gè)定理表述為：任何一個(gè)非零的一元n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，都正好有n個(gè)復(fù)數(shù)根.這似乎是一個(gè)更強(qiáng)的命題，但實(shí)際上是“至少有一個(gè)根”的直接結(jié)果，因?yàn)椴粩喟讯囗?xiàng)式除以它的線性因子，即可從有一個(gè)根推出有n個(gè)根.盡管這個(gè)定理被命名為“代數(shù)基本定理”，但它還沒有純粹的代數(shù)證明，許多數(shù)學(xué)家都相信這種證明不存在 .另外，它也不是最基本的代數(shù)定理；因?yàn)樵谀莻€(gè)時(shí)候，代數(shù)基本上就是關(guān)于解實(shí)系數(shù)或復(fù)

10、系數(shù)多項(xiàng)式方程，所以才被命名為代數(shù)基本定理.陳氏定理 任何一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示成一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和.婆羅摩笈多定理 若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD，垂足為M.EFBC，且M在EF上.那么F是AD的中點(diǎn).拿破侖定理 拿破侖定理由拿破侖發(fā)現(xiàn)：“以三角形各邊為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，則他們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.”該等邊三角形稱為拿破侖三角形.如果向內(nèi)(原三角形不為等邊三角形)作三角形，結(jié)論同樣成立.牛頓定理 特指平面幾何中的牛頓定理(Newton's Theorem)牛頓線

11、：和完全四邊形(定義：我們把兩兩相交，且沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，叫做完全四邊形)四邊相切的有心圓錐曲線的心的軌跡是一條直線，是完全四邊形三條對(duì)角線中點(diǎn)所共的線.(1)完全四邊形三條對(duì)角線中點(diǎn)共線；(2)圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線；(3)圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合.清宮定理 設(shè)P，Q為ABC的外接圓上異于A，B，C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U，V，W，且QU，QV，QW分別交三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線于D，E，F(xiàn)，則D，E，F(xiàn)在同一直線上.西姆松定理清宮定理燕尾定理中線定理 (

12、阿波羅尼烏斯定理，重心定理)三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半的平方與該邊中線平方的和的兩倍.燕尾定理 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)O，有SAOBSAOC=BDCD，SAOBSCOB=AECE，SBOCSAOC=BFAF.共角定理 若兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，則它們的面積比等于對(duì)應(yīng)兩邊乘積的比.九點(diǎn)圓張角定理 在ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD.那么.西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的垂線，則三垂足共線.(此線常稱為西姆松線).西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上.

13、九點(diǎn)圓 三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)(聯(lián)結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn))九點(diǎn)共圓.通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓(nine-point circle)，或歐拉圓，費(fèi)爾巴哈圓. 九點(diǎn)圓是一個(gè)更一般的定理：垂心四面體各棱的中點(diǎn)，各棱相對(duì)于對(duì)棱的垂心12點(diǎn)共球的一個(gè)特例.當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)被壓入所對(duì)面的時(shí)候，12點(diǎn)的共球就退化為9點(diǎn)共圓.蝴蝶定理蝴蝶定理 設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD.設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn).坎迪定理 AB是圓內(nèi)的一段弦，P是弦AB上任意一點(diǎn)，C，D是圓上的任意兩點(diǎn)，連接CP，DP并延長(zhǎng)分別交圓于F，E，連接CE，DF分別交AB于G，H，設(shè)A

14、P=a，BP=b，GP=x，HP=y，則(1/a)-(1/b)=(1/x)-(1/y) .塞瓦定理 塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則.塞瓦線 (切氏線)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與其對(duì)邊上一點(diǎn)的連線托勒密定理 圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積. 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和. 從這個(gè)定理可以推出正弦，余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).梅涅勞斯定理 當(dāng)直線交ABC三邊所在直線BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)時(shí)，.歐拉定理 在數(shù)

