中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練---平行四邊形的綜合題分類含答案

1、中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練一平行四邊形的綜合題分類含答案一、平行四邊形1 .如圖，現(xiàn)有一張邊長為 4的正方形紙片 ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H, 折痕為EF,連接BP、BH.4 廠£”©BC（1）求證：/APB=/ BPH;（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，求證： 4PDH的周長是定值；（3）當(dāng)BE+CF的長取最小彳直時，求 AP的長.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3） 2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出 /PBC1 BPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出ZAPB=Z

2、 PBC即可得出答案；（2）首先證明 ABPQBP,進(jìn)而得出 BCHBQH,即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）過 F作 FMXAB,垂足為 M,貝U FM=BC=AB,證明 EFM BPA,設(shè) AP=x,利用折 疊的性質(zhì)和勾股定理的知識用x表示出BE和CF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.試題解析：（1）解：如圖1,二 .PE=BE / EBP土 EPB.又 / EPH玄 EBC=90, / EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即 / PBC之 BPH.又 AD/ BC,/ APB=/ PBC./ APB=/ BPH.(2)證明：如圖2,過B作BQ

3、77;PH,垂足為Q.由(1)知 Z APB=Z BPH,又 / A=Z BQP=90 , BP=BP在4ABP和4QBP中，APB BPH A BQP 90 , BP BP .ABPAQBP (AAS), .AP=QP, AB=BQ, 又 AB=BC,BC=BQ.又/C=/ BQH=90 , BH=BH, 在 BCHABQH 中，BC BQ C BQH 90 , BH BH .BCHABQH (SAS , .CH=QH. PHD 的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 .PDH的周長是定值.(3)解：如圖3,過F作FMLAB,垂足為 M,貝U FM=BC=AB.又

4、二EF為折痕,EF± BP. / EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90, / EFM=Z ABP.又 Z A=Z EMF=90 , 在 EFM和ABPA中,EFM ABP EMF A , FM AB .EFMIABPA (AAS). .EM=AP.設(shè) AP=x在 RtAPE 中，(4-BE) 2+x2=BE2. 2解得 BE=2+-,82 .CF=BE-EM=2+x-x 8，x21.BE+CF= -x+4=- (x-2) 2+3.當(dāng)x=2時，BE+CFB最小值， .AP=2.考點(diǎn)：幾何變換綜合題.2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(4

5、, 0),(4, 3),動點(diǎn)M, N分別從O, B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運(yùn)動.其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動.過點(diǎn) M作MPLOA,交AC于P,連接NP,已知動點(diǎn)運(yùn)動了 x秒.(1) P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含 x的代數(shù)式表示)；(2)試求4NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積 S的最大值及相應(yīng)的x值;(3)當(dāng)x為何值時，4NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.03【答案】(1) P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, 3-x)4(2) S的最大值為:，此時x=2.4216128(3) x=,或 x=,或 x=395.【解析】試題分析：(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求 OM和PM的長，已知了 OM

6、的長為x,關(guān)鍵是 求出PM的長，方法不唯一， 可通過PM/ OC得出的對應(yīng)成比例線段來求； 也可延長 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根據(jù)CQ的長和/ACB的正切值求出 PQ的長，然后根據(jù) PM=AB-PQ來求出PM的長.得出 OM和PM的長，即可求出 P點(diǎn)的 坐標(biāo).(2)可按(1) 中的方法經(jīng)求出 PQ的長，而CN的長可根據(jù)CN=BC- BN來求得，因此 根據(jù)三角形的面積計算公式即可得出S, x的函數(shù)關(guān)系式.(3)本題要分類討論： 當(dāng)CP=CN時，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的長即x和/ABC的余弦值求出 CP的表 達(dá)式，然后聯(lián)立 CN的表達(dá)式即可求出 x的值；當(dāng)CP=PN時，那

7、么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的長，然后根據(jù) QN=CN- CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.當(dāng)CN=PN時，先求出QP和QN的長，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的長，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出 x的值.試題解析：(1)過點(diǎn)P作PQ± BC于點(diǎn)Q,有題意可得：PQ/AB,.CQPCBA,OP AB"：:-：-x 4 _ 3解得：QP= x,43.PM=3- -x,4M (x, 0) , N (4-x, 3),在 ANPC 中，NC=4-x,0< x<4-x2 +4x)由題意可知，C (0, 3),3P點(diǎn)坐標(biāo)

