固體物理 第四章 能帶理論4.3 三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似

1、04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論4.3 三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 1. 模型和微擾計(jì)算模型和微擾計(jì)算 電子受到粒子周期性勢場的作用，勢場的起伏較小電子受到粒子周期性勢場的作用，勢場的起伏較小, 零零級(jí)近似，用勢場的平均值代替離子產(chǎn)生的勢場級(jí)近似，用勢場的平均值代替離子產(chǎn)生的勢場)(rVV周期性勢場起伏量周期性勢場起伏量VVrV)( 微擾來處理微擾來處理電子的波動(dòng)方程電子的波動(dòng)方程)()()(222rErrVm晶格周期性勢場函數(shù)晶格周期性勢場函數(shù))()(rVRrVm勢場的平均值勢場的平均值01/2904_03_三維周期場中

2、電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論, 零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù)零級(jí)近似下電子的能量和波函數(shù) 空格子中電子的能量和波函數(shù)空格子中電子的能量和波函數(shù)零級(jí)哈密頓量零級(jí)哈密頓量VmH2202薛定諤方程薛定諤方程)()()(2000022rErVrm電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)能量本征值能量本征值01( )ik rkreV2202kkEVm金屬金屬 個(gè)原胞構(gòu)成，體積個(gè)原胞構(gòu)成，體積123NN N N0VNv04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 周期性邊界條件周期性邊界條件滿足正交歸一化條件滿足正交歸一化條件333222111NblNblNblk電子的波矢電子的波矢電子的零級(jí)本征波函

3、數(shù)電子的零級(jí)本征波函數(shù)01( )ik rkreV000*Lkkkkdr04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論, 微擾時(shí)電子的能量和波函數(shù)微擾時(shí)電子的能量和波函數(shù) 近自由電子近似模型近自由電子近似模型微擾的情形微擾的情形0HHHVmH2202VVrVH)(微擾后電子的能量微擾后電子的能量0(1)(2).kkkkEEEE電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)0(1)( )( )( ).kkkrrr04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論一級(jí)能量修正一級(jí)能量修正電子的能量電子的能量0(1)(2).kkkkEEEE(1)|kEk HkkVrVk|)(|(1)0kE二級(jí)能量修正二

4、級(jí)能量修正2(2)00|kkkkkHkEEEkkkrVkkVrVkkHk| )(| |)(| | | VrkkirdrVeVkrVk0)()(1| )(| 05/2904_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論(1)000|kkkkkkHkEE一級(jí)修正一級(jí)修正電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)0(1)( )( )( ).kkkrrr矩陣元矩陣元 的計(jì)算的計(jì)算krVkkHk| )(| | | VrkkirdrVeVkrVk0)()(1| )(| 引入積分變量引入積分變量mRr04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論mRkkivkkimeNdVevkrVk)(0)(01)(1

5、| )(| 0應(yīng)用應(yīng)用333222111NblNblNblk333222111NblNblNblk332211amamamRm)()(102102102)(333333222222111111NmmNlliNmmNlliNmmNllimRkkieeeem04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論333322221111,nNllnNllnNllNNNNemRkkim321)(0)(mRkkime當(dāng)上式中當(dāng)上式中321,nnn 為整數(shù)為整數(shù)則有則有任意一項(xiàng)不滿足任意一項(xiàng)不滿足333322221111,nNllnNllnNll則有則有04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似

6、 能帶理論1 12 23 3nkkn bn bn bGnvGiVdVevkrVkn000)(1| )(| mRkkivkkimeNdVevkrVk)(0)(01)(1| )(| 0333322221111bNllbNllbNllkkNNNNemRkkim321)(04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論波函數(shù)一級(jí)修正波函數(shù)一級(jí)修正(1)000|kkkkkkHkEE011( )niG rik rik rkreeeVV(1)001()nniG rik rnknkk GVeeEEV10/29電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)0(1)( )( )( ).kkkrrr001( )1()nniG

7、rik rnknkk GVreeEEV04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論)(2332211mnmnmnGRnm因?yàn)橐驗(yàn)閙Rrr波函數(shù)波函數(shù)00nniG rnnkk GVeEE 不變不變波函數(shù)波函數(shù)001( )1()nniG rik rnknkk GVreeEEV波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積1( )( )ik rkkreurV00( )1()nniG rnknkk GVureEE 04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2(2)00nnkkkk GVEEE微擾后電子的能量微擾后電子的能量

