羅增儒談高考數(shù)學(xué)與高考解題

1、數(shù)學(xué)高考與高考解題羅增儒（1945），男，廣東惠州人，1962年就讀中山大學(xué)，畢業(yè)后長期當(dāng)?shù)V山職工和子弟學(xué)校教師現(xiàn)為陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）博士生導(dǎo)師，享受國務(wù)院的政府特殊津貼，著有數(shù)學(xué)解題學(xué)引論、數(shù)學(xué)競(jìng)賽導(dǎo)論、中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析、怎樣解答高考數(shù)學(xué)題、怎樣解答中考數(shù)學(xué)題、數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟、直覺探索方法、零距離數(shù)學(xué)交流、中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐等書300萬字，發(fā)表文章300多篇從1980年開始，幾十年如一日研究高考、競(jìng)賽的解題與命題，項(xiàng)目著眼數(shù)學(xué)素質(zhì) 服務(wù)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)高考解題理論的建設(shè)曾獲省級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果獎(jiǎng)，項(xiàng)目奧林匹克數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)曾獲國家級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果獎(jiǎng)0 數(shù)學(xué)高考0.1 數(shù)學(xué)高考

2、的全程工作從1977年恢復(fù)高考，歷史走過了波瀾壯闊的30多個(gè)春秋，環(huán)繞著高考工作的文化積累正在考試學(xué)、人才學(xué)和數(shù)學(xué)等維度形成學(xué)術(shù)成果我期待著數(shù)學(xué)高考學(xué)的誕生數(shù)學(xué)高考的全程工作有4個(gè)基本問題:（1）掌握數(shù)學(xué)知識(shí)問題 怎樣復(fù)習(xí)（教育學(xué)）（2）提高解題能力問題 怎樣解題（數(shù)學(xué)）（3）運(yùn)用考試技術(shù)問題 怎樣答題（考試學(xué)）（4）科學(xué)填報(bào)志愿問題 怎樣選擇（運(yùn)籌學(xué)）其中，最核心的是解題，搞好復(fù)習(xí)是為解題積聚力量，運(yùn)用考試技術(shù)是為解題作充分的發(fā)揮，分段得分技術(shù)是解題策略的運(yùn)用解題能力是數(shù)學(xué)高考的核心競(jìng)爭力0.2 數(shù)學(xué)高考命題的風(fēng)格高考命題一直在“穩(wěn)中求進(jìn)，穩(wěn)中求變、穩(wěn)中求新”，探索 公平選拔、為素質(zhì)教育服務(wù)

3、的道路，已形成了一些穩(wěn)定性的風(fēng)格和值得注意的導(dǎo)向.（1）在全面考查“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法”的基礎(chǔ)上，更突出數(shù)學(xué)思想方法的考查，突出數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系. 全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的理科15個(gè)、文科13個(gè)知識(shí)模塊，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面達(dá)60%（約涉及7080個(gè)知識(shí)點(diǎn)）；同時(shí)，試卷突出學(xué)科的核心內(nèi)容，集合與函數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等重點(diǎn)內(nèi)容在試卷中占有較高的比例，整體結(jié)構(gòu)合理，也達(dá)到了必要的考查深度；此外，在模塊單一型試題為主體的基礎(chǔ)上還會(huì)進(jìn)行知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合試卷在全面覆蓋基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)注重能力的考查，特別是邏輯思維能力，運(yùn)算能力和空間想象能力至于實(shí)踐能力

4、和創(chuàng)新意識(shí)方面則是努力體現(xiàn)（五個(gè)能力）在數(shù)學(xué)思想方法方面，七個(gè)基本數(shù)學(xué)思想在試卷中都會(huì)涉及，其中，函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法會(huì)體現(xiàn)得較為突出中學(xué)階段基本數(shù)學(xué)思想方法主要“有用字母表示數(shù)的基本思想方法”，“集合與對(duì)應(yīng)的基本思想方法”，以及函數(shù)與方程的基本數(shù)學(xué)思想（通過函數(shù)題，綜合題）數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想（通過函數(shù)題，解析幾何綜合題，構(gòu)造圖形等）分類與整合的基本數(shù)學(xué)思想（通過綜合題，排列組合題，參數(shù)討論題）化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學(xué)思想（通過綜合題）特殊與一般的基本數(shù)學(xué)思想（通過綜合題）有限與無限的基本數(shù)學(xué)思想（通過極限、微積分函數(shù)題）或然與必然的基本數(shù)

5、學(xué)思想（通過概率、統(tǒng)計(jì)題）主要解題方法（待定系數(shù)法、換元法、配方法、反證法、代入法、消元法、數(shù)學(xué)歸納法）會(huì)有不同程度的體現(xiàn)（2）在主體上考查中學(xué)數(shù)學(xué)的同時(shí)，會(huì)體現(xiàn)進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的需要.特別是一些有挑戰(zhàn)性的壓軸題，尤其各省獨(dú)立命題之后，更是“注重理論數(shù)學(xué)，檢測(cè)考生后繼學(xué)習(xí)的潛能”（有人看到了高考與競(jìng)賽的相互滲透）.（3）新課程理念的滲透.雖然新世紀(jì)課程改革剛剛起步（高中教材才開始試用），但其三維目標(biāo)和十個(gè)基本理念會(huì)開始滲透（課程改革改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命題范圍拓展了，出現(xiàn)人文關(guān)懷，體現(xiàn)“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”課程目標(biāo).（4）在命題技術(shù)上，可以看到：以教材為依據(jù)，又不拘泥于教材.

