2020-2021無錫中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編——圓的綜合綜合

1、2020-2021無錫中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編一一圓的綜合綜合一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng)，聯(lián)結(jié) BM , 作OD, BM,垂足為點(diǎn) D, C為線段OD上一點(diǎn)，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長(zhǎng)交半徑 OM于 點(diǎn)A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時(shí)，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，求 x的值.&后圖,14 .2x【答案】(1)證明見解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出 OAXBAM,

2、即可得出結(jié)論;x 2 )；(3) x由 1OA OE (3)(2)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DM ME,進(jìn)而得出AE=1(8 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“，即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1) - OD± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE/AB,交OM于點(diǎn)E.OB=OMODXBMBD=DM

3、.1. DE/AB,DMBDMEAEAE=EM. OM=V2,AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC2DMOEODODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)1 -OC 21X .在 RtAODM 中, 21(3) ( i)當(dāng) OA=OC時(shí). DM BM 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八（舍）.22(ii)當(dāng) AO=AC時(shí)，則 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時(shí)，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> /

4、M , Z M=90° - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時(shí)，x的值為 E 衣.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2 .如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過點(diǎn)E作EG,AC于G,交BC的延長(zhǎng)線于F.（1）求證：AE=BE（2）求證：FE是。的切線；（3）若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長(zhǎng).

5、【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） 3【解析】（1）證明：連接CE,如圖1所示： BC是直徑，/ BEC=90 ； CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，. FH=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3.CG 2 I63上十",解得：CG=J .OE/

6、. "CS CG FCOEFO點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).3 .如圖，在OO中，AB為直徑，OC AB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,在AB的延長(zhǎng)線上有點(diǎn)E,且 EF=ED.(1)求證：DE是。的切線；(2)若tanA=1,探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；2(3)在(2)的條件下，若 OF=1,求圓O的半徑.【答案】(1)答案見解析；(2) AB=3BE; (3) 3.【解析】試題分析：(1)先判斷出ZOCF+ZCFO=90°,再判斷出ZOCF=ZODF,即可得出結(jié)論

7、；(2)先判斷出 /BDE=/A,進(jìn)而得出 EBgEDA,得出 AE=2DE, DE=2BE,即可得出結(jié) 論；(3)設(shè)BE=x,則DE=EF=2x, AB=3x,半徑OD=3x,進(jìn)而得出OE=1+2x,最后用勾股定理 2即可得出結(jié)論.試題解析：(1)證明：連結(jié) OD,如圖.,. EF=ED,Z EFD=Z EDF. / Z EFD=Z CFO, / CFO/EDF. OC，OF, z. ZOCF+Z CFO=90 ： / OC=OD, z. ZOCF=Z ODF, . / ODC+/EDF=90 ；即 / ODE=90 ； . .ODLDE. .點(diǎn) D 在。O 上，. . DE是。的切線；(2

8、)線段AB> BE之間的數(shù)量關(guān)系為： AB=3BE.證明如下：. AB 為。O直徑，/ADB=90；Z ADO=Z BDE. / OA=OD, ，/ADO=/A,DEBEBD . / BDE=/A,而 / BED=/DEA, .EBgEDA, . ./ RtAABDAEDE AD中,tanA=BDADDE BE _ 1 ,AE DE 2，AE=2DE, DE=2BE, ，AE=4BE, ，AB=3BE;(3)設(shè) BE=x,貝U DE=EF=2x, AB=3x,半徑 OD=3 x. OF=1, . OE=1+2x.2在 RtODE中，由勾股定理可得：(3x) 2+ (2x) 2= (1+2

9、x) 2,，x=- 2 (舍)或 x=2,29圓O的半徑為3.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出EBgEDA是解答本題的關(guān)鍵.4 .如圖，四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，AB=CD.(1)如圖(1)，求證:AD/ BC；(2)如圖(2)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，弦DG/ AB,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)M,求證:AE=2DF;在(2)的條件下，若DG平分/ ADC,GE=5/3 ,tan / ADF=4)3，求。O的半徑?；薵【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) J129【解析】試題分析：(1)連接

