回歸分析的基本知識(shí)點(diǎn)及習(xí)習(xí)題

1、回歸分析的基本知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題 本周難點(diǎn)：（1）求回歸直線方程，會(huì)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行回歸分析. （2）掌握回歸分析的實(shí)際價(jià)值與基本思想. （3）能運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)對(duì)具體案例進(jìn)行檢驗(yàn)與說(shuō)明. （4）殘差變量的解釋；（5）偏差平方和分解的思想；回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點(diǎn)圖（由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系），若存在線性相關(guān)關(guān)系求回歸系數(shù) 寫出回歸直線方程 ，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明.2.回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一

2、種常用方法。建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；畫好確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（線性關(guān)系）. 由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型. 按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù) （最小二乘法）；得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等. 4.殘差變量 的主要來(lái)源：（1）用線性回歸模型近似真實(shí)模型（真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型到底是什么）所引起的誤差?？赡艽嬖诜蔷€性的函數(shù)能夠更好地描述 與 之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來(lái)表述這種關(guān)系，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤差包含

3、在 中。（2）忽略了某些因素的影響。影響變量 的因素不只變量 一個(gè)，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個(gè)因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在 中。（3）觀測(cè)誤差。由于測(cè)量工具等原因，得到的 的觀測(cè)值一般是有誤差的（比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的觀測(cè)值，它們與真實(shí)值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在 中。上面三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講1為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)調(diào)查了10個(gè)家庭，得數(shù)

4、據(jù)如下：家庭編號(hào)12345678910xi（收入）千元yi（支出）千元（1）判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關(guān)（2）若二者線性相關(guān)，求回歸直線方程.解 （1）作出散點(diǎn)圖： 觀察發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在一條直線附近，所以二者呈線性相關(guān)關(guān)系. （2）= +=,=（+）=， = 6，= 6 3，回歸方程= 6x+ 3.2下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù). x3456y34（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=x+；（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

5、為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤解 （1）散點(diǎn)圖如下圖: （2）=,=3×+4×3+4×5+6×=.=32+42+52+62=86= =-=所求的線性回歸方程為=+.（3）現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤y=×100+=，降低=(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤.3科研人員為了全面掌握棉花新品種的生產(chǎn)情況，查看了氣象局對(duì)該地區(qū)年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位分別是mm,)，并作了統(tǒng)計(jì).年平均氣溫年降雨量748542507813574701432（1）試畫出散點(diǎn)圖；（2）判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系

6、.解 （1）作出散點(diǎn)圖如圖所示，(2)由散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以兩個(gè)變量是非線性相關(guān)關(guān)系.4在研究硝酸鈉的可溶性程度時(shí)，對(duì)于不同的溫度觀測(cè)它在水中的溶解度，得觀測(cè)結(jié)果如下： 溫度(x)010205070溶解度（y)由資料看y與x呈線性相關(guān)，試求回歸方程.解 =30,=.= 9.=-= 9×30=.回歸方程為= 9x+.5.某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下：月份產(chǎn)量（千件）單位成本（元）127323723471437354696568（1）求出線性回歸方程；（2）指出產(chǎn)量每增加1 000件時(shí)，單位成本平均變動(dòng)多少（3）假定產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本為多少元解

7、（1）n=6，=21，=426，=,=71,=79，=1 481，=.=-=71+×=.回歸方程為=+x=（2）因?yàn)閱挝怀杀酒骄儎?dòng)=0,且產(chǎn)量x的計(jì)量單位是千件,所以根據(jù)回歸系數(shù)b的意義有:產(chǎn)量每增加一個(gè)單位即1 000件時(shí),單位成本平均減少元.(3)當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí),即x=6,代入回歸方程:=（元）當(dāng)產(chǎn)量為6 000件時(shí)，單位成本為元.1.觀察下列散點(diǎn)圖，則正相關(guān)；負(fù)相關(guān)；不相關(guān).它們的排列順序與圖形對(duì)應(yīng)順序是 .答案 a,c,b2.回歸方程=,則下列說(shuō)法正確的有 個(gè).=15是回歸系數(shù)a是回歸系數(shù)ax=10時(shí)，y=0答案 13.（2009.湛江模擬）某地區(qū)調(diào)查了29歲兒童的

