廣東省汕頭市金山中學(xué)高中數(shù)學(xué)初高中銜接材料一乘法公式、二次根式及因式分解

1、乘法公式、我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a b)(a b) a2 b2 ；(2)完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2。(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(4)兩數(shù)和立方公式(5)兩數(shù)差立方公式二、我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：3 ab(2)不論a , b為何實數(shù)，a b 2a 4b 8的值();3 a.3b ;2 c2(abbc ac)；22(a b)(a ab b )(a b)(a2 ab b2)(a b c)2a2 b2(ab)3a33a2b3ab2b3 ；,.、33_ 2._ . 2. 3(ab)a3a b3abb 。對上面

2、列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。1)(x3 1) =x6 1例 1 計算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)。解：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1) = (x32. 22例2 已知abc4, abbcac4,求a b c的值。222.2_斛： a b c (a b c) 2(ab bc ac) 8。練習(xí)：1 o1 o111.填仝：(1)ab(ba)()；942322(2) (4m)16m 4m ()；(a 2b c)2 a2 4b2 c2 ()。21. .2 .選擇題：(1)若x -mx k是一個完全平方式，則 k等于()2212_1212

3、A、m b . -m c . -m d mA、總是正數(shù) B 、總是負數(shù) C、可以是零 D、可以是正數(shù)也可以是負數(shù)3、找規(guī)律與為什么觀察下列等式：12 02 1, 22 12 3, 32 22 5, 42 32 7,用含自然數(shù)n的等式表示這種規(guī)律：并證明這一規(guī)律。4、一個特殊的式子1 1已知：X =2,求：X -y的值。XX、一14213/士變式：X =2,求：X2的值。XX21-1再變：X=2,求：X 一的值。二.二次根式X2X一般地，形如 ja（a 0）的代數(shù)式叫做二次根式。根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式。例如 3a Ja2 b 2b , Ja2 b2等是無理式，而應(yīng)X2

4、g x 1 , X2 72Xya2等是有理式。二次根式4a的意義4aaa, a 0,a, a 0.將下列式子化為最簡二次根式：（1） JT2b；（2） JOb（a 0）；（3） x6y（x 0）。解：（1） J12b 2/3b;（2） &2ba|Vb a7b（a 0）;（3） 54x6y 2 x142x34（x 0）。例 2 化簡：（J3 J5）2004（J3 J5）2005。解：（73回2004（出衣）2005 =（石揚2004（73回2004（73回=（石 歷（M 揚2004 （石 揚=12004 由我）=73 后。例 3 化簡：Jx2 -7 2（0 X 1）。一一.1 1-1.解：原式二

5、J（x -） X ,0 X 1 , .1 X ,Y x xX1所以，原式=X。X3 ，： 2% 3 J2 小 22例4 已知 x = k，y =k，求 3x 5xy 3y 的值3232xy解： x yg/3 V2)2 Q3 V2)2 io,里 1, 3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3 102 11,32289。練習(xí)1 .填空：（1） 1 31=13若J(5x)(x3)2(x3)5x,則x的取值范圍是 ；裝5 x1x 1, x 1, x 1右 x ，則 =；_: - _：一；_2 x 1, x 1, x 1 x 12.選擇題：等式 J *1=成立的條件是（）x 2 x 2(A)

6、 x 2(B) x 0(C) x 2于TV3.若 b 2a1 71 a ，求 a b 的值。a 1(D) 0x24.比較大小：2*V5-a/4 (填“；或 v”)。y x x y xxy y5、化間 2 盧產(chǎn)。xy y x、x y y6、解答：設(shè)x1,3 2,y求代數(shù)式22x xy y的值三.分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法。1、提取公因式法例 1 分解因式：（1） a2b 5 a 5 b （2） x3 9 3x2 3x解：(1) a2b 5 a5 b=a2b 5 a b 5 =a(b 5)(a 1)323222(2) x 9 3x 3x = (x 3

7、x ) (3x 9)=x(x 3) 3(x 3) = (x 3)(x3)。3232333或 x 9 3x 3x = (x 3x 3x 1) 8 = (x 1)8 = (x 1)2= (x 1) 2(x 1)2 (x 1) 2 22 = (x 3)(x2 3)課堂練習(xí)：1、多項式6x2y 2xy2 4xyz中各項的公因式是 。2、mxy n y x x y ?。 222 c3、mxy n y x x y ?。4、mxyz n y z x x y z ?5、mxyz x y z x y z ?。6 、13ab2x6 39a3b2x5 分解因式得。7 .計算 992 99=2、公式法例2分解因式：（