10、AC.由弦相等得到弧相等，進(jìn)一步得到圓周角相等，即可得出結(jié)論.(2)延長(zhǎng)AD到N,使DN=AD,連接NC.得到四邊形 ABED是平行四邊形，從而有 AD=BE, DN=BE.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到Z NDC=Z B,即可證明 MBE ACND,得到AE=CN,再由三角形中位線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.(3)連接BG,過點(diǎn)A作AHLBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形ABED是平行四邊 形，得到AB=DE.再證明ACDE是等邊三角形，ABGE是等邊三角形，通過解三角形ABE,得到AB, HB, AH, HE的長(zhǎng)，由EC=DE=AB,得到HC的長(zhǎng).在RtAHC中，由勾股定理 求出AC的長(zhǎng).作直徑

11、AP,連接CP,通過解4APC即可得出結(jié)論.試題解析：解：(1)連接 AC. AB=CD, 弧 AB=a CD, z. ZDAC=Z ACB, .AD/ BC.2(2)延長(zhǎng) AD至ij N,使 DN=AD,連接 NC. .AD/ BC, DG/ AB, 二.四邊形 ABED是平行四邊形，AD=BE,DN=BE, ABCD是圓內(nèi)接四邊形，/NDC=/B. / AB=CD,1.MBECND,AE=CN. / DN=AD, AF=FC,DF=-CN, ，AE=2DF.(3)連接BG,過點(diǎn)A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四邊形 ABED是平行四邊 形，AB=DE. DF/CN, ，/ADF

12、=/ ANC, . / AEB=/ADF, ，tan/AEB= tanZ ADF=473, DG 平分/ADC, . / ADG=/CDG. AD/ BC,/ ADG=/CED,/NDC=/DCE . / ABO/NDC, . / ABC=/DCE. . AB/DG, . . / ABC=/DEC,/ DEC=Z ECD=Z EDC,工DE是等邊三角形， . AB=DE=CE, : / GBC=Z GDC=60 ； /G=/DCB=60； . ABGE 是等邊三角形， BE= GE=543 . tan Z AEB= tan / ADF= 4 J3 ,設(shè) HE=x，貝U AH=473x .ZAB

13、E=Z DEC=60 °, ，/BAH=30 ： . BH=4x, AB=8x, 4x+x=5而，解得：x=43, ，AB=8V3, HB=4T3, AH=12, EC=DE=AB=873, HC=HE+EC= 3i 8，3 = 9J3.在 RtA AHC 中，ac= Jah2 hc2 Ji22(9拘2 =3而.作直徑 AP,連接 CP,/ ACF=90°,/ P=ZABC=60°,sin/ P=-ACAP 'APACsin603.43、32"9 ,，。0的半徑是V129 .5.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對(duì)角線AC為。的直徑，過點(diǎn) C作A

14、C的垂線交AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5也，AD : DE=4 ： 1 ,求 DE 的長(zhǎng).【答案】(1)見解析；(2) .5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長(zhǎng)，再利用4ADCAACE，得出AC2=AD?AE,進(jìn)而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。的直徑，Z ADC=Z EDC=90 °.點(diǎn) F 為 CE的中

15、點(diǎn)，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) .AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C，BC=AB=5 后.在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,1. AD=4x, AE=5x,.-100=4x?5x,x= 75 ,，DE=V5.點(diǎn)睛

16、：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.6.如圖，AB是。的直徑，PA是。O的切線，點(diǎn) C在。O上，CB/ PO. （1）判斷PC與。O的位置關(guān)系，并說明理由； 若AB=6, CB=4,求PC的長(zhǎng).【答案】（1） PC是。的切線，理由見解析；（2） 3J52【解析】試題分析：（1）要證PC是。的切線，只要連接 OC,再證Z PCO=90即可.（2）可以連接AC,根據(jù)已知先證明 ACPPCQ再根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì) 求出PC的長(zhǎng).試題解析：（1）結(jié)論：PC是。的切線.證明：連接OC1. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/

17、OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切線/ OAP=90 °/ OCP=90 ° .PC是。的切線.IJF（2）連接AC.AB是。的直徑ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO.ACBAPCO,EC AC. B OC-AC sVaB2-BC2 3#彳w5 口二二二二.BC _4_4_ 2點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與 這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.