15、論中，也稱費(fèi)馬-歐拉定理，若n，a為正整數(shù)，且n，a互質(zhì)，則：.幾何定理內(nèi)容：(1)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr(2)三角形ABC的垂心H，九點(diǎn)圓圓心V，重心G，外心O共線 ，稱為歐拉線.拓?fù)涔剑篤+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù).如果P可以同胚于一個(gè)球面(可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面)，那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h.X(P)叫做P的拓?fù)洳蛔兞?，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍.復(fù)變函數(shù)定理內(nèi)容：歐拉定理：eix=

16、cosx+isinx(e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)帕普斯定理單位).它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.將公式里的x換成-x，得到：e-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：.這兩個(gè)也叫做歐拉公式.將eix=cosx+isinx中的x取作就得到：ei+1=0.這個(gè)等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0.數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它.費(fèi)馬小

17、定理 a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)(即：假如p是質(zhì)數(shù)，且gcd(a，p)=1)，則有a(p-1)1(mod p).即：假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)(即兩者只有一個(gè)公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1.帕普斯定理 直線l1上依次有點(diǎn)A，B，C，直線l2上依次有點(diǎn)D，E，F(xiàn)，設(shè)AE，BD交于P，AF，DC交于Q，BF，EC交于R，則P，Q，R共線.斯臺(tái)沃特定理 任意三角形ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，則三余弦定理.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，則.斯坦納-雷米歐司定理 兩角的平分線相等的三角形是等腰三角形.調(diào)和四邊形 調(diào)和四邊形是指

18、對(duì)邊乘積相等的圓內(nèi)接四邊形.性質(zhì)：1，調(diào)和四邊形的其中一條對(duì)角線，與過其余兩點(diǎn)的四邊形外接圓的兩條切線，這三條直線共點(diǎn)；2，設(shè)調(diào)和四邊形ABCD中，對(duì)角線AC中點(diǎn)為M，則AMBDMADCB，BMCCMDBAD；3，設(shè)調(diào)和四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與過B，D兩點(diǎn)的四邊形ABCD外接圓的切線所共的點(diǎn)記為P，記AP交BD于Q，則AQ為ABD的一條陪位中線(三角形的一條中線關(guān)于與其共頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線的對(duì)稱直線在三角形內(nèi)所成的線段叫做三角形的陪位中線)，A，Q，C，P四點(diǎn)為調(diào)和點(diǎn)列；取對(duì)角線AC中點(diǎn)M，設(shè)四邊形ABCD外接圓圓心為O，則B，P，D，O，M五點(diǎn)共圓.糖水不等式 a克糖水中有b克糖(a&g

19、t;0，b>0，且a>b)，則糖的質(zhì)量和糖水的質(zhì)量比為：，若再添加c克糖(c>0)，則糖的質(zhì)量和糖水的質(zhì)量比為：.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：添加糖后，糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：(a>b>0，c>0).趣稱之為“糖水不等式”.糖水不等式為不等式中的難點(diǎn).費(fèi)馬大定理 當(dāng)整數(shù)n >2時(shí)，關(guān)于x， y， z的方程 xn + yn = zn 沒有正整數(shù)解.莫利定理 也稱為莫雷角三分線定理.將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形.這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形.三余弦定理 設(shè)二面角MABN的度數(shù)為，在平

20、面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為，和平面N所成的角為，則 (如圖).(注明：折疊角公式(又名：三余弦定理)以及三正弦定理的應(yīng)用為立體幾何的解題帶來了許多方便.)若已知二面角其中一個(gè)半平面內(nèi)某直線與二面角的棱所成的角，以及該直線與另一半平面所成的角，則可以求該二面角的正弦值.密克定理是幾何學(xué)中關(guān)于相交圓的定理.1838年，奧古斯特·密克(Auguste Miquel)敘述并證明了數(shù)條相關(guān)定理.許多有用的定理可由其推出.定理陳述：三圓定理：設(shè)三個(gè)圓C1， C2， C3交于一點(diǎn)O，而M， N， P分別是C1 和C2， C2和C3， C3和C1的另一交點(diǎn).設(shè)A為C1的點(diǎn)，直

