談提高對數(shù)學(xué)教學(xué)地認(rèn)識

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案談提高對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識最近（時間） 在南京師大附中有一個全國性高中新課程教學(xué)的觀摩活動，我應(yīng)邀對兩節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)進(jìn)行了點(diǎn)評。本文是根據(jù)點(diǎn)評整理修改而成。我堅持認(rèn)為，教學(xué)中的關(guān)鍵問題還是“怎么認(rèn)識教學(xué)”。現(xiàn)在搞新課改，要求用所謂新的理念來教學(xué)，我不贊成這個說法。一是不應(yīng)是根據(jù)“新理念”來教學(xué)，而是應(yīng)該根據(jù)“正確的科學(xué)理念”教學(xué)，不正確不科學(xué)的理念，即使新也不能用，而老理念只要正確、科學(xué)也可以用。 二是教過去的教材，就不要用或不能用正確的科學(xué)理念來教了嗎？所以本質(zhì)的問題不是教材問題，過去的教材依然應(yīng)該而且可以用正確的科學(xué)理念去教。如果說有了新課程，而沒有正確的科學(xué)理念，那有什么用， 還

2、不是用那一套不正確、不科學(xué)的模式去教嗎？所以每位教師對教學(xué)如何認(rèn)識是最為根本的文題。關(guān)于正確的、科學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，我提出以下幾個方面僅供討論。1. “教什么”是指“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”數(shù)學(xué)教學(xué)首要的問題是“教什么” 。如果把黨中央提出的科學(xué)發(fā)展觀遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，那么應(yīng)該把“教什么”的含義發(fā)展一下，發(fā)展為“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”。過去講“教什么”是把教和學(xué)混在了一起，現(xiàn)在看來，應(yīng)該是“教學(xué)生學(xué)什么”，教學(xué)什么！如果說教師教什么，學(xué)生就得聽什么，那么教師的主導(dǎo)與學(xué)生主體關(guān)系就不明確，很容易變成以教師為主宰。你把“學(xué)生學(xué)什么”作為教的內(nèi)容，那關(guān)系就比較明確了，你要教學(xué)生的

3、是“學(xué)什么”，就是引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑，去發(fā)現(xiàn)，去探究，去歸納，去判斷，去概括， 去把本來你要教的東西變?yōu)閷W(xué)生自己去探索他所應(yīng)該學(xué)的東西。于是，原來你要他學(xué)的東西成了他自己要學(xué)的東西，學(xué)生的主體性、 主動性就自然出來了，教師的主導(dǎo)作用也就充分發(fā)揮了。教的另一個重要內(nèi)容應(yīng)該是“教學(xué)生怎么學(xué)”。既然教學(xué)中要教學(xué)生學(xué)什么，當(dāng)然就要精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案教他怎么學(xué)。這就聯(lián)系到這兩節(jié)課的教學(xué)了。這兩節(jié)課， 教師開始提出的問題都很好。 “指、對函數(shù)的關(guān)系”這節(jié)課，意在指導(dǎo)學(xué)生初步獲得反函數(shù)的概念。教師先與學(xué)生共同復(fù)習(xí)指、對數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)，然后以“我們要養(yǎng)成學(xué)習(xí)了一些知識以后就把它們進(jìn)行橫向聯(lián)系”的方法論意義的

4、指導(dǎo)，向?qū)W生提出這節(jié)課的問題：“它們之間有什么關(guān)系呢？你打算怎樣去思考呢？”這就屬于“教學(xué)生怎么學(xué)”了。這個問題提得比較開放， 發(fā)散范圍比較大， 可供學(xué)生發(fā)揮想象力的空間比較大。什么樣的關(guān)系不知道， 怎么去研究它們的關(guān)系也不知道，問題里面所包含的方法性的選擇很多（？）。教師并不是直接問學(xué)生： “這兩個函數(shù)的定義域、值域、圖象之間有什么關(guān)系呀？”這是不在一個層次上的兩種問題。提的問題具有開放性，那么， 學(xué)生要回答這個問題，他首先就會想：我要找它們有什么關(guān)系，那我怎么去尋找呢？這不，方法論的思想出來了。接著，要尋找它們的關(guān)系， 該從哪幾個方面去尋找呢？噢，它們不都是函數(shù)嗎， 研究函數(shù)一般都是從定義

5、域、值域、圖像、單調(diào)性、奇偶性這些方面去進(jìn)行的。這個是涉及方法論的問題，而不是直接問上面所說的那種后一個問題，那都是直白的問題。這就在涉及“教學(xué)什么和怎么學(xué)”。上面的兩種問題，前者開放性大的問題，可以稱為“元認(rèn)知問題”1，后面這種知識性強(qiáng)的問題， 就稱為 “認(rèn)知性問題” 。認(rèn)知性問題與要解決的問題更接近一些，如果是 “1+1等于幾”那就一點(diǎn)啟發(fā)價值都沒有。還有，“你打算怎么去研究，你想從哪些方面入手？”這不也是教他學(xué)什么和怎么學(xué)了嗎？學(xué)什么，學(xué)研究的方法； 怎么學(xué)， 尋找適當(dāng)?shù)姆椒ㄈヌ骄堪l(fā)現(xiàn)知識。 假如遇到一個問題， 從來沒見過面， 怎么去研究？用南京師范大學(xué)附中特級教師陶維林老師的話說， “

