第九章 常微分方程5-7_第1頁
第九章 常微分方程5-7_第2頁
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文檔簡介

1、5 5 二階線性常系數(shù)微分方程二階線性常系數(shù)微分方程1. 線性常系數(shù)齊次方程線性常系數(shù)齊次方程為常數(shù)。,qpqypyy,0 設(shè)方程的解為設(shè)方程的解為則得則得, 02xxxqeepexey, 0)(2xeqp.02qp特征方程特征方程為常數(shù)。,qpqypyy,0 設(shè)方程的解為設(shè)方程的解為則得特征方程和特征根則得特征方程和特征根, 02qpxey).4()4(22122211qppqpp,1. 線性常系數(shù)齊次方程線性常系數(shù)齊次方程(1). 1,2為相異實根,則方程通解為為相異實根,則方程通解為.,)(212121為任意常數(shù),CCeCeCxyxx, 02qp).4()4(22122211qppqpp

2、,首先首先.,)()()( 2121212121為任意常數(shù)也是方程的解都是方程的解,和CCeCeCxyexyexyxxxx為常數(shù)。,qpqypyy,0 其次其次.)()(21們線性無關(guān)的朗斯基行列式說明它和xyxy.0)()()()()()(12)(212121212121xxxxxeeeeexyxyxyxyxw(2). 1 =2,即特征方程有二重特征根,即特征方程有二重特征根,則方程通解為則方程通解為.,)(212111為任意常數(shù),CCxeCeCxyxx, 02qpp212, 1為常數(shù)。,qpqypyy,0 .,)()()( 2121211111為任意常數(shù)也是方程的解都是方程的解,和CCxe

3、CeCxyxexyexyxxxx.)()(21們線性無關(guān)的朗斯基行列式說明它和xyxy.0)()()()()(1111112112121xxxxxxexeeexeexyxyxyxyxw(3). 1,2為共軛復(fù)根,即為共軛復(fù)根,即1=+i, 2=-i,則方程通解為則方程通解為.,)sincos()(2121為任意常數(shù),CCexCxCxyx, 02qp).4()4(22122211qppqpp,為常數(shù)。,qpqypyy,0 .)sin(cos)()sin(cos)( )(*2)(*1都是方程的解xixeexyxixeexyxxixxi(3). 1,2為共軛復(fù)根,即為共軛復(fù)根,即1=+i, 2=-i

4、,則方程通解為則方程通解為.,)sincos()(2121為任意常數(shù),CCexCxCxyx都是方程的解,)sin(cos)()sin(cos)( )(*2)(*1xixeexyxixeexyxxixxi.)()(21們線性無關(guān)的朗斯基行列式說明它和xyxy.sin)()(21)(cos)()(21)( *2*12*2*11也是方程的解xexyxyixyxexyxyxyxx也是方程的解。從而)()()( 2211xyCxyCxy 三種情況所對應(yīng)的情況的形式列表三種情況所對應(yīng)的情況的形式列表特征根特征根方程的通解方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCCye )(21 一對共軛復(fù)根r1,2=

5、i兩個不等的實根r1, r2兩個相等的實根r1=r2=r( 0)xexCxCy)sincos(21定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .例例7. 求解方程 yy 6y = 0的通解.解:解:特征方程是r2 r 6 = 0其根r1=3, r2= 2是兩個相異實根, 故所求通解為 y = C1e3x + C2e2x. 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos

6、(21xCxCeyx .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx .052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ,故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2 特征根的情況特征根的情況 通解

7、的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 方程。的三個特解,求此微分次微分方程是二階常系數(shù)線性非齊:已知例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxeyexey2 ,323221 ,31xeyy 解:解:,221xeyy 11 r特特征征根根22 r特特征征根根0)2)(1( rr特特征征方方程程為為:022 rr02 yyy齊齊次次方方程程為為xxxeeyyy22 微微分分方方程程為為例例8. 求解方程 4y + 12y + 9y = 0.解:解:特征方程是4r2

8、 +12r + 9 = 0.此方程有二重實根 .2321 rr故所求通解為.)(2321xexCCy例例9. 求解方程 y6y+13y=0.解:解:特征方程是 r2 6r + 13 = 0.其根 r1,2=32i為一對共軛復(fù)根,)2sin2cos(213xCxCeyx故所求通解為例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程為特征方程為0322 rr特征根為特征根為3, 121 rr齊通解為齊通解為xxececY321 例例2 2.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例3 3.

