(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講義(含解析)

1、§ 8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)取新考明考情考向分析1 .理解空間線卸垂直、卸卸垂直的 判定定理和性質(zhì)定理.2 .理解直線與平面所成角的概念， 了解二面角及其平面角的概念 .直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi) 容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng) 用等內(nèi)容.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有 較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)一網(wǎng)陽昭毗知識(shí)訓(xùn)鱗鞋幼觸目一知識(shí)梳理1 .直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面a互相垂直，記作l，a ,直線l叫做平面a的垂線，平面 a叫做直線l的垂面.

2、(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語百圖形語言何語日判定定理一條直線與一個(gè)平囿內(nèi) 的兩條相交直線都垂 直，則該直線與此平面 垂直錯(cuò)誤！？ l ± a性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平囿的兩條直線平行一r錯(cuò)誤！ ？ a/ b2 .直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，它們所成的 角是0 的角.(2)范圍：0,.3 .平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角;二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在

3、兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語后圖形語言何語日判定定理一個(gè)平囿過另一個(gè)平囿 的垂線,則這兩個(gè)平面垂 直£1錯(cuò)誤?。?a 1 3性質(zhì)定理兩個(gè)平囿垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平囿垂直幺A1錯(cuò)誤??？ U a:概念方法微思考】1 .若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？提示垂直.若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線

4、所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90。的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個(gè)平面2 .兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面嗎？提示垂直.在兩個(gè)相交平面內(nèi)分別作與第三個(gè)平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行.由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個(gè)相交平面的交線 與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個(gè)平面 基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)直線l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則 l，a.( x )(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.( X )直線 a，a ,

5、b，a ,則 a/ b.(V )(4)若 a，§ , a，§ ,則 a / a .( x )(5)若直線a，平面a ,直線b/ a ,則直線a與b垂直.( V )(6)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面3內(nèi)的無數(shù)條直線，則 a ± 3 .( X )題組二教材改編2 .P73T1下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.如果平面a，平面B,那么平面 a內(nèi)一定存在直線平行于平面（3B.如果平面a不垂直于平面（3 ,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（3C.如果平面 a _L平面 y ,平面 3 _L平面 y , a Cl § = l ,那么l _L平面丫D.如果平面a,平面&

6、#167; ,那么平面 a內(nèi)所有直線都垂直于平面3答案 D解析 對(duì)于D,若平面a，平面（3 ,則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面（3 ,即與平面（3的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面3內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的.3.P67練習(xí)T2在麴隹P ABN,點(diǎn)P在平面ABC的射影為點(diǎn) O若PA= PB= PC則點(diǎn)O是ABC 心；（2）若 PAL PB, PBL PC PCX PA 則點(diǎn)。是 ABC勺 心.答案（1）外（2）垂解析（1）如圖1,連接OA OB OC OP在 RtA POA RtA POBF口 RtA POB, PA= PC= PB所以O(shè)A= OB= OC即O為乙ABC勺外心.戶圖1圖216（2）如

7、圖2,延長(zhǎng)AQ BO CO別交BC, AC AB于點(diǎn)H, D, G. PCI PA, PBL PC PAA PB= P, PA PB?平面 PAB PCI平面 PAB 又 AB?平面 PAB PCL AB ABL PQ PS PC= P, PO PC?平面 PGC . ABL平面PGC又CG 平面PGC .ABL CG 即 CE ABC& AB 上的高.同理可證 BQ AH分別為 ABC邊AC BC上的高，即。為乙ABC勺垂心.題組三易錯(cuò)自糾4 .（2018 臺(tái)州模擬）若l ,m為兩條不同的直線，a為平面，且l，a ,則“m/ a”是“ mll ” 的（）B.必要不充分條件A.充分不必

8、要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A解析 由l，a且m/ a能推出niL l ,充分性成立；若l，a且mL l ,則m/ a或者n? a ,必要性不成立， 因此“ m/ a ”是“ ml l ”的充分不必要條件，故選 A.5 .如圖所示，在正方體 ABCDABCD中，點(diǎn)Q M N分別是線段 BQ DD, DC的中點(diǎn)，則 直線OMf AC, MN勺位置關(guān)系是（）A.與AC MN勻垂直B.與ACii直，與MN垂直C.與AC垂直，與 MN直D.與AC MN勻不垂直答案 A解析 因?yàn)镈D，平面ABCD所以ACL DD,又因?yàn)锳CL BD DDA BD- D,所以ACL平面BDDB,因?yàn)镺

