(詳細(xì)版)2015高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試知識(shí)點(diǎn)

1、2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試知識(shí)點(diǎn)【必修一】一、 集合與函數(shù)概念 并集：由集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次。記作：AB交集：由集合A和集合B的公共元素所組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次記作：AB補(bǔ)集：就是作差。1、 集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有1個(gè)；非空子集有1個(gè)； 非空的真子有2個(gè). 2、 求的反函數(shù)：解出，互換，寫出的定義域； 函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。3、 （1）函數(shù)定義域：使得函數(shù)解析式有意義的x的集合分母不為0；開偶次方被開方數(shù)； 指數(shù)的真數(shù)屬于R、對(duì)數(shù)的真數(shù).4、函數(shù)的單調(diào)性：如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1&l

2、t;x2時(shí)，都有f(x1)<（）f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。5、奇函數(shù)：是，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（若在其定義域內(nèi)，則）；偶函數(shù)：是，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。6、指數(shù)冪的含義及其運(yùn)算性質(zhì)：（1）函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)當(dāng) 為減函數(shù)，當(dāng) 為增函數(shù)；。（3）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 圖象性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)(5);(5);7、對(duì)數(shù)函數(shù)的含義及其運(yùn)算性質(zhì)：（1）函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù)。（2）對(duì)數(shù)函數(shù)當(dāng) 為減函數(shù)

3、，當(dāng) 為增函數(shù)；負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；1的對(duì)數(shù)等于0 ：；底真相同的對(duì)數(shù)等于1：，（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a > 0 , a 1 , M > 0 , N > 0，那么：； ； 。（4）換底公式：(5)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象性質(zhì)(1)定義域：（0，+）（2）值域：R（3）過定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0（4）在 （0，+）上是增函數(shù)（4）在（0，+）上是減函數(shù)(5)；(5)；8、冪函數(shù)：函數(shù)叫做冪函數(shù)（只考慮的圖象）。9、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：如果函數(shù)在區(qū)間 a , b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得這個(gè)c就是

4、方程的根?！颈匦薅恳?、直線 平面 簡單的幾何體1、長方體的對(duì)角線長；正方體的對(duì)角線長2、球的體積公式： ； 球的表面積公式： 3、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：=h (為底面積，為柱體高)； = (為底面積，為柱體高)=(+) (, 分別為上、下底面積，為臺(tái)體高)4、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及相關(guān)公理及定理：（1）四公理三推論:公理1：若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),

5、有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.（2）空間線線，線面，面面的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； 異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線?？臻g直線和平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為，?？臻g平面和平面的位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)；（2）兩

6、個(gè)平面相交有一條公共直線。5、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與這個(gè)平面平行。符號(hào)表示：。圖形表示：6、兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：。圖形表示：7、. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，那么交線與這條直線平行。符號(hào)表示：。 圖形表示：8、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線的平行。符號(hào)表示： 9、直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)

7、平面。符號(hào)表示：10、.兩個(gè)平面垂直的判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。 符號(hào)表示：11、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。符號(hào)表示：。12、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。符號(hào)表示：13、異面直線所成角：平移到一起求平移后的夾角。直線與平面所成角：直線和它在平面內(nèi)的射影所成的角。（如右圖）14、異面直線所成角的取值范圍是；直線與平面所成角的取值范圍是；二面角的取值范圍是；兩個(gè)向量所成角的取值范圍是二、直線和圓的方程1、斜率：，；直線上兩點(diǎn)，則斜率為2、直線的五種方程

8、 ：（1）點(diǎn)斜式 (直線過點(diǎn)，且斜率為)（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式( (、； ()、().(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式 (其中A、B不同時(shí)為0).3、兩條直線的平行、重合和垂直： (1)若，；.(2)若,且A1、A2、B1、B2都不為零,；4、兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距離公式 P1P2=5、兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 M（，）6、點(diǎn)P（x0，y0）到直線（直線方程必須化為一般式）Ax+By+C=0的距離公式d=7、平行直線Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距離公式d=8、圓的方程：