9、052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ,故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 設(shè)圓柱形浮筒,直徑為設(shè)圓柱形浮筒,直徑為0.5 米,鉛直放米,鉛直放在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開,浮筒在在水中,當(dāng)稍向下壓后突然放開,浮筒在水中振動的周期為水中振動的周期為2 秒,求浮筒的質(zhì)量。秒,求浮筒的質(zhì)量。解解設(shè)浮筒的質(zhì)量為設(shè)浮筒的質(zhì)量為 m 平衡時平衡時 圓柱浸入水中深度為圓柱浸入水中深度為 l浮力浮力glR 2重力重力mg mgglR 2 設(shè)設(shè) t 時刻浮筒上升了時刻浮筒上升了 x 米米 此時此時浮力浮力gx

10、lR)(2 重力重力mg 由由Newton第二定律第二定律 mggxlRdtxdm )(222 glRgxlR 22)( gxR2 0222 xmgRdtxd 記記mgR22 0222 xdtxd tctcx sincos21 T2)(25.1952kggRm 3310mkg 28 . 9smg mR25. 0 14. 3 二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:(1)寫出相應(yīng)的特征方程)寫出相應(yīng)的特征方程;(2)求出特征根)求出特征根;(3)根據(jù)特征根的不同情況)根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 02 qprr0 qyypy 特征根的

11、情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 例題例題. 設(shè) 為實數(shù), 求方程 y + y = 0的通解.解解: 特征方程為 2 + = 0(i) 0時, ,ixCxCysincos21通解為例題例題. 設(shè) 為實數(shù), 求方程 y + y = 0的通解.解解: 特征方程為 2 + = 0上述方法可推廣到解上述方法可推廣到解 n 階常系數(shù)齊次線性階常系數(shù)齊次線性方程的情形方程的情形, 此時特征方程為此時特征方程為0111nnnnprprpr特征方程的根對

12、應(yīng)微分方程的解的情況如下表特征方程的根對應(yīng)微分方程的解的情況如下表 n階線性常系數(shù)齊次方程為階線性常系數(shù)齊次方程為 n階線性常系數(shù)齊次方程的特征方程為階線性常系數(shù)齊次方程的特征方程為 其其n個特征根個特征根1n所對應(yīng)的所對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特個線性無關(guān)的特解的線性組合即為上述齊次方程的通解。解的線性組合即為上述齊次方程的通解。0.1)1(1)(yayayaynnnn0.111nnnnaaa特征根特征根對應(yīng)的線性無關(guān)的特解對應(yīng)的線性無關(guān)的特解(1) 單實根 rrxye,e1rxy r1,2=i(2) k重實根 r,e2rxxy ,e1rxkkxy(3)一對單復(fù)根,cose1xyxxyxsine2

13、 r =i(4)一對k重復(fù)根,cose1xyx( 0)( 0),12xyy ,11yxykk,sin1xeyxk,12kkxyy,112kkkyxy每個特征根所對應(yīng)的線性無關(guān)的特解:例例10. 求解方程 y(4) 2y + 5y = 0.解:解:特征方程為 r42r3+5r2=0.對應(yīng)線性無關(guān)的特解為y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解為).2sin2cos(4321xCxCexCCyx其根為r1= r2=0, r3,4=12i.).(243221xCxCCeeCyxx解:解:特征方程02795234rrrr對應(yīng)線性無關(guān)的特解為y1=e2x, y