9、M平面BDDB,所以O(shè)M_ AC設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2,則 OM= 1 + 2 =小,MN= <1 + 1 =小，ON=41+4 = 5,所以O(shè)觸mN = ON,所以O(shè)M_ MN故選A.6 .如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓 O所在的平面，點(diǎn) C是圓周上不同于 A, B 的任意一點(diǎn)，M N分別為VA VC的中點(diǎn)，則下列Z論正確的是 （）A. MN/ ABB.平面VACL平面VBCC.MNW BC所成的角為45D.OCL平面 VAC答案 B解析 由題意得 BCL AC因?yàn)?VA1平面ABC BC?平面ABC所以VA! BC因?yàn)锳S VA= A,所以BC1平面 VAC因?yàn)锽C?平面

10、VBC所以平面 VACL平面VBC故選B.題型分類深度剖析IUM津度制折點(diǎn)譜點(diǎn)*的完題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)師生扶研例1如圖所示，在直三棱柱 ABC ABC中，AB= AC AA=3, B* 2, D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC上一點(diǎn).當(dāng)CF2時(shí)，證明：B1F，平面ADF證明 因?yàn)锳B= AC, D是BC的中點(diǎn)，所以 ADL BC 在直三棱柱 ABO ABC中， 因?yàn)锽B，底面ABC AD?底面ABC 所以ADL BB因?yàn)?BCT BB= B, BC BB?平面 BBCC,所以ADL平面BBCC因?yàn)锽F?平面BBCC,所以ADL BF.方法一在矩形BBCC中，因?yàn)?CF=CD= 1, BiG

11、=CF= 2,所以 RtADCFRtAFCB,所以/ CFD= / CBF,所以/ BiFD= 90° ,所以 BF± FD 因?yàn)?ADA FD= D, AD FD?平面 ADF所以BF,平面ADF方法二 在 RtBBD中，BD= CD= 1, BB=3,所以 BD= ,BD+BE2= 10.在 RtBCF 中，BC=2, GF=1, 所以 BF= MBC2 + C1F2 =。5.在 RtDC葉,CF= 2, CD= 1, 所以 DF= ,CD+ cF= .5.顯然 dF+ BF2=BD2,所以/ BiFD= 90° .所以BFXFD.因?yàn)?AE FD= D, A

12、D FD?平面 ADF所以BF，平面 ADF思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵（1）證明線面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性；面面垂直的性質(zhì).（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1 （2019 紹興模擬）如圖，在三B隹A-BCD, ABL AQ BCL BD平面ABDL平面BCD點(diǎn)E, F（E與A D不重合）分別在棱AD BD上，且EF± AD求證：（1） EF/平面ABC（2） ADL AC證明 （1）在平面 ABD,因?yàn)?ABL AD EF± AQ則 AB/ EF又因?yàn)镋F?平面ABC AB?平面ABC所以E

13、F/平面ABC（2）因?yàn)槠矫鍭BDL平面BCD平面 ABD 平面 BCD= BD BC?平面 BCD BCL BD所以BCL平面ABD因?yàn)锳D?平面ABD所以BCL AD又 AB! AD BCT AB= B, AB?平面 ABC BC?平面 ABC所以ADL平面ABC又因?yàn)锳C?平面ABC所以ADLAC題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，師生共研例2 （2018 全國(guó)I ）如圖，在平行四邊形 ABCW, AB= AC= 3, / ACM= 90° .以AC為折痕將ACMff起，使點(diǎn) M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且 AB± DA證明：平面 ACDL平面ABC，一,，一2,，一(2) Q為

14、線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP= DQ= -D/A求三棱錐 Q- ABP勺體積.3 證明 由已知可得，/ BAC= 90° ,即BAL AC又 BAL AD AE AC= A, AD, AC?平面 ACD所以ABL平面ACD又AB?平面ABC所以平面 ACDL平面ABC(2)解 由已知可得，D8 CM= AB= 3, DA= 3y2.又 BP= DQ= 3DA 所以 BP= 2啦.如圖，過點(diǎn)Q作QHAC垂足為E,則 QE/ DCS. QE= 1DC3由已知及可得，DCL平面ABC所以QEL平面ABC QE= 1.因此，三棱錐 Q- ABP的體積為 “ ab1XSaabpX