8、身高，由此建立的身高y(cm)與年齡x(歲)的回歸模型為=+,下列敘述正確的是 .該地區(qū)一個(gè)10歲兒童的身高為 cm該地區(qū)29歲的兒童每年身高約增加 cm該地區(qū)9歲兒童的平均身高是 cm利用這個(gè)模型可以準(zhǔn)確地預(yù)算該地區(qū)每個(gè)29歲兒童的身高答案 4.某人對(duì)一地區(qū)人均工資x(千元）與該地區(qū)人均消費(fèi)y(千元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，y與x有相關(guān)關(guān)系，得到回歸直線方程=+.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為千元，估計(jì)該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為 .答案 83%5.某化工廠為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)取8對(duì)觀測(cè)值,計(jì)算,得=52, =228, =478, =1 84

9、9,則其線性回歸方程為 .答案 =+6.有下列關(guān)系：人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；森林中的同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系.其中，具有相關(guān)關(guān)系的是 .答案 7.已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元），有如下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y若y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線方程=x+表示的直線一定過(guò)定點(diǎn) .答案 （4，5）二、解答題8.期中考試結(jié)束后，記錄了5名同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，如下表： 學(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462（1）數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有相關(guān)關(guān)系嗎

10、（2）請(qǐng)你畫出兩科成績(jī)的散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖，認(rèn)識(shí)（1）的結(jié)論的特點(diǎn).解 （1）數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有相關(guān)關(guān)系.（2）以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī)，y軸表示物理成績(jī)，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出，物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不分散，大致分布在一條直線附近.9.以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x（m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬(wàn)元）22（1）畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；（2）求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線.解 （1）數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：（2）=109,=,=60 975,=12 952,= 2=- 2= 2x+ 2.10.某公司利潤(rùn)y與銷售

11、總額x(單位：千萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x10151720252832y12（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸直線方程；（3）估計(jì)銷售總額為24千萬(wàn)元時(shí)的利潤(rùn).解 （1）散點(diǎn)圖如圖所示：（2)=(10+15+17+20+25+28+32)=21,=(1+2+=,=102+152+172+202+252+282+322=3 447,=10×1+15×+17×+20×2+25×+28×+32×=,=,=-=把x=24(千萬(wàn)元）代入方程得，=（千萬(wàn)元）.估計(jì)銷售總額為24千萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為千萬(wàn)元.11某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(

12、單位：百萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):x24568y3040605070（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求回歸直線方程；（3）試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10百萬(wàn)元時(shí)，銷售額多大解 （1）根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如下：（2）列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，=5,= =50,=145, =13 500, =1 380.于是可得：=;=-=×5=.因此，所求回歸直線方程為：=+.（3）根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當(dāng)廣告費(fèi)支出為10百萬(wàn)元時(shí)，=×10+=(百萬(wàn)元)，即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為百萬(wàn)元.獨(dú)立

13、性檢驗(yàn)的基本知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題本周內(nèi)容： 一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量 來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。2.判斷結(jié)論成立的可能性的步驟：（1）通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（2）可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。二、例題選講例1.為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 患病不患病合計(jì)吸煙43162205不吸煙13121134合計(jì)56283339試問(wèn)：50歲