6、老虎吃天，從何下口”？這又是方法論問題，即從哪些角度，從哪些方面去研究這個問題，那么，這就是教怎么學(xué)了。所以，每一節(jié)課知識固然重要，但最終目標(biāo)不應(yīng)該是知識。 尤其是這兩節(jié)課，最終的目標(biāo)是一般科學(xué)研究方法的滲透。但是，知識精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案是載體，不能脫離知識這個載體。你說要教研究方法，那就只教研究方法吧?？墒撬^脫離知識的單純的研究方法那種東西并不存在，研究方法的學(xué)習(xí)不能脫離知識，必須以知識作為載體，知識是方法的載體，知識是方法的基礎(chǔ)。所以數(shù)學(xué)教學(xué)一定是“離不開數(shù)學(xué)知識的”教學(xué)，但要實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo)是一般科學(xué)研究的方法如何探索，如何發(fā)現(xiàn)，如何研究。當(dāng)然， 關(guān)于“兩個函數(shù)之間有什么關(guān)系”這個問題是

7、他老師自己提出來的，照我的想法呢，最好還要再往前進(jìn)一步通過啟發(fā)，讓學(xué)生提出這個問題“我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了這兩個函數(shù)的有關(guān)知識，你們下面想研究什么，你們能提出什么問題？”從而讓學(xué)生提出教師想要提出的問題。如果通過啟發(fā)能把這個問題由學(xué)生自己提出，那最好。這種教學(xué)方式，我稱之為“從無到有的探究教學(xué)”。什么是探究？“從無到有”才是探究，“從無到有”就是從不會到會，不懂到懂，不明白到明白的過程。 一目了然的東西，不假思索就能知道的東西還需要探究嗎？當(dāng)然也要考慮到學(xué)生回憶這些知識后提不出問題來的可能，那就可以用稍微明確一點(diǎn)的問題啟發(fā)：“你們看這兩個函數(shù)是不是有藕斷絲連的感覺？既然藕斷絲連，那么你們看可以研究什么

8、？”如果學(xué)生還不能提出問題，那再由教師直接提出問題。這叫做“分級提問”2 。總之，老師要盡量通過啟發(fā)， 通過各種方式的啟發(fā)，讓學(xué)生來提出問題。這樣，學(xué)生才能學(xué)會將來如何應(yīng)對新情境、新問題。說老實(shí)話，現(xiàn)在的學(xué)生解決老問題，那是沒話說的，但是一遇到新問題就發(fā)毛了，什么原因呢？現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中缺乏對這些方面的培養(yǎng)。在“求方程的近似解”的第2 節(jié)課里如何體現(xiàn)這種思想呢？這節(jié)課需要解決兩個問題。一是，讓學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)“逼近”這個重要的數(shù)學(xué)思想。要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，而不是你教師把逼近的思想告訴他，然后他去逼近， 逼近思想本身應(yīng)該讓學(xué)生去探索。這是我們平時反對的那種“教師告訴，學(xué)生接受”的灌輸。事實(shí)上，能不能探

9、索？能探索，因?yàn)榍耙还?jié)課已經(jīng)研究了函數(shù)零點(diǎn)的概念，研究了函數(shù)零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值異號的特性，這兩者就構(gòu)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案成思考這節(jié)課問題的基礎(chǔ)， 就能成為這節(jié)課要學(xué)習(xí)的知識的生長點(diǎn)。因而，這節(jié)課的教學(xué)就應(yīng)該建立在這個生長點(diǎn)上。啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)逼近的數(shù)學(xué)思想，這是一。 二呢（能否去掉） ，就是解決 “方法問題” 。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)要用逼近的思想和縮小區(qū)間來逼近這個近似解，那么“怎么縮小區(qū)間”尋找縮小區(qū)間的方法。縮小區(qū)間的方法多種多樣，可以讓學(xué)生任意地去想，不一定要二分法，0.618 法也行，不過二分法更便捷一點(diǎn)。一些教師們認(rèn)為，要培養(yǎng)學(xué)生解決新問題能力，教科書中缺少素材， 或者只能通過解新而難的題，這

10、是一個認(rèn)識誤區(qū)， 其實(shí)教材上每一個新知識、新內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生解決新問題能力的最好素材和最佳時機(jī)。這堂課教學(xué)涉及到教材中的一些問題，這里我提一點(diǎn)個人看法。這段內(nèi)容的第一節(jié)， 題為“二次函數(shù)和一元二次方程”3 ，這個標(biāo)題是要闡述初中知識還是高中知識？它的實(shí)際內(nèi)容其實(shí)是講函數(shù)的零點(diǎn)，那標(biāo)題不就是“函數(shù)的零點(diǎn)” 嗎？標(biāo)題為“二次函數(shù)和一元二次方程”講的卻是函數(shù)的零點(diǎn)，文不對題。這個還不算大問題。大問題是零點(diǎn)的定義不正確，怎么用方程的解去定義函數(shù)的零點(diǎn)？什么叫函數(shù)的零點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)里很明確， 函數(shù)值取零的自變量的取值就叫函數(shù)的零點(diǎn)。根本的還不是函數(shù)零點(diǎn)的定義問題，根本的是 “為什么要講函數(shù)零點(diǎn)”，這個思想

