高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義11排列組合與二項式定理、概率

1、微專題11排列組合與二項式定理、概率命題者說考題統(tǒng)計考情點擊2018全國卷I T10幾何 概型2018全國卷I T15排列 與組合2018全國卷n T8古典概 型2018全國卷出于5二項式 定理2018天津高考T10二項 式定理1 .排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊 的位置，是高考的必考內(nèi)容，很少單 獨命題，主要考查利用排列、組合知 識計算古典概型。2 .二項式定理仍以求二項展開式的特 定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為 主，題目難度一般。3 .概率、隨機變量及其分布列是高考 命題的熱點之一，命題形式為“一小 一大”，即一道選擇或填空題和一道 解答題。號一例所 對點幫締:猊.考 向 調(diào) 研 一期於

2、槍號考向一排列與組合【例11（1）（2018全國卷I ）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有 1位女生入選，則不同的選法共有種。（用數(shù)字填寫答案）（2）（2018浙江高考）從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6 中任取2個數(shù)字，一共可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。（用數(shù)字作答）解析（1）解法一：根據(jù)題意，沒有女生入選有C4=4（種）選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C3= 20（種）選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有 20 4= 16（種）。解法二：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有C1c4=12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不 同

3、的選法有c2c4=4(種)。根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有 1 位女生入選的不同的選法有 16種。(2)若取的4個數(shù)字不包括0,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為 C5C2A4;若取的4個數(shù)字包括0,則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為 c2c1c3A3。綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù) 為 C5C2A4+ C5C1C1A3= 720 + 540= 1 260。答案 (1)16 (2)1 260求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排 列，無序組合；分類相加，分步相乘。具體地說，解排列、組合 的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求， 再考慮其他元 素。(2

4、)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求， 再考慮其他位 置。(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合 要求的排列或組合數(shù)。解答計數(shù)問題多利用分類整合思想。分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進行，確?！安宦?“不重”。變|式|訓(xùn)|練1. (2018沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)若4個人按原來站的位置重新 站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置， 則不同的站法共有 ()A. 4種B. 8種C. 12 種D. 24 種解析 將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置， 有 C4種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有 C4X2 =8（種）站法。故選Bo答案 B2. （2018開封高三定位考試）某地實行

5、高考改革，考生除參 加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政 治、歷史、地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué) 專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué) 生甲的選考方法種數(shù)為（）A. 6B. 12C. 18D. 19解析 解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有 c3c3=9（種）；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有C2C1=9（種）；物理、政治、歷史三科都選的選法有 1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有9+9+1 = 19（種）。故選Do解法二：從六科中選考三科的選法有C6種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共

6、有C31 = 19（種）。故選Do答案 D考向二二項式定理【例2】（1）（2018全國卷田）y + Xj5的展開式中x4的系數(shù)為（）A. 10B. 20C. 40D. 801 1（2） x+1+2 5的展開式中整理后的常數(shù)項為。'八 x /解析（1）由題可得 Tr+i = C5（x2）5-，r=C5 2r x10-，令 103r=4,則 r=2,所以 C5 2r= C5X 22=40。故選 C。（2）不妨設(shè)x>0,k+； + 2 j= |炊+比卜的通項公式：1+1 = 。0（次10-虛）=C；0X5-r,令5r = 0,解得r=5o所以常數(shù)項 = C50= 252。1.已知(x2

7、+2x+ 3y)5的展開式中A. 60BC. 520Dx5y2的系數(shù)為（）.180.540變|式|訓(xùn)|練答案（1）C （2）252與二項式定理有關(guān)的題型及解法題型解法求特定項或其系數(shù)常采用二項展開式的通項分析求解系數(shù)的和或差常用賦值法近似值問題利用展開式截取部分項求解整除（或余數(shù)）問題利用展開式求解解析（x2+2x+ 3y）5可看作5個（x2+2x+3y）相乘，從中選2個y,有C2種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2,最后一個括號選出x,有C3 Cl種選法；所以x5y2的系數(shù)為32C5 C3 2 Cl = 540。故選 Do答案 D2. （ax+血）5的展開式中x3項的系數(shù)為20,則實數(shù)

