同角三角函數(shù)的基本關(guān)系導學案

1、角函數(shù)的基本關(guān)系;公式的變式及靈活運用P ( x,y):貝U sina =； cosa =；0 2 0 2 0,tan45 乞 sin 60 +cos 60學習目標：掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin 2a+cos2a=1,sina /cosa=tana,并會運用它們進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明學習重點： 公式 sin 2a+cos2a=1,sina / cosa=tana 的推導及其應(yīng)用學習難點：根據(jù)角a終邊所在象限求岀其三角函數(shù)值，選擇適當?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式學習過程：探究新知1 你還記得任意角的三角函數(shù)的定義嗎？a為一個任意角，它的終邊與單位圓交于點tana =2 .你記

2、得單位圓中的三角函數(shù)線嗎？sina =； cosa = ； tana =2 o 2 o sin 30o2 02 0 sin 45探究： sin 30 +cos 30 =, tan30 二： sin 45 +cos 45 =,sin 60cos60,tan60 0 =；角a的終邊經(jīng)過點(3,-4 ), sin 2a+cos2a=, sina / cosa=, tana =.觀察計算的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？新知：同角三角函數(shù)關(guān)系式：(1)平方關(guān)系：sin 2a+cos2a=1 ； (2)商數(shù)關(guān)系：sina /cosa=tana , a k n+ 0.5 n( k注意：注意“同角” 意義的角而言的，

3、如，至于角的形式無關(guān)重要，如2 2sin 4 cos 41等；注意這些關(guān)系式都是對于使它們有sina / cosa=tana , a k n + 0.5 n( k Z ).對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變形用)，如： cos . 1 sin2, sin21 cos2 ,3. (1)商數(shù)關(guān)系tana = sina / cosa成立角a的范圍是(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，平方關(guān)系：sin 2a+cos2a=1，可變形為:cos-sin等.tan1-cos 2a =, 1-sin 2a=； sina =,cosa =，其中“士"可由確定4.同角三角函數(shù)的

4、基本關(guān)系：平方關(guān)系sin 2a+cos2a=1商數(shù)關(guān)系sina /cosa=tana 公式變形2 2 '2 2 2 ' 2sin a= 1-cos a,sina = 1 cos a ,cos a= 1-sin a,cosa = , 1 sin a (正負號由 a 所在象限決定)，sina = cosa tana,cosa = sina / tana 公式應(yīng)用“知一求二” :把 sina , cosa , tana 看作未知數(shù), 解方程組就可求岀另兩個的值。則兩個關(guān)系式就成了兩個方程，三個未知數(shù)中只要知道了一個的值,考點歸納考點1.“知一求二”例 1 已知 sina = -3 /

5、 5，求 cosa , tana 的值解: cosa =1 sin2 a =23仝當cosa = 4時，tan a二血=3丿4.同當355cosa 554cos a =-時 tan a =-54變式：已知 a是三角形的內(nèi)角，且sina + cosa = 1 /5,求tana的值1 2 2解：由已知得 cosa =- sina，代入 sin a + cos a = 1整理得:5.2sin a -si na - 12 =0,解得5254 、341143sin a 二 或 si na二-.因為 a 是三角形的內(nèi)角，sin a>0,所以 sin a 二,cosa = - si na二一-二-一，

6、所以5 5555 55tan a =-3“知一求二”不但指 關(guān)系式就可求岀它們的值 考點2.弦切轉(zhuǎn)化sina , cosa , tan三者中知一可求二，還指知道一個關(guān)于sina , cosa , tana的方程，聯(lián)立兩個cos30cos45sin a + cos a1例2.已知tana = 2,求下列式子的值 .（2）2 2sin a - cosa cos a - sin a解：方法一：由"知一求二"可求岀 sina , cosa然后代入求值.方法二：弦化切，在（1）的分子分母中同時除以cosa，則（1）原式=tan a 1tan a 12 2 = 3,(2)原式=sin

7、a cos a 2 12cos a.2sin a.2 2sin a cos a2cos a2；2cos a sin a2cos atan2 a 11 tan2 a方法三：由已知得,sina = 2cosa,則原式二.2 2sin a cos a2 ；2cos a sin a2cosa 2cos2 a2 cosa 22cos a5，同理可求（1）3的值弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是關(guān)于 這是一種轉(zhuǎn)化思想。sina , cosa的齊次式，這里要注意"1”的變形練習.已知tana = -4 /3,求下列式子的值(1)sina-4cosa ;(2) sin2a + 2si

8、nacosa.5sin a + 2cos a例3.求證：cosx1 si nx1 sin xcosx考點3：三角恒等式的證明方法一：從分子看，要將左邊的 cosx化為右邊的2cos x子分母同時乘以 cosx，左邊=1方法二：原式等價于： cos2x=（ 它是平方關(guān)系的變形，證明如下：由sin x cosx1 + sinx，就要實現(xiàn)正弦與余弦的轉(zhuǎn)化，要用平方關(guān)系，所以左邊分1 sin2x1 + sinx )( 1-sinxcos 2x= 1-sin 2x1 sin x =右邊，所以原式成立sin x cosx cosx),即 cos 2x = 1-sin 2x得，cos2x =( 1 + si

