輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、第卷第期南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報年月刪礎(chǔ)肛輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用趙彤（南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇南通）摘要：文章對高等教學(xué)中輔助函數(shù)的應(yīng)用作了一定的研究，主要分析了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法以覆在證明不等式和中值問題方面的重要應(yīng)用關(guān)鍵詞：構(gòu)造；輔助函數(shù)；不等式；中值問題中圖分類號：文獻標(biāo)識碼：文章編號；（）人們在活動中，遇到妨礙其目的實現(xiàn)的障礙時，就會考慮借助于某種媒介物去克服這個障礙。解高等數(shù)學(xué)題也一樣，我們常常借助于輔助函數(shù)去克服解題中的困難，往往能達到意想不到的效果。本文就證明不等式和中值問題方面對輔助函數(shù)的重要應(yīng)用作一些介紹。構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式在高等數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的習(xí)題占了很

2、大比重。證明不等式的方法也有很多種，其中利用輔助函數(shù)證明不等式是非常重要的手法之一。結(jié)合不等式的特點，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性（可以利用一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷）證明不等式叫。例證明：當(dāng)一÷號時，。卜詈成立。證：構(gòu)造輔助函數(shù)，“，則，（）。（）因為是算函數(shù)，故只需證明在，）上墳）導(dǎo)調(diào)遞減構(gòu)造輔助函數(shù)（）竺一詈，則。竺墮墮堅號筍。一切砷（，這是因為當(dāng)時工等，（）要證廠；一血，先詞擘，詈）上半，爭。，。所以（）在【，爭上單調(diào)遞減，（），（爭，即警爭，半，爭，故有廠。；，因此在，爭上【）單調(diào)遞減。又因為【）是偶函數(shù)，故一詈，）在“）上單調(diào)遞增。綜上，當(dāng)一爭細叫他墑叫掣，出。詈時，有【），

3、即。一手成立。倒設(shè)連續(xù)函數(shù)（）不恒為零，【，】且），則涉及到有關(guān)定積分的證明問題，一般可以將定積分的積分上限看作變量構(gòu)造輔助函數(shù)。收稿日期：作者簡介：趙彤（一），男，江蘇南通人，南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，碩士。萬方數(shù)據(jù)第期趙彤：輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用刪腳叫腳洫對笙鏟一腳司注意到。，（）：，（），（砷。，（）血，（。）。勵。絲：！÷生一，（）眇（曲出血譬（一們）一。（）攀（；一。）一睡一伽（），（）掣一（一口），。（）一一一口），（因為，所以（）。所以心）單調(diào)遞增，礦（，所以靜）單調(diào)遞增，酏）（。于是，）領(lǐng)），所以單調(diào)遞增。綜當(dāng)，有只）珂曲，原不等式得證。構(gòu)造輔助函數(shù)證明中

4、值問題微分方程法構(gòu)造輔助函數(shù)翻對于證明至少存在一點；（，），使得，（）巾（，（），）的中值問題，可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明。具體的方法是將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到一階微分方程，求出該方程的通解，再解出通解中的任意常數(shù)巾（弘）力，則即為要構(gòu)造的輔助函數(shù)。構(gòu)造輔助函數(shù)（）掣一（一口）虹一口），則”：拼：壁一。一酢叫在一點，使存（）一半。魯例設(shè)函數(shù)，）在閉區(qū)間【，】上可微且滿足，（）一礦（）出，求證：在（，）內(nèi)至少存證：將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到，（咖七觸），解微分方程得到通解為，因此，構(gòu)造輔助函數(shù)）弧，阿銜）。，由積分中值定理，至少存在一點口，使得礬對出；礦（功，又，（）一可出。從而壩）欹），即至少存在一

5、點口，爿，使得（）顫），又目）?。?，（）一等。由羅爾中值定理，至少存在一點（，），使得（即，即，（），（）卸，得到例設(shè)弛）差】上連續(xù)，在（神）內(nèi)可導(dǎo)以由，（）出尋（一），求證在（如）內(nèi)至少存在證：首先構(gòu)造輔助函數(shù)，將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到，）妖，解微分方程得到通解為）斗，一點，使得，（）顫）。（年江蘇省第七屆高等數(shù)學(xué)競賽試題）。解得帆“）。因此，構(gòu)造輔助函數(shù)）（肛），“）礦）批）。構(gòu)造輔助函數(shù)舛），出一去一口），易得巾（）擊（），由羅爾中值定理。至少存在一點（，），使得巾（），從而，“）一。萬方數(shù)據(jù)南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報年考察函數(shù)）擴一），荊，（），由羅爾中值定理，至少存在一點（，），使得（），