6、在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)命題.能力立意.改變了過去的知識(shí)立意.減少題量，降低難度，增加學(xué)生分析思考的時(shí)間.對(duì)三類題型設(shè)計(jì)了兩個(gè)從易到難的三個(gè)小高潮.變小量難題把關(guān)為全卷把關(guān).試題切入容易深入難（階梯題）.避免死記硬背的內(nèi)容和繁瑣的運(yùn)算（試卷提供難記易忘的公式）.文理分卷，難度有區(qū)別（姐妹題）.0.3 數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的組織工作（1）指導(dǎo)思想（2）高考復(fù)課的階段安排 （3）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題的編擬（4）數(shù)學(xué)模擬考試的組織與講評(píng)（5）數(shù)學(xué)高考臨場(chǎng)的策略0.4 數(shù)學(xué)高考的研究工作（1）高考數(shù)學(xué)的特征（2）數(shù)學(xué)高考解題的特點(diǎn)（3）數(shù)學(xué)高考選擇題的求解（4）數(shù)學(xué)高考填空題的求解（5）數(shù)學(xué)高考解答題的求解（6）數(shù)學(xué)高考解題的

7、錯(cuò)誤分析（解對(duì)了也會(huì)有策略性錯(cuò)誤）（7）高考數(shù)學(xué)命題的研究（8）數(shù)學(xué)高考試卷的構(gòu)成（9）數(shù)學(xué)高考的題型（10）數(shù)學(xué)高考設(shè)問的研究（11）數(shù)學(xué)高考難度的研究（12）數(shù)學(xué)高考賦分的研究（13）0.5 高考臨場(chǎng)的基本建議 （1）保持內(nèi)緊外松的臨戰(zhàn)狀態(tài). （2）使用適應(yīng)高考的答題策略.（3）運(yùn)用應(yīng)對(duì)選拔的考試技術(shù).高考答題的技術(shù)提前進(jìn)入角色.迅速摸清“題情”. 執(zhí)行“三個(gè)循環(huán)”.做到“四先四后”.答題“一慢一快”.立足中下題目，力爭高上水平.立足一次成功，重視復(fù)查環(huán)節(jié).內(nèi)緊外松.0.6高考填報(bào)志愿.升學(xué)優(yōu)先. 就業(yè)優(yōu)先. 專業(yè)優(yōu)先. 成本優(yōu)先. 地區(qū)優(yōu)先.幾項(xiàng)兼顧.家長決定.1 解答高考數(shù)學(xué)題的必要基

8、礎(chǔ)1-1 明確解題過程1-1-1 數(shù)學(xué)解題的一般程序 （波利亞：怎樣解題）弄清題意主要是弄清條件是什么?結(jié)論是什么?各有幾個(gè)?如何建立條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系? 例1 已知三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解法1 若正面求解，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，將出現(xiàn)7種可能，情況復(fù)雜，但其反面則只有一種情況：三個(gè)方程都沒有實(shí)根，問題變得極為簡單有即 得 再求補(bǔ)集，得三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為 評(píng)析 這個(gè)解法思路是可行的，答案是正確的，但由“7種可能，情況復(fù)雜”，得出“正面求解，情況復(fù)雜”卻是認(rèn)識(shí)的封閉和邏輯的混亂“三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍”就是

9、三個(gè)集合的并集，其求解并不比解法1復(fù)雜解法2 “三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根”就是第一個(gè)方程有實(shí)根、或第二個(gè)方程有實(shí)根、或第三個(gè)方程有實(shí)根，得 或 或 求、的并集，可得三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為評(píng)析 由上面的兩個(gè)解法可以看到（1）問題表征影響解題方向與解題長度將“三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根”表征為7種可能：某個(gè)方程有實(shí)根3種可能、某兩個(gè)方程有實(shí)根3種可能、三個(gè)方程都有實(shí)根1種可能，接下來還有7種情況的合并，書寫量確實(shí)較大；解法1只看到這一思路“情況復(fù)雜”，沒有看透復(fù)雜的原因，其提出的“反面求解”思路雖然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我們從這三個(gè)思路中看到

10、了問題表征對(duì)解題方向與解題長度的影響（2）知識(shí)影響解題其實(shí)，由集合運(yùn)算的性質(zhì)知，解法1與解法2是等價(jià)的，解法1的作者要是調(diào)動(dòng)起了這一知識(shí)，就不至于對(duì)“正面求解”一概得出消極的結(jié)論（3）反思有助于理解 如果對(duì)列舉“7種可能”的思路作反思就會(huì)看到，這種先分后合的步驟，其實(shí)已使得后4種情況的書寫成為簡單重復(fù)或多余回路；同樣，如果對(duì)解法1作反思，也有機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)“反面求解”其實(shí)有“正面求解”的等價(jià)思路 例2 滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4審題：是的子集，得（1）正面：中含有3的子集個(gè)數(shù).（2）反面：中不含3的子集個(gè)數(shù).擬定計(jì)劃探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的建議是分兩步走

11、：努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系(模式識(shí)別等)；如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來的問題作出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問題，為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題這實(shí)際上是闡述和應(yīng)用解題策略，并進(jìn)行資源的提取與分配，基礎(chǔ)是“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置回顧“回顧”是最容易被忽視的階段波利亞解題表中的“回顧”并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗(yàn)”（正確性的保證，解題的必要步驟），主要是有分析地領(lǐng)會(huì)所得的解法，它包含著把“問題及其解法”(認(rèn)知)作為對(duì)象

12、進(jìn)行自覺反思的元認(rèn)知意圖 在內(nèi)容上，弄清用到了哪些知識(shí)？哪些方法？在組織上，弄清先用 哪些知識(shí)（方法）？后用 哪些知識(shí)（方法）？哪個(gè)與哪個(gè)作了配合？組成一個(gè)怎樣的邏輯結(jié)構(gòu)？（臨場(chǎng)可能就來不及回顧了）1-1-2 數(shù)學(xué)解題的信息過程（1）有用捕捉即通過觀察從理解題意中捕捉有用的信息，主要是弄清條件是什么?結(jié)論是什么?各有幾個(gè)?如何建立條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系?捕捉有用的符號(hào)信息和形象信息知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是有用捕捉的基礎(chǔ)（2）有關(guān)提取即在“有用捕捉”的刺激下，通過聯(lián)想而從解題者頭腦中提取出解題依據(jù)與解題方法良好的認(rèn)知構(gòu)結(jié)和機(jī)智的策略選擇是連續(xù)提取、不斷捕捉的基礎(chǔ)（3）有效組合將上述兩組信息資源，加工配置成一

13、個(gè)和諧的邏輯結(jié)構(gòu)邏輯思維能力是有效組合的基礎(chǔ)其基本要求應(yīng)能說服自己、說服朋友、說服論敵 圖1例3 1993.（23）設(shè)4x-2x+1(x0)，則= .解說 從題目中可得兩個(gè)信息：（1）是表達(dá)式；（2）是反函數(shù)的自變量的取值為0.從記憶儲(chǔ)存中提取函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系作為解題的依據(jù)：， 得 .再從“原課本P60例1”的回憶中，得出指數(shù)方程的解 ， 再一次應(yīng)用函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系： . 解題的信息過程如下圖，有5條信息組成的一個(gè)和諧的邏輯結(jié)構(gòu)：從記憶儲(chǔ)存中提取有關(guān)信息信息2：從題意中捕捉有用信 息信息1：反函數(shù)的自變量為0信息2：課本P60例1圖2請(qǐng)注意,其中的條件保證了反函數(shù)的存在性,否則 在R上沒有