14、2= ex, y3=xex, y4= x2 ex, 故所求通解為例例11. 求解方程02795)4( yyyyy其根為r1= 2, r2= r3=r4= 1.例例. 求解方程 y(4) + y = 0解解: 特征方程為 r4 + 1 = 0ier143 , 2 , 1 , 0 ,424keriki即)1 (224sin4cos430iieri)1(2243sin43cos431iieri)1(2245sin45cos452iieri)1 (2247sin47cos473iierir0, r3 共軛, 對應(yīng),22cos220 xeyx,22sin223xeyxr1, r2 共軛, 對應(yīng),22co

15、s221xeyx,22sin222xeyx故原方程通解為22113300yCyCyCyCy)22sin22cos(3022xCxCex)22sin22cos(2122xCxCex特征根為特征根為, 154321jrrjrrr 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 4解解:, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1

16、通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 例:求微分方程例:求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 考慮二階方程考慮二階方程2.若干特殊線性常系數(shù)非齊次方程的特解若干特殊線性常系數(shù)非齊次方程的特解為常數(shù)。,qpxfqypyy,0)( (1). 若若.0.)()(01110aaxaxaxaxPxfnnnnn,(i). 當(dāng)當(dāng)q0時時,設(shè)設(shè)是一個特解,則代入方程有是一個特解,則代入方程有比較方程兩邊的系數(shù),得到比較方程兩邊的系數(shù),得到n+1個關(guān)于個關(guān)于b0, b1, , bn 的線性方程,求得的線性方程,求得Qn(x)的系數(shù)。的系數(shù)。0.)(01110bbxbxbxbxQnnnn

17、n,)()()()( xPxqQxpQxQnnnn為常數(shù)。,qpxPqypyyn,0)( (ii). 當(dāng)當(dāng)q=0, p0 時時,設(shè)設(shè) Q(x)=xQn(x)是方程的特解是方程的特解,代入方程比較方程兩邊的系數(shù),得到代入方程比較方程兩邊的系數(shù),得到n+1個關(guān)于個關(guān)于b0, b1, , bn 的線性方程,求得特解的線性方程,求得特解 xQn(x) 的系數(shù)。的系數(shù)。.0)( xPpyyn0.)(01110bbxbxbxbxQnnnnn,(iii). 當(dāng)當(dāng) q=0, p=0 時時, 設(shè)設(shè) R(x)=x2Qn(x)是方程的特解,是方程的特解,代入方程比較方程兩邊的系數(shù),得到代入方程比較方程兩邊的系數(shù),得

18、到 n+1 個關(guān)于個關(guān)于b0, b1, , bn 的線性方程,求得特解的線性方程,求得特解 x2Qn(x)的系數(shù)。的系數(shù)。.0)( xPyn0.)(01110bbxbxbxbxQnnnnn,觀察觀察 對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程 的特征方程的特征方程q0 的充要條件是特征根不為的充要條件是特征根不為0非齊次方程有特解非齊次方程有特解Qn(x);q=0,p0的充要條件是的充要條件是0為單特征根為單特征根非齊次方程有特解非齊次方程有特解xQn(x); q=0,p=0的充要條件是的充要條件是0為二重特征根為二重特征根非齊次方程有特解非齊次方程有特解x2Qn(x)。0 qypyy。02qp)( xfq

19、ypyy有如下結(jié)論:有如下結(jié)論:例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0例例3. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為1CY xeC2xeC23原方程通解為x211Cy xeC2x

20、eC23由初始條件得0432CC,0于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常數(shù)。是常數(shù)。設(shè)非齊次方程有形如設(shè)非齊次方程有形如y=Aex的特解,代入方程得的特解,代入方程得.)(2xxaeeqpA(i)當(dāng)當(dāng) ,即,即不是齊次方程不是齊次方程的特征根時,由上式可確定的特征根時,由上式可確定A,得特解,得特解y=Aex。02qp為常數(shù)。,qpxfqypyy,0)( 0 qypyy(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常數(shù)。是常數(shù)。(ii)當(dāng)當(dāng) 時,02qp,)2(xxaepAe則由上式可確