21、線MA交C2于B，直線PA交C3于C.那么B， N， C這三點(diǎn)共線.逆定理：如果是三角形，M， N， P三點(diǎn)分別在邊AB， BC， CA上，那么AMP，BMN，CPN 的外接圓交于一點(diǎn)O.完全四線形定理：如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O，稱為密克點(diǎn).四圓定理：設(shè)C1， C2，C3， C4為四個(gè)圓，A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)，A2和B2是C2 和C3的交點(diǎn)，A3和B3是C3和C4的交點(diǎn)，A4和B4是C1和C4的交點(diǎn).那么A1， A2， A3， A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1， B2， B3， B4四點(diǎn)共圓.五圓定理：設(shè)ABCDE為任意五邊形，五點(diǎn)F， G， H， I， J

22、分別是EA和BC ， AB和CD， BC和DE， CD和EA， DE和AB的交點(diǎn)，那么ABF，BCJ CDI，DEH，AEG的外接圓的五個(gè)不在五邊形上的交點(diǎn)共圓，不穿過這些交點(diǎn)的圓也穿過五個(gè)外接圓的圓心.皮克定理 一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn).如果取一個(gè)格點(diǎn)做原點(diǎn)O，取通過這個(gè)格點(diǎn)的橫向和縱向兩直線分別做橫坐標(biāo)軸OX和縱坐標(biāo)軸OY，并取原來方格邊長(zhǎng)做單位長(zhǎng)，建立一個(gè)坐標(biāo)系.這時(shí)前面所說的格點(diǎn)，顯然就是縱橫兩坐標(biāo)都是整數(shù)的那些點(diǎn).如圖中的O，P，Q，M，N都是格點(diǎn).由于這個(gè)緣故，我們又叫格點(diǎn)為整點(diǎn).一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格

23、點(diǎn)，這多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形.有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出.這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理.給定頂點(diǎn)坐標(biāo)均是整點(diǎn)(或正方形格點(diǎn))的簡(jiǎn)單多邊形，皮克定理說明了其面積S和內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)目n，邊上格點(diǎn)數(shù)目s的關(guān)系：(其中n表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，s表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，S表示多邊形的面積)抽屜原理(鴿巢原理，重疊原理，狄利克雷抽屜原理) 第一抽屜原理：原理1： 把多于n+1個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件.原理2 ：把多于mn(m

24、乘n)+1(n不為0)個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有不少于(m+1)的物體.原理3 ：把無(wú)窮多件物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里 有無(wú)窮個(gè)物體.第二抽屜原理：把(mn1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m1)個(gè)物體(例如，將3×5-1=14個(gè)物體放入5個(gè)抽屜中，則必定有一個(gè)抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2).德·摩根定律 在命題邏輯和邏輯代數(shù)中，德·摩根定律(或稱德·摩根定理)是關(guān)于命題邏輯規(guī)律的一對(duì)法則.在命題邏輯中存在著下面這些關(guān)系：非(P且Q)=(非P)或(非Q)；非(P或Q) = (非P)且(非Q).形

25、式邏輯中此定律表達(dá)形式：，；在集合論中：，；在概率論中：，.迪尼定理 在數(shù)學(xué)中，迪尼定理敘述如下：設(shè) X 是一個(gè)緊致的拓?fù)淇臻g，f(n)  是 X 上的一個(gè)單調(diào)遞增的連續(xù)實(shí)值函數(shù)列，即使得對(duì)任意 n 和 X 中的任意 x 都有fn(x)fn+1(x).如果這個(gè)函數(shù)列逐點(diǎn)收斂到一個(gè)連續(xù)的函數(shù)f ，那么這個(gè)函數(shù)列一致收斂到f.這個(gè)定理以意大利數(shù)學(xué)家烏利塞·迪尼命名.對(duì)于單調(diào)遞減的函數(shù)列，定理同樣成立.這個(gè)定理是少數(shù)的由逐點(diǎn)收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調(diào)性這個(gè)更強(qiáng)的條件.注意定理中的f一定要是連續(xù)的，否則可以構(gòu)造反例.比如說在區(qū)間 0，1 上的函數(shù)