14、反函數(shù)1-1-3 數(shù)學(xué)解題的心理機(jī)制解題的心理過程是在問題的條件及結(jié)論的啟發(fā)下，激活記憶網(wǎng)絡(luò)中的一些知識(shí)點(diǎn)，然后沿接線向外擴(kuò)散，依次激活新的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)，要對(duì)被激活的知識(shí)進(jìn)行篩選、組織、評(píng)價(jià)、再認(rèn)識(shí)和轉(zhuǎn)換，使之協(xié)調(diào)起來，直到條件與結(jié)論之間的線索接通，建立起邏輯演繹關(guān)系（擴(kuò)散激活） 圖31-2 夯實(shí)解題基礎(chǔ)冒著過于簡單化的風(fēng)險(xiǎn)，解題可以理解為“把知識(shí)內(nèi)容連接成一個(gè)邏輯鏈條”，因此，解題首先要有知識(shí)基礎(chǔ)和組織知識(shí)內(nèi)容的思維能力，同時(shí)在調(diào)動(dòng)和配置知識(shí)內(nèi)容時(shí)還需要經(jīng)驗(yàn)與良好的心理所以，盡管解題的成功取決于我們尚未徹底弄清的多種因素，但最基本的應(yīng)有：解題的知識(shí)因素，解題的能力因素，解題的經(jīng)驗(yàn)因素和解題

15、的情感因素，這也就是我們常說的解題基本功值得注意的是，解題不僅是知識(shí)的使用而且也是知識(shí)的理解，不僅是能力的運(yùn)用而且也是能力的培養(yǎng)，不僅是經(jīng)驗(yàn)的呈現(xiàn)而且也是經(jīng)驗(yàn)的積累，不僅是情感的表現(xiàn)而且也是情感的養(yǎng)成一句話，解題不僅僅是基本功的簡單體現(xiàn)，而且更是基本功的繼續(xù)學(xué)習(xí)（庸者重在輸出，智者重在輸入），同樣是“天天畫蛋”，有的人“熟而生厭”、“熟而生笨”，而達(dá)芬奇卻畫出個(gè)國際大師1-2-1解題的知識(shí)因素（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）人的思維依賴于必要的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)正是數(shù)學(xué)解題思維活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)與憑借豐富的知識(shí)并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件既然，解題就是把知識(shí)內(nèi)容連接成一個(gè)邏輯鏈條，

16、那么，沒有知識(shí)內(nèi)容那來的知識(shí)邏輯鏈！解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉庫是一個(gè)解題者的重要資本”每一個(gè)希望提高解題效率、獲得解題成功的人，都必須下決心，在“知識(shí)豐富”與“結(jié)構(gòu)良好”兩方面花大力氣，所以我們建議在第一階段復(fù)習(xí)要做到“四過關(guān)”：能準(zhǔn)確理解書中的任一概念；能獨(dú)立證明書中的每一定理；能熟練求解書中的所有例題；能歷數(shù)書中各單元的作業(yè)類型.測(cè)試（形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，思維路線圖）例4-1 閉上眼睛，你能回憶幾條數(shù)學(xué)定理，說出幾個(gè)數(shù)學(xué)名詞？越多越好！例4-2 當(dāng)我說“函數(shù)”時(shí)，你能想起相關(guān)的多少個(gè)概念和定理？越多越好！例4-3 說出一條會(huì)證的定理。例4-4 說出一道會(huì)做

17、的題目。對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)來說，記住知識(shí)還不是最難的（連記都不想記談不上學(xué)好），還要通過解題去深入理解、疏通聯(lián)系、優(yōu)化結(jié)構(gòu)所以，有人說：數(shù)學(xué)不是教會(huì)的，而是學(xué)會(huì)或做會(huì)的 1-2-2解題的能力因素（思維能力）思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)概括的和間接的反映數(shù)學(xué)解題中既有邏輯思維又有非邏輯思維，其主要成分是3種基本的數(shù)學(xué)能力：運(yùn)算能力邏輯思維能力空間想象能力。核心是能否掌握正確的思維方法，并表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏稅、洞察力與整體把握其基本要求包括：（1）掌握數(shù)學(xué)中各種常用的思維方法（如觀察、試驗(yàn)、歸納、演繹、類比、猜想、分析、綜合、抽象、概括等）（2）掌握科學(xué)的解題程序（如弄清題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行

18、計(jì)劃、回顧）（3）掌握解題的基本策略，能“因題制宜”地選擇對(duì)口的解題思路，使用有效的解題方法、調(diào)動(dòng)精明的解題技巧（4）具有敏銳的直覺應(yīng)該明白，我們的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)是在縱橫交錯(cuò)的數(shù)學(xué)關(guān)系中進(jìn)行的，在這個(gè)過程中，我們從一種可能性過渡到另一種可能性時(shí)，并非對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)都洞察無遺，并非總能借助于“三段論”的橋梁，而是在短時(shí)間內(nèi)朦朧地插上幻想的翅膀、直接飛翔到最近的可能性上，從而達(dá)到對(duì)某種數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)領(lǐng)悟 例5 方程未知數(shù)范圍擴(kuò)大是方程產(chǎn)生增根的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）既不充分也不必要條件 （D）充分必要條件講解 這道題目不考具體的解方程知識(shí)，而是以方程為載體考思

19、維能力，包括構(gòu)造反例的能力據(jù)2008年9月高一學(xué)生64人的測(cè)試，四個(gè)選項(xiàng)都有人選，比例最大的是（B）必要而不充分條件：ABCD未選15人（023）21人（033）19人（029）7人（011）2人（003）事實(shí)上，對(duì)方程 平方，方程未知數(shù)范圍擴(kuò)大但沒有增根方程未知數(shù)范圍擴(kuò)大不是方程產(chǎn)生增根的充分條件兩邊乘以，方程未知數(shù)范圍沒有擴(kuò)大，但方程產(chǎn)生增根方程未知數(shù)范圍擴(kuò)大不是方程產(chǎn)生增根的必要條件所以，正確答案應(yīng)選（C），但正確率只有029而選（B）則是學(xué)生中的傾向性錯(cuò)覺這種錯(cuò)覺有的來自學(xué)生自身，有的來自教師的影響1-2-3 解題的經(jīng)驗(yàn)因素（經(jīng)驗(yàn)題感） 解題具有實(shí)踐性與探索性的特征，基礎(chǔ)知識(shí)要通過解題