11、沒有體現(xiàn)出來。之所以引進(jìn)函數(shù)的零點(diǎn)，根本原因是要用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)帥中學(xué)代數(shù)， 把所有的中學(xué)代數(shù)問題納入函數(shù)的思想下。用方程的解定義函數(shù)的零點(diǎn)， 不是把這種思想完全搞反了嗎？所以后面一節(jié)中，也就出現(xiàn)不用函數(shù)零點(diǎn)的思想去“求lnx =3-x 的解”，卻去用兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解的混亂4 。引入了函數(shù)的零點(diǎn)，解方程的問題就變成求函數(shù)零點(diǎn)的問題， 于是方程就納入到函數(shù)里來了。這樣一來， 初中學(xué)了那么多解方程的問題， 原來到了函數(shù)里，只不過是函數(shù)的零點(diǎn)問題，就是這么一個小小的問題。幾年里學(xué)的方程問題， 到了函數(shù)里一下子就被解決掉了，這就是統(tǒng)一到函數(shù)思想下的好處，也是數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的表現(xiàn)。為什么要用函數(shù)的思想統(tǒng)

12、帥中學(xué)數(shù)學(xué)，教師自己要明白、 要清楚，這樣才精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案可以“駕馭”教材。明白了這個道理， 這節(jié)課的處理就好辦了，求方程解的問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)問題。求函數(shù)的零點(diǎn)，怎么求？函數(shù)零點(diǎn)不是有個重要的特征嗎零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值異號。那么自然地， 零點(diǎn)一定在函數(shù)值異號的兩個自變量的值之間，它也就是方程的解。 再根據(jù)精確度的要求，逐步縮小區(qū)間就行了。所以，方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)問題就轉(zhuǎn)化為逼近問題， 逼近問題又轉(zhuǎn)化為縮小區(qū)間的問題，縮小區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為怎么樣縮小的問題， 怎樣縮小區(qū)間轉(zhuǎn)化為用二分法來縮小就行了。這樣一步步轉(zhuǎn)化很自然， 充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精

13、神。這就是，教學(xué)生“學(xué)什么”學(xué)習(xí)科學(xué)研究的一般方法，教學(xué)生“怎么學(xué)”用“從無到有”的探究方法去學(xué)。這里順便提一下，現(xiàn)在教學(xué)這段內(nèi)容的時候，一窩蜂地使用“幸運(yùn)52 ”猜商品價格的游戲，實(shí)際上它只與上述的最后一個轉(zhuǎn)化有關(guān)， 并沒有對前面的那些主要的轉(zhuǎn)化作出必要、合理的啟發(fā)暗示， 尤其對引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)本課中最重要的數(shù)學(xué)逼近思想沒有什么作用，只不過表面熱鬧而已。是不是堂堂課都要搞探究， 現(xiàn)有的條件下基本不可能。一個真正意義上的探究教學(xué)， 搞好了，很花時間，再說教學(xué)時間、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)內(nèi)容、教師精力、班級人數(shù)等等，那么多制約條件，談何容易，何況還有一個升學(xué)的壓力在那里呢！我的看法，3 、4 個星期能有

14、 1節(jié)課是真正的探究就了不起了，一個學(xué)期就有5 、6節(jié)課，不容易啦。應(yīng)該提倡教學(xué)中局部的探究式教學(xué)，經(jīng)常性的有那么一小段進(jìn)行探究，根本是要把“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎樣學(xué)” 體現(xiàn)出來。我提倡這樣來把握探究式教學(xué)：貫穿教學(xué)始終的探究多嘗試，每節(jié)課中一兩小段的探究需堅持。2“怎樣教”是指“怎樣教學(xué)生學(xué)什么”和“怎樣教學(xué)生怎么學(xué)”“怎樣教” 指什么？是指 “怎樣教學(xué)生學(xué)什么與怎樣教學(xué)生怎么學(xué)”。這好象有點(diǎn)繞口。簡單的說就是，教師要作為一個課堂的“教學(xué)向?qū)А? ，來教學(xué)生“學(xué)什么”和“怎么學(xué)” 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案這就一定要把學(xué)生放在探究的位置上，讓他自己去探究，自己去發(fā)現(xiàn)， 他必須成為主動的學(xué)習(xí)

15、者，教師的作用就是“教學(xué)向?qū)А币龑?dǎo)。怎么引導(dǎo)？通過啟發(fā)來進(jìn)行引導(dǎo)？與其它學(xué)科有所不同，數(shù)學(xué)教學(xué)中的啟發(fā)主要是暗示，教師通過啟發(fā)給學(xué)生以必要的暗示，學(xué)生通過自己的思維活動獲得暗示。數(shù)學(xué)中啟發(fā)教學(xué)的一個方法是設(shè)計問題情境。今天，反函數(shù)這節(jié)課的老師提出了一系列問題，上課剛開始提的問題，前面已經(jīng)說了。后來又提了一個問題：“反函數(shù)反在何處？”這兩個是大一點(diǎn)的問題， 其間還穿插了一系列的小問題。他不斷創(chuàng)設(shè)問題情境啟發(fā)學(xué)生；并且問題不是生硬地提出來的，而是在學(xué)生討論的過程中自然而然的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)的另一個方法是設(shè)計動態(tài)的直觀圖形啟發(fā)學(xué)生。圖形的直觀再加上動態(tài)更有利于引起學(xué)生的注意、質(zhì)疑、嘗試、探求以及理

