高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題9ppt課件

1、 向向 量量 代代 數(shù)數(shù)與與 空空 間間 解解 析析 幾幾 何何 習(xí)題課習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容（一向量代數(shù)（一向量代數(shù)（二空間解析幾何（二空間解析幾何向量的向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混合積向量的積向量的積向量概念向量概念（一向量代數(shù)（一向量代數(shù)1 1、向量的概念、向量的概念向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、零向量、零向量、自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負(fù)向量、負(fù)向量、平行向量、平行向量、 向徑向徑.2 2、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算加、減、數(shù)乘加、減、數(shù)乘3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的分解式：向量的分解

2、式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：模、方向余弦的坐標(biāo)表示式模、方向余弦的坐標(biāo)表示式4 4、數(shù)量積、向量積、混合積、數(shù)量積、向量積、混合積各種積的坐標(biāo)表達(dá)式各種積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量平行、垂直的條件兩向量平行、垂直的條件直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系（二空間解析幾何（二空間解析幾何1 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系2 2、

3、曲面、曲面旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面、 柱面、柱面、 二次曲面二次曲面3 3、空間曲線、空間曲線4 4、平面、平面5 5、空間直線、空間直線線面關(guān)系、線線關(guān)系、夾角、點(diǎn)到線面的距離線面關(guān)系、線線關(guān)系、夾角、點(diǎn)到線面的距離兩直線共面的條件兩直線共面的條件1111111:pzznyymxxL 2222222:pzznyymxxL 共面共面)(2121ssMM )(2121ssMM 0222111121212 pnmpnmzzyyxx6 6、平面束、平面束21ss 1s2s1M2M1L2L二、典型例題二、典型例題例例1 1解解共共面面且且，使使，求求一一單單位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbi

4、a,22,2000 ,0kzj yi xn 設(shè)設(shè)由題設(shè)條件得由題設(shè)條件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2設(shè)設(shè)ABC 的三邊的三邊cABbCAaBC ,三邊中點(diǎn)分別為三邊中點(diǎn)分別為 D、E、F 試用試用cba,表示表示CFBEAD,并證明并證明0 CFBEAD證證ABCDEFBCABAD21 ac21 CABCBE21 ba21 ABCACF21 cb21 CFBEAD )(23cba 0 例例3知知2, ADBbACaAB證明證明2|2|bbabaBAD 的面積的面積 的面積最大的面積最大的夾角為何值時(shí)，的夾角為何值時(shí)，

5、當(dāng)當(dāng)BADba ,證證 ADCBBDADSBAD 21 sin|cos|21aa 2sin|412 a而而 cos| baba sin| baba2|2|bbaba 222|2sincos| |bba 2sin|412 a2|2|bbabaSBAD 因因 2cos|212adds 令令0 dds得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn))2, 0(4 而而424222sin| adsd0|2 a4 時(shí)時(shí)BADS 面積最大面積最大)|41(2a 例例4設(shè)設(shè))27()4( , )57()3(babababa 求求的的夾夾角角與與ba解解由題設(shè)知由題設(shè)知0)57()3( baba0)27()4( baba0|1516|7

6、22 bbaa0|830|722 bbaa兩式相減得兩式相減得2|2346bba 2|21bba 代入前式有代入前式有|ba 故故|),cos(bababa 21|2| ab321arccos),( ba例例5已知向量已知向量 2 , 1 , 2,3 , 2, 1,1 , 3, 2 cba求與求與ba,同時(shí)垂直，且在同時(shí)垂直，且在c上投影為上投影為 1的向量的向量v解解由于由于v同時(shí)垂直于同時(shí)垂直于ba,bav /而而321132 kjibakji 57故可設(shè)故可設(shè))(batv ttt ,5,7tttcv2514 t21 而而3| c故故|Pr1ccvvjc t7 71 t故，所求向量為故，所

7、求向量為 71,75, 1v例例6 6解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由題設(shè)知由題設(shè)知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx例例7 7解解.1243:,12:

8、)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都都相相交交的的直直線線且且與與兩兩直直線線求求過過點(diǎn)點(diǎn) 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為與與設(shè)設(shè)所所求求直直線線21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線與與BAM).(00為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)故故 BMAM 即有即有,00對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之

9、得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同同在在直直線線和和點(diǎn)點(diǎn)LBM的方程為的方程為故故 L.211111 zyx例例8求過點(diǎn)求過點(diǎn))4 , 0 , 1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又與直線又與直線21311zyx 相交的直線方程相交的直線方程解解設(shè)所求直線的方向數(shù)為設(shè)所求直線的方向數(shù)為pnm,則直線方程為則直線方程為pznymx41 化成參數(shù)方程，有化成參數(shù)方程，有mtx 1nty ptz 4代入已知直線方程，得代入已知直線方程，得24131ptntmt 102,3 ntptntmt又所求直線與已知平面平行又所

10、求直線與已知平面平行ns 043 pnm（兩邊同乘以（兩邊同乘以 ）t解得解得28,19,16 ptntmt直線方程為直線方程為28419161 zyx例例9 9解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的平面束方程為的平面束方程為過直線過直線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2

11、( 例例10 求直線求直線 tztytxL85213:在三個(gè)坐標(biāo)面及平面在三個(gè)坐標(biāo)面及平面083 zyx上的投影上的投影解解分別令參數(shù)方程中的分別令參數(shù)方程中的 x , y , z 為為 0 即可得即可得直線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影方程直線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影方程過直線作一平面與已知平面垂直過直線作一平面與已知平面垂直直線的方向向量直線的方向向量 8 , 2 , 1 s已知平面的法向量已知平面的法向量 3 , 1, 1 n 1,11,14 ns即為所求平面的法向量即為所求平面的法向量又點(diǎn)又點(diǎn))5 , 1, 3( 在所求平面上在所求平面上 故所求平面的方程為故所求平面的方程為0)5()1(11)3(