26、列 xn.這是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，逐點(diǎn)收斂到函數(shù)f ：當(dāng) x 屬于 0，1) 時(shí)f(x)等于 0 ，等于 1.但這個(gè)函數(shù)列不是一致收斂的，因?yàn)閒不連續(xù).等周定理 等周定理，以及其面積之間的關(guān)系.其中的“等周”指的是周界的長(zhǎng)度相等.等周定理說明在周界長(zhǎng)度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個(gè)說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長(zhǎng)度最小.它可以以不等式表達(dá)：若P為封閉曲線的周界長(zhǎng)，A為曲線所包圍的區(qū)域面積，等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的“表面”或區(qū)域的最大“邊界長(zhǎng)度”問題等.在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理

27、有關(guān).一個(gè)直觀的表現(xiàn)就是水珠的形狀.在沒有外力的情況下(例如失重的太空艙里)，水珠的形狀是完全對(duì)稱的球體.這是因?yàn)楫?dāng)水珠體積一定時(shí)，表面張力會(huì)迫使水珠的表面積達(dá)到最小值.根據(jù)等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時(shí)達(dá)到.多項(xiàng)式余數(shù)定理（余數(shù)定理） 多項(xiàng)式余數(shù)定理是指一個(gè)多項(xiàng)式 f(x) 除以一線性多項(xiàng)式 x - a 的余數(shù)是 f(a).例如， 的余數(shù)是.棣莫弗定理 設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)(用三角函數(shù)形式表示)，則：.棣莫弗-拉普拉斯定理 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，即二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為其極限分布定律.設(shè)隨機(jī)變量n=(n=1，2)

28、 ，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有.笛卡爾定理 (1)若平面上四個(gè)半徑為r1，r2，r3，r4的圓兩兩相切于不同點(diǎn)，則其半徑滿足以下結(jié)論：(1)若四圓兩兩外切，則；若半徑為r1，r2，r3的圓內(nèi)切于半徑為r4的圓中，則.(2)若五個(gè)球的半徑分別是ri(i=1，2，.，5)，滿足任意一個(gè)球與另外四個(gè)球外切，則.凡·奧貝爾定理笛沙格定理多項(xiàng)式定理 的展開式的通項(xiàng)是，所以多項(xiàng)式的展開式是，其中表示通項(xiàng)在滿足條件：為非負(fù)整數(shù)，并且下所有項(xiàng)的和式.笛沙格定理 笛沙格同調(diào)定理(同調(diào)三角形定理)：平面上有兩個(gè)三角形ABC，DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D，B和E，C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊

29、或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線.定理推廣：其逆定理也成立：笛沙格對(duì)合定理：一條直線與一個(gè)完全四點(diǎn)形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)點(diǎn)偶. 一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線形的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)射線偶合.一個(gè)完全四點(diǎn)形(四線形)實(shí)際上含有四點(diǎn)(線)1，2，3，4和它們的六條連線交點(diǎn)23，14，31，24，12，34；其中23與14，31與24，12與34稱為對(duì)邊(對(duì)頂點(diǎn)).(該定理在空間中也成立.)芬斯勒·哈德維格爾定理費(fèi)馬點(diǎn) “費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn).若給定一個(gè)三角形AB

30、C的話，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小.這個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè).定義1.若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°.所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心.（托里拆利的解法中對(duì)這個(gè)點(diǎn)的描述是：對(duì)于每一個(gè)角都小于120°的三角形ABC的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然后作這三個(gè)正三角形的外接圓.托里拆利指出這三個(gè)外接圓會(huì)有一個(gè)共同的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)就是所要求的點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)和當(dāng)時(shí)已知的三角形特殊點(diǎn)都不一樣.這個(gè)點(diǎn)因此也叫

31、做托里拆利點(diǎn).）2.若三角形有一內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn).費(fèi)馬平方和定理 奇質(zhì)數(shù)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的充分必要條件是該質(zhì)數(shù)被4除余1.凡·奧貝爾定理 任意一個(gè)四邊形，在其邊外側(cè)構(gòu)造一個(gè)正方形.將相對(duì)的正方形的中心連起，得出兩條線段.線段的長(zhǎng)度相等且互相垂直（凡·奧貝爾定理適用于凸凹四邊形）.芬斯勒哈德維格爾定理 若兩個(gè)正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個(gè)頂點(diǎn)A.B'D的中點(diǎn)，BD'的中點(diǎn)，ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個(gè)正方形.費(fèi)馬多邊形數(shù)定理 每一個(gè)