21、定則由上式可確定A,從而得非齊次方程的特解從而得非齊次方程的特解y=Axex .為常數(shù)。,qpxfqypyy,0)( 不是方程的特解。此時可知,由觀察xxxeaeeqpA )( 2設(shè)方程有形如設(shè)方程有形如y=Axex的特解,代入方程得的特解,代入方程得.0,2.1根不是特征方程的重特征即若 p(2) 若若f(x)=aex, 其中其中a,R是常數(shù)。是常數(shù)。(ii)當(dāng)當(dāng) 時,02qp,)2(xxaepAe為常數(shù)。,qpxfqypyy,0)( 若方程有形如若方程有形如y=Axex的特解,代入方程得的特解,代入方程得.0,2.2不是方程的特解觀察上述方程可知。是特征方程的重特征根即若xxep設(shè)方程有形

22、如設(shè)方程有形如y=Ax2ex的特解,代入方程得的特解,代入方程得,2xxaeAe可確定可確定A,從而得非齊次方程的特解,從而得非齊次方程的特解y=Ax2ex 。.,.,.,2xxxeAxAxeAe方程有特解根時是齊次方程的二重特征若方程有特解但不是重特征根時是齊次方程的特征根若方程有特解時不是齊次方程的特征根若. xaeqypyy2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解的通解 (其中其中為實數(shù)為實數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對應(yīng)齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(1

23、2時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221(3). f(x)=acosx+bsinx, 0,a,b中可以有一個為中可以有一個為0。設(shè)非齊次方程有形如設(shè)非齊次方程有形如y=Acosx+Bsinx的特解,代入的特解,代入方程得方程得,)()(22bBqpAapBAq上述方程有唯一解的充要條件是上述方程有唯一解的充要條件是:.0)(0222222pqqppq,即為常數(shù)。,qpxfqypyy,0)( (i)若若0 q-2與與p不同時為不同時為0. i不是不是2+p+q=0的根的根.此時可唯一確定此時可唯一確定A,B, 得特解得特解 y=Acosx+Bsin

24、x。設(shè)非齊次方程有形如設(shè)非齊次方程有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解。的特解。.sincos xbxaqypyy.0)(0222222pqqppq,即(ii)若若=0q- 2=0且且p=0 i是是2+p+q=0的根。的根。此時設(shè)非齊次方程有形如此時設(shè)非齊次方程有形如y=x(Acosx+Bsinx)的特解,代的特解,代入方程得:入方程得:,22bApBaBAp可唯一解得可唯一解得A,B, 從而得非齊次方程的特解。從而得非齊次方程的特解。若非齊次方程有形如若非齊次方程有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解。的特解。.sincos xbxaqypyy.0)(0222222pqqppq,即

25、042222ppp例例3 3.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解 對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4jxeyy ,是是單單根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy (取虛部)(取虛部)原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3co

26、s(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為例例5 5.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應(yīng)齊方程通解對應(yīng)齊方程通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解

27、為.tanseclncossincos21xxxxCxCy (4)若(5)對高階線性常系數(shù)非齊次方程也可用待定系數(shù)法求解??勺鲱愃频挠懻?,得類似的結(jié)果。xexPxfexPxfxnxncos)()()()(,或)(xfqyypy 型型)()()1(xPexfmx , )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是是重重根根是是單單根根不不是是根根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 設(shè)設(shè)次多項式,次多項式,是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的單根時是特征方程的單根時不

28、是特征方程的根時不是特征方程的根時 jjk類型類型 I)(21xPeypypymx (13)設(shè)方程(13)特解具有形式)(*xQeyx)()( *xQexQeyxx則)()(2)(*2xQexQexQeyxxx 代入(13) 并消去 ex ,)()()()()2()(212xPxQppxQpxQm (i) 當(dāng) 不是特征根, 即2 + p1 + p2 0 , Q(x) 為 m 次多項式mmmmmaxaxaxaxQxQ1110)()()(*xQeymx(ii) 當(dāng) 是單實根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0.Q(x)是 m+1次多項式, 取常數(shù)項為零.Q(x) = x Q