8、0(1)(2).kkkkEEEE0)1(kE2202kkEVm222002nnkkkk GVkEVmEE04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 一級(jí)修正波函數(shù)和二級(jí)能量修正趨于無窮大一級(jí)修正波函數(shù)和二級(jí)能量修正趨于無窮大222002nnkkkk GVkEVmEE001( )1()nniG rik rnknkk GVreeEEV22nGkk0)21(nnGkG當(dāng)當(dāng) 和和 的零級(jí)能量相等的零級(jí)能量相等 knGkk04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論nGkk0)21(nnGkG 三維晶格，波矢三維晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上在倒格矢垂直平分面上以及附近的值

9、，非簡并以及附近的值，非簡并微擾不再適用微擾不再適用04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論簡單立方晶格中的倒格子空間簡單立方晶格中的倒格子空間A和和A兩點(diǎn)相差倒格矢兩點(diǎn)相差倒格矢1bGn 兩點(diǎn)零級(jí)能量相同兩點(diǎn)零級(jí)能量相同4321,CCCC 四點(diǎn)相差一個(gè)倒格矢，四點(diǎn)相差一個(gè)倒格矢，零級(jí)能量相同零級(jí)能量相同 三維情形中，簡并三維情形中，簡并態(tài)的數(shù)目可能多于兩個(gè)態(tài)的數(shù)目可能多于兩個(gè)nGkk15/2904_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2. 布里淵區(qū)和能帶布里淵區(qū)和能帶 在在k空間把原點(diǎn)空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫出，垂直平分面畫

10、出，k空間分割為許多區(qū)域空間分割為許多區(qū)域簡單立方晶格簡單立方晶格k空間的二維示意圖空間的二維示意圖 每個(gè)區(qū)域內(nèi)每個(gè)區(qū)域內(nèi)Ek是連續(xù)變化的，而在是連續(xù)變化的，而在這些區(qū)域的邊界上能這些區(qū)域的邊界上能量量E(k)發(fā)生突變，這發(fā)生突變，這些區(qū)域稱為些區(qū)域稱為布里淵區(qū)布里淵區(qū)04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶 每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同，為倒格子原胞的體積每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同，為倒格子原胞的體積 每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目：每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目：2N（計(jì)入自旋）（計(jì)入自旋） 三維晶格中，不同方向上能量斷開的

11、取值不同，使得三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不同，使得不同的能帶發(fā)生重疊不同的能帶發(fā)生重疊 不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)在第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn)方向上能量最高點(diǎn)A，k方向上能量方向上能量最高點(diǎn)最高點(diǎn)C二維正方格子二維正方格子 C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高點(diǎn)高04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū) 能帶的重疊能帶的重疊04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論用簡約波矢

12、用簡約波矢 表示能量和波函數(shù)表示能量和波函數(shù)kmkkG)(kEn)(rkn能量和波函數(shù)能量和波函數(shù) 必須同時(shí)指明它們屬于哪一個(gè)能帶必須同時(shí)指明它們屬于哪一個(gè)能帶22200( )2nnnkkk GVkE kVmEE001( )1()mnniGriG rik rnnknkk GVreeeEEV20/2904_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論3. 幾種晶格的布里淵區(qū)幾種晶格的布里淵區(qū) 1) 簡單立方格子簡單立方格子 第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體成的立方體kaaj aai aa321,kabjabiab2,2,

13、2321倒格子基矢倒格子基矢正格子基矢正格子基矢 簡單立方格子簡單立方格子04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論2) 體心立方格子體心立方格子 正格子基矢正格子基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk )(21kjab)(22kiab)(23jiab 倒格子基矢倒格子基矢a4 邊長邊長 的面心立方格子的面心立方格子 第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體面圍成的正十二面體04_03_三維周期場中電子

14、運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論體心立方格子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記體心立方格子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記25/2904_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論3) 面心立方格子面心立方格子123(),(),()222aaaajkakiaij)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 邊長邊長 的體心立方格子的體心立方格子 第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和8個(gè)近個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的八面體，和沿立方軸的6個(gè)次近鄰個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的的六個(gè)角，形成的14面體面體04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 八個(gè)面是正六邊形八個(gè)面是正六邊形 六個(gè)面是正四邊形六個(gè)面是正四邊形04_03_三維周期場中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似 能帶理論 第一布里淵區(qū)為十第一布里淵區(qū)為十四面體四面體 布里淵區(qū)中某些對(duì)稱布里淵區(qū)中某些對(duì)稱點(diǎn)和若干對(duì)稱軸上的點(diǎn)能點(diǎn)和若干對(duì)稱軸上的點(diǎn)能量較為