2013年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）已知極限x arctan xc,其中c,k為常數(shù)，且c 0,則（(A)2,c(B)2,c(C)3,c12121(D)3,c(2)曲面cos(xy)yz0在點(diǎn)（0,1, 1）處的切平面方程為（(A)(B)(C)2y(D)(3)設(shè) f(x)(A)(B)(C)(D)3414143(4)設(shè)Iibn1,l2f (x)sin n xdx(n 1,2,.),令 S(x)2_2_2_2y 2,I3：x 2y 23:2x9、bn

2、 sin n x ,則 S( 一)()n 142,為四條逆時(shí)針的平面曲線，記Ii ?(yi：3(2x3 x )dy(i 1,2,3,4),則 MAX(Ii)( 3(A) I1(B) I2(C) I3(D) I3 (5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若AB C,則B可逆，則A的行向量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B的列向量組等價(jià)(A)矩陣C的行向量組與矩陣 (B)矩陣C的列向量組與矩陣 (C)矩陣C的行向量組與矩陣 (D)矩陣C的行向量組與矩陣1(6)矩陣 a100b 0相似的充分必要條件為00(A) a 0,b 2(B) a 0,b為任意常數(shù)(C) a 2,b 0(D) a 2,

3、b為任意常數(shù)22 設(shè) Xi, X2, X3是隨機(jī)變量，且 XrN(0,1), X2N(0,2 ) , X3 - N (5,3 ),PjP 2 Xj 2( j1,2,3)，則()(A)P1 P22B )P2P1P3C )P3P1P2D )P1P3P2(8)設(shè)隨機(jī)變量 X t(n),Y F(1,n),給定 a(0 a 0.5)，常數(shù) c滿足 PX c a ,則 PY c2()(A)(B) 1(C) 2(D) 1 2、填空題：9 14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙 指定位置上1(9)設(shè)函數(shù)f (x)由萬(wàn)程y x ex(1 y)確定，則lim n(f (-) 1) n nxe2x是某二

4、階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，該3x 2xx 2x(10)已知 y e xe , y2e xe , y 方程的通解為 y .(11)設(shè)x sint(t為參數(shù))，則立y tsint costdx t 4(12)1ln x(1 x)2dx(13 )設(shè)A )是三階非零矩陣，| A |為A的行列式，Aj為aj的代數(shù)余子式，若a。 Aj 0(i,j 1,2,3)，則IA(14)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則 PY a 1|Y a 三、解答題：15-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答理紙,指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟.(15)(本題滿分10分)計(jì)算:

5、fLx,其中 f(x)：ln(； 1)dt(16)(本題滿分10分)設(shè)數(shù)列an滿足條件：a0 3,a1 1,an 2 n(n 1同 0(n 2), S(x)是哥級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)，n 0(I) 證明：S (x) S(x) 0,(II) 求S(x)的表達(dá)式.(17)(本題滿分10分)x3 x y求函數(shù)f (x, y) (y )e 的極值.3(18)(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在卜1,1上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f(1) 1,證明：(I) 存在(0,1),使得 f( ) 1(II)存在1,1 ,使得 f( ) f( ) 1(19)(本題滿分10分)設(shè)直線L過(guò)A(1,0,0), B(0,1,1)兩點(diǎn)

6、，將L繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面與平面z 0, z 2所圍成的立體為(I)(II)求曲面的方程求 的形心坐標(biāo).(20)(本題滿分11分)1 a1 0 ,Bb-a, b為何值時(shí)，存在矩陣 C使得ACCAB ,并求所有矩陣C 。(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型 f X1, x2, x32 a1x1(I)證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為a2x2aaXa2bxb2x2 b3x3,記a1bia2,b2。a3b3(II)若，正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2 y2(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為f(x)1 2-X40其他(I)求Y的分布函數(shù)(II)求概率PX Y(23)(

7、本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為f2_xTe X0,23 一,令隨機(jī)變量Y xx 2,20,其中 為未知參數(shù)且大于零,XiLXn為來(lái)自總體其它.X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求的矩估計(jì)量；(2)求的最大似然估計(jì)量.2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)已知極限x arctan xc,其中c, k為常數(shù)，且(A)2,c(B)2,c(C)3,c(D)3,c12121313(2)(A)(B)(C)(D).x limx 0曲面x22yarctanxx (x

8、 1x3o(x3)3kx1 3 -xc,x 0 x3,ccos(xy)yz x0在點(diǎn)(0,1, 1)處的切平面方程為(【解析】設(shè)F (x, y,z)2x cos(xy) yz x ,1Fx(0,1, 1) 1;貝UFx(x, y,z) 2x y sin(xy)Fy(x, y,z)xsin(xy) zFy(0,1, 1)1；Fz(x,y,z)yFz(0,1, 1)1,所以該曲面在點(diǎn)(0,1, 1)處的切平面方程為 x (y 1) (z 1) 0,化簡(jiǎn)得x y z 2,選A(3)設(shè) f (x)1一，x 0,1 , b 2i0 f (x)sinn xdx(n1,2,.),令 S(x)bn sin n

