最優(yōu)捕魚策略

1、最優(yōu)捕魚策略摘要為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源如漁業(yè)、林業(yè)資源等的開發(fā)必須適度。而在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中,我們要使商業(yè)活動(dòng)在一段時(shí)期內(nèi)到達(dá)最大收益,因此我們要合理的開發(fā)資源，這時(shí),我們不僅要考慮商業(yè)活動(dòng)的當(dāng)前經(jīng)濟(jì)效益,還要考慮生態(tài)效益及由此產(chǎn)生的對(duì)整體經(jīng)濟(jì)效益的影響。本文就是對(duì)漁業(yè)這類可再生資源的開發(fā)問題進(jìn)行研究，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解。對(duì)于問題一，我們考慮漁場(chǎng)生產(chǎn)過程中的各年齡組魚群數(shù)量的制約因素，將其分為兩大類，第1,2齡魚群為一類，該魚群數(shù)量變化在一年內(nèi)只受自然死亡率制約，寫出魚群數(shù)量滿足的微分方程；第3,4齡魚群為一類，其數(shù)量變化在前8個(gè)月受捕撈強(qiáng)度和自然死亡率影響，后4個(gè)月

2、只受自然死亡率的制約，分階段寫出寫出魚群數(shù)量滿足的微分方程；根據(jù)微分方程，求出在某時(shí)刻各魚群的數(shù)量表達(dá)式類似于人口增長(zhǎng)模型。因?yàn)椴稉剖沁B續(xù)的，所以任意一個(gè)時(shí)刻的捕撈量為捕撈強(qiáng)度乘以魚群的數(shù)量，又捕撈只在前8個(gè)月進(jìn)行，那么年捕撈量為前8個(gè)月各時(shí)刻魚群數(shù)量的積分。最后建立年總捕撈量的函數(shù)與生產(chǎn)過程中滿足的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃模型，利用lingo和matlab軟件分別求解。對(duì)于問題二，題中已給出各年齡組魚群的初始值，我們利用問題一中所得到的迭代方程，可迭代地求出第i年初各年齡組魚群的數(shù)量；再根據(jù)問題一中的捕撈量表達(dá)式，可寫出5年的捕撈總量表達(dá)式，以5年捕撈總量最大為前提，利用matlab軟件求解

3、出此時(shí)的捕撈強(qiáng)度，然后再驗(yàn)證在此捕撈強(qiáng)度下會(huì)不會(huì)使5年后魚群的生產(chǎn)能力有太大的破壞。最后，我們得出以下結(jié)論：可持續(xù)捕獲條件下，捕撈強(qiáng)度為17.36292時(shí)，到達(dá)最大捕撈總質(zhì)量g； 5年后魚群的生產(chǎn)能力不會(huì)有太大的破壞條件下，捕撈強(qiáng)度為，到達(dá)最大最大捕撈總質(zhì)量關(guān)鍵詞：漁業(yè) 最大收益 捕撈策略 生產(chǎn)能力 生長(zhǎng)率 lingo matlab一問題重述生態(tài)學(xué)說明，對(duì)可再生資源的開發(fā)策略應(yīng)在事先可持續(xù)收獲的前提下追求最大經(jīng)濟(jì)效益，考慮具有4個(gè)年齡組：1齡魚，4齡魚的某種魚。該魚類在每年后4個(gè)月季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖。而按規(guī)定，捕撈作業(yè)只允許在前8個(gè)月進(jìn)行，每年投入的捕撈能力固定不變，單位時(shí)間捕撈量與各年齡組魚

4、群條數(shù)的比例稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。使用只能捕撈3，4齡魚的13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)比為0.42：1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。該魚群本身有如下數(shù)據(jù)：各年齡組魚的自然死亡率為0.81/年，其平均質(zhì)量分別為5.07，11.55，17.86，22.99單位：g；1，2齡魚不產(chǎn)卵，平均每條4齡魚產(chǎn)卵量為個(gè)，3齡魚為其一半；卵孵化的成活率為n為產(chǎn)卵總量；有如下問題需要解決：1.1 問題一就是在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變)的前提下，用固定努力量的捕撈方式，確定捕撈策略以得到最大捕撈總質(zhì)量。1.2問題二就是給出了承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量，要求5年后魚群的生產(chǎn)