6、從而（）一“）一，（）“）一。常數(shù)分離法構(gòu)造輔助函數(shù)】具體方法是將要證明的中值問題的結(jié)論中的常數(shù)部分分離出來，令常數(shù)部分為，作恒等變形，使等式兩端分別為。以曲和，“）的表達式。若等式兩端關(guān)于端點的表達式對稱，則把其中一個端點設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值設(shè)為），所得的關(guān)于如）的表達式即為所需構(gòu)造的輔助函數(shù)。例設(shè)刪始）在【，上連續(xù)，在（，）內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點（。，），使得口，（）（）（）一廠（）。對稱，們加掣芋掣一。臀恐里常數(shù)翕已經(jīng)分離慌令瑤差鏟吐變形為等生：掣黼兩邊關(guān)于端點證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（曲：叢墮一，則。）在。，上連續(xù)，在（。，）內(nèi)可導(dǎo)，且曲：），由羅爾中值定理，至少存在一點（。，），使得（）

7、：，從而，魚竽一女，即礦（國一，（毋礦（）一可）結(jié)束語輔助函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中一個重要的解題方法，應(yīng)用非常廣泛，同時構(gòu)造輔助函數(shù)的方法和技巧也都很豐富。筆者從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)多年，對輔助函數(shù)應(yīng)用的心得遠不【：以上這些，限于篇幅，本文就證明不等式和中值問題這兩個方面進行了討論。參考文獻：【華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析北京：高等教育出版社，【王文?？聘叩葦?shù)學(xué)競賽十五講【北京：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，冊（，叩加陽：，）曲也，撕血缸由譏血鈾博印?。很妒?；萬方數(shù)據(jù)輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者：作者單位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次數(shù)：趙彤， ZHAO Tong南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院,基礎(chǔ)部,江蘇,南通,

8、226006南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL & TECHNICAL SHIPPING COLLEGE2005，4(4)0次參考文獻(2條)1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 19912.王文 ?？聘叩葦?shù)學(xué)競賽十五講 2001相似文獻(10條)1.期刊論文 陳運明.Chen Yunming 高等數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用 -長沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報2002,1(2)輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,但是要在具體應(yīng)用中恰到好處引入一個輔助函數(shù)并不是一件容易的事,特別對于初學(xué)者來說更是困難,本文從兩個定理的證明入手定性的分析了在解題時構(gòu)造輔

9、助函數(shù)應(yīng)該考慮的問題以及構(gòu)造方式.2.期刊論文 徐禮卡.XU Li-ka 構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題的個案及教學(xué)分析 -株洲師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報2007,12(5)通過對一個案例進行教學(xué)分析,提出高師數(shù)學(xué)教育應(yīng)該在培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想觀念、提高用構(gòu)造輔助函數(shù)法解決數(shù)學(xué)問題的意識和能力方面體現(xiàn)教育價值.可以在整個微積分教學(xué)過程中抓住契機,通過設(shè)計用輔助函數(shù)解決諸如方程、不等式、求值問題的情境來達到培養(yǎng)的目的.使得作為未來教師的數(shù)學(xué)教育專業(yè)大學(xué)生能充分認識到函數(shù)思想觀念、構(gòu)造輔助函數(shù)解決相關(guān)問題的意識和能力,應(yīng)從初中、高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步得到深化和提高.輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,但要在具體

10、應(yīng)用中恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù)使問題得到較好的解決,是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常遇到的一個難題,本文總結(jié)了三種常見的構(gòu)造輔助函數(shù)的技巧.在中值定理的證明中構(gòu)造輔助函數(shù)是關(guān)鍵,怎樣構(gòu)造出輔助函數(shù)是中值定理證明中的難點. 本文通過對定理條件和結(jié)論的分析,給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的規(guī)律和方法.給出以Rolle定理為基礎(chǔ),用不同構(gòu)造輔助函數(shù)的方法來證明Lagrange定理,強調(diào)了證明Lagrange定理過程中輔助函數(shù)構(gòu)造的思維過程.6.期刊論文 聶洪珍.張翠萍 關(guān)于構(gòu)造輔助函數(shù)證明微分中值定理的進一步探討 -鞍山師范學(xué)院學(xué)報2003,5(4)微分中值定理是微分學(xué)的基本理論,其中Lagrange定理和Cauchy定理的證

11、明關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù).文中就如何構(gòu)造輔助函數(shù)、輔助函數(shù)是否惟一等問題作進一步探討.7.期刊論文 鄧衛(wèi)兵.DENG Wei-bing 利用參數(shù)變導(dǎo)法構(gòu)造輔助函數(shù) -重慶工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）2005,22(4)微分學(xué)中有3個著名的中值定理,其中Lagrange中值定理的證明,引入了輔助函數(shù),然后由Rolle中值定理來證明Lagrange中值定理,這個突如其來的輔助函數(shù)很難理解和接受.利用參數(shù)變異法引入輔助函數(shù),給出了一種輔助函數(shù)的"統(tǒng)一"構(gòu)造法,并利用這種方法解決了一些具體問題.8.期刊論文 李延.揚秀玲 構(gòu)造輔助函數(shù)的典型方法 -中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2010(2)解決微分學(xué)的許多問題,涉及輔助函數(shù)的構(gòu)造.本文針對微分中值等式的證明,提出了三種具有一定規(guī)律可循的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.9.期刊論文 安震 淺析高等數(shù)學(xué)中構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思想 -太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報2008(6)構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,文章針對不等式的證明、方程根的論證以及存在性的證明,通過典例,介紹了幾種構(gòu)