8、為(x, 3 - x)4(2)設(shè)ANPC的面積為S,3NC邊上的高為二工，其中，3，S的最大值為,此時x=2.(3)延長MP交CB于Q,則有PQ, BC.若NP=CR ,. PQ± BC, . NQ=CQ=x.55 若 CP=CN 貝U CN=4 x, PQ=x, CP二 x, 4 x=- x,4416x= 9 , 若 CN=NP,貝U CN=4- x.NQ=4 2x,.在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2,3(4-x) 2= (4-2x) 2+ ( x),44 一 16 128綜上所述，x=-,或 x=,或x=-395：考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.3.操作：如圖，邊長為 2的正方形

9、ABCD,點(diǎn)P在射線BC上，將4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直線與 AP所在直線交于點(diǎn) F.探究：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時， 若/BAP=30,求/AFE的度數(shù)；若點(diǎn)E 恰為線段DF的中點(diǎn)時，請通過運(yùn)算說明點(diǎn) P會在線段BC的什么位置？并求出此時 /AFD 的度數(shù).歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時（不與 B, C重合），/AFD的度數(shù)是否會發(fā) 生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長線上時，/AFD的度數(shù)是否會發(fā)生變化？試在 圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論.mi卸【答案】（1）45° ；BC的中點(diǎn)，45。； （2）不會發(fā)生變化

10、，證明參見解析；（3）不會發(fā)生變化，作圖參見解析 .【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質(zhì)求 出/ DAE度數(shù)，在三角形 AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；由E為DF中點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG/ AD,彳導(dǎo)EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,進(jìn)而得到三角形 BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到 BP=EG=1得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時（不與B, C重合），/AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，作 AG± DF于點(diǎn)G,如圖1 （a）所 示

11、，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出/1 + /2的度數(shù)，即為ZFAG度數(shù)，即可求出/F度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖 2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長線上 時，/AFD的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由為：作AGLDE于G,得/DAG=/ EAG,設(shè)/ DAG=Z EAG=%根據(jù)/ FAE為/ BAE一半求出所求角度數(shù)即可.試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，/ EAP土 BAP=30 ,，/ DAE=90 -30 °X 2=30,° 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30°, . . / ADE=/ AED= （180 - 30 °） +2

12、=75,° 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 °, Z ADF=75 °, ZAFE=180 -60 - 75 =45 °點(diǎn) E 為 DF 的中點(diǎn)時，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：圖1如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG/ AD,彳導(dǎo)EG/ BC, = EG/ AD,1 iiDE=EF，EG='AD=1, AB=AE, .點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上， ，AF垂直平分線段 BE, .OB=OE) / GE/ BP,/ OBP=/ OEG,/OPB=/OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=E

13、G=1 即 P 為 BC 的中點(diǎn)， . / DAF=90 , / BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ;° ( 2) / AFD 的度數(shù)不會 發(fā)生變化，作 AGDF于點(diǎn)G,如圖1 (a)所示，圖 1(a)在 AADE 中，AD=AE, AG, DE, AG 平分/DAE,即 /2=/DAG,且1/1 = /BAP, . . / 1 + /2)>< 9=45 ；即 /FAG=45,° 貝U/AFD=90，45 =45； (3)如圖 2所示，/ AFE的大小不會發(fā)生變化，/ AFE=45 ,圖3 cF 作

14、 AG± DE于 G,得 / DAG=Z EAG,設(shè) / DAG=Z EAG通,IIZ BAE=90 ° +2.kZ FAE= / BAE=45 ° , + 忘/ FAG=Z FAE- / EAG=45 ;在 RtAAFG中,ZAFE=90 - 45 =45 :考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.折疊性質(zhì)；3.全等三角形的判定與性質(zhì).4.如圖，矩形 ABCD中，AB=6, BC=4,過對角線BD中點(diǎn)O的直線分別交 AB, CD邊于點(diǎn) E, F.（1）求證：四邊形 BEDF是平行四邊形；EF的長.【答案】（1）證明見解析；（2）4,、T33【解析】分析：（1）根據(jù)平行四邊形

15、 ABCD的性質(zhì)，判定 BOEDOF （ASA）,得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 EO,即可得出EF的長.詳解：（1）證明：二四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點(diǎn)，/ A=90 ； AD=BC=4, AB/ DC, OB=OD,/ OBE=/ ODF,在 BOE和 DOF中,OBE ODFOB ODBOE DOF.,.BOEADOF (ASA),EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD± EF,設(shè) BE=x,則 DE=x,