15、 QE 3=3x1x 3X2 /sin45。X1= 1.思維升華(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理 (a，B , a? a ? a ! (3).(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.跟蹤訓(xùn)練2 (2018 寧波調(diào)研)如圖，三棱錐 P- ABC,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PAL PC PB= 2.(1)求證：平面 PA(X平面ABC(2)若PA= PC,求三棱錐 P- ABC勺體積.證明(1)如圖，取AC的中點(diǎn)Q連接BO PO因?yàn)?ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,所以 BOL AC BO=

16、3.1因?yàn)?PAL PC 所以 P0= AC= 1.因?yàn)?PB= 2,所以 OP + 0B= P。所以POL OB因?yàn)?ACT OP= Q AC OF?平面 PAC所以BOL平面PAC又OB1平面ABC所以平面PACL平面ABC(2)解 因?yàn)?PA= PC PAh PC AC= 2,所以 PA= PC= .2由知BOL平面PAC所以 VP- ABC= Vb- AP戶BO= 3x2x 用乂巾乂季= $3.題型三與垂直有關(guān)的探索性問題 師生共研 例3如圖，直三棱柱 ABC- ABC中，D, E分別是棱BC AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CG上，已知AB= AC AA=3, BC= CF= 2.fi3 H(1)

17、求證：GE/平面ADF(2)設(shè)點(diǎn)M在BB上，當(dāng)BMM可值時(shí)，平面 CAML平面ADF證明連接CE交ADT Q連接OF因?yàn)镃E AD為ABCW中線,則O為ABC勺重心，故CF CO 2=一CC CE 3'故 OF/ CE,因?yàn)镺F?平面ADF GE?平面ADF所以CE/平面ADF(2)解 當(dāng)BMk 1時(shí)，平面CAML平面ADF證明如下：因?yàn)?AB= AC AD?平面ABC故ADL BC在直三棱柱 ABC- ABG中，BB，平面 ABC BB?平面 BBCC,故平面BBCC1平面ABC又平面B BCCn平面ABC= BC AD?平面ABC所以ADL平面BBCC,又 Cl?平面 BBCC 故

18、 ADLCM又 BM= 1, BC= 2, CD= 1, FC= 2,故 RtA CBIWRtA FCD易證 CM- DF,又 DFH AD= D, DF AD?平面 ADF故CML平面ADF又Cl?平面CAM故平面CAM_平面ADF思維升華對(duì)命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證.途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性 途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.AE1平跟蹤訓(xùn)練3如圖所示的空間幾何體 ABCDEFG,四邊形ABCD1邊長(zhǎng)為2的正方形,面 ABCD EF/ AB EG/ AD EF= EG= 1.(1)求證：平面。尸良平面ACE(2)在AC上是否存在一點(diǎn)

19、H,使得EH/平面CFG若存在，求出CH的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明 理由.證明連接BD交AC于點(diǎn)Q則BDL AC設(shè)AB AD的中點(diǎn)分別為 M N,連接 MN則MIN/ BDD連接 FM GN 則 FM/ GN 且 FM= GN所以四邊形FMNG；平行四邊形，所以MN FG 所以BD/ FG所以FGL AC由于AEL平面 ABCD所以AE! BD所以FGL AE又因?yàn)锳S AE= A, AC AE?平面ACE所以FGL平面ACE又FG 平面CFG所以平面 CFGL平面 ACE(2)解 存在.設(shè)平面ACS FG于Q則Q為FG的中點(diǎn)，連接EQ CQ取CO勺中點(diǎn)H,連接EH由已知易知，平面 EFG/平面A

20、BCD又平面AC田平面EFG= EQ平面ACE平面ABC呼AC所以CH/ EQ又CH= EQ=歲，所以四邊形EQCH;平行四邊形，所以 EH/ CQ又CQ平面CFG EH?平面CFG所以EH/平面CFG.12所以在AC上存在一點(diǎn)H,使得EH/平面CFG且CH=:-.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練1.已知互相垂直的平面a , (3交于直線l ,若直線 m n滿足m/ a , n, B ,則()A. m/ lC.n± lB. m/ nD.m! n答案 C解析 因?yàn)閍 n B =1 ,所以1? B ,又n，B ,所以n，i.2.（2019 寧波模擬）已知直線1 ,rnW平面a , B ,1 ? a ,

21、m? 3，則下列命題中正確的是（）A.若 H m則必有a / BB.若1，m則必有a X 3C.若1，B ,則必有a 1 3D.若a ± 3 ,則必有m± a答案 C解析 對(duì)于選項(xiàng)A,平面a和平面3還有可能相交，所以選項(xiàng) A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,平面a和平面3還有可能相交或平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)? ? a , 1，B ,所以a 1 3 .所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,直線m可能和平面 a不垂直，所以選項(xiàng) D錯(cuò)誤.3 .如圖，在四面體 D-ABC43,若AB= CB AD= CQ E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面ABCL平面ABDB.平面ABDL平面B