20、實(shí)踐來消化，思維素質(zhì)要通過解題實(shí)踐來優(yōu)化，解題方法要通過解題實(shí)踐來強(qiáng)化在解題實(shí)踐中，既會(huì)有成功又會(huì)有失敗，這兩方面的積累，都能形成有長久保留價(jià)值或借鑒作用的經(jīng)驗(yàn)（1）解題經(jīng)驗(yàn)所謂解題經(jīng)驗(yàn)，就是某些數(shù)學(xué)知識(shí)、某些解題方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也向我們從反面提供有效的有序組合成功經(jīng)驗(yàn)所獲得的有序組合，就好像是建筑上的預(yù)制構(gòu)件（或稱為思維組塊），遇到合適的場(chǎng)合，可以原封不動(dòng)地把它用上（模式識(shí)別）一個(gè)人解題所做的腦力工作就在于回憶起經(jīng)驗(yàn)中用得上的東西，并且和他的解題思維聯(lián)系起來弗里德曼在怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題（）中認(rèn)為“如果我們著手解答一道習(xí)題，那么，第一件事就想知道：這是道什

21、么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識(shí)別給定習(xí)題的類型”這就需要平時(shí)積累經(jīng)驗(yàn)與類型怎么積累呢？弗里德曼在“致讀者”中分析學(xué)生解了大量的題但還“不開竅”時(shí)指出：“這些學(xué)生沒有在應(yīng)有的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個(gè)答案”這就指出了一個(gè)途徑：通過解題過程的分析來積累經(jīng)驗(yàn)與類型波利亞也說：“如果你希望從自己的努力中，取得最大的收獲，就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對(duì)處理將來的問題可能有用的特征”（數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言）解題中，“一個(gè)好念頭的基礎(chǔ)是過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”（怎樣解題）（）題感解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解題念頭的誘發(fā)，有助于直覺性題感的

22、形成題感指的是人們對(duì)問題的總體性的感受，它是思維定勢(shì)正遷移的一種潛在表現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)意識(shí)，常體現(xiàn)為解題中的整體把握和成功思路的預(yù)感、預(yù)測(cè)與預(yù)見如像學(xué)外語的“語感”，學(xué)音樂的“樂感”解題經(jīng)驗(yàn)就好像是建筑上的預(yù)制構(gòu)件（或稱為思維組塊），遇到合適的場(chǎng)合，可以原封不動(dòng)地把它用上（模式識(shí)別）解題所做的腦力工作就在于回憶他的經(jīng)驗(yàn)中用得上的東西，并且和他的解題思維聯(lián)系起來經(jīng)驗(yàn)題感的一個(gè)重要構(gòu)成是美感，熟諳數(shù)學(xué)美，就能以美啟真、以美尋真，能夠從題意中領(lǐng)悟到審美感受，從而隨之產(chǎn)生解題的意向（3）經(jīng)驗(yàn)積累的基本途徑中學(xué)生的解題積累，基本上就是課本上的學(xué)習(xí)積累，因此，對(duì)課本學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸類是積累經(jīng)

23、驗(yàn)的一個(gè)基本途徑；分析解題過程是又一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)的重要途徑小經(jīng)驗(yàn)1：總結(jié)每一章的作業(yè)，弄清一共有幾個(gè)主要類型，每一類型各有幾種解決的方法小經(jīng)驗(yàn)2：分析解題過程，揭示問題的深層結(jié)構(gòu).例6 如果，則.分析1 由.記問題轉(zhuǎn)化為.，只需的嚴(yán)格單調(diào). “的嚴(yán)格單調(diào)”問題的深層結(jié)構(gòu).分析2 由，有記，問題轉(zhuǎn)化為.只需的嚴(yán)格單調(diào)證明1 由，有，相減 2. 評(píng)析 實(shí)質(zhì)是證的單調(diào)性，用了兩次，我們用差異分析法，只需消去，代替變形過程.證明2 由，有，相減 2.1-2-4 解題的非智力因素（情感態(tài)度）這里主要是指良好的心理素質(zhì)，如動(dòng)機(jī)、興趣、抱負(fù)、態(tài)度、品德、意志等這些非智力因素對(duì)于解題的作用，與它對(duì)于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的作

24、用是一樣的華羅庚教授說：“聰明在于學(xué)習(xí)、天才在于積累”1995年5月，在中國數(shù)學(xué)會(huì)60周年年會(huì)上，筆者請(qǐng)國際數(shù)學(xué)大師陳省身教授談學(xué)數(shù)學(xué)的體會(huì)，大師胸有成竹地說：首先是用功，不用功什么也談不上我們說，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有通過自身的情感體驗(yàn)，樹立堅(jiān)定的信心，才能是成功的波利亞也說：“認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的；決心與情緒所起的作用很重要”他強(qiáng)調(diào)說：“教學(xué)生解題是意志的教育當(dāng)學(xué)生求解那些對(duì)他來說并不太容易的題目時(shí)，他學(xué)會(huì)了敗而不餒，學(xué)會(huì)了贊賞微小的進(jìn)展，學(xué)會(huì)了等待主要的念頭，學(xué)會(huì)了當(dāng)主要念頭出現(xiàn)后全力以赴如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了”

25、（怎樣解題）筆者在引述波利亞的這段話時(shí)常常補(bǔ)充說：如果同學(xué)們?cè)谖业恼n程中，不能嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么，你們最好勸我去干點(diǎn)別的營生，別在這里誤人子弟了良好的心理素質(zhì)：動(dòng)機(jī)、興趣、態(tài)度、品德、意志等.例7 已知為互不相等的實(shí)數(shù)，且，求講解 這是一個(gè)典型的題目，1951年時(shí)曾做過高考題，由于直接對(duì)三個(gè)比例式用等比定理會(huì)出現(xiàn)分母為0的問題？ 所以，有一個(gè)流行的說法，此題不能用等比定理我的老師當(dāng)學(xué)生的時(shí)候人們這樣說，到了我的學(xué)生也當(dāng)老師的時(shí)候，人們還是這樣說設(shè)比例系數(shù)是一個(gè)經(jīng)典的處理，并被認(rèn)為是最關(guān)鍵的步驟：解法1 設(shè)， 則有 得 反思分析 分析這個(gè)解題過程我們看到三個(gè)步驟（解題過程的結(jié)構(gòu)分析