18、同時(shí)考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì).7.如圖AB是4ABC的外接圓。的直徑，過點(diǎn) C作。的切線CM,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使 CD=BC連接AD交CM于點(diǎn)E,若。OD半徑為3, AE=5,（1）求證：CMXAD;（2）求線段CE的長(zhǎng).6【答案】（1）見解析；（2）75【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可詳解：證明：（1）連接OC.CM切。O于點(diǎn)C,/ OCE=90,°.AB是。的直徑，/ ACB=90 ,°-.CD=BC.AC垂直平分 BD,.AB=AD,/

19、 B=/D/ B=/OCB/ D=Z OCB .OC/ AD / CED土 OCE=90 ° CMXAD.(2) OA=OB, BC=CD1 .OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1易證CDE-MCECE_ 2E_AE CE2 .CE2=AEX DE，ce=、.5點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間 的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.8.如圖，已知。的半徑為1, PQ是。的直徑，n個(gè)相同的正三角形沿 PQ排成一列， 所有正三角形都關(guān)于 PQ對(duì)稱，其中第一個(gè) AiBiCi的頂點(diǎn)Ai與點(diǎn)P重合，第二個(gè) A2B2。的頂點(diǎn)A2是BiCi與PQ的交點(diǎn)，

20、最后一個(gè)AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、Cn在圓上.如 圖1,當(dāng)n=1時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng) ai=；如圖2,當(dāng)n=2時(shí)，正三角形的邊長(zhǎng) a2=；如圖3,正三角形的邊長(zhǎng) an= （用含n的代數(shù)式表示）.巴4)日4 Q圖28.3型i3 i 3n2分析：(1)設(shè)PQ與BiCi交于點(diǎn)D,連接BiO ,得出OD=AiD -O A ,用含ai的代數(shù)式表示。D,在AOBiD中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng)ai； (2)設(shè)PQ與B2 c2交于點(diǎn)E,連接B2O,得出OE=AiE-OAi,用含a2的代數(shù)式表示 OE,在AOBzE中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng) a2； (3)設(shè)PQ與BnCn交于點(diǎn)F,連接BnO,得出O

21、F=AF-OAi,用含an的代數(shù)式表示 OF,在4080 5中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長(zhǎng)an.本題解析：3(i)易知AiBiCi的圖為-,則邊長(zhǎng)為 J3,(2)設(shè)AiBiCi的高為h,則A2O=i-h,連結(jié)B2O,設(shè)B2c2與PQ交于點(diǎn)F,則有OF= 2h 1.2. B2O2=OF2+ B2F2,i= (2h-i)2+a22h =a2, . i = ( y/3 a2 i)?十24 a22，解得a2=舅3 .i3(3)同(2),連結(jié)BnO,設(shè)即 i = (nh- i)2+ 1 a 2BnCn與 PQ交于點(diǎn) F,則有 BnO2=OF2+BnF2, 2h 3h= an2解得an =3n2 i【

22、解析】9.閱讀下列材料:如圖1, OO1和。O2外切于點(diǎn)C, AB是。O1和。O2外公切線，A、B為切點(diǎn)，求證：AC± BC證明：過點(diǎn)C作。Oi和。O2的內(nèi)公切線交AB于D,.DA、DC是。Oi的切線DA=DC.Z DAC=Z DCA.同理 / DCB=Z DBC.又 / DAC+/ DCA+Z DCB+Z DBC=180 , / DCA+Z DCB=90 ,°即 AC± BC.根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在以上的證明過程中使用了哪些定理？請(qǐng)寫出兩個(gè)定理的名稱或內(nèi)容；(2)以AB所在直線為x軸，過點(diǎn)C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2),已知A、