12、14 zyx即即0261114 zyx已知直線在所給平面上的投影直線的方程為已知直線在所給平面上的投影直線的方程為083 zyx0261114 zyx例例1111解解.,1101:求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周繞繞直直線線zzyxL ), 1(111zyM設(shè)設(shè)直直線線上上一一點(diǎn)點(diǎn),11zy 有有位置位置到達(dá)到達(dá)旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)后),(), 1(111zyxMzyM由于高度不變由于高度不變,1zz 有有,1不不因因旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而改改變變軸軸的的距距離離到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為. 1222 zyx

13、例例12 求點(diǎn)求點(diǎn)),(111zyxM到直線到直線pzznyymxx000 的距離的距離 解一解一如下圖如下圖0MMLs所求點(diǎn)到直線的距離所求點(diǎn)到直線的距離等于平行四邊形的高等于平行四邊形的高由向量積的幾何意義得由向量積的幾何意義得|0ssMMd 222010101pnmpnmzzyyxxkji 222201012010120101pnmpmyyxxpnzzyynmyyxx 解二解二過過M作一平面作一平面L 則平面的方程為則平面的方程為0)()()(111 zzpyynxxmLMN再求直線和平面的交點(diǎn)再求直線和平面的交點(diǎn)直線的參數(shù)方程為直線的參數(shù)方程為mtxx 0ntyy 0ptzz 0代入平

14、面方程，有代入平面方程，有0)()()()(222101010 tpnmzzpyynxxm222010101)()()(pnmzzpyynxxmt 交點(diǎn)坐標(biāo)交點(diǎn)坐標(biāo)ptzzntyymtxx 020202,點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離為212212212)()()(zzyyxxd 例例13設(shè)設(shè)1111111:pzznyymxxL 和和2222222:pzznyymxxL 為異面直線為異面直線求它們之間的距離求它們之間的距離 解一解一所謂異面直線間的距離，即公垂線上兩垂足所謂異面直線間的距離，即公垂線上兩垂足之間的距離。之間的距離。由于公垂線與由于公垂線與21,LL都垂直都垂直故其方向向量為故其

15、方向向量為21sss 過過 作平行于作平行于1L2L的平面的平面1L2LMN1M2M那么那么 到平面到平面2M的距離就是所求的的距離就是所求的異面直線間的距離異面直線間的距離由于由于 為為 的法向量的法向量s的方程為的方程為0222111111 pnmpnmzzyyxx1M2M1L2L1s2s公垂線長(zhǎng)等于以公垂線長(zhǎng)等于以 為棱的平行六面為棱的平行六面體的高體的高2121,MMss記記221122112211,nmnmCpmpmBpnpnA 0)()()(111 zzCyyBxxA記記222111111pnmpnmzyxD 那么那么 到到 的距離的距離2M222222|CBADCzByAxd 2

16、22222111121212CBApnmpnmzzyyxx CBAMMss 222121|)( |底面面積底面面積平行六面體的體積平行六面體的體積 解二解二設(shè)兩垂足的坐標(biāo)分別為設(shè)兩垂足的坐標(biāo)分別為),(111111111tpztnytmxM ),(222222222tpztnytmxN 21,sMNsMN )/(21ssMN BtntnyyAtmtmxx112212112212 Ctptpzz112212 解出解出21, tt求得垂足，得求得垂足，得公垂線方程和公垂線長(zhǎng)公垂線方程和公垂線長(zhǎng) 異面直線間的距離異面直線間的距離例例14過點(diǎn)過點(diǎn) 作一直線，使和作一直線，使和 z 軸相交，且軸相交，且

17、)3 , 2, 1( B和直線和直線 垂直，求其方程垂直，求其方程22334 zyx分析分析求直線方程，或者求出直線所在的平面求直線方程，或者求出直線所在的平面得交面式方程，或者求出直線上一點(diǎn)及得交面式方程，或者求出直線上一點(diǎn)及方向向量得點(diǎn)向式方程，或者求出直線方向向量得點(diǎn)向式方程，或者求出直線上的兩點(diǎn)得兩點(diǎn)式方程上的兩點(diǎn)得兩點(diǎn)式方程解一解一用交面式用交面式直線直線 過點(diǎn)過點(diǎn) B 且與且與 L 垂直垂直L 故直線故直線 在過在過 B 且與且與 L 垂直的平面垂直的平面 內(nèi)內(nèi)1L oxyzLL B 2, 3 , 41 n0)3(2)2(3)1(4:1 zyx即即08234 zyx又又 過過B且與

18、且與z 軸相交軸相交L 故故 在由在由B 及及z 軸所組成的平面軸所組成的平面 內(nèi)內(nèi)2L kOBn 2100321 kji 0 , 1, 2 0)2()1(2:2 yx即即02 yx所求直線方程為所求直線方程為08234 zyx02 yx解二解二用點(diǎn)向式用點(diǎn)向式知知 過過B，故只須求出其方向向量，故只須求出其方向向量 L s 而而LL 故故ss 又又 過過 B 且與且與z 軸相交，軸相交，L 即即 在由在由B及及z 軸所組成的平面內(nèi)軸所組成的平面內(nèi)L 亦即亦即 共面共面kOBs, 0)( kOBs)(kOBs )(kOBss 012234 kji 1, 2, 12 所求直線方程為所求直線方程為112211 zyx解三解三用兩點(diǎn)式用兩點(diǎn)