16、解。指、對函數(shù)關(guān)系一課在這方面也做的比較好， 教師用幾何畫板反復(fù)運(yùn)動指、 對函數(shù)的圖象來作出暗示，以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形之間的對稱關(guān)系?！靶抡n標(biāo)”里特別強(qiáng)調(diào)直觀圖形的作用，指出要充分地利用直觀圖形作為理解數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)的輔助工具。 “新課標(biāo)”的解讀中特別明確用二分法求方程近似解內(nèi)容的教學(xué)要利用直觀圖形 6 ，而且也不難做到，可惜沒有引起教師的注意。數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)的最主要也是最基本的方法，是運(yùn)用“元認(rèn)知提示語”發(fā)問7 。用元認(rèn)知提示語發(fā)問的意圖也是給學(xué)生以暗示8 。從用隱蔽性強(qiáng)的弱暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，到用隱蔽性逐步減弱的強(qiáng)暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，用這樣的 “分級提問” 來達(dá)到對不同層次學(xué)生的引導(dǎo)。這就是說，

17、元認(rèn)知提示語所發(fā)出的暗示有一個“暗”到什么程度的問題，這要根據(jù)學(xué)生的具體情況而定， 是離目標(biāo)近一點(diǎn)還是離目標(biāo)遠(yuǎn)一點(diǎn)。離目標(biāo)越遠(yuǎn)， 暗示就越隱蔽， 元認(rèn)知成分就越多，認(rèn)知成分越少；離目標(biāo)越近，暗示就越明了，元認(rèn)知成分就越少，認(rèn)知成分越多。 要讓學(xué)生探究，教師就要教他怎么探究。但不是明白地告訴他如何如何探究，而是通過教師 “暗中” 的引導(dǎo)。最好的引導(dǎo)就是用元認(rèn)知提問來啟發(fā)學(xué)生，以至發(fā)展到學(xué)生學(xué)會用精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案元認(rèn)知提問來引導(dǎo)自己，這就可以達(dá)到“教他怎么學(xué)”了。這種教學(xué)方法，我稱之為“元認(rèn)知提問的啟發(fā)教學(xué)” 。比如，上課起始提這樣的問題： “同學(xué)們覺得這節(jié)課應(yīng)該研究什么問題？”這就是元認(rèn)知發(fā)

18、問。我們經(jīng)?？吹?，一上課教師就說“今天我們講”，比如象今天“求方程近似解”這節(jié)課，老師一開場就是： “我們今天來求一個三次方程的解”。為什么？為什么要求這個三次方程的解，你怎么想到這個問題的？天上掉下來的嗎？所以，首先就該由學(xué)生來找“這節(jié)課我們應(yīng)該研究什么？”或者，“通過這幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以研究什么？你想研究什么？” 啟發(fā)是教師的教學(xué)基本功，啟發(fā)的技巧和水平可以有高低，但是無論如何啟發(fā)都是必須的， 不進(jìn)行啟發(fā)甚至可以認(rèn)為是教師的無能。如果說“從無到有的探究教學(xué)”不可能每節(jié)課都做到，那么“ 元認(rèn)知提問的啟發(fā)教學(xué)”每一節(jié)都不可少。如果學(xué)生提出的課題不到位，教師可以發(fā)問：“能不能把你的問題表述得

19、更加明確一點(diǎn)呢？”教師的這些發(fā)問沒有涉及到具體知識，所以是元認(rèn)知提問。還可以發(fā)問：“如果要研究這個問題的話，那么著重要解決什么問題？”像這節(jié)課的課題其實(shí)是上節(jié)課遺留下來的，上節(jié)課已經(jīng)提出求lnx = 3- x的解的問題， 現(xiàn)在要求它的近似解，不會求，又沒有什么現(xiàn)成的公式，這個作為遺留問題已經(jīng)擺在那。上節(jié)課研究了函數(shù)零點(diǎn)的概念和性質(zhì)，很自然地，函數(shù)的零點(diǎn)就是這節(jié)課的生長點(diǎn)，解方程的問題就順理成章地轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題了。然而學(xué)生可能說，知道函數(shù)的零點(diǎn)我還是不會求。怎么辦？教師可以發(fā)問啟發(fā)：“上節(jié)課除了學(xué)習(xí)了函數(shù)的零點(diǎn)，還知道了什么零點(diǎn)附近的性質(zhì)，那么能不能以這兩方面為出發(fā)點(diǎn)去找到一個方案呢？” “

20、還是不能？”什么原因？原來“求lnx = 3-x 的解”這個問題中的方程太陌生了。 “那好，能不能找個熟悉一點(diǎn)的方程，尋找它的一個求近似解的方法，然后用這個方法去求那個陌生方程的近似解不就行了嗎？”這樣，學(xué)生就會想，“什么樣的方程熟悉？哦， 二次方程熟悉， 但是二次方程已經(jīng)有公式解了，還要找求它近似解的方法不是多此精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案一舉嗎？”再一想， “那個要求近似解的方程正因?yàn)闆]有公式解，才來研究二次方程的。那我就假設(shè)這個二次方程也沒有公式解，看看能不能找到求它的近似解的方法。”于是，學(xué)生把二次函數(shù)的圖象拿出來，上節(jié)課函數(shù)零點(diǎn)的概念、性質(zhì)拿出來，觀察特征，分析性質(zhì)，辨析聯(lián)系，形狀的、數(shù)值的