29、m(x)(*xQxeymx(iii) 是重根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 2 + p2 = 0. Q(x)是 m +2次多項式, 取常數(shù)項和一次項系數(shù)為零, Q(x) = x2 Qm(x)(*2xQexymx總之, )(*xQexymxkk 取0, 1 或 2 視不是特征根, 是一重根或是二重根而定, Qm(x)與 Pm(x)次數(shù)相同, 為待定多項式.例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxeCeCY3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特

30、解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2例例12. 求方程 y+9y=xe5x的特解.解:解:特征方程是 r2+ 9 = 0 ,由于=5不是特征方程的根, Pm(x)=x, 可設(shè)特解為 y* = (ax+b)e5x代入原方程得34ax+(10a+34b)=x.其根為r1,2=3i.比較等式兩邊同次冪的系數(shù),得34a=1,10a+34b=0,解得.17345,341ba于是求得一個特解為.)175(341*5xexy例例13. 求方程 y 2y+ y = ex(1+x)的通解.解:解:特征方程是r22

31、r+1=0,其根為r1=r2=1,對應(yīng)齊次線性方程的通解為.)(21xexCCy 因=1是特征方程的重根,Pm(x)=x+1,故特解形式為).(*2baxexyx代入原方程中得. 126xbax所以.21,61ba從而有一特解為).2161(*2xexyx故原方程的通解為).2161()(221xexexCCyxx例例14. 寫出下列方程特解的形式.(1) y 2y + y = 1 + x + x2(2) y 3y + 3y + y = ex (x5)解解: (1)特征方程是 r2 2r +1 = 0因= 0不是特征根,故有特解形式為.*2cbxaxy其根為r1= r2=1.(2)特征方程為,

32、 013323rrr因 = 1是特征方程的三重根, 故有特解形式為)(*3baxexyx其根為 r1 = r2 = r3= 1.類型類型 IIsin)(cos)(21xxQxxPeypypynlx (14)當(dāng) i 不是特征根時, k = 0;當(dāng) i 是一重特征根時, k = 1;).,max(,)(),()2()1(nlmmxRxRmm次待定多項式是在不加推導(dǎo)的情況下, 給出的 y* 形式sin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexymmxk(15)例例15. 求方程 y+y=xcos2x 的通解.解:解: 特征方程為 r2+1=0,其根為r1,2= i, 所以對應(yīng)齊次線性方程的通解為y

33、 = C1cosx + C2sinx.因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可設(shè)特解為y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy* = (4ax+4c4b)cos2x+(4cx4a4d)sin2xy*代入原方程,得.2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax比較兩端同類項的系數(shù),得, 13 a, 043cb, 03 c. 043ad解之得.94, 0, 0,31dcba于是求得一個特解為.2sin942cos31*xxxy因此方程的通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy例例6 求通解求通解xey

34、yxcos 解解 相應(yīng)齊方程相應(yīng)齊方程0 yy特征方程特征方程jrr 2, 1201齊通解齊通解xcxcYsincos21 先求先求 xeyy 的特解的特解設(shè)設(shè)xAey *1代入方程代入方程21 Axey21*1 再求再求 xyycos 的特解的特解考慮輔助方程考慮輔助方程jxeyy 是是單單根根j 可設(shè)可設(shè)jxAxey jxjxAjxeAey jxjxAxeAjey 2代入方程得代入方程得jA21 xxjxxxejyjxcos21sin2121 取實部得取實部得xxysin21*2 原方程的特解原方程的特解)sin(21*2*1*xxeyyyx 所求通解為所求通解為)sin(21sincos

35、21xxexcxcyx 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:例例16. 設(shè)連續(xù)函數(shù) f (x) 滿足方程xxtttfttfxxxf00.d)(d)(sin)(,d)()(sin)(0 xttftxxxf上式兩邊關(guān)于

36、 x 求導(dǎo)得解:解:將方程寫為.d)(cos)( 0 xttfxxf再求導(dǎo),得).(sin)( xfxxf設(shè) y = f (x), 則問題可化為求解初值的問題: y+y = sinx, y|x=0, yx=0 =1.因特征方程 r2+1=0 的根為r1,2=i,故對應(yīng)應(yīng)齊次線性方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.又因 i =i是特征方程的根,可設(shè)特解為y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得. 0,21ba于是.cos21*xxy 故原方程的通解為.cos21sincos21xxxCxCy將初始條件代入上式,得C1=0, ,212C從而,cos21sin21xxxy即.co