26、）： 第1步，引進(jìn)參數(shù)，把三個(gè)外形不同而比值相等的代數(shù)式用同一個(gè)符號(hào)來表示，可以有效防止“形異”對(duì)“值同”的干擾第2步，把與分離，以便于計(jì)算的值第3步，計(jì)算的值，這是實(shí)質(zhì)性的運(yùn)算，其最基本的想法是轉(zhuǎn)化為有關(guān)式的計(jì)算，關(guān)鍵步驟是第式根據(jù)這個(gè)分析，設(shè)比例系數(shù)的作用有兩個(gè)：第一，有效防止“形異”對(duì)“值同”的干擾；第二，把與分離以便于計(jì)算的值但這都只是輔助步驟，前兩步并未開始的求和，抓住實(shí)質(zhì)性的第3步提出問題：（1）（正面思考）有與功能類似的替代式嗎？（2）（反面思考）不用還能計(jì)算嗎？回應(yīng)1 如果對(duì)等值看得很清楚，那就可以把第式直接代入，取代得解法2 回應(yīng)2 如果式中的“形異”對(duì)“值同”的干擾還比較大

27、，想不到作這樣的變形，看不清當(dāng)中的公因式那可以直接用來表示，有解法3 由已知有， ，相加得 這樣，我們就有了不增設(shè)參數(shù)的個(gè)解法，只要作解題反思，人人都能做到但是，反思還沒有結(jié)束反思再深入 至少還可以再指出兩點(diǎn)：結(jié)論也是已知信息，障礙也是隱含條件（1）結(jié)論也是已知信息我們還浪費(fèi)了一個(gè)信息，就是當(dāng)我們分析解題過程時(shí)，結(jié)論已經(jīng)成為了已知信息： ， 即 這就如同摸索在黑房子里拉開了電燈，原來我們只須證式（當(dāng)初并不知道），這用等比定理是可以做到的解法4 對(duì)已知式的前兩項(xiàng)用等比定理，有 ， 即 ， 得 ，得 原來，在我們的心里有一個(gè)誤區(qū)（涉及解題的情感態(tài)度），對(duì)三項(xiàng)連比式用等比定理時(shí)，會(huì)產(chǎn)生分母為零，就嚇

28、得兩項(xiàng)都不敢用等比定理了我們說，用比例的性質(zhì)來處理比例問題，更接近問題的本質(zhì)（也使得設(shè)比值成為多余）（2）障礙也是隱含條件讓我們?cè)賮砜?、中用等比定理時(shí)產(chǎn)生分母為0的問題？ 這時(shí)候的“分母為”構(gòu)成了我們解題的一個(gè)障礙，但在上述的所有解法中又都用到了“分母為”，所以，與其說式給我們帶來了麻煩，不如說式顯化了題目的一個(gè)隱含條件式這是一個(gè)積極的收獲，當(dāng)我們對(duì)尚未成功的式“視而不見”、而把目光同時(shí)注視、式時(shí)，式讓我們看到了兩條直線重合：， 而式告訴我們直線通過點(diǎn)，因而直線也通過點(diǎn)，得 （可記為解法5）1-3 防止解題錯(cuò)誤有一種簡單化的認(rèn)識(shí)，以為錯(cuò)誤都是知識(shí)不過關(guān)造成的，其實(shí)，解題錯(cuò)誤的類型不只一個(gè)，在知

29、識(shí)過關(guān)的情況下也會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)既然成功的解題有知識(shí)因素，能力因素，經(jīng)驗(yàn)因素和情感因素，那么不成功或失敗的解題也會(huì)與這些因素相關(guān)，我們總結(jié)為：知識(shí)性錯(cuò)誤，邏輯性錯(cuò)誤，策略性錯(cuò)誤，心理性錯(cuò)誤13.1 知識(shí)性錯(cuò)誤知識(shí)性錯(cuò)誤主要指由于數(shù)學(xué)知識(shí)上的缺陷所造成的錯(cuò)誤如誤解題意、概念不清、記錯(cuò)法則、用錯(cuò)定理，不顧范圍使用方法等核心是所涉及的內(nèi)容是否符合數(shù)學(xué)事實(shí)例8 能與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一 一對(duì)應(yīng)的數(shù)集是（ ）（單項(xiàng)選擇題）(A)整數(shù)集(B) 有理數(shù)集 (C) 無理數(shù)集 (D) 實(shí)數(shù)集解 因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一 一對(duì)應(yīng)，所以選（D） 評(píng)析 這正是命題者的預(yù)設(shè)答案，但是命題者忘了，無理數(shù)集與實(shí)數(shù)集之間存在一 一對(duì)

30、應(yīng)關(guān)系，這是無窮集合的特性：本身可以與其真子集一 一對(duì)應(yīng)（盡管中學(xué)生不太清楚這一點(diǎn)），所以，無理數(shù)集也能與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一 一對(duì)應(yīng)，選擇(C)，(D)都成立這樣一來，題目又與單項(xiàng)選擇題“有且只有一項(xiàng)正確”矛盾在這里既有錯(cuò)解又有錯(cuò)題，既有知識(shí)缺陷又有邏輯矛盾，但最根本的還是知識(shí)問題，由知識(shí)性錯(cuò)誤導(dǎo)致命題的邏輯性錯(cuò)誤1.3.2 邏輯性錯(cuò)誤邏輯性錯(cuò)誤主要指由于違反邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理上或論證上的錯(cuò)誤如虛假論據(jù)，不能推出，偷換概念，循環(huán)論證等，常常表現(xiàn)為四種命題的混淆，充要條件的錯(cuò)亂，反證法反設(shè)不真等核心是所進(jìn)行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則知識(shí)性錯(cuò)誤與邏輯性錯(cuò)誤既有聯(lián)系又有區(qū)別(1) 知識(shí)性錯(cuò)誤與邏輯性