21、，可變的、不變的， 經(jīng)過一番探究，學(xué)生自己去尋找出方案就是可能的了。 根本的是讓學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)，不是老師直接告訴他： “縮、 縮 去逼近它” ，“逼近”兩個字連提都不要提，讓學(xué)生自己探索出來。當(dāng)然了，這不是所有學(xué)生都能做到的，不同的學(xué)生有不同的啟發(fā)和探索，南京師大附中的學(xué)生可能做得到。還有，“達(dá)到什么目標(biāo)就算把問題解決了？”這也是元認(rèn)知發(fā)問。有一次我聽南京師大附中陶維林老師講解析幾何中的“到角”公式，兩條直線位置關(guān)系的“到角”概念探索出來以后，他問學(xué)生“你們認(rèn)為這個到角最后結(jié)果達(dá)到了什么樣子，才能看作這兩條直線位置關(guān)系被刻畫清楚呢？”學(xué)生提出： “如果能找到到角的公式表達(dá)式就好了?！边@是一個猜

22、想找一個公式表達(dá)式，是對探究的結(jié)果或者目標(biāo)作出的預(yù)測和估計，應(yīng)該說這是科學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。 接下來， 這個公式能不能找到呢？怎么去找呢？要找的話，手頭上有什么樣的材料?。坑惺裁垂ぞ甙。坎牧系絾栴}的條件里去找，工具到已學(xué)的知識和方法中去尋， 這樣步步深入， 層層遞進(jìn)， 不就是在學(xué)習(xí)探索了嗎？不就是在學(xué)習(xí)一般科學(xué)研究的方法了嗎？這一系列發(fā)問就是由元認(rèn)知問題逐步向認(rèn)知問題過渡。最好的啟發(fā)是元認(rèn)知提問， 最差的啟發(fā)是直接告訴， 那就不叫啟發(fā)。 當(dāng)然還需要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和水平而定。 這樣做的好處是， 教師的主導(dǎo)作用真正體現(xiàn)出來了，學(xué)生的主體意識也真正發(fā)揮出來了?，F(xiàn)在有一門新的教育科學(xué)“學(xué)習(xí)科

23、學(xué)”提出：教師是課堂“教學(xué)向?qū)У闹鹘恰? 。學(xué)生是學(xué)的主體， 教師是教的主體， 10 但教師的主體作用體現(xiàn)為另一個主體學(xué)生的“向?qū)Ш鸵啡恕?。課堂里有許多教學(xué)向?qū)?，教師是向?qū)?，課本是向?qū)?，圖像是向?qū)В瑢W(xué)之間精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案也可以互為向?qū)?，但是所有的教學(xué)向?qū)е械闹鹘鞘钦l呢？是教師。教師是主角， 教學(xué)是離不開教師的。不要所謂新理念一來，教師就可以不要了。準(zhǔn)確地說，教師可能退到了幕后，但卻是“垂簾聽政” ，不但不能沒有教師，而且教師還是“教學(xué)向?qū)У闹鹘恰保?充分地認(rèn)識、理解和發(fā)動學(xué)生在一堂課的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的學(xué)生觀是頂重要的。教師正確的學(xué)生觀應(yīng)該是“充分地認(rèn)識學(xué)生，充分地理解學(xué)生，充分地發(fā)

24、動學(xué)生”。一堂課的教學(xué)從教師對學(xué)生而言，首先是要清楚學(xué)生關(guān)于新知識的生長點(diǎn)。今天所學(xué)習(xí)的東西， 它的生長點(diǎn)在何處？這個生長點(diǎn)是否植入了學(xué)生大腦之中，學(xué)生的大腦中有沒有這個生長點(diǎn)？如果沒有的話， 那就可以像奧蘇伯爾那樣建立先行組織者，先把它種下去， 先“播種”，把知識的生長點(diǎn)這個種子先播進(jìn)去，播入學(xué)生的頭腦里，然后新知識才可能在這個生長點(diǎn)上生長起來。新知識有了生長點(diǎn)，今天這節(jié)課開始了，教師就去“澆水、施肥、供給陽光”，它就會“生根發(fā)芽” ，越長越大了。那就是說應(yīng)該從學(xué)生已有的知識與已有的方法中逐步引出新的知識與新的方法， “讓知識從學(xué)生的頭腦中流淌出來”11 ，而不是我們灌輸進(jìn)去的。動不動“這個

25、是什么，那個要這么做”，這種往學(xué)生頭腦了硬裝硬塞的教學(xué)是最忌諱的。所以要充分認(rèn)識學(xué)生頭腦里有沒有生長點(diǎn)，將來這個知識能否從學(xué)生的頭腦里流淌出來。不僅要認(rèn)識學(xué)生， 還要充分理解學(xué)生， 不要過高地估計學(xué)生。年輕一點(diǎn)的教師往往認(rèn)為他教的問題很簡單，快快地過去。要明白，探究要花很多的時間，需要極大的耐心。所以，這個新的學(xué)習(xí)科學(xué)有一個“時間等待理論”12 。什么樣的問題要等多少時間，這個不是隨心所欲， 你想怎么樣就怎么樣的。 要根據(jù)你對學(xué)生已有的了解和現(xiàn)時的觀察，來判斷各個問題要留多長時間給學(xué)生思考。一些教師經(jīng)常會從自己認(rèn)為簡單，就主觀推斷學(xué)生也會覺得簡單， 這是過高估計了學(xué)生對你所教知識的了解。他果真

