高數D求導法則2ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節(jié)第二節(jié)二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 函數的求導法則 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解決求導問題的思路解決求導問題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其他基本初等其他基本初等函數求導公式函數求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數求導問題初等函數求導問題本節(jié)內容目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、四則運算求導法則一、四則運

2、算求導法則 定理定理1.的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .可導都在點及函數xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設設 那么vuvu )() 1 (故結論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()(

3、)(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)vuvuvu )(證證: 設設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C為常數 )目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1x

4、yy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設設)(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vv

5、CvC( C為常數 )目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數的單調性知且由反函數的連續(xù)性知 因而,)()(1

6、的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11目錄 上頁 下頁 返回 結束 1例例3. 求反三角函數及指數函數的導數求反三角函數及指數函數的導數.解解: 1) 設設,arcsinxy 那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 那么目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 設, )1,0

7、(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxln )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x小結小結:目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數 fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u 可導, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(u

8、f)0()(xxuxuufxy目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求下列導數求下列導數:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch說明說明: 類似可得類似可得;s

9、h)(chxx axxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 設設, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx考慮考慮: 假設假設)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導數?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個記號含義不同)cos(elnx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 設設, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx那么 )(arsh

10、x112x(反雙曲正弦)其他反雙曲函數的導數看參考書自推. 2eeshxxx的反函數雙曲正弦目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 1. 常數和基本初等函數的導數 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x目錄 上頁 下頁

11、 返回 結束 2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數 )0( v3. 復合函數求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數在定義區(qū)間內可導初等函數在定義區(qū)間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其他公式用求導法則推出.且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設),0( aaaxy

12、xaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化簡后求導目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx關鍵關鍵: 搞清復合函數結構搞清復合函數結構 由外向內逐層求導由外向內逐層求導目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 設設求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111

13、412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結求導公式及求導法則 (見P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于 f (a) = 0，故目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求下列函數的導數求下列函數的導數解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 設設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數定義利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1