16、AE=6-x,在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2,.x2=42+ (6-x) 2,13解得：x= 一,3 bd=Jad2 ab2 =2x/i3 , .OB=1bD= ,13 ,-BDEF,EO= . BE2 OB2 =2y3，EF=2EO=4, 13 .3點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì), 熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵BE 交 AD5.如圖，四邊形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°, BD=BQ點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，射線 的延長線于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證：四邊形 BCFD是菱形；(2)若 AD=1

17、, BC=2,求 BF 的長.【答案】（1）證明見解析（2） 2 J3【解析】（1） AF/ BC,Z DCB=Z CDF, Z FBC=Z BFD,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),DE=ECFBC BFD在ABCE與FDE中，DCB CDF ,DE EC.,.BCEAFDE,DF=BC,又DF/ BC, 四邊形BCDF為平行四邊形， BD=BC,二.四邊形BCFD是菱形；(2)二.四邊形 BCFD是菱形，BD=DF=BC=2,在 RtA bad 中，ab=用d_ad2 V3，. AF=AD+DF=1+2=3,在 RtBAF 中，BF=7AB2 AF2=2V3 .6.如圖，在 RtABC中，ZB=90

18、76;,AC=60cm, /A=60°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿 CA方向以 4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn) E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻D、E運(yùn)動的時間是t速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)秒(0vtwi5 .過點(diǎn) D作DF，BC于點(diǎn)F,連接DE, EF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由;(3)當(dāng)t為何值時，4DEF為直角三角形？請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)能，t=10； (3) t=15或12. 2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角 4CDF中，利用

19、直角三角形的性質(zhì)求得DF的長，即可證明；(2)易證四邊形 AEFD是平行四邊形，當(dāng) AD=AE時，四邊形 AEFD是菱形，據(jù)此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF為直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90兩種情況討論.【詳解】解：(1)證明：二.在 RtABC 中，/ C=90 / A=30° ,AB=_ AC= X 60=30cm22,. CD=4t, AE=2t,又 在 RtCDF中，/ C=30 ,.DF=1cD=21t,DF=AE能，. DF/AB, DF=AE四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時，四邊形 AEFD是菱形，即60 4t=2t ,解得：t=10

20、,當(dāng)t=10時，AEFD是菱形；(3)若ADEF為直角三角形，有兩種情況：如圖 1, /EDF=90°, DE/ BC,A圖115則 AD=2AE,即 60 4t=2 X 21 解得：t= 一 ,2如圖 2, /DEF=90°, DE±AC,仁圖2則 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,綜上所述，當(dāng)t=15或12時，4DEF為直角三角形.27.如圖，4ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn) A作AE/ BC,過點(diǎn)D作DE/ AB, DE與AC、AE分別交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,連接EC.(1)求證：AD=EQ(2)當(dāng)/BAC=RtZ時，求證：四邊形 AD

21、CE是菱形.【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】(1)先證四邊形 ABDE是平行四邊形，再證四邊形 ADCE是平行四邊形即可；(2)由/BAC=90°, AD是邊BC上的中線，得 AD=BD=CD,即可證明.【詳解】(1)證明： AE/ BC, DE/ AB , 四邊形ABDE是平行四邊形，.AE=BD,.AD是邊BC上的中線，BD=DC,.AE=DC,又 AE/ BC, 四邊形ADCE是平行四邊形.(2)證明：/BAC=90°, AD是邊BC上的中線. .AD=CD 四邊形ADCE是平行四邊形， 四邊形ADCE是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱

22、形的判定、直角三角形斜邊中線定理.根據(jù)圖形與已知條件靈活應(yīng)用平行四邊形的判定方法是證明的關(guān)鍵8.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1 ,每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).(1)在圖1中畫出等腰直角三角形 MON,使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且/MON=90 ；(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個正方形ABCD,使正方形 ABCD面積等于(1)中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個全等的直角三角 形和一個正方形，且正方形 ABCD面積沒有剩余(畫出一種即可).圖1圈2【答案】(1)作圖參見解析；(2)作圖參見解析.【解析】試題分析：(1)