9、nx )( 1-sinx ),兩邊同時除以 cosxsinxcosx 1（1-si nx ），得=-1=sin 2a+cos 2a=1 ” 的應(yīng)用1 sinx cosx三角恒等式的證明關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想，包括正弦與余弦的轉(zhuǎn)化；弦切的互化；“1 tana1 2sin acosa練習.求證：一2 2cos a sin a考點 4. sina+cosa , sina-cosa由于(sina + cosa ) 2= 1+2sina cosa, ( sina-cosa ) 2= 1-2sina cosa,所以在 sina + cosa,sina-cosa,sina 三個式子中只要知道其中任意一個的值，就可求

10、另兩個的值，也稱“知一求二”1 tana,sina cosa的關(guān)系應(yīng)用2-cosa例 4.已矢知 sina + cosa = ，求 sina-cosa 的值5,( sina-cosa5215解：( sina + cosa ) = 1+2sina cosa，') 2= 1+2sina cosa, sinacosa51-2sina cosa = 9/ 5, 所以 sina cosa3 55練習：已知 sina + cosa = 1 / 5 ( 1 )求 sina cosa 的值，(思想方法提升：本節(jié)有四種題型:cosa, sina-cosa , sina cosa 二課內(nèi)自測（1 ） “知

11、一求二”的關(guān)系應(yīng)用，其中（? )和(1 1 .2）若一 p v av p,求 +的值2sina cos p a2 ）弦切轉(zhuǎn)化；（3）三角恒等式的證明；（4 ） sina +4）的本質(zhì)是方程思想，（2）和（3）的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想1. sin 2205角aA. B.(0<a<2 n )的正、C.1 D（）A.B.2余弦線的長度相等,2 DD .2且正、余弦符號相異那么a的值為（）已知sinD.或=-3一 ?54則 tan 等于()A. B.34_C. - - D.-32 2sin sin的結(jié)果為;若 2sin cos 、2 cos,則 tan 下列說法正確的有2Asi n (a + p_

12、 0Dcos50 tan50 已知 (已知sin2 2 2 2 2)+cos (a +p)= 1Bsin 2a+cos 2a = 1Csin a +cos p= 10 0 0 0 /0_2 2=sin50 Etan90 = sin90 / cos90 Fcos 0.5a = 1-sin 0.5a),tan =1/2,貝U sin cos =1 .-，貝y sin cos3cos已知sin24247247是第四象限角，則 tan的值是()A.B.C.D.25724724若tan a =3 , 且 32 ，貝U sin a =()1 A. - B.2c. !b._222222若sincos2，則

13、tan()A. 1B. -1C.2d42si ncos43若 sin 4a + cos4a= 1,貝U sina + cosa 的值為()A0B1C 1D± 12.化簡 sin2sin2sin2 cos23.解答題(1)已知sin(2 )已知cos已知tan已知sin a-cosa454求sin ,tan的值5.5，且.5且是第二象限角，求 cos 、tan 的值a是第二象限角，求sina , cosa 的值已知sina已知cosa已知tana已知tan0o 亠,180 v av 270，求且a在第三象限，求 cosa求 sina , tana 的值tana的值和 tana，求 si

14、n 2a, sina cosa 的值.2sin2 的值.sin cos 2 cos已知sin a + cos a= ，求 sin a-cos a 的值. 51 2 sin10 cos1010)化簡cos10v12cos 1701.cosa=4 / 5, a ( 0,三課堂達標n),貝U tana= () A. 4/3B. 3/4 C.4/3D.3/4 若tana=且-2 若 sin c°s2 sin cos 已知 sina+3cosa = 0,2，貝U sina= () A.-1則 tana ()A.1a所在的象限是()象限/ 2B.-3 / 2C.1 / 2B.3 / 2B. -1

15、 C. 3/4 D. -4 /3A、第一 B、第二 C、第一、三 D、第二、四已知A是三角形的一個內(nèi)角，A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.不等腰直角三角形sinA + cosA=2/ 3,則這個三角形是()D.等腰直角三角形A. 士 3/4B.± , 3 /2C.sin 190oC. sin 190oD. 已知sinacosa=1 / 8,則cosa sina的值等于() 化簡,廠cos2190°的結(jié)果為()A. cos190oB. 若sina， cosa是方程4x2+2mx+m=0的兩根，則 m的值為()A. 1, 5 B. 1. 5C. 1. 5D.1 . 5.3 /

16、2D. - , 3 / 2cos190o2.化簡：,1 sin2 440 若 4sin 2 cos5 cos 3sin 化簡 sin 2a+sin 2B-sin 若tan. 15，貝U 已知 0v avn， sina=10,貝y tana的值為2 . 2 2 2 .a - sin B+cos a - cos B=cos -cosa=-12 / 25, 44已知是第三象限角，且sin; sin貝U cosa-sina=如果角滿足sin +cos = .、2，那么若 sina， cosa3 解答題是方程(1)已矢知COS(2)已知sin x121313=5/9，貝U sin cos1+的值是tan

17、k的值為ta n2 _ _ .x +kx-k=0的兩根，則且為第四象限角，求求 cosx 禾口 tanxsin 禾口 tancos1（4 ）已知tana=2，求下列各式的值：空sin cos(3)化簡：空ta nco二 sina cosa 3sin22cos(5)已知 sinB+cosB = 1/5，且 0v Bvn4sin cos,求 sinB cosB、sin B-cosB的值;求sinB、cosB、tanB 的值(6)已知tan2，求下列各式的值：（1） sincossin cos sin22sincos3cos2(7)已知sincos4，求下列各式的值： （1） sin33cos ； ( 2) sincos3.4;(3) sincos4(8)已矢知tana=-4求下列式子的值sina坯旦2 cos a(1)5 sin a(9)化簡下列各式：2sin 4401 co