9、n 1c 9S(一)()434141434(A)(B)(C)(D)根據(jù)題意,將函數(shù)在1,1上奇延拓f(x)2為周期1,1)且f(x)x 1,它的傅里葉級(jí)數(shù)為連續(xù)時(shí)，S(x) f(x),S(x)它S(2)S(1S(4)(4)設(shè)卜：x21,l22,l3: x2 c 22y2,14：2x22y 2,為四條逆時(shí)針的平面曲線，記Ii ?(yl：3x、)dy(i31,2,3,4),則 MAX(L)(A) I1(B) I2(C)I3(D) I4【解析】Ii?(yl:3y-)dx (2x3 x -)dy(i1,2,3,4)3(1DiOy利用二重積分的幾何意義，比較積分區(qū)域以及函數(shù)的正負(fù)，在區(qū)域Di, D4上函

10、數(shù)為正值,則區(qū)域大，積分A的行向量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B的列向量組等價(jià)1a12(6)矩陣aba與01a100 0b 0相似的充分必要條件為0 0大，所以I4 Ii ,在D4之外函數(shù)值為負(fù)，因此I4 I2,I4 I3,故選D。(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 AB C ,且C可逆，則()(A)矩陣C的行向量組與矩陣 (B)矩陣C的列向量組與矩陣 (C)矩陣C的行向量組與矩陣 (D)矩陣C的行向量組與矩陣【答案】(B)【解析】由C AB可知C的列向量組可以由 A的列向量組線性表示，又 B可逆，故有 A CB 1 ,從而A的列向量組也可以由 C的列向量組線性表示，故根據(jù)

11、向量組等價(jià)的定義可知正確選項(xiàng)為( B)。(A) a 0,b 2(B) a0,b為任意常數(shù)(C) a 2,b 0(D) a 2,b為任意常數(shù)0 0b 0相似的0 0【答案】(B) 【解析】由于 a b a為實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定可以相似對(duì)角化，從而1 a 1充分必要條件為aba的特征值為2,b,0。1 a 1a 1b a (b)(2) 2a2,從而a0,b為任意常數(shù)a 122 設(shè) X1, X2, X3是隨機(jī)變量，且 X1N(0,1), X2N(0,2 ) , X3 N(5,3 ),巳 P 2 Xj 2( j 1,2,3)，則()(A)P1P2E(B) P2P1P3(C) P3 Pi P2(D) Pi

12、 P3 B【答案】(A)【解析】由 X1 : N 0,1 ,X2 : N 0,2，、兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得y 1(1 y) xy y x將x 0, y 1代入上式，得f (0)13x 2xx2x(10)已知 y1e xe , y2 e xe , y3方程的通解為 y .3xx 2x【答案】y C1eC2e xe ,X3 : N 5,32 知，RP2X12PX1|2221 ,p2P2X22P|X2|2211,故 pi P2.由根據(jù)X3 : N 5,32及概率密度的對(duì)稱性知，P1 P2P3,故選(A)(8)設(shè)隨機(jī)變量 X t(n),Y F(1,n),給定 a(0a 0.5),常數(shù) c滿足 PX c

13、a,則 PY c2(A)(B) 1(C) 2(D) 1 2【答案】(C)P X2 c2 P X【解析】由 X t(n),Y F(1,n)得，Y X2 ,故 P Y c2、填空題(914小題，每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙 指定位置上).(9)設(shè)函數(shù)f (x)由方程y x ex(1 y)確定，則lim n( f () 1) n n【答案】11f (x) 1【斛析】lim n( f ( ) 1) limf (0)n n x 0 x由 y x ex(1 ，當(dāng) x 0 時(shí)，y 1方程兩邊取對(duì)數(shù)ln(yx) x(1y)2xxe是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，該【解析】因y e3x x

14、e2x, y ex xe2x是非齊次線性線性微分方程的解，則 y3x xy2 e e是它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，可知對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為3xypCeC2ex,因此該方程的、p 5_、r- 3xx2 x通解可與為yCeC?exe(11)設(shè)x sinty tsintcost,.r d2y(t為參數(shù))，則4 dx2dy sint dtt cost sint,x dx t cost, dtcostdydx(12)1_11 x(1(13 )a A ij ij噴dt1,所以立 dx2In x , 2 dx (1 x)2ln21 (1ln xx7dx x)0(i,j(aij)所以dx由 ai