37、s21sin21)(xxxxf例例17. 寫出方程 y4y+4y=8x2+e2x+sin2x的一個特解 y* 的形式.解:解:令 f1(x) = 8x2, f2(x) = e2x, f3(x) = sin2x. r2 4r + 4 = 0,其根為r1 = r2 = 2. 于是方程y 4y + 4y = f1(x)對應(yīng)齊次方程的特征方程是的特解形式是;*21cbxaxy方程y 4y + 4y = f2(x)的特解形式是;*222xeAxy方程y4y+4y = f3(x)的特解形式是.2sin2cos*3xCxBy由本節(jié)定理5知方程的特解形式為.2sin2cos*222xCxBeAxcbxaxyx

38、3. 已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xeyy2 對應(yīng)齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeCy21xex例例7 設(shè)設(shè))(22yxfu 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足且滿足2222221yxuxuxyuxu 求求 u 的表達式的表達式解解記記 22yxr 則則)(rfu rxdrduxudrduxu drdurydrudrxxu 3222222)(同理同理dr

39、durxdrudryyu 3222222)(udruduxuxyuxu 22222212222yxudrud 這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得解得2sincos221 rrcrcu222221sincosyxcyxcu 222rudrud 即即內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也

40、可推廣到高階方程的情形.6.6.用常數(shù)變易法求解二階線性非齊用常數(shù)變易法求解二階線性非齊次方程與歐拉方程的解法次方程與歐拉方程的解法1. 常數(shù)變易法常數(shù)變易法(i)先求出二階線性齊次方程先求出二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解的兩個線性無關(guān)的特解1(x),2(x),則其通解為0)()( yxqyxpy).()(2211xCxC.)()( f(x)yxqyxpy(ii)設(shè)設(shè) 是非齊次方程是非齊次方程 的解。代入方程得的解。代入方程得)()()()()(2211xxCxxCxy因為因為所以方程組有唯一解所以方程組有唯一解C1(x),C2(x),再積分,再積分求得求得C1(x),C2(x)。.)(

41、)()()()(0)()()()(21221121xfxCxxCxxCxxC假設(shè)0)(2121xW.)()( f(x)yxqyxpy2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為2211yCyCy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211 yxcyxc(4)22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 得得代代入入方方程程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(2222111122

42、11xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系數(shù)行列式系數(shù)行列式22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy .)()( f(x)yxQyxPy,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齊次方程通解為非齊次

43、方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy例例.的通解。用常數(shù)變易法求方程xyysin1 .sincos . , 01 . 0 212xCxCyiyy齊次方程的通解為特征根為特征方程為先解齊次方程解:解:.sin)(cos)( 21xxCxxCy設(shè)非齊次方程的通解為ctgxxCxCxxxCxxCxxCxxC)(1)(sin1cos)(sin)(0sin)(cos)(212121則2211|sin|)()(cxInxCcxxC.sin)|sin|(cos)(21xcxInxxcy通解為對于二階方程y + p1 (x) y + p2 (x)y = f

44、(x)(4)對應(yīng)齊次方程y + p1 (x) y + p2 (x)y = 0(3)如何求如何求(3)和和(4)的通解的通解? 步驟一步驟一: 先找出先找出(3)的一個特解的一個特解 y1 :當(dāng) p1 (x) + x p2 (x) = 0時, y1 = x當(dāng) 1 + p1 (x) + p2 (x) = 0時, y1 = ex當(dāng) 2 + p1 (x) + p2 (x) = 0時, y1 = e x當(dāng) 1 p1 (x) + p2 (x) = 0時, y1 = e x例例4.0112 yxyxy0)1(1)()( 221xxxxxpxp因故方程有解 y1 = x0) 1( yyxyx又有解 y1 =

