2018年高考數(shù)學(xué)浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書第3講二項(xiàng)式定理版含解析

1、第3 3講二項(xiàng)式定理最新考綱 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.I基礎(chǔ)診斷梳理自測(cè)，理解記憶知識(shí)梳理1 .二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C0an+Can1b+,+Cji3nrbr+,+Qnbn(nN N)；(2)通項(xiàng)公式：Tr+i=Cnanrbr,它表小第 r+1 項(xiàng);(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C0,Cn,Cn.2 .二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等跑離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即曲=常增減性二項(xiàng)式系數(shù) cnn+1*當(dāng) k2(nN N)時(shí)，是遞減的二叱系數(shù)最大值n當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)Cn5取得最大值nn4

2、1當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)Cn與Cn2取最大值3.各二項(xiàng)式系數(shù)和(1)(a+b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C1+C1+C1+,+Cn=2n.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即 C0+C2+Cn+,=Cr1+C3+cn+,=2.診斷自測(cè)1 .判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打或X”)(1)Cnan-kbk是二項(xiàng)展開式的第 k 項(xiàng).()(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).()(3)(a+b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與 a,b 無關(guān).()(a+b)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同.()解析二項(xiàng)式展開式中 C：anbk是第 k+1

3、項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)，故（1）（2）均不正確.答案(1)X(2)X(3)V(4)V2.（x-y）n的二項(xiàng)展開式中，第 m 項(xiàng)的系數(shù)是（）mm+1A.CnB.CnD.(-1)m1cm1解析（xy）n展開式中第 m 項(xiàng)的系數(shù)為 Cm1（-1）m1.答案 D3 .（選彳 23P35 練習(xí) T1（3）改編）C0017+C2017+C2017+,+C2017C2016+C2016+C2016+,+C2016、(A.2B.4C.2017D.2016X201722017解析原式=220161=22=4.答案 B4 .（2017 瑞安市質(zhì)檢）：x221；的展開式中，第 4 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

4、是,第2X4 項(xiàng)的系數(shù)是.解析展開式通項(xiàng)為 Tr+1=C9x2（9,）J12x=（1）r2rC9x183r（其中 r=0,1,9）.T4=（-1）33 氏9,故第 4 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 C3=84,第 4 項(xiàng)的系數(shù)為5.（2017 石家莊調(diào)研）（1+x）n的二項(xiàng)式展開式中，僅第 6 項(xiàng)的系數(shù)最大，則n=C.Cm139393C3C1212217217- -8484案解析（1+x）n的二項(xiàng)式展開式中，項(xiàng)的系數(shù)就是項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以 2+1=6,n=10.答案 1061x2L 開式中的常數(shù)項(xiàng)為.x10-2k53Z,（3）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意0 捻 k 捻 10,lkN,N,人 102k3令-=r(

5、rZ Z),則 102k=3r,k=52,k=2.；常數(shù)項(xiàng)為4 40 0I考點(diǎn)突破考點(diǎn)一求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)31.【例 1】已知在 Vx 一工的展開式中，第 6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求的項(xiàng).(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.【訓(xùn)練 1】(1)(2015 全國(guó) I 卷)(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2016 全國(guó) I 卷)(2x+隊(duì))5的展開式中，x3的系數(shù)是(用數(shù)字作答).(3)(2014 全國(guó) I 卷)(xy)(x+y)8的

6、展開式中 x2y7的系數(shù)為州數(shù)字作答).解析(1)法一(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,含 y2的項(xiàng)為 T3=C5(x2+x)3-y2.其中(x2+x)3中含 x5的項(xiàng)為 C3x4x=C3x5.所以 x5y2的系數(shù)為C1C3=30.法二(x2+x+y)5表示 5 個(gè) x2+x+y 之積.；x5y2可從其中 5 個(gè)因式中選兩個(gè)因式取 y,兩個(gè)取 x2,一個(gè)取 x.因此 x5y2的系數(shù)為C5C!C1=30.(2)由(2x+W)5得 Tr+1=C5(2x)5r(點(diǎn))r=二 r25rc5x52,令 52=3 得r=4,此時(shí)系數(shù)為 10.(3)(x-y)(x+y)8=x(x+y)8-y(x+y)8