14、以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎分析：最理想的解決辦法是向所有50歲以上的人作調(diào)查，然后對(duì)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，但這花費(fèi)的代價(jià)太大，實(shí)際上是行不通的，339人相對(duì)于全體50歲以上的人，只是一個(gè)小部分，已學(xué)過(guò)總體和樣本的關(guān)系，當(dāng)用樣本平均數(shù)，樣本方差去估計(jì)總體相應(yīng)的數(shù)字特征時(shí)，由于抽樣的隨機(jī)性，結(jié)果并不唯一?，F(xiàn)在情況類似，我們用部分對(duì)全體作推斷，推斷可能正確，也可能錯(cuò)誤。如果抽取的339個(gè)調(diào)查對(duì)象中很多人是吸煙但沒(méi)患慢性氣管炎，而雖不吸煙因身體體質(zhì)差而患慢性氣管炎，能夠得出什么結(jié)論呢我們有95%（或99%）的把握說(shuō)事件 與事件 有關(guān)，是指推斷犯錯(cuò)誤的可能性為5%（或1%），這也常常說(shuō)成是

15、“以95%（或99%）的概率”是一樣的。解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得 。因?yàn)?，所以我們有99%的把握說(shuō)：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。例2甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表：班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表 優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過(guò)圖形判斷成績(jī)與班級(jí)是否有關(guān)；利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)，認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率是多少。解：列聯(lián)表的條形圖如圖所示：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀察值為k>。由下表中數(shù)據(jù)P（K2k）k得：P(K2，從而有50%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，即斷言“

16、成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率為。評(píng)注：（1）畫出條形圖后，從圖形上判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系。這里通過(guò)圖形的直觀感覺(jué)的結(jié)果可能會(huì)出錯(cuò)。（2）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值比較小，所以沒(méi)有理由說(shuō)明“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系”。這與反證法也有類似的地方，在使用反證法證明結(jié)論時(shí)，假設(shè)結(jié)論不成立的條件下如果沒(méi)有推出矛盾，并不能說(shuō)明結(jié)論成立也不能說(shuō)明結(jié)論不成立。在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，在假設(shè)“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)沒(méi)有關(guān)系”的情況下，計(jì)算得到的K2的值比較小，且P(K2，說(shuō)明事件(K2不是一個(gè)小概率事件，這個(gè)事件的發(fā)生不足以說(shuō)明“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)沒(méi)有關(guān)系”，即沒(méi)有理由說(shuō)明“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系”。這里沒(méi)有推出小概率事件發(fā)生類

17、似于反證法中沒(méi)有推出矛盾。例3為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)列表：藥物效果與動(dòng)物試驗(yàn)列聯(lián)表 患病未患病總計(jì)服用藥104555沒(méi)服用藥203050總計(jì)3075105請(qǐng)問(wèn)能有多大把握認(rèn)為藥物有效解： 假設(shè)“服藥情況與是否患病之間沒(méi)有關(guān)系”，則K2的值應(yīng)比較?。蝗绻鸎2的值很大，則說(shuō)明很可能“服藥情況與是否患病之間有關(guān)系”。由題目中所給數(shù)據(jù)計(jì)算，得K2的觀測(cè)值為k，而P(K2，所以有%的把握認(rèn)為“服藥情況與是否患病之間有關(guān)系”，即大約有%的把握認(rèn)為藥物有效。例4在一次惡劣氣候的飛行航程中調(diào)查男女乘客在機(jī)上暈機(jī)的情況如下表所示，根據(jù)此資料你是否認(rèn)為在惡劣氣候中男人比女人更容

18、易暈機(jī) 暈機(jī)不暈機(jī)合計(jì)男人243155女人82634合計(jì)325789分析：這是一個(gè) 列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)求解。解：由條件中數(shù)據(jù)，計(jì)算得： ，因?yàn)?，所以我們沒(méi)有理由說(shuō)暈機(jī)是否跟男女性別有關(guān)，盡管這次航班中男人暈機(jī)的比例 比女人暈機(jī)的比例 高，但我們不能認(rèn)為在惡劣的氣候飛行中男人比女人更容易暈機(jī)。評(píng)注：在使用 統(tǒng)計(jì)量作 列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，要求表中的4個(gè)數(shù)據(jù)大于等于5，為此，在選取樣本的容量時(shí)一定要注意這一點(diǎn)，本例中的4個(gè)數(shù)據(jù)都大于5，且滿足這一要求的。例5在對(duì)人們休閑的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè) 的列