9、標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為；一般方程，（配方：） 時(shí)，表示一個(gè)以為圓心，半徑為的圓；9、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).10、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種:;.其中.11、弦長公式：若直線y=kx+b與二次曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）兩點(diǎn)，則由ax2+bx+c=0(a0)二次曲線方程y=kx+m 則知直線與二次曲線相交所截得弦長為：= = = = =13、 空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)之間的距離公式： xoy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征A（x，y，0）：豎坐標(biāo)z=0 xoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征B（x，0，

10、z）：縱坐標(biāo)y=0 yoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征C（0，y，z）：橫坐標(biāo)x=0 x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征D（x，0，0）：縱、豎坐標(biāo)y=z=0 y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E（0，y，0）：橫、豎坐標(biāo)x=z=0 z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E（0，0，z）：橫、縱坐標(biāo)x=y=0 P1P2=【必修三】算法初步與統(tǒng)計(jì)：以下是幾個(gè)基本的程序框流程和它們的功能圖形符號(hào)名稱功能終端框（起止框）表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入輸出的信息處理框（執(zhí)行框）賦值、計(jì)算（語句、結(jié)果的傳送）判斷框判斷某一條件是否成立時(shí)，在出口處標(biāo)明“是”或“Y”，不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”流程線連接程序框（流程進(jìn)行的方向）連

11、接點(diǎn)連接程序框圖的兩部分注釋框幫助注解流程圖循環(huán)框程序做重復(fù)運(yùn)算一、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：（1）順序結(jié)構(gòu)（2）條件結(jié)構(gòu)（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)二、算法基本語句：1、輸入語句:輸入語句的格式：INPUT “提示內(nèi)容”； 變量。2、輸出語句:輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式。3、賦值語句:賦值語句的一般格式：變量=表達(dá)式。4、條件語句（1）“IFTHENELSE”語句。5、循環(huán)語句:直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)“DOLOOP UNTIL”語句和當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)“WHILEWEND”。三三種常用抽樣方法：（一）1、簡單隨機(jī)抽樣；2系統(tǒng)抽樣；3分層抽樣。4統(tǒng)計(jì)圖表：包括條形圖，折線圖，餅圖，莖葉圖。（二）.系統(tǒng)抽

12、樣1.概念：將總體平均分成幾部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣。2.步驟從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本,用系統(tǒng)抽樣的一般步驟為:（1）.將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào).有時(shí)可直接利用個(gè)體自身所帶的號(hào)碼,如學(xué)號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、門牌號(hào)等；（2）.將編號(hào)按間隔k分段(kN）,其中 為整數(shù)時(shí)，取 ；若 不是整數(shù)，則可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體,使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除.（3）.確定第一個(gè)編號(hào)：在第1段用簡單隨機(jī)抽確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(lk)；（4）.成樣：按照一定的規(guī)則抽取樣本通常是將l加上間隔得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(lk)，再加得到第3個(gè)個(gè)體

13、編號(hào)(l2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本(三).分層抽樣步驟: (1) 根據(jù)已有信息,將總體分成互不相交的層;（2）根據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)N與樣本容量n確定抽樣比:k=n/N.（3）確定各層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)。各層的抽取數(shù)之和應(yīng)等于樣本容量。對(duì)于不能取整的數(shù)，求其近似值。（4）按(3)中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體,合在一起得到容量為n的樣本.四、頻率分布直方圖：具體做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖。注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×頻率。2、頻率分布直方圖： （注意

14、：不是小矩形的高度）計(jì)算公式： 各組頻數(shù)之和=樣本容量， 各組頻率之和=1=各小長方形的面積總和3. 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)_次數(shù)_最多的數(shù)。中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)4.直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是數(shù)據(jù)的眾數(shù)2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.3）平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和5.該組樣本容量=該組頻數(shù)/該組頻率6.莖葉圖：莖葉圖的定義：莖表示高位，葉表示低位當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有