31、錯(cuò)誤有聯(lián)系由于數(shù)學(xué)知識(shí)與邏輯規(guī)則常常是相依共存的，從廣義上說，我們也不能把邏輯知識(shí)排除在數(shù)學(xué)知識(shí)之外，所以，邏輯性錯(cuò)誤與知識(shí)性錯(cuò)誤常是同時(shí)存在的，從哪個(gè)角度進(jìn)行分析取決于比重的大小與教學(xué)的需要在上面的例子中我們已經(jīng)看到，當(dāng)我們說它有知識(shí)性錯(cuò)誤時(shí)并不排除它也有邏輯性錯(cuò)誤；同樣，當(dāng)我們說它有邏輯性錯(cuò)誤時(shí)也不排除它還有知識(shí)性錯(cuò)誤(2)知識(shí)性錯(cuò)誤與邏輯性錯(cuò)誤又有區(qū)別知識(shí)性錯(cuò)誤主要指涉及的命題是否符合事實(shí)(是否符合定義、法則、定理等)，核心是命題的真假性；邏輯性錯(cuò)誤主要指所進(jìn)行的推理論證是否符合邏輯規(guī)則，核心是推理論證的有效性雖然，數(shù)學(xué)命題的事實(shí)真假性與推理論證的邏輯有效性是有聯(lián)系的，但是數(shù)學(xué)畢竟不是邏

32、輯，數(shù)學(xué)畢竟比邏輯大得多，我們依然應(yīng)該在知識(shí)盲點(diǎn)的基本位置和主要趨勢(shì)上區(qū)分知識(shí)性錯(cuò)誤與邏輯性錯(cuò)誤 例9 在四邊形中，大于其余三邊，小于其余三邊， 則的關(guān)系為（ ）（A） （B） （C） （D）不能確定解法1 如圖4，聯(lián)結(jié)，在的同側(cè)作，則，且是四邊形中的最短邊，是四邊形中的最短邊連，在中，由為四邊形的最長邊，有 圖4在中，由為四邊形的最短邊，有 +得 選（A） 評(píng)析 對(duì)照?qǐng)D4，反復(fù)檢查也找不到任何知識(shí)上的問題，但是，這個(gè)解法默認(rèn)了四邊形為凸四邊形，因而、式相加，得出小于若為凹四邊形（如圖5），便會(huì)出現(xiàn)、式相減，得與無法確定大小 解法2 如圖6，取一個(gè)平行四邊形，使為等腰直角三角形，作的外接圓，以

33、為圓心、以為半徑，畫弧交延長線于，連交于，交于 圖5，又在線段內(nèi)取點(diǎn)，連，則在四邊形中，大于其余三邊，小于其余三邊，有，選（D） 評(píng)析 解法1“默認(rèn)四邊形為凸四邊形”，得出了一個(gè)假命題，有知識(shí)性錯(cuò)誤，對(duì)四邊形分類不全又有邏輯性錯(cuò)誤，而“默認(rèn)”本身還可能有心理原因，但從錯(cuò)誤的基本位置上看，主要還是對(duì)四邊形分類不全造成的，所找出的反例主要是考慮了四邊形的多種情況 圖613.3 策略性錯(cuò)誤這主要指由于解題方向上的偏差，造成思維受阻或解題長度過大對(duì)于考試而言，即使做對(duì)了，若費(fèi)時(shí)費(fèi)事，也會(huì)造成潛在丟份或隱含失分，存在策略性錯(cuò)誤在解題探求中，思維受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索階段的策略性錯(cuò)誤是很難

34、完全消除的例10 sin15osin75o的值是_（1992年數(shù)學(xué)高考全國卷理科第（20）題）思路1 本來題目很簡單，也有課本的現(xiàn)成背景，用一次誘導(dǎo)公式、一次倍角公式、一次特殊角的函數(shù)值，一共3個(gè)知識(shí)點(diǎn)便可得出答案原式（誘導(dǎo)公式）（倍角公式）（特殊角的函數(shù)值）填但是，有的考生卻用了如下解法：思路2 原式至此，就再也算不下去了，應(yīng)該說，解法的每一步運(yùn)算都沒有知識(shí)性錯(cuò)誤，但從整體上看，有解題方向調(diào)控上的策略性錯(cuò)誤第一，使用的基礎(chǔ)知識(shí)過多、書寫的解題長度過大，會(huì)導(dǎo)致考試的“潛在丟分”或“隱含失分”第二，根式運(yùn)算還要繼續(xù)化簡為最終結(jié)果：證明，這是一種典型的“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”13.4 心理性錯(cuò)誤 這

35、主要指解題主體雖然具備了解決問題的必要知識(shí)與技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的解題錯(cuò)誤如順序心理、滯留心理、潛在假設(shè)，以及看錯(cuò)題、抄錯(cuò)題、書寫丟三落四等 例11 設(shè)，求+（1985年高考數(shù)學(xué)理科第題）講解 將已知式與求值式逐項(xiàng)對(duì)齊，并進(jìn)行差異分析，可見，已知中的每一項(xiàng)都有字母，結(jié)論中的每一項(xiàng)都沒有字母“沒有字母”是什么意思？可以理解為每一項(xiàng)的字母都等于1： （消除差異），把代人已知式，得說明 在差異分析觀點(diǎn)之下，取值就不是一個(gè)妙手偶得的特殊技巧了，而是一個(gè)策略思想的具體實(shí)施并且，這一經(jīng)驗(yàn)積累，又與“特殊化”的策略思想相通，可以用來處理很多數(shù)學(xué)問題，比如下面幾道類似而又有變通的高考題（化歸為往年的

36、高考題）：例11-1 已知，那么（1989年高考數(shù)學(xué)第（16）題）解 設(shè)，則 填說明 我們?cè)陂喚碇邪l(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分考生令得答案為，其實(shí)得到的是 ，而所求的值，應(yīng)再減去，從而 究其原因，是考生一見題型很熟悉（如課本相關(guān)習(xí)題中見過），沒有認(rèn)真看清題目的小變化，就匆匆作答，結(jié)果“會(huì)而不對(duì)”例2-19-2 若，則的值為（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）2（1999年高考數(shù)學(xué)理科第（8）題）解法1 設(shè)，則選（A）解法2 =至此，就再也算不下去了，應(yīng)該說，解法的每一步運(yùn)算都沒有知識(shí)性錯(cuò)誤，但從整體上看，有解題方向調(diào)控上的策略性錯(cuò)誤1.3. 5 突破一個(gè)“老大難”高考閱卷啟示我們，許多中上水平考生常