7、,=x(x+y)8中含 x2y7的項(xiàng)為 xC7xy7,y(x+y)8中含 x2y7的項(xiàng)為 yC8x2y6.故(xy)(x+y)8的展開式中 x2y7的系數(shù)為 C7C8=C1C2=20.答案(1)C(2)10(3)-20考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題【例 2】在(2x3y)10的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；各項(xiàng)系數(shù)的和；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；(5)x 的奇次項(xiàng)系數(shù)和與 x 的偶次項(xiàng)系數(shù)和.解設(shè)(2x3y)1o=a0 x1o+aix9y+a2X8y2+,+ai0y10,(*)各項(xiàng)系數(shù)和為 ao+ai+,+aio,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為

8、 ao+a2+,+aio,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 ai+a?+as+,+a9,x 的奇次項(xiàng)系數(shù)和為 ai+a?+as+,+a9,x 的偶次項(xiàng)系數(shù)和為 ao+a2+a4+,+aio.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的和為 Coo+Cio+,+Cio=2io(2)令 x=y=i,各項(xiàng)系數(shù)和為(23)io=(一 i)io=i.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 Coo+C2o+,+Cio=29,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 Cio+Cio+,+C9o=29.(4)令 x=y=i,得到 ao+ai+a2+,+aio=i,令 x=i,y=1(或乂=i,y=i),得 a0ai+a2a?+,+aio=5

9、10,十得 2(ao+az+,+aio)=1+510,1+5io奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為二；一得 2(ai+a3+,+a9)=151。，,一一一，15io.偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為一子.(5)x 的奇次項(xiàng)系數(shù)和為 ai+a3+a5+,十x 的偶次項(xiàng)系數(shù)和為 ao+a2+a4+,+aio=規(guī)律方法(1)“賦值法”普遍適用于恒等式， 是一種重要的方法，對(duì)形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,bCR R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1 即可；對(duì)形如(ax+by)n(a,bCR R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令 x=y=1 即可.(2)若 f(x)=ao+aix+a2x2+,+

10、anxn,則 f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為 ao+a2+a4+,=f+ +二二( (一一) )，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為 ai+a3+io15a9-2；ioi+52a5+1（1）1）【訓(xùn)練 2】（1）（2017 岳陽卞 g 擬）若二項(xiàng)式,2x）n 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是512,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）_3_3A.-27C3B.27C9(2017 義烏調(diào)研)(13x)=a0+aix+a2x+asx+a4x+a5x,求|a0|+|ai|+|a2|十|a3|+削+加|=()A.1024B.243C.32D.24解析(1)令 x=1 得 2n=512,所以 n=9,故，3x2J

11、9 的展開式白獷！項(xiàng)為 Tr+1=xc9(3x2)9r-1J=(-1)rc939rx183r,令 183r=0 得 r=6,所以常數(shù)項(xiàng)為 T7x=(1)6C9 33=27C3.(2)令 x=一 1 得 a。一 a1+a2a?+a4-%=|a0|+|a1|+|a2|+閔|+|a4|+|a5|=1(3)5=45=1024.答案(1)B(2)A考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例 3】(1)求證：1+2+22+,+25n1(nN N*)能被 31 整除；(2)用二項(xiàng)式定理證明 2n2n+1(n13,nCN N*).、口25n125n1證明(1)=1+2+22+,+25n21=25n1=32n1=(31+1)n