5、能力不會(huì)有太大的破壞，在用固定努力量的捕撈方式的前提下，確定捕撈策略，求出最大捕撈總質(zhì)量。綜上所述，原問題實(shí)質(zhì)上是給出了各年齡組魚群之間數(shù)量的變化規(guī)律，并給出了它們的自然死亡率及捕撈和產(chǎn)卵的時(shí)間分布，并固定3、4齡魚捕撈能力的比值，要求選擇一定的捕撈能力系數(shù)，使得各年齡組魚的數(shù)量在各年開始的第一天條數(shù)不變第一問，5年后魚群的生產(chǎn)能力不會(huì)有太大的破壞第二問，并在此條件下，求到最大捕獲量。二符號(hào)說明三模型假設(shè)1這種魚在一年內(nèi)的任何時(shí)間都會(huì)發(fā)生自然死亡，即死亡是一個(gè)連續(xù)的過程。2捕撈也是一個(gè)連續(xù)的過程，不是在某一時(shí)刻突然發(fā)生。31、2齡魚體形太小，不能被捕。43、4齡魚在一年中的后4個(gè)月的第一天集中

6、一次產(chǎn)卵5i齡魚到來年分別長(zhǎng)一歲成為i+1齡魚，i=1，2，3，其中上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚四模型的建立與求解4.1問題分析. 對(duì)題中一些術(shù)語的解釋：l 對(duì)自然死亡率的理解：此題中給出的魚的自然死亡率是指平均死亡率，即單位時(shí)間魚群死亡數(shù)量與現(xiàn)有魚群數(shù)量的比例系數(shù)，它與環(huán)境等其它外在因素?zé)o關(guān)；這是一個(gè)有量綱的量，它既不是簡(jiǎn)單的百分率又不是簡(jiǎn)單的變化速率，實(shí)際上它是百分比率的變化率。它應(yīng)該理解為以每年死亡80%的速率減少，并不是在一年內(nèi)恰好死亡80%。另一方面，魚群的數(shù)量是連續(xù)變化的，且1，2齡魚在全年及3，4齡魚在后4個(gè)月的數(shù)量只與死亡率有關(guān)。由此可知，各齡魚的變化滿足： l 對(duì)捕撈強(qiáng)度

7、系數(shù)的理解：捕撈強(qiáng)度系數(shù)是單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)的比例系數(shù)，單位時(shí)間4齡魚捕撈量與4齡魚群總數(shù)成正比，捕撈強(qiáng)度系數(shù)是一定的，且只在捕撈期內(nèi)即每年的前8個(gè)月捕撈3，4齡魚。所以，捕撈強(qiáng)度系數(shù)k影響了3，4齡魚在捕撈期內(nèi)的數(shù)量變化：那么有 l 對(duì)卵的成活率的理解：1，2齡魚不產(chǎn)卵，3，4齡魚在每年的后四個(gè)月產(chǎn)卵，我們假設(shè)了在9月初一次產(chǎn)卵，因此可將每年的產(chǎn)卵量n表示為： . 問題一分析：對(duì)于問題一，要實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲，即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變，因此我們要算出每年初各齡魚組的數(shù)量。中已對(duì)自然死亡率，捕撈強(qiáng)度系數(shù)和卵成活率作出了解釋，即1，2齡魚僅受自然死亡率的影響；而3，

8、4齡魚不僅受自然死亡率的影響，還受捕撈強(qiáng)度系數(shù)的影響；因?yàn)樵摲N魚的最高壽命為4，所以在后四月中4齡魚都不存活；，而對(duì)于1齡魚的數(shù)量，是3，4齡魚在前年的后4年產(chǎn)卵所存活下來的數(shù)量；對(duì)于捕撈量，題中規(guī)定只在1到8月才能捕撈，而且1，2齡魚不被捕撈，所以主要來源于對(duì)3，4齡魚的捕撈。根據(jù)這些關(guān)系可列出一系列的方程，其中捕撈量作為目標(biāo)函數(shù)，其他的作為約束條件，建立一個(gè)非線性規(guī)劃模型，再然后用lingo軟件和matlab軟件進(jìn)行求解。. 問題二分析：對(duì)于問題二，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞，又要使總收益最高，這就有可能發(fā)生滿足了前者滿足不了后者之類的情況。我們處理方法是先確定一個(gè)策略使