23、過點(diǎn)。向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N,連接MN即可;(2)根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.試題解析：（1）過點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N,連接MN,如圖1所示；（2）等腰直角三角形 MON面積是5,因此正方形面積是 20,如圖2所示；于是根據(jù)勾股 定理畫出圖3:圖2圖3考點(diǎn)：1.作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖；2.勾股定理.9.如圖，在 4ABC中，/ACB=90°, /CAB=30°,以線段 AB為邊向外作等邊 ABD,點(diǎn)E 是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交線段 AD于點(diǎn)F.C4（1）求證：四邊形 BCFD為平行四邊形；（2）若AB=6,求平行四邊形 ADBC

24、的面積.【答案】（1）見解析；（2） S平行四邊形ADBC=紅，3 .211(1)在 RABC 中，E 為 AB 的中點(diǎn)，貝U CE=-AB, BE。AB,得至U / BCE=Z EBC=60:由22 AEFABEC；得 /AFE=Z BCE=60.又 / D=60 °,得 / AFE=/D=60 度.所以 FC/ BD,又因?yàn)?/BAD=/ ABC=60°,所以 AD/ BC,即 FD/BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.(2)在RtABC中，求出BC, AC即可解決問題；【詳解】解：(1)證明：在 4ABC 中，/ACB=90, Z CAB=30 ,/ ABC=60 ,

25、在等邊 4ABD 中, Z BAD=60 ； ，/BAD=/ ABC=60 ,° E 為 AB 的中點(diǎn)，. . AE=BE 又/ AEF=Z BEC1 _1_.AEHBEC 在 ABC 中，/ ACB=90 , E 為 AB 的中點(diǎn)，.CEqAB, BE=-AB, . CE=AE/ EAC=Z ECA=30 , °/ BCE4 EBC=60又. AEF BEC,，/AFE=/ BCE=60,° 又. / D=60 ；/ AFE=/ D=60 ； . FC/ BD,又 / BAD=/ABC=60AD/ BC,即 FD/ BC, 二.四邊形 BCFD是平行四邊形；(2

26、)解：在 RtABC中，. /BAC=30, AB=6, . BC=AF=3 AC=&/3 , . S平行四邊形bcfcf3x3/3 = 9.3 ,Sa acf= X 33/3 = 9- ,S平行四邊形ADB(= 273 222【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質(zhì)、解直 角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？?題型.10.如圖1,在4ABC中，AB= AC, AD± BC于D,分別延長 AC至E, BC至F,且CE=EF,延長FE交AD的延長線于 G.(1)求證：AE= EG;(2)如圖2,分

27、別連接BG, BE,若BG= BF,求證：BE= EG;(3)如圖3,取GF的中點(diǎn) M,若AB= 5,求EM的長.GG仃卻圖2圖35【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：/ CAD= / G,可得AE= EG;(2)作輔助線，證明 BEFGEC (SAS ,可得結(jié)論；(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得 EM=DN =1 t_ 人AC,計算可得結(jié)論.2【詳解】證明：（1）如圖1,過E作EH，CF于H, .EH/ AD,Z CEH= Z CAD, /HEF=/G, .CE= EF/

28、CEH= / HEF,，/CAD=/G,.AE= EG;.BD=CD,.AG是BC的垂直平分線,.GC=GB,/ GBF= / BCG, BG= BF,.GC= BE,.CE= EF,/ CEF= 180 - 2/ F, BG= BF,/ GBF= 180 - 2 / F, / GBF /CEF / CEE / BCG, / BCE= / CEF吆 F, / BCE= / BCG+Z GCE,/ GCE= / F,在 BEF和GCE中，CE EFQ GCE F,CG BF .BEFAGEC(SAS , .BE=EG；取AC的中點(diǎn)N,連接DN,/ GAE= / AGE,在RtACD中，N為AC的

29、中點(diǎn), .DN=1AC= AN, /DAN=/ADN, 2/ ADN= / AGE, . DN / GF,在RtGDF中，M是FG的中點(diǎn),DM = 1 FG= GM, /GDM=/AGE,2/ GDM= / DAN, .DM / AE, 四邊形DMEN是平行四邊形，,-.EM = DN= 1 AC 2， ，AC=AB=5, 5 . EM = .2【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助 線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三問，輔助線的作法是關(guān)鍵.友好三角形11.定

30、義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做性質(zhì)：如果兩個三角形是友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等.理解：如圖 ，在4ABC中，CD是AB邊上的中線，那么 4ACD和4BCD是 友好三角形”，并且 Saacd=Sbcd.應(yīng)用：如圖 ，在矩形 ABCD中，AB=4, BC=6,點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF AF 與BE交于點(diǎn)O.(1)求證：4AOB和4AOE是友好三角形”；(2)連接OD,若4AOE和ADOE是 友好三角形”，求四邊形 CDOF的面積.探究：在 ABC中，/A=30°, AB=4,點(diǎn)D在線段 AB上，連接 CD, AACDABCD> 友好三角形