26、像你那樣清楚和了解，還要你去教嗎？著名的數(shù)理邏輯學(xué)家，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案波蘭數(shù)學(xué)家策墨羅有一句流傳很廣的風(fēng)趣幽默的名言：“你需要把你的學(xué)生或你的聽眾當(dāng)作笨驢” 13 ，這當(dāng)然決不是瞧不起聽眾，而是強(qiáng)調(diào)不要高估了你的聽眾。用到教學(xué)上就是教師不要高估了你的學(xué)生，學(xué)生對你所要教東西的了解是很缺乏的。今天的指、 對函數(shù)關(guān)系一節(jié)課，老師發(fā)問后等待的時間就把握很好，教學(xué)節(jié)奏也把握的很好。理解學(xué)生還有一個方面，是不要以好學(xué)生作為教學(xué)啟發(fā)的參照系，這可能特別要引起注意。有時分組討論，每個小組都有一兩個好學(xué)生，討論很熱烈。再仔細(xì)一看，正是那些好學(xué)生在夸夸其談， 其他的人都是聽眾，這就等于老師的講變成好學(xué)生的講

27、，老師的告訴變成為好學(xué)生的告訴。那么，這與老師告訴學(xué)生有何區(qū)別？何況可能還不如老師講的清楚。所以，中等偏下的學(xué)生應(yīng)是你的教學(xué)啟發(fā)參照系，這并不影響好學(xué)生，是充分理解學(xué)生。除了充分認(rèn)識學(xué)生、理解學(xué)生， 還有就是要充分發(fā)動學(xué)生，發(fā)動學(xué)生積極參與。積極參與，就是智力參與。 對話、 交流、討論，每個人都必須是智力參與其中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更要如此，而且要強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考，不是人云我云，模仿復(fù)制。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)跟別的學(xué)科不同，時刻離不開獨(dú)立思考。有些學(xué)科，語文、歷史、政治，或許物理、化學(xué)更適合互相討論，別人的聯(lián)想可以激發(fā)你的聯(lián)想， 別人的觀察可以幫助你的觀察。數(shù)學(xué)不同，數(shù)學(xué)是抽象的思想材料，它需要獨(dú)立思考， 別人的思考代

28、替不了你的思考，別人的探究不能代替你的探究。所以學(xué)數(shù)學(xué)不很提倡預(yù)習(xí)， 今天要學(xué)的東西，他通過預(yù)習(xí)什么都知道了，謎底揭穿了成了已知的，還有什么可探究的？像今天這兩節(jié)課，如果學(xué)生預(yù)習(xí)的話，什么探究都沒有了。北京過去有一位數(shù)學(xué)教師叫孫維剛， 是全國很有名的特級教師，他教學(xué)伊始就向家長打招呼，學(xué)數(shù)學(xué)不需要預(yù)習(xí)，你們家長不要逼著孩子預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)。他從初一接手，學(xué)生是三流、二流的，因?yàn)樗诘谋本?2 中在朝陽區(qū)不是最好的學(xué)校，一流好學(xué)生到了更好的學(xué)校。他帶的這個班到1997年高三畢業(yè)， 42 個學(xué)生全部上本科，其中，39 人上重點(diǎn)， 22 人考取北大清華；有一人當(dāng)年沒考上，執(zhí)意第二年繼續(xù)考，還是考取北大14

29、 。不預(yù)習(xí)，他面臨的就是新問題、新情境，那精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案他才有可能“從無到有”地去探究。所以說，學(xué)數(shù)學(xué)要探究，預(yù)習(xí)反會幫倒忙。學(xué)數(shù)學(xué)要探究，你就要發(fā)動學(xué)生積極參與，智力參與，僅有外部的熱鬧沒有意義，大腦內(nèi)部有激烈的思想活動才有意義。 對于數(shù)學(xué)這種抽象的形式化的思想材料，任何外部的活動不內(nèi)化為內(nèi)部的思維活動，都無濟(jì)于事。所以關(guān)鍵是，活動中學(xué)生智力參與了沒有，獨(dú)立思考了沒有。4數(shù)學(xué)教學(xué)要把握大觀點(diǎn)和核心概念數(shù)學(xué)教學(xué)要把握大觀點(diǎn)，把握核心概念， 是數(shù)學(xué)教學(xué)的又一個重大問題。我曾經(jīng)提出數(shù)學(xué)教育研究的二重原理： “教與學(xué)對應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”15；還提出，教師要創(chuàng)造性地教，學(xué)生要創(chuàng)造性地學(xué) 16

30、 。教師創(chuàng)造性地教是主要的，只有教師創(chuàng)造性地教，學(xué)生才能創(chuàng)造性地學(xué)。教師要創(chuàng)造性的教，就不但要研究學(xué)生的學(xué)，更要研究數(shù)學(xué)，把握教材。后者就屬于 “教與數(shù)學(xué)對應(yīng)” 的問題。教師要能夠把握數(shù)學(xué)和駕馭教材，是一個數(shù)學(xué)教師的必要條件。把握數(shù)學(xué)和駕馭教材的前提，是把握數(shù)學(xué)的大觀點(diǎn)和核心概念17 。什么是數(shù)學(xué)的大觀點(diǎn)， 函數(shù)的觀點(diǎn)就是大觀點(diǎn)。 怎么用函數(shù)的觀點(diǎn)把握學(xué)過的知識，然后把它納入到函數(shù)里面去，這就像華羅庚先生講的，書由越讀越厚，再到越讀越薄，解方程變成求函數(shù)零點(diǎn)，到函數(shù)里面，解方程成了很簡單的事情，只是函數(shù)的一個小方面，而在初中數(shù)學(xué)里解方程搞了很長時間，當(dāng)然不等于說初中那個過程不要。數(shù)學(xué)的大觀點(diǎn)還