32、正整數(shù)最多可以表示為n個(gè)n邊形數(shù)的和.也就是說，每一個(gè)數(shù)最多可以表示為三個(gè)三三角形數(shù)角形數(shù)(三角形數(shù)：古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把數(shù)1，3，6，10，15，21這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).把1.4.9.16.這樣的數(shù)稱為正方形數(shù))之和，四個(gè)平方數(shù)之和，五個(gè)五邊形數(shù)之和，依此類推.一個(gè)三角形數(shù)的例子，是17 = 10 + 6 + 1.一個(gè)眾所周知的特例，是四平方和定理，它說明每一個(gè)正整數(shù)都可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1.合比定理 在一個(gè)比例里，第一個(gè)比的前后項(xiàng)的和與它后項(xiàng)的比，等于第二個(gè)比的前后項(xiàng)的和與它的后項(xiàng)的比，這叫做比例中

33、的合比定理.即：如果，那么（b，d0）.分比定理 在一個(gè)比例里，第一個(gè)比的前后項(xiàng)的差與它的后項(xiàng)的比，等于第二個(gè)比的前后項(xiàng)的差與它們的后項(xiàng)的比，這叫做比例中的分比定理.即：如果那么（b，d0）.合分比定理 一個(gè)比例里，第一個(gè)前后項(xiàng)之和與它們的差的比，等于第二個(gè)比的前后項(xiàng)的和與它們的差的比.這叫做比例中的合分比定理.即：如果那么（b，d，a-b，c-d0）.等比定理(更比定理) 一個(gè)比的前項(xiàng)與另一個(gè)比的后項(xiàng)互調(diào)后，所得結(jié)果仍是比例.即：如果那么（a，b，c，d0）.推論：若如果，則.圓冪定理 內(nèi)容： 如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線與圓O相交于A，B與C，D，則PA·PB=PC

34、83;PD.圓冪定理是對(duì)相交弦定理，切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論的統(tǒng)一與歸納.根據(jù)兩條與圓有相交關(guān)系的線的位置不同，有以下定理：(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.(2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).(3)割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A，B；C，D，則有PA·PB=PC·PD.圓冪定理的所有情況古爾亭定理 (古爾丁定理，帕普斯幾何中心定理)定義：以平面圖形繞同一平面上的任何一條與該圖形不相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的體積，等于圖形的面積乘以其重心相應(yīng)

35、半徑所畫的圓周長(zhǎng).表面積：有一條平面曲線，跟它的同一個(gè)平面上有一條軸.由該平面曲線以該條軸與旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面的表面積A，等于曲線的長(zhǎng)度s乘以曲線的幾何中心經(jīng)過的距離d1，即：A=sd1.例：設(shè)環(huán)面圓管半徑為r，圓管中心到環(huán)面中心距離為R，把環(huán)面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心.所以環(huán)面表面積為(2r)(2R)=42rR.若有平面連續(xù)曲線y=f(x)，求x在a，b時(shí)，曲線以x軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面表面積.可考慮一小段曲線，其幾何中心便是y，曲線長(zhǎng)度為，因此這個(gè)曲面的表面積便是：.體積：d1由平面形狀繞和它的同一個(gè)平面上的軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積V，等于平面形狀面積S乘以平面形狀的幾何中心