22、DCC.平面ABCL平面BDE且平面 ADC_平面BDED.平面ABCL平面 ADC且平面 ADC_平面BDE答案 C解析因?yàn)锳B= CB且E是AC的中點(diǎn)，所以BE! AC,同理有DEL AC于是ACL平面BDE因?yàn)锳C在平面ABCrt,所以平面 ABCL平面BDE又由于AC?平面ACD所以平面 ACd平面 BDE4 .在正方體 ABCD ABGD中，M N分別是BC, CD的中點(diǎn)，則（）A.MIN/ GDB.MNL BCC.MNL平面 ACDD.MNL平面 ACC答案 D解析 對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)镸 N分別是BC, CD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)NC平面CDEC,點(diǎn)M?平面CDDC1, 所以直線MN與平面C

23、DOD相交的直線，又因?yàn)橹本€ GD在平面CDDC內(nèi)，故直線 MNW直線CD不可能平行，故選項(xiàng) A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B,正方體中易知 NA NC,因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以直線 MNW直線BC不垂直, 故選項(xiàng)B不對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C,假設(shè)MNL平面ACD,可得MNL CD,因?yàn)镹是CD的中點(diǎn)，所以MC MD,這與MC MM盾，故假設(shè)不成立，所以選項(xiàng)C不對(duì);對(duì)于選項(xiàng) D,分另1J取 BiG, CD的中點(diǎn)P, Q 連接PM QN PQ 因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)， ,11所以 PM CC且 PM= 2。&1同理 QN CG且 QN= CG所以PM/ QNM P陣QN所以四邊形PQNMJ平行四邊形.所以PQ/

24、MN在正方體中，CG± PQ PQL AG因?yàn)?Ab CC= C AC?平面 ACC, CC?平面 ACC,所以PQL平面ACC因?yàn)镻Q/ MN所以MNL平面 ACC故選項(xiàng)D正確.5 .已知三棱柱 ABC- A1B1G的側(cè)棱與底面垂直，體積為 *底面是邊長(zhǎng)為 43的正三角形，若 P為底面ABG的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（答案 B解析 如圖，取正三角形 ABC勺中心Q連接OP則/ PAB PA與平面ABO成白角.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為y3,所以 AD=雜乂卷=3, A0= 2AD= 2X3=1. 2233 2Cl三棱柱的體積為 乎x（，3）2AA=9,解得 AA=即 0P= AA

25、=6所以 tan / PAO= OP=小, OATT因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是0,-2,兀所以/ PAO=-.36 .如圖，已知 PAL平面ABC BC-AC則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為 答案 4解析 PAL平面 ABC AB, AC BC?平面 ABC. PAL AB, PAL AC PAI BC 則 PAB PAC為直角三角形.由 BCL AC 且 AS PA= A,得 BCL平面PAC從而BC1 PC因此 ABC PBC也是直角三角形.7 .如圖，在斜三棱柱 ABC- ABG中，/ BAC= 90° , BCAC則G在底面ABC上的射影 H必 在直線 上.答案 AB解析 . AC

26、L AB ACL BC, ABA BC= B, . . ACL平面 ABC又 AC?平面ABC 1平面 ABC，平面 ABC. G在平面ABC上的射影H必在兩平面交線 AB上.8 .如圖所示，在四錐P- ABCD, PAL底面ABCD且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn)M滿足 時(shí)，平面MBDL平面PCD只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可 )答案 DML PC或BML PC等)解析 .PAL底面 ABCD BDL PA 連接 AC 貝U BDL AC 且 PA AC= A,，BDL平面 PAC BDL PC當(dāng)DM_ PC或BML Pq時(shí)，即有PC1平面MBD而PC?平面PCD 平面 MBD

27、_平面PCD9 .如圖，在長(zhǎng)方體 ABCP ABCD中，AB= BC= 2, AA= 1,則AC與平面 ABCD所成角的正 弦值為.答案3解析連接AC,則/ ACAi為AC與平面 AiBCD所成的角.因?yàn)?AB= BC= 2,所以 AG = AC=平,又 AA= 1,所以 AC=3,一AA 1所以 sin Z ACAi =-=-AC 310 .如圖，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD- ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn) P在線段DE上.點(diǎn)P到直線CC的距離的最小值為答案2-r5解析 點(diǎn)P到直線CC的距離等于點(diǎn)P在平面ABCDE的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P',顯然點(diǎn)P到