23、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4, 0) , (1,0),求經(jīng)過 A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c的函數(shù)解析式；(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓的連心O1O2試題分析：(1)由切線長(zhǎng)相等可知用了切線長(zhǎng)定理；由三角形的內(nèi)角和是180°,可知用了三角形內(nèi)角和定理；(2)先根據(jù)勾股定理求出 C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；(3)過C作兩圓的公切線，交 AB于點(diǎn)D,由切線長(zhǎng)定理可求出 D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)C,D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過 C,D兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)過一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的 關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析

24、式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適 合即可.試題解析：(1)DA、DC是eO1的切線，. DA=DC應(yīng)用的是切線長(zhǎng)定理；DAC DCA DCB DBC 180°,應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.(2)設(shè) C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),則 AB2 AC2 BC2即 4 1 24 2 y2 12 y；即25 17 2y2，解得y=2（舍去）或y=-2.故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y ax2 bx c,16a 4b c 0則a b c 0 解得c 2,2,1 93故所求二次函數(shù)的解析式為y 1x23 x 2.22（3）過C作兩圓的公切線 CD交AB于

25、3 D,則 AD=BD=CD,由 A(-4,0), B(1,0)可知 D( -,0),2設(shè)過CD兩點(diǎn)的直線為y=kx+b,則3-k b 02解得b2,432, 4故此一次函數(shù)的解析式為y 4x 2,34過。,。2的直線必過C點(diǎn)且與直線y -x 2垂直, 33 一故過。,。2的直線的解析式為y x 2,4 325由（2）中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一，）28 33代入直線解析式得3324225一,故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心8O1O2 上.10.如圖1,等邊4ABC的邊長(zhǎng)為3,分別以頂點(diǎn)B、A、C為圓心，BA長(zhǎng)為半徑作 AC、 CB、ba，我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三

26、角形，顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì) 稱圖形，設(shè)點(diǎn)l為對(duì)稱軸的交點(diǎn).(1)如圖2,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) A與線段MN作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它滾動(dòng)一周后點(diǎn)A與端點(diǎn)N重合，則線段 MN的長(zhǎng)為 ；(2)如圖3,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) A與等邊4DEF的頂點(diǎn)D重合，且AB± DE, DE=2tt,將它 沿等邊4DEF的邊作無滑動(dòng)的滾動(dòng)當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí)，求這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過程中 所掃過的區(qū)域的面積；(3)如圖4,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) B與。的圓心O重合，。的半徑為3,將它沿。的 圓周作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)它第 n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為 (請(qǐng)用含 n的式子表示)【答案】(1) 3兀;(2) 27兀；(

27、3) 2j3n兀【解析】試題分析：(1)先求出AC的弧長(zhǎng)，繼而得出萊洛三角形的周長(zhǎng)為3兀，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出萊洛三角形等邊 4DEF繞一周掃過的面積如圖所示，利用矩形的面積和扇形 的面積之和即可；(3)先判斷出萊洛三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和。重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn)I的路徑，再用圓的周長(zhǎng)公式即可得出.試題解析：解：(1)二.等邊 4ABC 的邊長(zhǎng)為 3, ./ABC=/ ACB= / BAC=60°,603Ac Bc Ab，-lAc lBc =1ab= 線段 mn 的長(zhǎng)為180lAc lBc lAB=3冗故答案為3兀；(2)如圖1.二.等邊 DEF的邊長(zhǎng)為2兀，等邊ABC的邊長(zhǎng)為3, ，S矩