15、jAjjHmAi32aijj 1從而有Acostd2y dx21In xd(-11 xIn x1dx x(1 x)dx In x x階非零矩陣，1,2,3)，則| A0可知,ai2 A232 aiji 1AT(14)設(shè)隨機(jī)變量Xln(1|A|x)ATai3 A3a1jAja2 j A2j2,A ,故 A =-1.a3j A3j, xIn1 x的行列式，Aj為aj的代數(shù)余子式，若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN(0,1)，則E(Xe2X) =【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知E Xe2X2x 1 xe22Xe 2 dx12x2242xe2 dx 2e .2三、解答題：15

16、-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或 演算步驟.(15)(本題滿分10分)1 計(jì)算0.xln(t 1)，其中 f(x)1六一-dt01 0xln(t 1)dtdx0 . xdx1gdt/tg-Ldx21g M00 t x 0 t211nk1) 2dt0t4 01n(t 1)dVT4ln(t 1) 01工0t 1dt4lnarctan u4ln 28(14ln 2 8 2(16)(本題滿分10分)設(shè)數(shù)列an滿足條件：a03,a1 1,an 2 n(n 1同 0( n2), S(x)是哥級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù),n 0(III) 證明：S (x) S(x

17、) 0,(IV) 求S(x)的表達(dá)式.【解析】(I)設(shè) S(x)anxn , S (x)n 0n 1annx , S (x)n 1ann(n 1)xn 2 , n 2因?yàn)?an 2 n(n 1)an 0,因此 S (x)ann(n 1)xn 2n 2an 2xanxn S(x);(II)方程S (x) S(x) 0的特征方程為解得11,1 ,所以S(x)Ge又 a0S(0)GC23,aiS (0) 11,解得c12, c2所以S(x)2e17 (本題滿分10分)求函數(shù)f (x, y)(y3x xT)ey的極值.fx,【解析】(yfy,ex y(y3X x y)e3X x力(x2+y+3一)ex

18、4解得(1, -),( 1,fxx(2x x2 x)efxyx y . 2e +(x3-)ex yfyyex y(1對(duì)于(1,4)點(diǎn) 33e(1,為極小值點(diǎn),(18)3(1+y+x-)ex yX3 x yT)e33(”2x+y)ex y,x 2 x=(+x +y+1)e33x x y ,x)e(+y332)ex y13,B1e3,CACB20,A 0,極小值為5e 3,B(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)(III )(IV)5e 3,C=ACB20,不是極值.f(x)在卜1,1上具有2階導(dǎo)數(shù),存在 (0,1),使得f,( ) 1存在1,1 ,使得 f ()f(1)f()1,證明:【解析】(1)令 F(

19、x) f (x) x, F(0)f(0) 0,F(1) f (1) 1 0,0,1 使得 F() 0,即f() 1令 G(x) ex(f(x)1)5UG( ) 0,又由于f(x)為奇函數(shù)，故f(x)為偶函數(shù)，可知G( ) 0,1,1 使 G( ) 0,即 e f( ) 1 e f( ) 0,即 f( ) f( ) 1(19)(本題滿分10分)設(shè)直線L過(guò)A(1,0,0), B(0,1,1)兩點(diǎn)，將L繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面,與平面z 0, z 2所圍成的立體為 ，(III)(IV)求曲面的方程求 的形心坐標(biāo).(1) l過(guò)A,B兩點(diǎn)，所以其直線方程為:所以其繞著z軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程為:222y (

20、1 z) zzdxdydz(2)由形心坐標(biāo)計(jì)算公式可得z(1z)2dz(20)(本題滿分11分)dxdydz22(1 z) zdz-,所以形心坐標(biāo)為(0,0,1) 55、幾 1 a設(shè)A,B1 0當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得ACCAB ,并求所有矩陣C ?！窘馕觥坑深}意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)CXix2ACCA B可得線性方程組:X3X4X? ax3ax1X1X2x2 ax4 1X3 X4 1ax3 b(1)由于方程組1)有解，故有1a0,b0,即1,b0,從而有X1k1X2X3X4k2k1k1k2，其中公k2任意.從而有k1k2k1k1k2(21)（本題滿分11分)設(shè)二次型 f X1,

21、 X2 , X3（I）證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為(II)若【解析】（1）2 f(2a；(4 a1a3則f的矩陣為(2)令A(yù)=2征值,又由于征值為2,1,0,a?X2a3X3b1X1b2X2a1b1記a2 ,b2。a3b32 b3X3,2T正交且均為單位向量，證明二次型222222b2)X； (2a2 b2)X2 (2a2)X1X3 (4a2a3 2b2b3)X2&2a122a1a2a1aTb12b1b2b1b32a1a2 2a222 a2 a3b1b2 b22 b2b3f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型22 b；）X；2a1a32 a2 a32a32(4a1a2 2b1b2)X1X2b1b3b2b32a1a1a2a1a3T,則A2 ,A2Tr(A) r(2 TT)r(T)r( T)故f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2 y122 y22 y122y2。*2 a2a1a3