31、”，將4ACD沿CD所在直線翻折，得到CD若CDfABC重合部分的面積等于 ABC面積的請直接寫出 ABC的面積.3CE DD 3圖圖【答案】(1)見解析；(2) 12;探究：2或2S.ABFE是平【解析】試題分析：(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB,即可證得4AOE和4AOB是友好三角形；(2) AAOEADOE>友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得 ABE ABF的面積，根據(jù) S四邊形cdof=S矩形ABCh2S/abf即可求解.探究：畫出符合條件的兩種情況： 求出四邊形 A DCBb平行四邊形，求

32、出 BC和A 雕 出/ACB=90,根據(jù)三角形面積公式求出即可； 求出高CQ求出DC勺面積.即可求 出 ABC的面積.試題解析：(1)二.四邊形ABCD是矩形， .AD/ BC,.AE=BF, 四邊形ABFE是平行四邊形，.OE=OB, AOE和 AOB是友好三角形.(2) .AOE和ADOE是友好三角形,Saaoe=Sadoe, AE=ED= AD=3, AOB與 AOE是友好三角形,Saaob=Saaoe,.AOEAFOB,Saoe=Sfob,Saaod=Sabf:,111- S 四邊形 cdof=S矩形 abcd-2Saabf=4 X 6-2 X 4 X 3=.12探究:解：分為兩種情況

33、：如圖1,- Sa acd=Sx bcd.12 .AD=BD= AB,沿CD折疊A和A重合，1111.AD=A，福Ex 4=2IIA' CD ABC重合部分的面積等于 ABC面積的工11 II 1111._4c_2c2.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dcdo=ob, a' o=co四邊形A' DCB平行四邊形,BC=A ' D=2過 B作 BMXACT M,. AB=4, /BAC=30,°II.BM=/AB=2=BC即C和M重合，/ ACB=90 ；由勾股定理得：ac=' ,1 II.ABC的面積是.X BCX

34、 AC=2%9=2%'2;如圖2,'A- Sa ace=Sx bcd.1 .AD=BD= AB,沿CD折疊A和A重合，1111 .AD=A，禧B工X 4=2II A' CD ABC重合部分的面積等于 ABC面積的*, 11 II 1111八 4c 2c 2c 2c.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dc .DO=OA'，BO=CO, 四邊形A' BDC平行四邊形， .A' C=BD=2過C作CO! A'吁Q, . A' C=2/ DA' C=BAC=30 ,° 11 .CQ=A'

35、; C =1 1111/.SaabC=2Saadc=2Sa dC2 /X A' DX CQ =2XX 1;=2即 ABC的面積是2或2、？.考點(diǎn)：四邊形綜合題.12.如圖，現(xiàn)將平行四邊形 ABCD沿其對角線 AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.AB與CD交于 點(diǎn)E.(1)求證：AE44CEB'(2)過點(diǎn)E作EH AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形 AECF的形狀并給予證明.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意可得 AD=BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB；利用AAS證明全等，貝U結(jié) 論可得；（2）由AEgCEB可得A

36、E=CE且EFLAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF玄 AFE=Z AEF,可得 AE=AF,貝U可證四邊形 AECF是菱 形.【詳解】證明：（1）二.四邊形ABCD是平行四邊形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC.ADEAB'EC（2）四邊形AECF是菱形.ADEAB'EC.AE=CE. AE=CE） EF± AC，

37、EF 垂直平分 AC, /AEF=/CEF.AF=CF1. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE,-.AF = AE= CE= CF四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練 掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.13.（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖（1）四邊形 ABCD中，若AB=AD, CB=CD,則線段BD, AC的位置關(guān)系（拓展探究）(2)如圖(2)在RtABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以 AB, AC為底邊，在RtA ABC外部作等腰三角形 ABD和等腰三角形