31、包括，代數(shù)的本質(zhì)是什么？算術(shù)是對已知數(shù)進(jìn)行運(yùn)算而未知數(shù)不能參加運(yùn)算，代數(shù)是未知數(shù)也可以參加運(yùn)算，代數(shù)的本質(zhì)在這兒。掌握這個大觀點(diǎn)，有利于對初中代數(shù)的認(rèn)識和把握。全部代數(shù)問題，就是字母代表未知量，字母參加運(yùn)算：字母參加乘法、加法整式，字母參加除法分式，字母參加開方運(yùn)算根式，字母參加指數(shù)運(yùn)算指數(shù)式，等式中加入字母方程，不相等關(guān)系中加入字母不等式。噢，這個問題一旦認(rèn)識清楚，初中代數(shù)的所有問題都清楚了。代數(shù)的本質(zhì)是未知數(shù)參加運(yùn)算，這就是大觀點(diǎn)。什么是核心概念，像“函數(shù)的零點(diǎn)”在“求方程的近似解”這節(jié)課是核心概念。教學(xué)設(shè)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案計要圍繞大觀點(diǎn)或核心概念。比如指、對函數(shù)關(guān)系這節(jié)課，“反函數(shù)反在

32、何處？”也是核心概念。定義域與值域互換；表達(dá)式中自變量與函數(shù)的符號互換；它們的圖形關(guān)于直線y=x對稱。 抓住了這個核心概念的本質(zhì)特征，反函數(shù)問題就基本解決了。那么，教師創(chuàng)造性地教就從這里也體現(xiàn)出來了， 體現(xiàn)在那兒呢， 體現(xiàn)在教師把這些大觀點(diǎn)或核心概念變成為學(xué)生的大觀點(diǎn)或核心概念。 于是， 怎么創(chuàng)造？創(chuàng)造性地創(chuàng)設(shè)問題情境，創(chuàng)造性地構(gòu)造動態(tài)的幾何圖形，創(chuàng)造性地去運(yùn)用和發(fā)展元認(rèn)知提示語。元認(rèn)知提問每個教師都可以提，不是固定的。有沒有固定的提示語？有， 波利亞的書里有， 但那是局限在解題的幾個方面，數(shù)學(xué)教學(xué)中的元認(rèn)知提示語，需要教師自己挖掘提煉。這樣， 作為數(shù)學(xué)教師來講，數(shù)學(xué)功底顯得很重要，但批判的眼

33、光更為重要，由這兩者才能審視數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。 這倒不是要找茬，而是在選取材料上要有批判的眼光，要知道，教材只是供師生教學(xué)使用的材料。比如，函數(shù)的零點(diǎn)這一節(jié)內(nèi)容中有個例題，要求由圖像求二次函數(shù)的解析式， 干嘛要解決這個題？與函數(shù)的零點(diǎn)及其性質(zhì)問題有什么關(guān)系？我聽了幾節(jié)課下來，這個求二次函數(shù)的解析式問題都要花20 幾分鐘，耽誤時間又干擾主題。這里，就涉及教師自己要駕馭教材。 如何駕馭教材？教科書上的內(nèi)容我可以用它，也可以不用它， 切忌照本宣科。不要不敢越雷池半步。教材是人寫的嘛，只要是人寫的出點(diǎn)差錯難免，不合適的地方可能更多，但是教師要能看出來，要能彌補(bǔ)它，要合理地再加工。所以，教師自己要有批判的

34、眼光， 不適當(dāng)?shù)臇|西、 不合理的東西，你要敢于拿出自己的方案。這也是數(shù)學(xué)的理性精神的體現(xiàn)，新課標(biāo)特別提出數(shù)學(xué)教學(xué)就是要培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，如果不分青紅皂白，錯的對的一股腦兒倒給學(xué)生，那還是培養(yǎng)理性精神嗎？培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，教師自己首先要有理性精神。理性精神還體現(xiàn)在不迷信權(quán)威，因?yàn)榻滩氖菣?quán)威寫的我就只能照辦，是不是呢？波利亞的數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)( 第二卷 )中講了一件事 18 ：當(dāng)時的美國 (上個世紀(jì)60 年代 )，組織了一個精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案中學(xué)教材的編寫班子，里面有大學(xué)數(shù)學(xué)教授和有教學(xué)法專長的中學(xué)數(shù)學(xué)老師，預(yù)期教授們非凡的數(shù)學(xué)見解和中學(xué)教師精湛的教學(xué)技藝融合，一定能得到了不起的產(chǎn)物。波利亞對此打

35、了個比方，他年輕時，美國有個非常漂亮的風(fēng)靡世界的女舞蹈家伊莎朵拉鄧莰，同時有個聞名世界的愛爾蘭大文豪肖伯納。這個舞蹈家就說，假如我跟肖伯納結(jié)婚，生出來的孩子有我的容貌和肖伯納的頭腦，那一定是絕妙的結(jié)晶；肖伯納聽到后說，假如孩子生有我的容貌和她的頭腦， 那該多么不幸呀？波利亞說，這種不幸果真出現(xiàn)了，我們已經(jīng)看到個別出版社出版的新教材，竟將中學(xué)教師的數(shù)學(xué)眼光與大學(xué)教授教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合到了一起。哎呀，我就想，中國的課改該不會走美國的老路吧？所以，教師不必迷信教材。這就要求數(shù)學(xué)教師要有良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)， 有對數(shù)學(xué)本質(zhì)準(zhǔn)確的把握；數(shù)學(xué)教師還要有審視和批判的眼光，敢于提出自己的見解和修正。 這是學(xué)術(shù)問題，應(yīng)該敢