45、x定理定理 3步驟二步驟二: 找出找出 y1 后再找后再找 y2 .如果 y1是方程(3)的一個非零特解,則xyeyyxxpd21d)(121是方程(3)的一個與y1線性無關(guān)的解.證證: 用常數(shù)變易法用常數(shù)變易法, 112)()(yxCyxCy1112)()(2)(yxCyxCyxCy 代入(3), 得0)()()(2()()()(11111211 xCyxCyxpyxCyxpyxpy設(shè) y2 = C (x) y1令 z (x) = C (x), 則0)(2(dd1111zyxpyxzy即0)(2dd111zxpyyxz簡化為0)()()(2(1111 xCyxCyxpyxxpyyCezd)(

46、2111xxpxyyCed)(dd211xxpyeCed)(ln12121d)(1yCexxp取 C =1.xeyxCxxpd1)(d)(211xeyxCxxpd1)(d)(211xeyyyxxpd1d)(21121故例例4.011 : yxyxy求通解解解: y1 = xxeyyyxxpd1d)(21121xxexxxpd2d)(1xxxd13方程通解為xCxCy21x21例例5. 求方程 (x2+1)y2xy (9x26x+9y)=0的通解.解:解:這里,12)(21xxxp1)969()(222xxxxp由, 01)969()12(2222xxxxx得 = 3.(2 9)x22( 3)

47、x + (2 9) = 0,故 y1=e3x 是方程的一個特解.再由定理3得方程的另一線性無關(guān)的特解為.)181931(61322xexxy故原方程的通解為.)181931(32231xxexxCeCyxeeyxxxxdd123221)d(263xxeexx定理定理 步驟三步驟三: 求方程求方程(4)的特解的特解 y*設(shè)方程(3)的兩個線性無關(guān)的特解y1, y2 已知時, y* 由下式給出 xyyyyxfyyyxyyyyyxfyyyd)(0d)(0*21211122121221此時, (4)的通解為 y= y* + C1 y1 + C2 y2例例6. 求方程 xyy =x2的通解.解:解:由是

48、齊次線性故得1. 0, 0)1(12yx方程 xy y = 0的解. xxx2 201 2從而由公式(4.6)并取積分后的任意常數(shù)為0,得又由定理3可求得y2=x2也是方程xyy=0的與y1線性無關(guān)的一個特解.332161xx 331x故所求通解為xCCxy21331xxxxxxxxyd2d2*22其中其中ai(i=0,1,2,n)為常數(shù)。為常數(shù)。2. 歐拉方程:形如歐拉方程:形如0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnnn當(dāng)當(dāng)x0時時,令令x=et(當(dāng)當(dāng)x0時時,令令x=-et)。則有。則有ktdtydkdtyddtdyktdtdydtydtdtdyecccyeyeykk).(.

49、)( 222221)(2其中其中ci(i=1,2,n)為已知常數(shù)。為已知常數(shù)。則歐拉方程變形為則歐拉方程變形為其中bi(i=0,1,2,n)為已知常數(shù)。0.1)1(1)(0ybybybybnnnn是關(guān)于是關(guān)于y,y,y (n)的常系數(shù)方程的常系數(shù)方程0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnnnktdtydkdtyddtdyktdtdydtydtdtdyecccyeyeykk).(.)( 222221)(2令令x=et, 即即 t=Inx.)1()1()(ykDDDyxkk 將上式代入歐拉方程,則化為以將上式代入歐拉方程,則化為以 為自變量為自變量t的常系數(shù)的常系數(shù)線性微分方程線性微

50、分方程.求出這個方程的解后求出這個方程的解后,t把把 換為換為 ,xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地,一般地,原方程化為原方程化為方程所對應(yīng)的齊次方程為方程所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程其特征方程, 03223 rrr例例 求歐拉方程求歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解 作變量變換作變量變換,ln xtext 或或tdtyddtyddtdytdtdydtydtdtdyeyeyey3 2)32()( 332222.33222233tdtdydtyddtyde.0322233dtdydtyddtyd特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 rrr所以齊次方程的