9、其收益最高，再檢驗(yàn)此捕魚策略是否能保證5年后魚群的生產(chǎn)能力不受到太大的破壞，假設(shè)它讓魚群的生產(chǎn)能力受到了嚴(yán)重破壞，我們?cè)偾罅硗庖环N策略。但從理論分析可知，5年后將在魚群盡可能接近可持續(xù)魚群的情況下來使捕撈量到達(dá)最大。對(duì)于破壞大小，我們采用1齡魚群數(shù)量變化率來衡量，即以第六年初1齡魚群數(shù)量的變化量與承包時(shí)魚群數(shù)量初值之比表示，因?yàn)?，3，4齡魚群的數(shù)量在很大程度上受承包初1齡魚影響，根據(jù)關(guān)系，可以知道5年后2，3，4齡魚群的數(shù)量肯定會(huì)有較大變化。只要該比值小于5%，我們就認(rèn)為魚群的生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞。題中已經(jīng)給了我們各年齡組的初始值，而問題一中也已得出一組迭代方程，我們利用這些迭代方程，求

10、出各年的魚量分布；同樣可以根據(jù)問題一中捕撈量的表達(dá)式求出5年的總捕撈量，以此來確定我們的最優(yōu)捕撈策略。再然后我們通過驗(yàn)證來確定其5年后魚群的生產(chǎn)能力有沒有受到太大破壞。4.2模型建立 問題一模型1由中對(duì)自然死亡率的理解中的1式，可知1，2齡魚的生長(zhǎng)只受自然死亡率的影響，由此可知1，2齡魚的生長(zhǎng)的微分方程滿足方程1： T年的i齡魚在T+1年變?yōu)閕+1齡魚， 2而對(duì)于3，4齡魚的生長(zhǎng)，在前八個(gè)月，他們的生長(zhǎng)不僅受自然生長(zhǎng)率的影響，還受捕撈強(qiáng)度系數(shù)的影響，而后四個(gè)月僅受自然生長(zhǎng)率的影響。我們以一年為一個(gè)時(shí)間單位，那么這一時(shí)間單位可以分為兩個(gè)階段，見圖1： 0 2/3 1I：捕撈期II：產(chǎn)卵期圖1因此

11、，. 前八個(gè)月3、4齡魚生長(zhǎng)的微分方程滿足： 由于每年的捕撈只在1到8月進(jìn)行，并且只能捕到3，4齡魚，所以任意一個(gè)時(shí)刻的捕撈量為，那么年捕撈量為： . 后四個(gè)月3、4齡魚生長(zhǎng)的微分方程滿足方程1： 所以年初1齡魚的總量 3根據(jù)以上分析，我們可以建立非線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 問題二模型針對(duì)漁業(yè)公司的5年捕撈方案，我們利用已得到的迭代方程在各個(gè)年齡組的魚的初始值的前提下，可迭代求出各齡魚群第i年的魚量的分布的函數(shù)。整個(gè)生存過程滿足的關(guān)系式為同時(shí)寫出目標(biāo)函數(shù)： 4.3模型求解問題一求解.1由中的3，我們可將目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為：目標(biāo)函數(shù)為：約束條件：.2然后我們利用lingo軟件和

12、matlab軟件分別進(jìn)行求解。1lingo 程序：附錄1直接運(yùn)行，輸出結(jié)果為：Local optimal solution found at iteration: 92 Objective value: 0.3887076E+12 Variable Value Reduced Cost K 17.36292 -1.034723 N 0.6078067E+13 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3887076E+12 1.000000 2 0.000000 0.1258406E-022matlab程序：附錄2首先，建立fun1.m、max1

13、.m、1.m、picture.m文件，運(yùn)行picture.m文件，畫出n關(guān)于k的圖像：由圖像，我們看出 ，這與事實(shí)是相符的。然后，在命令窗口中輸入1.m文件中命令，運(yùn)行出結(jié)果我們觀察到，因此，我們改變k的取值區(qū)間即步長(zhǎng)，建立了文件2.m、3.m，從而求得更精確的結(jié)果。從運(yùn)行結(jié)果看：k =17.3000或k =17.4000，取最大值f =3.8871e+011最后，建立主程序3.m 程序見附錄2從運(yùn)行結(jié)果看：，f =3.8871e+011問題一所求結(jié)果為：.3結(jié)果分析3齡魚的捕撈強(qiáng)度為7.29/年；4齡魚的捕撈強(qiáng)度為17.36/年：最優(yōu)可持續(xù)捕撈量,可持續(xù)捕撈的魚群大小條數(shù)：1齡 2齡 3齡

