高數(shù)D求導(dǎo)法則2ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解決求導(dǎo)問題的思路解決求導(dǎo)問題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其他基本初等其他基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)

2、算求導(dǎo)法則 定理定理1.的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題 .可導(dǎo)都在點(diǎn)及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證證: 設(shè)設(shè) 那么vuvu )() 1 (故結(jié)論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()(

3、)(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)vuvuvu )(證證: 設(shè)設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C為常數(shù) )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1x

4、yy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè)設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vv

5、CvC( C為常數(shù) )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因而,)()(1

6、的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè)設(shè),arcsinxy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 設(shè), )1,0

7、(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxln )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x小結(jié)小結(jié):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u0故有)()(xgufuy)(u

8、f)0()(xxuxuufxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求下列導(dǎo)數(shù)求下列導(dǎo)數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch說明說明: 類似可得類似可得;s

9、h)(chxx axxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)設(shè), )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx考慮考慮: 假設(shè)假設(shè))(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導(dǎo)數(shù)?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同)cos(elnx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)設(shè), )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx那么 )(arsh

10、x112x(反雙曲正弦)其他反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)看參考書自推. 2eeshxxx的反函數(shù)雙曲正弦目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x目錄 上頁 下頁

11、 返回 結(jié)束 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其他公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設(shè)),0( aaaxy

12、xaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化簡后求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè)設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111

13、412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對(duì)嗎?2114341xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于 f (a) = 0，故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè)設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1