28、形aghf=2兀X 3=6,兀2由題意知，AB± DE, AG±AF,Z BAG=120°, .SWbag=120一3-=3 怎圖形在運(yùn)動(dòng)過360程中所掃過的區(qū)域的面積為3 (S矩形aghf+S扇形bag) =3 (6兀+3才=27k；(3)如圖2,連接BI并延長(zhǎng)交 AC于D. I是4ABC的重心也是內(nèi)心，./DAI=30°,AD=工 AC=, 22oi=ai= ADcos DAI3_2=J3,，當(dāng)它第1次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)Icos30所經(jīng)過的路徑是以 。為圓心，OI為半徑的圓周，.當(dāng)它第n次回到起始位置時(shí)，點(diǎn)I所經(jīng) 過的路徑長(zhǎng)為n?2Tt?J3=2 4

29、n7t.故答案為2信冗.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了弧長(zhǎng)公式，萊洛三角形的周長(zhǎng)，矩形，扇形面積公式，解(1)的關(guān)鍵是求出 AC的弧長(zhǎng)，解(2)的關(guān)鍵是判斷出萊洛三角形繞等邊4DEF掃過的圖形，解(3)的關(guān)鍵是得出點(diǎn)I第一次回到起點(diǎn)時(shí)，I的路徑，是一道中等難度的 題目.11.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F,點(diǎn)E在CF 上，且/ DEC=Z BAC.(1)求證：DE是。的切線；【解析】 【分析】(1)先判斷出BD是圓。的直徑，再判斷出 BD± DE,即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到ZF=Z ED

30、F,根據(jù)等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根據(jù)勾股定理得到 CD JDE2 CE2 芯，證明CDaDBE,根據(jù)相似三 角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】(1)如圖，連接BD. /BAD=90； .點(diǎn)。必在 BD 上，即：BD 是直徑，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE.點(diǎn)D在。上，DE是。的切線；(2) Z BAF=Z BDE=90°, . . / F+/ABO/FD曰/ ADB=90°

31、 .,.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FD匕. DE=EF=3. . CE=2, /BCD=90； . . / DCE=90 ； . . CD DE2 / BDE=90 : CD± BE, . / DCE=Z BDE=90 :CD BD Z DEC=Z BED,ACDE ADBE, CE DECE2點(diǎn).BD 近 3 _35 , . .OO 的半22徑3_I4本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理, 求出DE=EF是解答本題的關(guān)鍵.12 .如圖，在RtABC中,/ ACB=60°,。O是4ABC的外

32、接圓，BC是。O的直徑，過點(diǎn)B作。O 的切線BD,與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,與半徑AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E過點(diǎn)A作。O的切線AF, 與直徑BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)連接EF,求證:EF是。O的切線；(2)在圓上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,F構(gòu)成一個(gè)菱形 *存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析【解析】【分析】(1)過O作OMLEF于M,根據(jù)SAS證明OAFOBE 從而得到 OE=OF再證明EO平分 /BEF,從而得到結(jié)論；(2)存在，先證明 4OAC為等邊三角形，從而得出 /OAC=/AOC=60°,再得到AB=AF,再證 明ab=af=fp=bp從而得

33、至IJ結(jié)論.【詳解】證明:如圖，過O作OMLEF于M,. OA=OB,/ OAF=Z OBE=90 ；/ BOE=Z AOF, .-.OAFAOB.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;：/ OEM=Z OFM=30 :：/ OEB=Z OEM=30 :即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF為。的切線.(2)存在.BC為。O的直徑，Z BAC=90 :/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC： OAC為等邊三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ,.AF為。O的切線，:/ OAF=90 :/ CA

34、F=Z AFC=30 ；:/ ABC=Z AFC：AB=AF.當(dāng)點(diǎn)P在(1)中的點(diǎn)M位置時(shí)，此時(shí)/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF為公共邊,.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=/ AFC=30 .II又： X FOP=Z OBP=/ OPB=30°,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四邊形AFPB是菱形.【點(diǎn)睛】考查了切線的判定定理和菱形的判定，經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂 直即可.13 .如圖，四邊形力"CD為菱形，且120