38、 ACE連接FD, FE,分另交AB, AC于點(diǎn)M, N.試猜想四邊形 FMAN的形狀，并說明理由；(解決問題)(3)如圖(3)在正方形 ABCD中，AB=2*2,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 ABCD旋轉(zhuǎn) 60。，得到正方形AB'CD'請直接寫出BD平方的值.【答案】(1) AC垂直平分BD; ( 2)四邊形FMAN是矩形，理由見解析；(3) 16+先落或 16 - 8Vm【解析】 【分析】(1)依據(jù)點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，即可得出 AC垂直平分BD;(2)根據(jù)RtA ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，可得 AF=CF=BF再根據(jù)等月三角形 AB

39、D 和等腰三角形 ACE,即可得到 AD=DB, AE=CE進(jìn)而得出Z AMF=Z MAN= Z ANF=90 ,即可 判定四邊形AMFN是矩形；(3)分兩種情況： 以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60°,以點(diǎn)A為旋 轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60。，分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié) 論.(1) AB=AD, CB=CD,點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，點(diǎn) C在線段BD的垂直平分線上,AC垂直平分BD,故答案為：AC垂直平分BD;(2)四邊形FMAN是矩形.理由：RtABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn), .AF=CF=BF,又.等腰三角形 ABD和等腰三角形 A

40、CE,.AD=DB, AE=CE.由(1)可得，DFL AB, EF± AC,又 / BAC=90°,/ AMF=Z MAN=Z ANF=90 ;四邊形AMFN是矩形；(3) BD'的平方為16+8口或16-8網(wǎng)分兩種情況：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60°, 如圖所示：過 D作D'E, AB,交BA的延長線于 E,/ EAD=30 ; AB=2=AD',II .D.AD'=0, AE=W，.BE=2., +、,BDE 中，BD'2=D'E2+BE2= (%?) 2+ (2憶氣心)2=16+8/3以點(diǎn)

41、A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形 ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60°,如圖所示：過B作BF, AD'于F,AD旋轉(zhuǎn)可得，/DAD=60°,/ BAD=30 ,° .AB=2 =AD',II . BF=TiAB=Y , AF=E .d'f=2? 甲,.RBDF 中,BD'2=BF2+D'F2= (*?) 2+ (2/即)2=16 8%用綜上所述，BD'平方的長度為16+%3或16-8、3.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直 平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直

42、角三角形，依 據(jù)勾股定理進(jìn)行計算求解.解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形.14.如圖1,若分別以 ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE和BCFG為正方 形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)/C=90°時，求證：4ABC與4DCF的面積相等.(2)引申：如果ZC 90。時，(1)中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；(3)運(yùn)用：如圖3,分別以 ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形 ACDE BCFG ABMN為 正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形.已知 ABC中，AC=3, BC=4.當(dāng) ZC=時，圖中陰影部分

43、的面積和有最大值是 .【答案】(1)證明見解析；(2)成立，證明見解析；(3) 18.【解析】試題分析：(1)因?yàn)?AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,從而 ABC與4DFC的面積相等；(2)延長BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P;過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q.得到四邊形ACDE BCFG均為正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因?yàn)?Saabc= 1 BC?AP, Sadfc=；FC?DQ 所以 Saabc=Sdfc；(3)根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面積和是 4ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積

44、和有最大值，則三角形 ABC的面積最大，當(dāng) 4ABC是直角三角形，即 /C是90度時，陰影部分的面積和最大.所以S陰影部分面積和=3Saabc=3 J X 3X 4=182(1)證明：在 4ABC與4DFC中,/小 DCF, BC=FC.ABGDFC. ABC與 DFC的面積相等；(2)解：成立.理由如下：如圖，延長BC到點(diǎn)P,過點(diǎn)A作APLBP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQLFC于點(diǎn)Q./ APC=Z DQC=90 :四邊形ACDE BCFG均為正方形，.AC=CD, BC=CF /ACP+/ PCD=90,° / DCQ+/ PCD=90 ,°/ ACP=/ DCQ.APC= D

45、QC.-. ACP= DCQ ,AC=CD APCA DQC (AAS), .AP=DQ.又ABC=1BC?AP, Sa dfc= 1 FC?DQ 22Sa abcfSa dfc；（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形當(dāng)4ABC是直角三角形，即 / C是90度時，1 S 陰影部分面積和-3S/abc=3 X x 3 X 4=182考點(diǎn)：四邊形綜合題 ABC的面積三倍，ABC的面積最大，陰影部分的面積和最大.15.如圖1,在長方形紙片 ABCD中，AB=mAD,其中m?1,將它沿EF折疊（點(diǎn)E. F分別在 邊AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P,連接EP設(shè)幽-n ,其中0<n?1.AD鄭（1）如圖