37、在“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”上拉開錄取與落榜的距離.這是一個(gè)“老大難”問題.（1）會(huì)而不對(duì).有的考生，拿到題目不是束手無策，而是在正確的思路上，或考慮不周、或推理不嚴(yán)、或書寫不準(zhǔn)，最后答案是錯(cuò)的，這叫“會(huì)而不對(duì)”（2）對(duì)而不全另一些考生，思路大體正確，最終結(jié)論也出來了，但丟三落四，或缺欠重大步驟，中間某一邏輯點(diǎn)過不去；或遺漏某一特殊情況、討論不夠完備；或潛在假設(shè)、或以偏概全，這叫“對(duì)而不全”1-4 運(yùn)用答題策略1-4-1分段得分的基本認(rèn)識(shí).（1）分段得分的法定依據(jù)是高考“分段評(píng)分”.（2）分段得分的基本內(nèi)容是防止“分段扣分”，爭取“分段給分”.（3）分段得分的技術(shù)基礎(chǔ)是解題策略.（4）分段得分的總

38、體功能是：進(jìn)可全題解決，退可分段得分.1-4-2 分段得分的主要技術(shù)（1）分解分步 缺步解答.（2）引理思想 跳步解答.（3）以退求進(jìn) 退步解答.（4）正難則反 倒步解答.（5）掃清外圍 輔助解答.2 解答高考數(shù)學(xué)題的主要建議高考題的特殊性：一道數(shù)學(xué)題成為高考題后，將具有不同于平時(shí)作業(yè)題的特性，如能力的代表性，分?jǐn)?shù)的選拔性，時(shí)間的限定性，評(píng)分的階段性.需要我們迅速解決兩個(gè)基本問題：從何處下手？ 向何方前進(jìn)？2-1 模式識(shí)別2-1-1模式識(shí)別的認(rèn)識(shí)(1)基本含義.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工會(huì)得出一些有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型模式與重要類型.當(dāng)我們遇到一個(gè)新問題時(shí)，首先辨

39、認(rèn)它屬于我們已經(jīng)掌握的哪個(gè)基本模式，然后檢索出相應(yīng)的解題方法來解決，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中的基本思考，也是解高考題的重要策略.（2）怎樣積累模式.總結(jié)課本內(nèi)容，歸納基本模式學(xué)完一章節(jié)（或跨章節(jié)）后，總結(jié)一共有幾個(gè)題目類型，每個(gè)題型有哪些解決方法？分析解題過程，提煉深層結(jié)構(gòu)可以重點(diǎn)分析最近三五年的高考綜合題，揭示“形異而質(zhì)同”的深層結(jié)構(gòu) (3)模式識(shí)別在求解高考題中的具體化：化歸為課本已解決過的問題.化歸為往屆高考題.拿到一道高考題，在理解題意后，立即思考問題屬于哪一學(xué)科、哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個(gè)類型比較接近？解決這個(gè)類型有哪些方法？哪個(gè)方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進(jìn)的方向

40、也大體確定了.(4)模式識(shí)別的層次.直接用，轉(zhuǎn)化用，分解組合用.(5)模式識(shí)別解高考題的有效性因?yàn)檎n本是學(xué)生知識(shí)資源的基本來源，也是學(xué)生解題體驗(yàn)的主要引導(dǎo)離開了課本，學(xué)生還能從哪里找到解題依據(jù)、解題方法、解題體驗(yàn)？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個(gè)根本課本是高考命題的基本依據(jù)有的試題直接取自教材，或?yàn)樵}、或?yàn)轭愵}有的試題是課本概念、例題、習(xí)題的改編有的試題是教材中的幾個(gè)題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓少量難題也是按照課本內(nèi)容設(shè)計(jì)的，在綜合性、靈活性上提出較高要求按照高考怎樣出題來處理高考怎樣解題應(yīng)是順理成章的這是一種行之有效解題策略這種做法體現(xiàn)了化歸思想和模式

41、識(shí)別的解題策略，對(duì)50%80%的高考題都是有效的所以，拿到一道高考題，在理解題意后，應(yīng)立即思考問題屬于哪一學(xué)科、哪一章節(jié)？與這一章節(jié)的哪個(gè)類型比較接近？解決這個(gè)類型有哪些方法？哪個(gè)方法可以首先拿來試用？這一想，下手的地方就有了，前進(jìn)的方向也大體確定了就是說，從辨認(rèn)題型模式入手，向著提取相應(yīng)方法、使用相應(yīng)方法解題的方向前進(jìn)2-2 差異分析 (1)基本含義.如果我們把題目的條件與結(jié)論之間的差異稱為目標(biāo)差，那么解題的實(shí)質(zhì)就在于設(shè)計(jì)一個(gè)使目標(biāo)不斷減少的過程.通過尋找目標(biāo)差，不斷減少目標(biāo)差而完成解題的思考方法，叫做差異分析法.(2)差異分析法的使用.通過題目中出現(xiàn)的元素，元素間所進(jìn)行的運(yùn)算，以及元素之間

42、所存在的關(guān)系去找出差異.對(duì)于所找出的目標(biāo)差，要運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法立即作出減少目標(biāo)差的反應(yīng). 減少目標(biāo)差的調(diào)節(jié)要一次又一次地發(fā)揮作用，使得目標(biāo)差逐漸減少、步步積累,最終完成解題.運(yùn)用差異分析法可以簡捷回答解題中的兩個(gè)基本問題，從何處下手？向何方前進(jìn)？就從找目標(biāo)差開始，就向著目標(biāo)差減少的方向前進(jìn).2-3 層次解決人們?cè)趧?chuàng)造性解決問題的過程中，思維是按層次展開的，先粗后細(xì)，先寬或窄，先對(duì)問題作一個(gè)粗略的思考，然后逐步深入到實(shí)質(zhì)與細(xì)節(jié)，或者說，先作大范圍的搜索，然后再逐步收縮包圍圈.通常分成三個(gè)層次，層層深入地解決.（1）一般性解決：即在策略水平上的解決，以明確解題的總體方向.這是對(duì)思考作定向調(diào)控