36、經(jīng)過的距離的積：V=sd1.再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉(zhuǎn)體體積：.共軛復(fù)根定理 一元二次方程，若用公式法解得根（即）判別式小于零，則該方程的根為2個(gè)共軛復(fù)根.因?yàn)樨?fù)數(shù)在開平方時(shí)存在+i和-i，所以如果有復(fù)數(shù)根則必是共軛的.定理定義：復(fù)根的意思就是說當(dāng)你解微分方程的特征方程時(shí)，不能求出實(shí)數(shù)解，也就是說特征方程的判別式是小于零的，這時(shí)方程沒有實(shí)根，有復(fù)根.復(fù)數(shù)是建立在i的平方等于 -1的基礎(chǔ)上的.你在開根號(hào)的時(shí)候如果根號(hào)內(nèi)的數(shù)字式小于零的話，你就直接按照正數(shù)開根號(hào)，得出結(jié)果后后面加個(gè)小寫字母i就可以得到復(fù)數(shù)了，由復(fù)數(shù)得到的方程的解就是復(fù)根.哥德巴赫-歐拉定理 不小于4的有限偶數(shù)都是某

37、2個(gè)素?cái)?shù)相加的和.格爾豐德-施奈德定理 格爾豐德-施奈德定理（GelfondSchneider theorem）是一個(gè)可以用于證明許多數(shù)的超越性的結(jié)果.定理定義：如果和是代數(shù)數(shù)，其中0且1，且不是有理數(shù)，那么任何的值一定是超越數(shù).(代數(shù)數(shù)：能滿足整系數(shù)代數(shù)方程的數(shù)；超越數(shù)：不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的數(shù)；整系數(shù)代數(shù)方程：方程中的未知數(shù)的系數(shù)是整數(shù)的方程.如：2x+1=0，x2+3x+2=0).勘根定理 勘根定理(the root located theorem) 假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a， b中連續(xù)，且函數(shù)值f(a)與f(b)異號(hào)（即，一為正一為負(fù)）.則在區(qū)間(a， b)中找到一個(gè)數(shù)c，使得f

38、(c) = 0（即，c為函數(shù)f(x)的根）.韋達(dá)定理 定理定義：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，兩根x，x有如下關(guān)系：，.根心定理根心定理 根心定理：三個(gè)兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一：（1） 三根軸兩兩平行；（2） 三根軸完全重合；（3） 三根軸兩兩相交，此時(shí)三根軸必匯于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三圓的根心.相關(guān)定義：點(diǎn)對(duì)圓的冪：平面上任意一點(diǎn)P(x，y) 對(duì)圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的冪定義為以下函數(shù)：f(x，y)=x2+y2+Dx+Ey+F.考慮到圓的方程也可以寫為圓心-半徑的形式：(x-a)2+(y-b)2-r2=0.由此也可以把點(diǎn)對(duì)圓的冪定義為

39、：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=d2-r2，這里 是點(diǎn) P到圓心C(a，b) 的距離，r是圓的半徑.點(diǎn)對(duì)圓的冪的幾何意義是明顯的：(1)若點(diǎn)在圓外，則冪為點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)度的平方；(2)若點(diǎn)在圓上，則冪為0；(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則冪為負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值等于過點(diǎn)P且垂直于CP的弦長(zhǎng)的一半的平方.根軸：平面上兩不同心的圓x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0，(i=1，2)，(D1-D2)2+(E1+E2)2>0.顯然，對(duì)兩圓等冪的點(diǎn)集是直線：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.該直線稱為兩圓的根軸.根軸必垂直于兩圓的連心線.(1)若

40、兩圓相交，則根軸就是連接二公共點(diǎn)的直線；(2)若兩圓相切，則根軸就是過切點(diǎn)的公切線；(3)若兩圓相離或內(nèi)含，則根軸完全位于兩圓之外，但仍垂直于兩圓的連心線.海倫公式(希倫公式，海龍公式，希羅公式，海倫秦九韶公式) 公式表述：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由以下公式求得：，而公式里的p為半周長(zhǎng)（周長(zhǎng)的一半）：.婆羅摩笈多公式 婆羅摩笈多公式的最簡(jiǎn)單易記的形式，是圓內(nèi)接四邊形面積計(jì)算.若圓內(nèi)接四邊形的四邊長(zhǎng)為a， b， c， d，則其面積為：其中s為半周長(zhǎng)：.華勒斯·波埃伊·格維也納定理 指兩個(gè)簡(jiǎn)單多邊形面積相等