35、*,以八。為直徑作O。,與0D交于點(diǎn)P.請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖.（保留作圖痕跡）在如圖中，過點(diǎn)C作.A邊上的高0E.（2）在如圖中，過點(diǎn)P作的切線Q,與舊。交于點(diǎn)Q.色j任工【答案】（1）如圖1所示.（答案不唯一，見解析；（2）如圖2所示.（答案不唯一），見解析.【解析】【分析】（1）連接AC交圓于一點(diǎn)F,連接PF交AB于點(diǎn)E連接CE即為所求.（2）連接OF交BC于Q,連接PQ即為所求.【詳解】（1）如圖1所示.（答案不唯一）（2）如圖2所示.（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形和圓的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問 題，屬于中考?？碱}型.14 .已知 R

36、tAABC, / BAC= 90 °,點(diǎn) D是 BC 中點(diǎn)，AD= AC, BC= 4 J3 ,過 A, D 兩點(diǎn)作 OO,交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長(zhǎng)；(2)如圖1,當(dāng)圓心O在AB上且點(diǎn)M是。上一動(dòng)點(diǎn)，連接 DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)ON 等于多少時(shí)，三點(diǎn) D、E、M組成的三角形是等腰三角形？(3)如圖2,當(dāng)圓心 O不在AB上且動(dòng)圓。與DB相交于點(diǎn) Q時(shí)，過D作DHXAB (垂 足為H)并交。于點(diǎn)P,問：當(dāng)。變動(dòng)時(shí)DP- DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值； 若變化，請(qǐng)說明理由.刻)I蚯【答案】(1) 2J3(2)當(dāng)ON等于1或，3 - 1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形

37、(3)不變，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長(zhǎng)；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據(jù)垂徑定理得推論得OE± DM,易得到ADC為等邊三角形，得 /CAD=60。，則/ DAO=30。，/ DON=60 ,然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得DN=- AD=73 , ON=DN=1:23當(dāng) MD=ME, DE 為底邊，作 DHAE,由于 AD=2 J3 , / DAE=30 ,得至U DH=J3 ,/ DEA=60 ； DE=2,于是 OE=DE=2 OH=1, 又/M=/DAE=30,

38、MD=ME,得到 / MDE=75 ,貝U / ADM=90 -75 =15°,可得到 /DNO=45；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=J3,則ON=J3-1;(3)連AP、AQ, DP, AB,彳導(dǎo)AC/ DP,則/ PDB=/ C=6CT,再根據(jù)圓周角定理得/PAQ=/ PDB, /AQC=/ P,則/PAQ=6C,° Z CAQ=Z PAD,易證得AQ84APD,得到 DP=CQ 貝U DP-DQ=CQ-DQ=CD 而 4ADC 為等邊三角形， CD=AD=273 ,即可得到 DP-DQ 的 值.【詳解】解：(1)Z BAC= 90。，點(diǎn) D 是 BC 中點(diǎn)，

39、BC= 4 J3 , .AD=1BC= 23 ；2(2)連 DE、ME,如圖，DMDE, 當(dāng)ED和EM為等腰三角形 EDM的兩腰， OEXDM, 又 AD=AC,.ADC為等邊三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 °,1在 RtADN 中，DN= AD=百2 '在 RtODN 中，ON=2/3DN=13 ，當(dāng)ON等于1時(shí)，三點(diǎn)D、E M組成的三角形是等腰三角形；當(dāng)MD=ME, DE為底邊，如圖3,作DHXAE,. AD=2 73 , ZDAE= 30°,.DH= 73, /DEA= 60 °, DE= 2,.ODE為等邊三角形，.OE=DE= 2, OH=1,. Z M = Z DAE= 30 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 °,Z ADM =90 °