12、1=cnx31n+cnx31n1+,+cn1x31+Cn-1=31(Cnx31n-廣2+,+Cn1),顯然 Cnx31n1+C1x31n2+,+Cn1為整數(shù),原式能被 31 整除.(2)當(dāng) n3,nN N*.2n=(1+1)n=Cn+C1+,+Cn-1+CnC+Cn+Cn1+Cn=2n+22n+1,.不等式成立.規(guī)律方法(1)整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見的應(yīng)用問題， 整除問題中要關(guān)注展開式的最后幾項(xiàng).而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開式的前幾項(xiàng).4949)09 9D.D.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式.由于(a+b)n的展開式共有 n+1 項(xiàng)，故可通過對(duì)某些

13、項(xiàng)的取舍來放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的.【訓(xùn)練 3】求S=為+027+,+嗡除以 9 的余數(shù).解 S=O27+0i7+,+Ci7=2271=891=(91)91=C0X99C9x98+,+08X9091=9(C0 x98C9X97+,+C8)-2.C0X98-C9x97+,+C8是整數(shù),.S 被 9 除的余數(shù)為 7.課皇總結(jié)思想方法1 .二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指 c0,cn,cn,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與 a,b 的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與 a,b 的值有關(guān).2 .因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，

14、 所以在解題時(shí)根據(jù)題意給字母賦值是求解二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法.賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為 0,1.易錯(cuò)防范1.通項(xiàng) Tk+1=cnan-kbk是(a+b)n的展開式的第 k+1 項(xiàng)，而不是第 k 項(xiàng)，這里k=0,1,n.2 .區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì).項(xiàng)的系數(shù)與 a,b 有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與 n 有關(guān)，包為正.3 .切實(shí)理解“常數(shù)項(xiàng)”“有理項(xiàng)”(字母指數(shù)為整數(shù))”系數(shù)最大的項(xiàng)”等概念.|課時(shí)作業(yè)分k訓(xùn)沐，振升能力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：25 分鐘)一、選擇題1 .（2016 四 JI 卷）設(shè) i 為虛數(shù)單位，則（x+i）的展開式

15、中含 x 的項(xiàng)為（）A.15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析（x+i）6的展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=C6x6rir（r=0,1,2,6）,令 r=2,得含 x4的項(xiàng)為C6x4i2=15x4,故選 A.答案 A2 .（2017 臺(tái)州市調(diào)研）二項(xiàng)式|ax+羋，的展開式的第二項(xiàng)的系為一 J3,則 a 的值解析:Tr+1=C6（ax）6rf6J=C6a6r6jx61.第二項(xiàng)的系數(shù)為C6a5T=8；a=-12答案 B區(qū)n3.（2017 漳州,g 擬）在 23的展開式中，只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A.-7B.7C.-28D.28n解析依題意有 n+1=5,，n

16、=8.二項(xiàng)式 23|的展開式的通項(xiàng)公式 Tk+1=（1p_k441)k3/C&3k,令 84 卜=0 得卜=6,故常數(shù)項(xiàng)為 T7=(1)623答案 B4.（2015 湖北卷）已知（1+x）的展開式中第 4 項(xiàng)與第 8 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A.29B.210C.211D.212解析由題意，道=&,解得 n=10.則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 2n129.故選A.答案 A(5(5一3 3為A A, ,3 3C C7 7- -6868C C,一一21106,5 .(2016 ?？谡{(diào)研)若(xa)3+X，的展開式中 x 的系數(shù)為 30,則 a 等于()“1JA.