15、效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù).折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。7、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)。在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕校幵谥虚g位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；8、刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量：極差 ，極準(zhǔn)差，方差。（1）極差一定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對(duì)極端數(shù)據(jù)非常敏感。（2）方差，標(biāo)準(zhǔn)差越大，離散程度越大。方差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散程度越小，聚集于平均數(shù)的程度越高。（3）計(jì)算公式：標(biāo)準(zhǔn)差：方差： 9.直線回歸方程的斜率為，截距為，即回歸

16、方程為=x+（此直線必過點(diǎn)（，），其中系數(shù)a, b由下式確定：五、隨機(jī)事件：在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。一般用大寫字母A,B,C表示.隨機(jī)事件的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率 總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記作P（A）。由定義可知0P（A）1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。1、事件間的關(guān)系：（1）互斥事件：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件；（2）對(duì)立事件：不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A發(fā)生時(shí)事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；（4）對(duì)立一定互斥，互

17、斥不一定對(duì)立。2、概率的加法公式：（1）當(dāng)A和B互斥時(shí)，事件A+B的概率滿足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A與B為對(duì)立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)3、古典概型：（1）正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率計(jì)算公式： 4、幾何概型：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。（2）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（

18、基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等（3）幾何概型的概率公式： 【必修四】1、 一、 三角函數(shù)弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧長公式： （為所對(duì)的弧長，為半徑，正負(fù)號(hào)的確定：逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）。（2）與終邊相同的角=_或=_2、三角函數(shù)： （1）、定義： sincostan(2)任意角三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)則：3、特殊角的三角函數(shù)值：的角度的弧度4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式： 5、誘導(dǎo)公式：（眾變橫不變，符號(hào)看象限） 正弦上為正；余弦右為正；正切一三為正。 1、 誘導(dǎo)公式一： 2、 誘導(dǎo)公式二： 3.誘導(dǎo)公式三： 4、誘導(dǎo)公式四： 5、誘導(dǎo)公式五： 6、誘導(dǎo)公式六： 6、兩角和

19、與差的正弦、余弦、正切： ： ： ： ： tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()7、輔助角公式：(1)其中tan=(2) = 其中tan=8、 二倍角公式：（1）、： ： ： （2）、降次公式：（多用于研究性質(zhì)） 9、 在四個(gè)三角函數(shù)中只有是偶函數(shù)，其它三個(gè)是奇函數(shù)。（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)）10函數(shù)的圖象：（1）用“圖象變換法”作圖法一：先平移后伸縮法二：先伸縮后平移 函數(shù)（A>0，）的值域-A,A，周期11、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)

20、在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，無對(duì)稱性對(duì)稱中心，對(duì)稱軸：對(duì)稱中心，對(duì)稱軸：對(duì)稱中心，對(duì)稱軸：無二、平面向量 1、平面向量的概念：在平面內(nèi)，具有大小和方向的量稱為平面向量向量可用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向向量的大小稱為向量的模（或長度），記作模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(1) 結(jié)合律：()=();(2)第一分配律：(+) =+;(3)第二分配律：()= +.3、

21、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1) · =· （交換律）;(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.4、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得 =1 +2不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5、坐標(biāo)運(yùn)算：（1）設(shè)，則數(shù)與向量的積：，數(shù)量積：（2）、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則.（終點(diǎn)減起點(diǎn)）6、平面兩點(diǎn)間的距離公式：（1） =（2）向量的模|：；（3）、平面向量的數(shù)量積：

22、 ， 注意：，（4）、向量的夾角，則， 7、重要結(jié)論：（1）、兩個(gè)向量平行： ， （2）、兩個(gè)非零向量垂直 （3）、設(shè)P（x，y） 為P1（x1，y1） 與P2（x2，y2）的中點(diǎn)，則 ， 中點(diǎn)坐標(biāo)公式三、空間向量1、空間向量的概念：（空間向量與平面向量相似）在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量向量可用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向向量的大小稱為向量的模（或長度），記作模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為

23、向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為的長度是的長度的倍3、設(shè)，為實(shí)數(shù)，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律分配律：；結(jié)合律：4、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線5、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使6、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量7、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；8、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：9、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作10、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為11、等于的長