8、a =5-；解析展開式的通項為Tr+i = c5(ax)5 r(VX)r=a5 rC5xr令 5 2 = 3 得 r=4,所以 aC4=20,解得 a=4答案4考向三古典概型與幾何概型【例3】（1）（2018全國卷n ）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫 猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如30=7+23。在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A.112B.114C.115D.118（2）正六邊形ABCDEF的邊長為1,在正六邊形內(nèi)隨機取點一 ，一3於M ,則使 MAB的面積大于4的概率為解析(1)不超過 3

9、0 的素數(shù)有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C10=45（種）取法，因為7+23= 11+19= 13+ 17=30,所以隨機選取兩個不同的數(shù),31其和等于30的有3種取法，故概率為45=行。故選c。EDA G BC18(2)如圖所示，作出正六邊形ABCDEF,其中心為O,過點O作OGSB,垂足為G,則OG的長為中心O到AB邊的距離。一.360° 一一 .易知/AOB=-6=60 ,且OA=OB,所以BOB是等邊二角形，所以 OA=OB=AB=1, OG = OA sin60 = 1 xg3=¥，即對角 .3、_

10、線CF上的點到AB的距離都為 三。設(shè)WAB中AB邊上的身為h, 則由S小AB = 1X 1Xh乎，解得h浮。所以要使4MAB的面積大 于乎,只需滿足h導(dǎo),即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得，4MAB的面積大于S弟形CDEF1的概率p=2。S正六邊形ABCDEF11答案(1)C (2)2(1)解答有關(guān)古典概型的概率問題， 關(guān)鍵是正確求出基本事件 總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識（2）當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解。變|式|訓(xùn)|練1. （2018四川綿陽二診）將一顆骰子先后拋擲 2次，觀察向 上的點數(shù)，將第

11、一次向上的點數(shù)記為 m,第二次向上的點數(shù)記為 n,曲線C:泉£=1,則曲線C的焦點在x軸上且離心率e冶 的概率等于（）51A- 6B. 631C. 4D- 4解析因為離心率e&¥，所以y.mwg3,解得m）2, 由列舉法，得當(dāng) m=6時，n= 5,4,3;當(dāng)m=5時，n=4,3;當(dāng)m =4 時，n=3,2;當(dāng) m=3 時，n = 2;當(dāng) m=2 時，n=1,共 9種 91 .情況，故其概率為7777 = 70故選D。6X6 4答案 D2. （2018衡水金卷模擬）我國數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了 勾股定理，該圖中用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形的兩條直 角邊，用

12、弦（c）來表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為 3,股為4,若從 圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方形中的概率是（）A.254924B- 49D.4C, 7解析 a=3, b=4,由題意得c=5,因為大正方形的邊長251一丁為a+b = 3 + 4=7,小正方形的邊長為c=5,則大正方形的面積為49,小正方形的面積為25,所以滿足題意的概率值為490故選Bo49答案 B考向四 條件概率與相互獨立事件的概率【例4】（1）如圖，ABCD是以。為圓心、半徑為2的圓的 內(nèi)接正方形，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，且 E, F, G, H分別為AB, BC, CD, DA的中點。將一枚針隨機擲到圓 。內(nèi)

13、，用M表示事件“針落在正方形 ABCD內(nèi)”，N表示事件 “針落在正方形EFGH內(nèi)”，則P（N|M）等于（）1 A.一 兀C.bWD.（2）如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送貨到某單位B處，有ACD - B, AEF-B兩條路線。若該 地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示（例如A-C-D算作兩個路段，路段 AC發(fā)生堵車 .11 事件的概率為1,路段CD發(fā)生堵車事件的概率為110）o若使途中 發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是j_ 8 Fi156c7To解析（1）由題意得，圓。的半徑為2,所以內(nèi)接正方形ABCD的邊長為AB = 2亞，則正方

