不定積分與定積分的運算

1、不定積分與定積分的計算1.不定積分1.1 不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間F(x)f(x),則稱F(x)是原函數(shù).的一個原函數(shù)的個數(shù)：若是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則對都是在區(qū)間上的原函數(shù)；若也是在區(qū)間上的原函數(shù)，則必有的全體原函數(shù)所成集合為R.原函數(shù)的存在性：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).不定積分:的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為的不定積分。記作 f(x)dx一個重要的原函數(shù)：若f(x)在區(qū)間x上連續(xù)，aI,則 f(t)dt 是的一個a原函數(shù)。1.2 不定積分的計算(1)裂項積分法x412x21dx例2:dx22cosxsinx22cosxsinx,22dxcosxsinx,22(cscxsecx)dx(2)第

2、一換元積分法有一些不定積分，將積分變量進行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出22arctantd(arctant)(arctgt)(3)第二換元積分法第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下:被積函數(shù)包含laxb,處理方法是令n/axbt,x-(tnb);a被積函數(shù)包含 Va2x2(a0),處理方法是令xsint或xcost;dxxdx1x21,八一arctanxCx積分。例如，求不定積分cos2xdx,如果湊上一個常數(shù)因子2,使成為1-cos2xdx一cosx?2xdx2cos2xd2x1sin2x2例 4:3dxx1xd.xTT2arctan、x例 5:dxx21x2

3、,ddlx例 6:arctanx,x(1x)dxarctan、xarctant,dt1t2(arctgx)2c.1例 7：計算aax2dx2a一xarcsin一被積函數(shù)包含.a2x2(a0),處理方法是令 xtant;被積函數(shù)包含,x2a2(a0),處理方法是令 xsect;由圖 2.1 知.xsint一a2a一x-arcsin一xa2x2ln1分部積分法當(dāng)積分 f(x)dg(x)不好計算，但 g(x)df(x)容易計算時，使用分部積分公式：f(x)dg(x)f(x)g(x)g(x)df(x).常見能使用分部積分法的類型：解：令xasint,-t一，則t2一一x一arcsin一,aaa2x2a

4、costa2x2dxacost,dxacostdt,從而acost.acostdt2cos tdtcos2tdt例 8:dx6(1t)dtdtt1tsin2t222,axcost所以a22.xdx2a.sintcost2(1) xnexdx,xnsinxdx,xncosxdx 等， 方法是把ex,sinx,cosx移至 Ud 后面,分部積分的目的是降低 x 的次數(shù)(2)xn1nmxdx,xnarcsinmxdx,xnarctanmxdx 等，方法是把xn移至 Ud 后面,分部幾分的目的是化去1nx,arcsinx,arctanx.例9:x2exdxx2dexx2exex2xdx一lnx111例

5、 10:2-dxlnxd-lnx-dlnxxxxx1.dx1/1-lnx-(lnx1)Cxxx3，x2xarctanx3,212x2xarctanxx-ln1xC2例 12:cos2xdxcosxdsinxcosxsinxsin2xdx=1x2ex2xdxx2ex2(xexexdx)ex(x22x2)C例11:(16x2)arctanxdx3、arctanxd(x2x)3，x2xarctanxx2x3dx1xcosxsinxx2.cosxdx,解得2.cosxdxsin2xc.4例 13:secxdxsecxsecxdxsecxdtgxsecxtgxtgxsecxtgxdx23secxtgx(

6、secx1)secxdxsecxtgxsecxdxsecxdx3.secxtgxln|secxtgx|secxdx,311.解得 secxdxsecxtgxln|secxtgx|c.22以上兩例所示的通過分部積分與解方程的方法求解不定積分是一種技巧例 14 設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)是也x,求 xf(x)dx。x1arctanx1e2dx1x21x2arctanx-rdx(1xV解:sinxf(x)xcosxsinx2xxf(x)dxxd(f(x)xf(x)f(x)dxxcosxsinxx2xsinxcx2sinxcosxcx評:本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部積分法arctanx例

7、15計算Berdx(1x，說明涉及到arcsinx,arctanx的積分一般有兩種處理方法.(1)用分部積分法；(2)作變量替換令 arcsinxt 或 arctanx解法arctanxxe(1x2dx.arctanx231x2)arctanx1arctanxed21x1arctanxTx2e評:分部積分后，后面的積分計算更加困難.為此我們考慮變量替換法解法二:令 arctanxy,xtanyarctanxy2xetanyesecyy1yrdx3dysinyedy-e(sinycosy)C(ix23)2secy227d(2sint)-2301(2sint)1arctanx-e2C評:變量替換后

8、幾分的難度大大降低，sinyeydy 是每種教材上都有的積分2.定積分定積分的計算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計算(1)基本積分法3例 16 計算T-0(1解：令 xtant,則dx(15x2),1x22.sectdt，一2、(15tant)sect6cOstdt0cos215sin21一 arctan(2sint)6(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小信函數(shù)3例17計算0 xx2dxa32解：0 xx2dxx(2x)dxdx5x2)138x(x2)dx一23,3-3例 17 計算Qmaxx,1xdx1IV1.4角牛：0maxx,1xdx=。2(1x)dx1xdx

9、-(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分a0f(x)dxaa0f(x)dx1cc例 18 計算 1(x1x)dx111解：(x,1x)dx=1dx2x1xdx=2+0=21111例 19 計算(xx)edx1n,1一1j解：(xx)eIdx=xedxxedxIVx102xedx24e0當(dāng) f(x)是奇函數(shù)當(dāng) f(x)是偶函數(shù)例 20 計算一x27esinx.4dx41ex分析：被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶性化簡。但是積分區(qū)間是關(guān)于原點對稱的，可考慮使用化簡公式的推導(dǎo)方法。所以解:dx-x24esinx：dx01exx-20esinx,dx71ex2sinx,-dxe0eysin2(y)d(y)27siny.4dy01ey2%sinx.47dx01exx2x2x2_彳 esinx74esinx.0esinx.4.24-dx4-dx-dx4sinxdx-171ex01ex41ex08一類定積分問題1例 21 已知