8、1） a4 162(2) 3x 2y x解：4222222a16= 4 (a )(4 a )(4 a ) (4 a )(2 a)(2 a)(2) 3x 2y 22x y =(3x 2y x y)(3x 2y x y) (4x y)(2x 3y)課堂練習(xí)把下列各式分解21、9 m n m n、3x223、4 x 4x 23、分組分解法例 3(1) x2 xy 3y 3x解：4、x4 2x2 122 2x xy y 4x 5y 6。x2 xy 3y 3x (x2 xy) (3y 3x)x (x-y) 3(x-y) (x-y)?(x-3)x2 xy 3y 3x(x23x) ( xy3y) x (x3

9、)y (x3)(x 3) ?(x-y)22_2_2_ 一(2) 2x xy y4x5y6= 2x(y 4)x y5y6= 2x2 (y 4)x (y 2)(y 3) = (2x y 2)(x y 3)?；?222、2x xy y 4x 5y 6=(2x xy y ) (4x 5y) 6=(2x y)(x y) (4x 5y) 6=(2x y 2)(x y 3)。課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項式(1) x2 y2 a2 b2 2ax 2by(2)a2 4ab 4b2 6a 12b 9十字相乘法分解因式(1)22我們知道 x 2 x 3 x 5x 6,反過來，就得到二次三項式 x 5x 6的因式分

10、解形式，即x2 5x 6 x 2 x 3 ,其中常數(shù)項6分解成2,3兩個因數(shù)的積，而且這兩個因數(shù)的和等于一次項的系數(shù)5,即6=2X 3,且2+3=5。一般地，由多項式乘法，x a x bx2 abxab,反過來，就得到x2a b x ab x a x b這就是說，對于二次三項式 x2 px q ,如果能夠把常數(shù)項 q分解成兩個因數(shù) a、b的積， 并且 a+b 等于一次項的系數(shù) p,那么它就可以分解因式，即22x px q x a b x ab xaxb?？梢杂酶覆婢€來表不：十字相乘法的定義：利用十字交叉來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。例1把x2 3x 2分解因式。分析：這

11、里，常數(shù)項 2是正數(shù)，所以分解成的兩個因數(shù)必是同號，而2=1X2=(-1)(-2)，要使它們的代數(shù)和等于 3,只需取1,2即可。2例2把x 7x 6分解因式。2例3把x 4x 21分解因式。例4把x,、22 (1) x x 6 x 5x 6 2x 15分解因式。2通過例1人4可以看出，怎樣對 x px q分解因式？如果常數(shù)項q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù) p的符號相 同。如果常數(shù)項q是負數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號相同。對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項的系數(shù)p。例5把下列各式分解因式： x4 6x2 8

12、2(2) a b 4 a b 3(3) x2 3xy 2y2練習(xí)：1、因式分解:2(3) x x-226 (4) x 3x 4 (5) x 3x 42、( 1)若多項式x28x m可分解為(x 2)(x 6),則m的值為(2)若多項式x2kx 12可分解為(x2)(x 6),則k的值為3、選作：若多項式x2 2x m可分解為(x 3)(x n),求m、n的值.四.十字相乘法分解因式我們知道 x 2 3x 5 3x2 11x 10。反過來就得到：3x2 11x 10 x 2 3x 5。想一想3x2 11x 10怎樣因式分解的，有什么規(guī)律？總結(jié)規(guī)律：二次項白系數(shù)3分解成1,3兩個因數(shù)的積；常數(shù)項1

13、0分解成2,5兩個因數(shù)的積; 當(dāng)我們把1,3 , 2,5寫成1 235后發(fā)現(xiàn)1X 5+2X3正好等于一次項的系數(shù)11。由上面例子啟發(fā)我們，應(yīng)該如何把二次三項式ax2 bx c進行因式分解?我們知道，aaxa1c2 4c x GQa1x c1 a2x c22a2clx gc221122aezxag2 a2ci x cg2次項的系數(shù)a分解成aia2,常數(shù)項c分解成c2,并且把ai, a2, ci, C2排列如下: a2這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到 a1c2+a2G,如果它們正好等于ax2 bx c的一次 項系數(shù)b ,那么ax2 bx c就可以分解成 a1x c1 a2x c2 ,其中a1，。位于上圖的上 一行，a2, c2位于下一行。必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以