14、形ABCD的面積為$ = （2亞）2=8,因為E, F, G, H分別為AB, BC, CD, DA的中點，所以 EF1= X2R= 2,所以正萬形EFGH的面積為&=22=4,所以P（N|M）4 1=8=2。故選 c。(2)路線 A-C-D-B途中發(fā)生堵車事件的概率Pi=1 1-1 (X 1jx 12i=11，路線A-E 途中發(fā)生堵車16J 110 J 55J 20事件的概率P2= 1-1-5k1 -Lx 1 -1)=*因為察11,所55J I8/ < 5J 2525 20以應(yīng)選擇路線 AEFB。答案 (1)C(2)AEfFB求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的注意點(1)求復(fù)

15、雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成， 分析復(fù) 雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個 相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。(2)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征： 在每次試驗中，試 驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生 的概率相同。變|式|訓(xùn)|練1.(2018汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為3一4和2- 3兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()2B- 33a. 455C- 7D- 12解析 根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得

16、，則所求概率是2x1i3 i+ 3x|i-2j=3 <4) 4 <3)12。故選Do答案 D2. （2018廈門二模）袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回 地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率 是（）B.A.C.18125D.54125解析 袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取 3次,每次抽取1球，每次取到黃球的概率 P = 3,所以3次中恰有25次抽到黃球的概率是P=c3'|2 1-|=T4o故選Do5J <5/ 125答案 D3. （2018南昌模擬）口袋中裝有大小形狀相同的紅球 2個， 白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次

17、取 得紅球，則第二次取得白球的概率為 。解析 口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球， 設(shè)事件A表示“第一次取得， 一一 21紅球，事件B表示 第二次取得白球”，則P（A） = = " P（AB） 6 32 3 1= 2X3=-所以第一次取得紅球后，第二次取得白球的概率為6 5 5P(B|A) =P ABPA5 3 1=5°答案3 5IS突破,壓釉小題課外選做沖擊1.（考向一）（2018南昌調(diào)研）某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考 慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求： 節(jié)目甲必須排在前三 位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起。則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出

18、順序 的編排方案共有（）A. 120種B. 156種C. 188 種D. 240種解析 解法一：記演出順序為16號，對丙、丁的排序進 行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5 和 6 號，和排法分別為 a2A3, a2A3, c2A2A3, c1a2A3, c3a2A3, 總編排方案有 a 2A 3+a 2a 3 + c2 A 2A 3+c 3A 2A3 + c3A 2A 3=120（種）。故選Ao解法二：記演出順序為16號，按甲的編排進行分類， 當(dāng)甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有 4種，則有C4A2A3 = 48（種）；當(dāng)甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有 3種，共有 C

19、3A2A3=36（種）；當(dāng)甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有 C3A2A3=36（種）。所以編排方案共有48+ 36+36 =120（種）。故選Ao答案A2 .（考向二）（2018湖南湘東聯(lián)考）若（x+ a）（1 +2x）5的展開式 中fx3的系數(shù)為20,則a=。解析（x+a）（1+2x）5的展開式中x3的系數(shù)為C2 22+a C3 23-A1= 20,所以 40+80a = 20,解得 a= 43 .(考向三)(2018漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“論語知識大賽”，決出第 1名到第5名的名次。甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好,但是你倆都沒得到

20、第一名”；對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”。從上述回答分析，丙是第一名的概率是 ()A. 1B. 153C.D.解析 因為甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響,所以這三個人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率11 一，是三。故選B(3答案 B4 .(考向三)已知定義在區(qū)間 3,3上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足： 對任意的xG 3,3,都有f(f(x)2x) = 6,則在 3,3上隨機取 一個實數(shù)x,使得f(x)的值不小于4的概率為()B.D.1A. 61C- 3解析由題意設(shè)對任意的xq 3,3,都有f(x)-2x = a,其中 a 為常數(shù)，且 aq3,3,則 f(a)=6, f(a)-2a=a,所以 62a=a,3 1 得a=2,故f(x) =