14、4齡分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，4齡魚在年末存活的數(shù)量占全部數(shù)量的比例相對(duì)很小。問題二求解.1將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為：其中這樣max就變?yōu)殛P(guān)于k的函數(shù)，易于求解。.2 用matlab軟件求解1、利用matlab軟件，建立fun.m文件(見附錄3)；2、首先，我們對(duì)，建立main.m主程序見附錄3 根據(jù)運(yùn)行結(jié)果，我們觀察到，其中，接著，改變k的取值區(qū)間及范圍，建立主程序main1.m,main2.m，求解出更精確的結(jié)果。運(yùn)行結(jié)果分析：，f =1.6056e+012問題二所求結(jié)果為：.3、驗(yàn)證5年后魚群的生產(chǎn)能力有沒有受到太大破壞迭代求得第六年初各齡魚群的數(shù)量為： 第一年各齡魚群的數(shù)量為 第六年1齡魚數(shù)量占第一年1齡

15、魚數(shù)量的比例為：.4、結(jié)果分析捕撈強(qiáng)度在區(qū)間17.5，17.8內(nèi)時(shí)因?yàn)殡娔X精確度問題，暫時(shí)只能精確到這一區(qū)間，總捕撈量到達(dá)最大值。在這種捕撈強(qiáng)度下，5年后1齡魚數(shù)量占第一年1齡魚數(shù)量的比例為98%，即可認(rèn)為生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞。因此，求解出的結(jié)果即為最優(yōu)捕魚策略。五模型的評(píng)價(jià)我們采用了非線性規(guī)劃的思想建立模型，通過求解有約束的非線性最大值問題，找到一組最優(yōu)解。問題一，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變)的前提下，用固定努力量的捕撈方式，確定捕撈策略以得到最大捕撈總質(zhì)量。我們結(jié)合人口增長(zhǎng),地中海鯊魚模型，用微分、積分的方法來分析每年各齡魚的數(shù)量，建立每年捕撈量的方程

16、，用lingo軟件與matlab軟件分別求解，兩個(gè)結(jié)果誤差很小，肯定了結(jié)果的正確性。問題二，所求模型為五年五組類似問題一的模型魚群生長(zhǎng)模型的組合。由于所給的初始魚群并不是可持續(xù)捕撈的魚群，為了在五年內(nèi)既得到最大的收益，又不破壞魚群的生產(chǎn)能力，即五年后在到達(dá)產(chǎn)量最高的條件下使得魚群盡量接近可持續(xù)捕撈魚群。我們?cè)谖迥陜?nèi)以同樣的強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)固定努力量的捕撈。對(duì)于每年每條齡魚在每個(gè)時(shí)刻的條數(shù)，我們可以用算法迭代求解出n年的條數(shù)，從而比較第六年年初與初始時(shí)刻條數(shù)的差值，得出生產(chǎn)能力的破壞度不顯著。本模型采用連續(xù)模型的方法，成功地解決了可持續(xù)捕撈問題，得到了較為精確且合理的結(jié)果。六模型的改進(jìn)我們知道，原題中沒

17、有說明四齡以上的魚如何處理。我們假設(shè)的是上一年存活下來的4齡魚仍是4齡魚，而事實(shí)上還可以假設(shè)這種魚只活到4齡，以后它就死掉了。這對(duì)模型沒有太大的差異，只是我們所做的假設(shè)的分析計(jì)算稍復(fù)雜，但計(jì)算結(jié)果也只是稍有差異，在我們模型的根底上，我們可以假設(shè)魚只能活到4齡，這樣計(jì)算更簡(jiǎn)便一些。目標(biāo)函數(shù)：約束條件：我們可將上面的目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為：目標(biāo)函數(shù)為：約束條件：用lingo軟件進(jìn)行求解，算法見附錄4：lingo2算法直接運(yùn)行得:Local optimal solution found. Objective value: 0.3887076E+12 Extended solver steps: 5