41、，那么其中一個(gè)能分割成有限多塊多邊形，經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)，拼合成第二個(gè)多邊形.勒讓德定理 在正數(shù)n!的素因子標(biāo)準(zhǔn)分解式中，素?cái)?shù)p的指數(shù)記作Lp(n!)，則.歐拉常數(shù) 歐拉-馬歇羅尼常數(shù)（Euler-Mascheroni constant)是一個(gè)主要應(yīng)用于數(shù)論的數(shù)學(xué)常數(shù)。它的定義是調(diào)和級(jí)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的差值的極限：.由無(wú)窮級(jí)數(shù)理論可知，調(diào)和級(jí)數(shù)即調(diào)和數(shù)列(定義1：正整數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列,稱為調(diào)和數(shù)列；定義2：若數(shù)列an 滿足（nN*，d為常數(shù)），則稱數(shù)列an)各元素相加所得的和 是發(fā)散的。但可以證明，存在極限。由莫雷角三分線定理不等式可得，故Sn有下界。而，再一次根據(jù)不等式

42、0;，取，即可得，所以Sn單調(diào)遞減。由單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，即存在。該極限被稱作歐拉常數(shù)，現(xiàn)在通常將該常數(shù)記為。莫雷角三分線定理 定理定義：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。射影定理米迪定理 E·米迪在1836年證明了關(guān)于0.999這類分?jǐn)?shù)的一個(gè)一般的結(jié)果，現(xiàn)在稱為米迪定理。定理定義：米迪定理說明若有質(zhì)數(shù)p，少于p的正整數(shù)a，大于1的正整數(shù)b和任意正整數(shù)n，使得在b進(jìn)位制內(nèi)的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度是2n，且將這個(gè)分?jǐn)?shù)用循環(huán)小數(shù)寫成，則有以下結(jié)論：ai+ai+n=b1。帕斯卡定理射影定理 (歐幾里德定理)在直角

43、三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。射影定理是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理。在RtABC中，ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：BD²=AD·CD，AB²=AC·AD，BC²=CD·AC.帕斯卡定理 帕斯卡定理指圓錐曲線內(nèi)接六邊形（包括退化的六邊形）其三對(duì)邊的交點(diǎn)共線，與布列安桑定理對(duì)偶，是帕普斯定理的推廣。定理定義：如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在同一條直線上。普羅斯數(shù) 普羅斯數(shù)是

44、如下形式的數(shù)：k2n+1，其中k是奇數(shù)，n是正整數(shù)，且2n>k。既是普羅斯數(shù)又是素?cái)?shù)的整數(shù)，稱為普羅斯素?cái)?shù)。普羅斯定理 普羅斯定理是判斷普羅斯數(shù)是否為素?cái)?shù)的方法。如果p是普羅斯數(shù)，那么如果對(duì)于某個(gè)整數(shù)a，有，則p是素?cái)?shù)。這是一個(gè)有實(shí)際用途的方法，因?yàn)槿绻鹥是素?cái)?shù)，任何選定的a都有百分之50的概率滿足這個(gè)關(guān)系式。例如：對(duì)于p=3，21+1=3能被3整除，所以3是素?cái)?shù)。對(duì)于p=5，32+1=10能被5整除，所以5是素?cái)?shù)。對(duì)于p=13，56+1=15626 能被13整除，所以13是素?cái)?shù)。對(duì)于p=9，不存在a使得a4+1能被9整數(shù)。斐波那契數(shù) (斐波那契數(shù)列，黃金分割數(shù)列，費(fèi)波那西數(shù)列，費(fèi)波拿契

45、數(shù)，費(fèi)氏數(shù)列)，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n2，nN*），用文字來說，就是斐波那契數(shù)列列由0和1開始，之后的斐波那契數(shù)列系數(shù)就由之前的兩數(shù)相加。齊肯多夫定理 (齊肯多夫表述法)表示任何正整數(shù)都可以表示成若干個(gè)不連續(xù)的斐波那契數(shù)（不包括第一個(gè)斐波那契數(shù)）之和。四色定理 (四色猜想、四色問題)，是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一。四色定理的本質(zhì)許多人認(rèn)為是在平面或者球面無(wú)法構(gòu)造五個(gè)或者五個(gè)以上兩兩相連的區(qū)域。這個(gè)概念實(shí)際上是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛性S多種方法在代數(shù)幾何上可以完美的證明任意一個(gè)區(qū)

