7-3-定積分的計算(2)---分布積分法

1、第七 章 定積分 1 定積分的概念和可積條件定積分的概念和可積條件 2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 3 微積分基本定理微積分基本定理 4 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 1、給出了定積分的概念和可積條件。給出了定積分的概念和可積條件。2、給出了定積分的基本性質(zhì)。給出了定積分的基本性質(zhì)。3、給出了微積分基本定理及求定積分的常用方法給出了微積分基本定理及求定積分的常用方法。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：4、給出了定積分的應(yīng)用給出了定積分的應(yīng)用。教學(xué)重點教學(xué)重點:變限函數(shù)與定積分的概念；求定積分的方法。變限函數(shù)與定積分的概念；求定積分的方法。要求要求:1、理解變限函數(shù)與定積分的定義。理解變限函數(shù)與定積分的定義

2、。2、熟練掌握求定積分的方法，并會應(yīng)用微積分知識解決熟練掌握求定積分的方法，并會應(yīng)用微積分知識解決實際問題。實際問題。3、了解達(dá)布（了解達(dá)布（DarbouxDarboux）和及可積條件。）和及可積條件。本章內(nèi)容、要求及重點本章內(nèi)容、要求及重點第三節(jié)第三節(jié) 定積分的計算（定積分的計算（2） 一、定積分的分部積分法 二、二、小結(jié) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababa

3、vduuvudv一、分部積分公式一、分部積分公式例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx

4、 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數(shù)，沒有初等形式的原函數(shù)，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin

5、22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 5 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0

6、dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv二、小結(jié)二、小結(jié)（注意與不定積分分部積

7、分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別） 作業(yè)：作業(yè)：P310 6(10)(14)(15)(18)(19);8(6);20;26. 思考題思考題設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 一、一、 填空題：填空題：1 1、設(shè)、設(shè) n n 為正奇數(shù)，則為正奇數(shù)，則 20sin xdxn_；2 2、設(shè)、設(shè) n n 為正偶數(shù)，則為正偶數(shù)，則

8、20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習(xí)習(xí) 題題3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m為自然數(shù)）為自然數(shù)）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff證證明明：3sin )()(0 xdxxfxf .一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)1