18、 Total solver iterations: 209 Variable Value Reduced Cost K 17.36293 0.000000 N 0.6078058E+13 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3887076E+12 1.000000 2 0.000000 0.1258410E-02即而以我們的假設(shè)算得出的結(jié)果為兩個(gè)結(jié)果相差甚小，但改進(jìn)的模型計(jì)算非常簡(jiǎn)便。七參考文獻(xiàn)趙靜，但琦,?數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第3版?高等教育出版社姜啟源、謝金星、葉俊,?數(shù)學(xué)模型第三版?高等教育出版社，2003 劉來福，?最優(yōu)捕魚策略問題答

19、案評(píng)述?，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1997年1月八附錄附錄1：lingo1算法：max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)+22.99*k/(0.8+k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-0.28*k-2.4)/(1-exp(-2/3*k-0.8)*(1-exp(-2/3*(0.8+k);n=1.22*1011*(1.109*105*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1

20、-exp(-2/3*k-0.8)-1);附錄2：用matlab求解，算法如下：picture1.mk=linspace(1,20,20);n=1.22*1011*(1.109*105*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)-1);plot(k,n)fun1.m文件:function n=fun1(k)n=1.22*1011*(1.109*105*(0.5*exp(-0.28*k-6.4/3)+exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3)/(1-exp(-2/3*k-0.8)-1)max1.m文件

21、:function y=max1(n,k)y=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-1.6)*(1-exp(-2/3*(0.8+0.42*k)+22.99*k/(0.8+k)*1.22*1011/(1.22*1011+n)*n*exp(-0.28*k-2.4)/(1-exp(-2/3*k-0.8)*(1-exp(-2/3*(0.8+k)我們對(duì)，主程序1.m：for k=1:1:20 n=fun1(k); f=max1(n,k); k fend主程序2.m：for k=17:0.1:18 n=fun1(k); f=max

22、1(n,k); k fend主程序3.m：for k=17.3:0.01:17.4 n=fun1(k); f=max1(n,k); k fend附錄3：fun.m文件:function y=fun(k3,k,m,l1,l2,l3)m1=10.1*109+29.7*109*exp(-0.8)+122*109*exp(-1.6)+l1*exp(-1.6)+l2*exp(-1.6);m21=3.29*109+10.1*109*exp(-(0.8+2/3*k3)+3.29*109*exp(-(0.8+2/3*k)+29.7*109*exp(-(1.6+2/3*k3)+l3*exp(-(0.8+2/3*

23、k)+122*109*exp(-(2.4+2/3*k3)+l3*exp(-2*(0.8+2/3*k)+29.7*109*exp(-(2.4+2/3*k3+2/3*k);m22=l1*exp(-(2.4+2/3*k3)+122*109*exp(-(3.2+2/3*k3+2/3*k)+29.7*109*exp(-(3.2+2/3*k3+4/3*k)+l3*exp(-3*(0.8+2/3*k);y=17.86*k3*(1-exp(-(0.8+k3)*2/3)*m1/(0.8+k3)+22.99*k*(1-exp(-(0.8+k)*2/3)*(m21+m22)/(0.8+k);main.mfor k=

24、0:1:20 m=1.109*105; k3=0.42*k; a=29.7*109*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3)+10.1*109*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k)+3.29*109*exp(-1/3*(4+4/3*k); l1=1.22*1011*m*(10.1*109*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3)+3.29*109*exp(-2/3*(0.8+k)/(1.22*1011+m*(10.1*109*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3)+3.29*109*exp(-2/3*(0.8+k); l2=1.22*1011*m*a/(1.22*1011+m

25、*a); l3=10.1*109*exp(-(0.8+2/3*k3)+3.29*109*exp(-(0.8+2/3*k); y=fun(k3,k,m,l1,l2,l3); k yendmain1.mfor k=17:0.1:18 m=1.109*105; k3=0.42*k; a=29.7*109*0.5*exp(-1/3*(4+2*k3)+10.1*109*exp(-(4/3+2/3*k3+2/3*k)+3.29*109*exp(-1/3*(4+4/3*k); l1=1.22*1011*m*(10.1*109*0.5*exp(-2/3*(0.8+k3)+3.29*109*exp(-2/3*(0.8+k)/(1.22*1011+m*(10.1*109*0.5*e