28、直線CG的距離的最小值為 P' C的長(zhǎng)度的最小值.當(dāng)P' C± DE時(shí)，P' C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P' C=2X 1、22+1211 .如圖，在四棱錐 P-ABCD3,底面 ABCD1矩形，點(diǎn)E在PC上(異于點(diǎn)P,平面ABE與棱P改于點(diǎn)F.(1)求證：AB/ EB(2)若AF，EF,求證：平面 PADL平面ABCD證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD1矩形， 所以AB/ CD又AB平面PDC CD?平面PDC所以AB/平面PDC又因?yàn)锳B?平面ABE平面 ABEH平面PDC EF,所以AB/ EF(2)因?yàn)樗倪呅蜛BC比矩形，所以ABL AD因?yàn)?AFL EF,

29、 (1)中已證 AB/ EF,所以ABL AF又 ABI AD由點(diǎn)E在PC上(異于點(diǎn)C),所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D,所以 AFn AD= A AF, At?平面 PAD所以ABL平面PAD又AB?平面ABCD所以平面PADL平面ABCD12.(2019 浙江省臺(tái)州中學(xué)模擬 )如圖，在四棱錐 P- ABC珅，PAL平面 ABCD PA= AB= BC =，3, AD= CD= 1, / AD住120 ,點(diǎn)M是ACM BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PNh；PB(1)證明：MN/平面PDC(2)求直線MNW平面PAO成角的正弦值(1)證明 因?yàn)?AB= BC AD= CD所以BM直平分線段AC又/AD(

30、120 , 113所以 MD= 2AD= 2, A陣 y.所以AO ,3.又AB= BO笆，所以 ABC是等邊三角形，3 BM所以BM= 2,所以而3,1又因?yàn)镻N=二PB所以BM BNMDT NP3,所以MN PD又MN平面PDC PD?平面PDC所以MN/平面PDC（2）解 因?yàn)镻A1平面 ABCD BD?平面ABCD所以BDL PA又 BDL AC PA? AC= A, PA, AC? 平面 PAC所以BDL平面PAC由知MN/ PD所以直線MNW平面PAO成的角即直線 PD與平面PAC所成的角, 故/ DPMP為所求的角.在 RtA PAD, PD= 2,1DM 2 1所以 sin/D

31、PM= DP= 2=7 、1所以直線MNW平面PAO成角的正弦值為-.4彳技能提升練13.（2018 湖州質(zhì)檢）如圖，在正方形 ABC計(jì)，E, F分別是BC CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn). 現(xiàn)在沿AE AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B, G D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H那么，在這個(gè)空間圖形中必有 （）A.AGL平面 EFHB.AHL平面 EFHC.HF，平面 AEFD.HGL平面 AEF答案 B解析 根據(jù)折疊前、后 AHL HE AHI HF不變,二AHL平面EFH B正確；.過A只有一條直線與平面 EFH垂直，A不正確;. AGL EF, EF± GH AS GH= G,

32、 AG GH?平面 HA。. . EF，平面 HA。又 EF?平面 AEF ，平面HAG平面AEE過點(diǎn)H作直線垂直于平面 AEF 一定在平面 HA多,不正確； 由條件證不出 HGL平面AEF .D不正確.故選B.14.（2018 全國(guó)I ）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）23解析 如圖所示，在正方體 ABCD- ABCD中，平面 ABD與棱AA, AB, AQ所成的角都相 等，又正方體的其余棱都分別與 AiA, AB, AD平行，故正方體 ABCD- A1B1GD的每條棱所在 直線與平面ABD所成的角都相等.取棱AB,BB,B

33、G, GD,DD,AD的中點(diǎn)E,F,GH,M,N,則正六邊形EFGHMN在平面與平面ABD平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形1EFGHMN 6 X X2sin603.34故選A.彳拓展沖剌練15.（2019 金華模擬）如圖，在直角梯形 ABCEfr, BCLDC AEL DC且E為CD勺中點(diǎn)，M N 分別是AD BE的中點(diǎn)，將三角形 ADEgAE折起，則下列說法正確的是 .（寫出所有 正確說法的序號(hào)）不論D折至何位置（不在平面AB6）,都有MN/平面DEC不論D折至何位置（不在平面ABW）,都有MNL AE;不論D折至何位置（不在平面 ABCJ）,都有MIN/ AB;在折起過程中，一定不會(huì)有