36、于爭鳴；這關(guān)系到一代學(xué)生的未來，教師有義不容辭的責(zé)任。5 樹立和堅持正確的科學(xué)教育觀我只提正確的科學(xué)教育觀，不講什么新理念。為什么？因?yàn)樗^的新理念，其實(shí)不但不是新理念，而且甚至可以說是老理念。建構(gòu)的思想皮亞杰的；做中學(xué)杜威的；發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)布魯納的；探究式教學(xué)施瓦布的；再發(fā)現(xiàn)思想波利亞的19 ；合作學(xué)習(xí)約翰遜的20 。除約翰遜是20 世紀(jì) 70 年代人， 其它的都是上個世紀(jì)上半葉的“老”教育家。 說明這些理念并不新，但不新不等于說不可取，他們的這些理論不是正在作為“新”理念在鼓吹嗎？這說明“老”的理論中確有可取之處。但對于其中的可取之處，不能夠教條主義一成不變地照搬套用。這些的理念有它產(chǎn)生的形勢背

37、景和文化傳統(tǒng)，要從中選擇與中國社會背景和文化傳統(tǒng)相容的思想，特別是與中國的教育實(shí)踐相結(jié)合起來，這些理念才能為我所用，獲得良好的效果。這是“橘生淮南為橘，生于淮北則為枳”的很淺顯的道理。所以要正確的看待外國引進(jìn)的理念。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案現(xiàn)在各種新的理念漫天飛，而中小學(xué)教育的應(yīng)試現(xiàn)狀不但愈演愈烈，而且大有不可阻擋之勢。 根本的是教育目標(biāo)問題，我們的教育目標(biāo)究竟是什么？教育目標(biāo)中從來都把“人的發(fā)展”放在第一位的，發(fā)展什么？民族的精神，愛國的熱情，健全的人格，高尚的情操，豐富的知識，創(chuàng)造的精神，敏銳的認(rèn)識力，強(qiáng)健的體魄，這應(yīng)該就是人的發(fā)展目標(biāo)。從具體的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，作為“人的發(fā)展”，就體現(xiàn)為發(fā)

38、展人的認(rèn)識力思維力、判斷力、洞察力、鑒別力、鑒賞力、辨析力、預(yù)見力等等，這是最重要的。每一節(jié)課上完了， 都需要思考， 在上述的這些方面對學(xué)生的發(fā)展有沒有貢獻(xiàn)，有沒有推動？不管是數(shù)學(xué)課、語文課、政治課、歷史課 ，在這些方面或多或少都應(yīng)該有所貢獻(xiàn)。像這節(jié)“求方程近似解”的課，這位老師想從兩個方面去發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力，一方面要啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)逼近思想， 另一方面啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)縮小區(qū)間的方法。在這兩個問題上， 他對后一問題處理的很好， 怎么去尋找縮小區(qū)間的方法，除了二分法以外，還有什么方法，給學(xué)生提供了想象的空間。但是這節(jié)課最重要的方面是什么，是在前面，要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)逼近的數(shù)學(xué)思想。遺憾的是， 一開

39、始他就問學(xué)生， 能不能用逼近的方法？區(qū)間能不能取得更小一點(diǎn)？這不等于把逼近的思想方法告訴學(xué)生了嗎？這個逼近的思想應(yīng)該通過教師的啟發(fā)，讓學(xué)生尋找出來，讓他想到應(yīng)該更小一點(diǎn)、更小一點(diǎn)，應(yīng)該讓它從學(xué)生的頭腦里流淌出來，而不是你講出來。所以，教師如果把前面的這些東西多花些時間，用超過二分法(取中點(diǎn) )所用的時間，讓學(xué)生去尋找， 那這節(jié)課就完美了。逼近思想由學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)出來才是最重要的，這就需要花較多的時間。 我后來發(fā)現(xiàn)， 你到了 8-12分鐘的時候， 二分法已經(jīng)解決了， 學(xué)生已經(jīng)知道取中點(diǎn)，再縮小區(qū)間， 接著就是敲敲計算器，屬于操作性的了， 是不是呀？如果你前邊在探索逼近思想上多花點(diǎn)時間， 后邊在近似計算上就無須花那么多時間。請原諒，我說話就有點(diǎn)不客氣了，好在你我是師生，我講的也不一定對，僅僅是個人的想法，而且這是進(jìn)行討論研究，我們可精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案以再商榷。（能否去掉）我的本意是想強(qiáng)調(diào)，每節(jié)課都要反思，反思這節(jié)課在發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力上有沒有做出貢獻(xiàn)。如果把“人的發(fā)展”放在首位，那么，每節(jié)數(shù)學(xué)課都要把發(fā)展學(xué)生的認(rèn)識力作為教學(xué)的最大目標(biāo)。 實(shí)際上， 人到長大以后， 學(xué)過的東西都忘了，在座的老師還記得你當(dāng)時學(xué)了多少政治、歷史、化學(xué)啊？可能都忘的差不多了。但決不是說可以不學(xué)政治、歷史、化學(xué)那些知識了， 那些知識都發(fā)展成為你的認(rèn)識力啦！具體知識雖然忘了