第4章離散余弦變換

1、第4章離散余弦變換2022-4-14 1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布 數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的周圍對應(yīng)于低頻成分，中央部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上 因子進行傅里葉變換即可實現(xiàn)，變換后的坐標原點移動到了窗口中心，圍繞坐標中心的是低頻，向外是高頻。2022-4-14圖圖4.10 二維傅里葉變換的頻譜分布二維傅里葉變換的頻譜分布 NoImage2022-4-14圖4.11 頻率位移示例NoImage2022-4-14

2、圖為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點是共軛對稱的，利用這個特性，在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對稱性補充另一部分數(shù)據(jù)，就可達到數(shù)據(jù)壓縮的目的。 2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計分布 （1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有： 1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF它反映了原始圖像的平均亮度。 2022-4-14（2）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85的能量，這一點成為對圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送

3、低頻分量的幅值，對高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。4.2 4.2 離散余弦變換離散余弦變換l 數(shù)字圖像處理中的正交變換，除了傅里葉變換以外，數(shù)字圖像處理中的正交變換，除了傅里葉變換以外，還經(jīng)常用到離散余弦變換（還經(jīng)常用到離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT)。lDCT是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅是與傅里葉變換相關(guān)

4、的一種變換，它類似于離散傅里葉變換里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)，但是只，但是只使用實數(shù)。使用實數(shù)。l離散余弦變換相當于一個長度大概是它兩倍的離散傅里離散余弦變換相當于一個長度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個離散傅里葉變換是對一個實偶函數(shù)進行的葉變換，這個離散傅里葉變換是對一個實偶函數(shù)進行的(因為一個實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個實偶函數(shù)因為一個實偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個實偶函數(shù))。2022-4-14 4.2 離散余弦變換離散余弦變換l 對信號和圖像進行有損數(shù)據(jù)壓縮。對信號和圖像進行有損數(shù)據(jù)壓縮。l 離散余弦變換具有很強的離散余弦變換具有很強的

5、“能量集中能量集中”特性。特性。l 大多數(shù)的自然信號大多數(shù)的自然信號(包括聲音和圖像包括聲音和圖像)的能量的能量 都集中在離散余弦變換后的低頻部分。都集中在離散余弦變換后的低頻部分。2022-4-14DCT的步驟的步驟l分塊：在對輸入圖像進行分塊：在對輸入圖像進行DCT前，需要將圖前，需要將圖像分成子塊。像分成子塊。l變換：對每個塊的每行進行變換：對每個塊的每行進行DCT變換，然后變換，然后每列進行變換。得到的是一個的變換系數(shù)矩每列進行變換。得到的是一個的變換系數(shù)矩陣。陣。l(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置，表示不同頻率的交流分他元

6、素根據(jù)其位置，表示不同頻率的交流分量。量。4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換2022-4-14l式中式中 是第是第u個余弦變換系數(shù)，個余弦變換系數(shù)，u是廣義頻率變是廣義頻率變量，量， ； 是時域是時域N點序點序列，列， ；兩式構(gòu)成了一維離散余弦變；兩式構(gòu)成了一維離散余弦變換對。換對。2022-4-14)(uF1,.2 , 1Nu)(xf1,.,2 , 1 , 0Nx4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換 4.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換2022-4-14 4.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩

7、陣表示l 二維離散余弦變換具有系數(shù)為實數(shù)，正變換與逆變二維離散余弦變換具有系數(shù)為實數(shù)，正變換與逆變換的核相同的特點。離散余弦變換是一種正交變換。換的核相同的特點。離散余弦變換是一種正交變換。為了分析計算方便，還可以用矩陣的形式來表示。為了分析計算方便，還可以用矩陣的形式來表示。l 設(shè)設(shè)f為一個為一個N點的離散信號序列，可以用一個點的離散信號序列，可以用一個 的的列向量表示，列向量表示，F(xiàn)為頻域中一個為頻域中一個 的列向量。的列向量。 的矩陣的矩陣C為離散余弦變換矩陣，一維離散余弦變換表示為為離散余弦變換矩陣，一維離散余弦變換表示為2022-4-141N1NNN l二維離散余弦變換為二維離散余弦變換為l正變換正變換2022-4-142022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示l結(jié)果分析：結(jié)果分析：l 離散余弦變換具有信息強度集中的特點。圖像進行離散余弦變換具有信息強度集中的特點。圖像進行DCT變換后，在頻域中矩陣左上角低頻的幅值大而右下變換后，在頻域中矩陣左上角低頻的幅值大而右下角高頻幅值小，經(jīng)過量化處理后產(chǎn)生大量的