46、域無(wú)法同時(shí)與其他四個(gè)任意區(qū)域兩兩相連。但實(shí)際上證明的時(shí)候會(huì)把區(qū)域之間相互重疊的關(guān)系否定掉。其本質(zhì)在于地圖上是否可以只用四種顏色著色，從而演變出一個(gè)幾何上的數(shù)學(xué)問題，但之所以至今只能用計(jì)算機(jī)暴力證明，其根源仍然無(wú)法得知，有諸多的猜想，但卻仍然是一個(gè)無(wú)法以書面簡(jiǎn)單證明來完成的難題。算術(shù)基本定理 任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，這里P1<P2<.<Pn均為質(zhì)數(shù)，其諸指數(shù)ai是正整數(shù)。這樣的分解稱為N的標(biāo)準(zhǔn)分解式。斯圖爾特定理斯托爾茲-切薩羅定理 定理定義：設(shè)an 和bn(n1)為兩個(gè)實(shí)數(shù)列。若bn為單調(diào)上升的無(wú)界正數(shù)數(shù)列，且極限存在,則極限存在

47、，且.定理推廣：設(shè)an和bn(n1)為兩個(gè)序列。若bn單調(diào)無(wú)界，則(inf(x)表示下確界，即最大下界；sup(x)表示上確界，即最小上界).斯圖爾特定理 如圖，設(shè)a，b和c是三角形的邊長(zhǎng)，d是切氏線的長(zhǎng)度；該線段將a邊分為長(zhǎng)度為m和n的兩段。那么，mb2+nc2=a(d2+mn).斯特瓦爾特定理 設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有：AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD.三代角定理 三代角定理用來計(jì)算在一個(gè)母角角度在360°以內(nèi)的角均分成N份（N可以非整數(shù)）后，得到N個(gè)

48、子角，然后在該母角以及每個(gè)子角上做弦，其各個(gè)（子角的弦或者弦延長(zhǎng)線）與（母角的弦或者延長(zhǎng)線）自然相交的角度，這里稱這種角為孫角。公式大于180度角所產(chǎn)生的孫角照樣適用本定理.公式中各表示為：St：第幾個(gè)孫角的角度；z：子角的度數(shù)；n：把母角分成多少等份；t：第幾個(gè)孫角；m：母角的角度(注：公式中：N可以非整數(shù)，t也可以非整數(shù)).一元三次方程的解法 1.卡丹公式法的特殊情況：如果一個(gè)一元三次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0，則該方程可化為x³+px+q=0。它的解是：，。其中。根與系數(shù)的關(guān)系為x1+x2+x3=0，x1x2x3=-p。判別式為。當(dāng)>0時(shí)，有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根；=0時(shí)，有三個(gè)實(shí)

49、根，當(dāng)p=q=0時(shí)，有一個(gè)三重零根，p，q0時(shí)，三個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)相等；<0時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根。三個(gè)根的三角函數(shù)表達(dá)式（僅當(dāng)p<0時(shí)）為，。其中?？ǖす椒ǖ囊话闱闆r：一般的一元三次方程可寫成ax3+bx2+cx+d=0(a0)的形式。上式除以a，并設(shè)，則可化為如下形式：y3+py+q=0，其中?？捎锰厥馇闆r的公式解出y1，y2，y3，則原方程的三個(gè)根為，。三個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為x1+x2+x3=，x1x2x3=。2.盛金公式法：三次方程應(yīng)用廣泛。用根號(hào)解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應(yīng)的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。范盛金推導(dǎo)出一套直接用a、b、c、d表達(dá)的較簡(jiǎn)明形式的一元三次方程的一般式新求根公式盛金公式，并建立了新判別法盛金判別法。盛金公式：一元三次方程ax3+bx2+cx+d