51、通解為所以齊次方程的通解為設(shè)特解為設(shè)特解為,22bxbeyt 代入原方程,得代入原方程,得.21 b所給歐拉方程所給歐拉方程的通解為的通解為.2123321xxCxCCy ,22xy 即即, 03223 rrr.33213321xCxCCeCeCCYtt.33222233tdtdydtyddtyde,ln xtext 或或22334xyxyxyx 小結(jié)小結(jié)歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數(shù)的線變系數(shù)的線性微分方程性微分方程常系數(shù)的線常系數(shù)的線性微分方程性微分方程變量代換變量代換注意:歐拉方程的形式注意:歐拉方程的形式xtextln 或或0.1)1(11)(0yaxyayxayxannnnn

52、n小結(jié)小結(jié)微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子7.7.常系數(shù)線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組1. 一階常系數(shù)線性微分方程組的一般形式一階常系數(shù)線性微分方程組的一般形式)(.)(.)(.11221212111111xfyayayxfyayayxfyayaynnnnnnnnnn2. 一階常系數(shù)線性微分方程組的特解一階常系數(shù)線性微分方程組的特解)(),.,(

53、),(2211xyxyxynn在在(a,b)可微,代入方程組后使得每個方程可微,代入方程組后使得每個方程成為恒等式。成為恒等式。3. 定義定義1:函數(shù)組:函數(shù)組中的任意常數(shù)中的任意常數(shù)C1,C2,Cn稱為獨立的,若雅可稱為獨立的,若雅可比行列式比行列式).,.,;(.),.,;(),.,;(2121222111nnnnnCCCxyCCCxyCCCxy.0),.,(),.,(11nnCCDD4. 定義定義2:帶有:帶有n個獨立的任意常數(shù)個獨立的任意常數(shù)C1, C2, , Cn 的的函數(shù)組函數(shù)組).,.,;(.),.,;(),.,;(2121222111nnnnnCCCxyCCCxyCCCxy若在

54、若在(a,b)上可微且滿足方程組上可微且滿足方程組)(.)(.)(.11221212111111xfyayayxfyayayxfyayaynnnnnnnnnn則稱其為方程組的通解。則稱其為方程組的通解。5.結(jié)論結(jié)論:若:若 是非齊次方程組的一個特是非齊次方程組的一個特解,解, 是齊次方程組的是齊次方程組的通解,則通解,則是非齊次方程組的通解。是非齊次方程組的通解。)(*x)(.)(11xCxCnn)()(.)()(*11xxCxCxynn6. 解的存在唯一性定理:解的存在唯一性定理:設(shè)線性微分方程組中的函數(shù)設(shè)線性微分方程組中的函數(shù)fi(x)(i=1,2,n)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上連續(xù),又設(shè)上

55、連續(xù),又設(shè)x0(a,b),則對任則對任意給定的初值意給定的初值方程組在區(qū)間方程組在區(qū)間(a,b)上存在惟一的一組解上存在惟一的一組解滿足初值條件。滿足初值條件。,)(,.,)(,)(00n00200111nyxyyxyyxy),(),.,(),(nn2211xyyxyyxyy7. 求解常系數(shù)線性微分方程組的方法:消去法求解常系數(shù)線性微分方程組的方法:消去法用微分法消去若干未知數(shù),得到只含有一個未用微分法消去若干未知數(shù),得到只含有一個未知函數(shù)的高階常系數(shù)微分方程,求得該未知函知函數(shù)的高階常系數(shù)微分方程,求得該未知函數(shù),再逐一求得其余未知函數(shù)。數(shù),再逐一求得其余未知函數(shù)。例例1 1解微分方程組解微

56、分方程組 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy設(shè)法消去未知函數(shù),設(shè)法消去未知函數(shù),y解解兩邊求導(dǎo)得,兩邊求導(dǎo)得,)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化簡式并化簡, 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程組的通解為原方程組的通解為,)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示對自變量表示對自變量x求導(dǎo)的運算求導(dǎo)的運算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如,例如,D用記號用記號可表示為可表示為)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多項式的多項式可進行相加和相乘的運算可進行相加和相乘的運算例例2 2 解微分方程組解微分方程組 . 02222ydtdxdtydexdtdy

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