17、3B.2C.1D.2解析依題意，注意到x+1j 的展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1=Cl0-x10r-=Cr0-x102r,3+X10的展開式中含 x4(當(dāng) r=3 時(shí))、x6(當(dāng)r=2 時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為 C；0、C20,因此由題意得 C；0aC20=12045a=30,由此解得 a=2,選 D.答案 D6 .已知 Cn+2Cn+2Cn+2Cn+,+2Cn=729,則 Cn+Cn+Cn+,+Cn等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二項(xiàng)式定理得 C0+2C1+22C2+23C3+,+2n&=(1+2)n=3n=729,即 3n=36,所以 n=6,所以:+比+/+,+%=26比=

18、641=63.故選 A.答案 A7 .(2017 寧波十校聯(lián)考)設(shè)(2x)5=a0+ax+a2x2+,asx5,那么(a+a?+as)2(a。+22+24)2的值為()A.32B.-32C.243D.-243解 析 :(2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 二 令 x=1, 有 a0+a1+,+a5=1, 再 令 x=-1, 有a0a1+,a5=35=243,22(a1+a3+a5)(a0+a2+a4)=(a0+a2+a4+a+a3+a5)(a0+a2+a4a1一 a3a5)=243.答案 D8.(2017 九江,K擬)(x2x+1)10展開式中 x3項(xiàng)的系數(shù)為()

19、A.-210B.210C.30D.-30解析(x2x+1)10=(x2x)+110的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C；0(x2x)10r,對(duì)于(x2x)10r的通項(xiàng)公式為 Ti+1=(1)rC；0rx2-3r.令 202rr=3,根據(jù)00rW10r,r,rCN,解得8或,7.(x2x+1)10展開式中 x3j=1j=3,項(xiàng)的系數(shù)為C80C2(-1)+C70C3(-1)=-90-120=210.答案 A10.(2016 山東卷)若,2+a的展開式中 x5的系數(shù)是一 80,則實(shí)數(shù) a=州數(shù)字作答).915rax+jx/的展開式的通項(xiàng)+1=C5(ax)x2=C5a2=5,得 r=2,所以 da3=8

20、0,解得 a=-2.答案211 若將函數(shù) f(x)=x5表示為 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+,+a5(1+x)5,其中a。，a1,a2,a5為實(shí)數(shù)，則 a3=州數(shù)字作答).解析 f(x)=x5=(1+x1)5,它的通項(xiàng)為32一3一x)3(1)2=10(1+x)3,.a3=10.答案 1012.若(1+x+x)=ao+a1x+a2x+,+a12x，貝Uao=;a2+a4+,+a12=第數(shù)字作答).解析令 x=1,得 ao+a1+a2+,+a12=36,令乂=1,得 aoa1+a2,+a1236+136+1=1,-ao+a2+a4+,+a12=2.令 x=0寸 ao=1,a2

21、+a4+,+a12=21=364.答案 136413 .(2017 樂清木測(cè))(2x1)(32x)5的展開式中， 含 x 次數(shù)最高的項(xiàng)的系數(shù)是州數(shù)字作答).解析(3-2x)5的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=C535T(2x)1 令 r=5,可得(2x1)(3-2x)5的展開式中，含 x 次數(shù)最高的項(xiàng)的系數(shù)為 2X(2)5=64.答案-64二、填空題9.(2016 北京卷)在(12x)6的展開式中,解析(1-2x)6的展開式的通項(xiàng)公式為得 x2的系數(shù)為 C2(2)2=60.答案 60 x2的系數(shù)為網(wǎng)數(shù)字作答).Tk+1=c6(2x)k=C6(2)kxk,令 k=25rx107,令 10解析k5k5

22、(-1)k,T3=C5(1+能力提升題組(建議用時(shí)：15 分鐘)14 .設(shè) aCZ,且 0&a13,若 512016+a 能被 13 整除，貝Ua=()A.0B.1C.11D.12解析 V512016+a=(521)2016+a=C0016522016-C2。怡 522015+C2。怡 522014十,-C2016-52+1+a 能被 13整除，且 0&a13,1+a 能被 13 整除，故 a=12.答案 D10210.15 .(2017 青島模擬)已知(x+1)=a +a2x+a3x+,+aux.右數(shù)列 a1,a2,a3,ak(1k11,kCN N*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則 k 的最大值是()A.5B.6C.7D.8解析由二項(xiàng)式定理知 an=Cn01(n=1,2,3,n).又(x+1)10