43、.在這一層面上，根據(jù)中學(xué)階段的實(shí)際，自覺應(yīng)用函數(shù)觀點(diǎn)和方程觀點(diǎn)是十分有益的(2)功能性解決：即在數(shù)學(xué)方法水平上的解決,以確定具有解決功能的解題手段,這是對(duì)問題解決作方法選擇.(3)特殊性解決.即在數(shù)學(xué)技能水平上的解決,以進(jìn)一步縮小功能性解決的途徑,明確運(yùn)算程序或推理步驟.這是對(duì)技巧作實(shí)際完成.2-4 數(shù)形結(jié)合 （1）基本含義在解題中，既用數(shù)的抽象性質(zhì)來說明幾何形象的事實(shí)，又用圖形的直觀性質(zhì)來說明代數(shù)抽象的事實(shí)，在數(shù)與形的雙向結(jié)合上尋找解題思路.（2）數(shù)形結(jié)合的途徑通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化構(gòu)造（3）數(shù)形結(jié)合的原則等價(jià)性原則雙向性原則簡單性原則2-5 案例分析 （1）案例1感悟高考解題的基本思路例1-1 設(shè)

44、，求+1985年高考數(shù)學(xué)理科第二題講解 將已知式與求值式逐項(xiàng)對(duì)齊，并進(jìn)行差異分析，可見，消除差異應(yīng)同時(shí)取所以取代人已知式，得評(píng)析 在差異分析觀點(diǎn)之下，取值就不是一個(gè)妙手偶得的特殊技巧了，而是一個(gè)策略思想的具體實(shí)施并且，這一經(jīng)驗(yàn)積累，又與“特殊化”相通，可以用來處理很多數(shù)學(xué)問題，比如下面幾道類似的高考題：例1-2 已知那么1989年高考數(shù)學(xué)第（16）題（4分）例1-3 若，則的值為（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）21999年高考數(shù)學(xué)理科第（8）題例1-4 若，則2004年天津理科第（15）題（4分） 例1-5 已知，則的值等于2007年安徽文科第（12）題例1-6 若則 (用數(shù)字作答)

45、 (2008年福建理科第（13）題)感悟：模式識(shí)別（化歸為課本已解決過的問題、化歸為往屆高考題 ），差異分析（2）案例2平時(shí)解題要題題都有收獲例2 安排3名支教老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種（用數(shù)字作答）2007年高考數(shù)學(xué)陜西理科卷第（16）題講解 據(jù)了解，學(xué)生普遍使用分兩類計(jì)數(shù)的方法（見解法1）我們的體會(huì)是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軐?dǎo)致更多、更接近問題深層結(jié)構(gòu)的解法解法1 （加法）依題意，分配方案有兩種情況：（1）3名教師分到3所學(xué)校，每校1人這相當(dāng)于從6所學(xué)校取3所作為接收單位，得（120）種分法（2）3名教師分到2所學(xué)校，有一校2人 從3名教師中取2人有種取法，再從6所學(xué)校取

46、2所作為接收單位，得（90）種分法由加法原理得不同的分配方案共有種評(píng)析 思路打開之后，“結(jié)論也是已知信息”，多了這一個(gè)信息，情況就大不相同了（下面是由“初步解法”導(dǎo)出的解題反思）由 的改寫 ，或 可知，只要能給這兩個(gè)數(shù)據(jù)以組合解釋，便可以得出新的解法立即刺激我們的數(shù)學(xué)知識(shí)與解題經(jīng)驗(yàn)：就是3個(gè)教師每人都有到“6所學(xué)?！钡?種去法的方法數(shù)，減6就是減掉“3個(gè)教師都到1所學(xué)校”的6種去法（見解法2） 那么中的7是從哪里來的呢？這只需將“分有2人”的那一學(xué)?？闯?所學(xué)校即可比如，把校分為校，把3名教師分到7所學(xué)校，每校1人，當(dāng)中最多分1人時(shí)就是解法1的第（1）種情況，當(dāng)各分1人時(shí)就是解法1的第（2）種

47、情況 解法2 （減法）3個(gè)教師每人都有到“6所學(xué)校”的6種去法，得種去法，但3個(gè)教師都到1所學(xué)校與“每校至多2人”矛盾，故得不同的分配方案共有種解法3 （對(duì)應(yīng)解法）把“至多分有2人”的那一學(xué)校看成2所學(xué)校，每校分1人，則問題轉(zhuǎn)化為“從7所學(xué)校中取3所，接收3名教師”的方案數(shù)，這是標(biāo)準(zhǔn)排列問題，得種說明 在這個(gè)例子里，排列組合的知識(shí)不是一個(gè)個(gè)彼此孤立的單點(diǎn)，相互勾連的知識(shí)鏈能幫助我們由運(yùn)算式找出它的組合解釋解法4 先將2名教師分到6所學(xué)校的2所，有種，再把余下的1名教師分到6所學(xué)校中的任意一所，共有種方法，所以，共有不同的分配方案是=180種少了，問題在哪里？解法5 從3名教師中取2人有種取法，

48、把這2名教師分到6所學(xué)校的2所，有種，再把余下的1名教師分到6所學(xué)校中的任意一所，共有種方法，所以，共有不同的分配方案是=540種這又多了，問題在哪里？3 陜西高考題中的高等背景（1）柯西不等式背景06-8 已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則在正實(shí)數(shù)的最小值為（A）2 （B）4 （C）6 （D）807-21 (本小題滿分14分)已知橢圓C:（）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為()求橢圓C的方程;()設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值08-22 （本小題滿分14分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)任意的，；（3）證明：（柯西不等式

49、）第（3）問相當(dāng)于題目1 已知數(shù)列，證明： 記，由柯西不等式有 ，得 所以，第（3）問可以認(rèn)為是一道柯西不等式的現(xiàn)成題目：題目2 若，則（2）伯恩斯坦多項(xiàng)式背景06-21 如圖1，三定點(diǎn)；三動(dòng)點(diǎn)滿足（1）求動(dòng)直線斜率的變化范圍；（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.在函數(shù)逼近論中有一個(gè)很基本的問題，就是能不能用結(jié)構(gòu)最簡單的函數(shù)多項(xiàng)式，去逼近任意的連續(xù)函數(shù)，答案是肯定的，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦證明了一個(gè)很漂亮的定理：若在閉區(qū)間上連續(xù)，則對(duì)于一致有其中多項(xiàng)式稱為函數(shù)的伯恩斯坦多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)，上述伯恩斯坦多項(xiàng)式為 這構(gòu)成了高考題的知識(shí)背景下面用貝齊爾曲線作出更具體的說明在汽車制造業(yè)中，法國雷諾汽車公司的工程師貝齊爾提出了一套利用伯恩斯坦多項(xiàng)式的電子計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)汽車車身的數(shù)學(xué)方法設(shè)為個(gè)給