第4章機械振動

1、第第 4 章章 機械振動機械振動1. 簡諧振動的運動特征與能量特征；簡諧振動的運動特征與能量特征；2. 拍現(xiàn)象，相互垂直簡諧振動的合成；拍現(xiàn)象，相互垂直簡諧振動的合成；3. 阻尼振動、受迫振動和共振。阻尼振動、受迫振動和共振。1. 簡諧振動的動力學方程；簡諧振動的動力學方程； 2. 簡諧振動的運動學方程；簡諧振動的運動學方程； 3. 旋轉矢量法；旋轉矢量法；4. 同方向、同頻率諧振動的合成規(guī)律。同方向、同頻率諧振動的合成規(guī)律。掌握：掌握：了解：了解： 物體所受合外力的方向指向固定點；物體所受合外力的方向指向固定點； 離開固定點越遠所受合外力越大，越近越小。離開固定點越遠所受合外力越大，越近越小

2、。最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動 振動振動 ？物體在某固定位置附近作周期性的往返運動。物體在某固定位置附近作周期性的往返運動。 具體彈性的系統(tǒng)受到外界擾動。具體彈性的系統(tǒng)受到外界擾動。振動產(chǎn)生的原因：振動產(chǎn)生的原因：任一物理量在某一數(shù)值附近往復變化。任一物理量在某一數(shù)值附近往復變化。 廣義振動廣義振動推廣：推廣：簡單振動簡單振動？物體圍繞固定點作一維直線振動。物體圍繞固定點作一維直線振動。必然要受到必然要受到回復力回復力的作用。的作用。xFx回復力與回復力與x最簡單的關系是線性關系：最簡單的關系是線性關系：F = -kxox4-1 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征 F復雜振動

3、復雜振動簡諧振動簡諧振動合成合成分解分解如：如：F = -kx線性回復力線性回復力：作簡諧振動：作簡諧振動設物體質量為設物體質量為m，則它作簡諧振動的，則它作簡諧振動的動力學方程動力學方程為：為：令令 ，得振子，得振子簡諧振動微分方程簡諧振動微分方程：2k =mF = ma222d x+ x = 0dtx = Acos(t +)其解為簡諧振動的其解為簡諧振動的運動學方程運動學方程注意：注意：“位移位移x”既可以為既可以為線量線量，也可以為，也可以為角量角量 等。等。式中式中A、 、 為常量，為常量， 其中其中A、 可由初始條件確定?？捎沙跏紬l件確定。 （振動方程振動方程）：）：作簡諧振動的物體

4、，它的位移作簡諧振動的物體，它的位移x隨時間隨時間t按余弦（或正按余弦（或正 弦）規(guī)律變化。弦）規(guī)律變化。判斷簡諧振動的標準之一判斷簡諧振動的標準之一!22d xm= -kxdt 由振動方程可以得到物體（諧振子或振子）的速度與加速由振動方程可以得到物體（諧振子或振子）的速度與加速度，分別為：度，分別為： x = Acos(t+)00 x = Acos v = -Asin注意：注意： 還應結合初始條件還應結合初始條件共同確定。共同確定。初始條件：初始條件： (t=0)vdx=dt22ad x=dt速度：速度：加速度：加速度：22002vA =x+= -Asin(t +)= Acos(t + +)

5、22= - Acos(t +)2= Acos(t + )00vtan = -x 選靜止平衡位置為坐標原點選靜止平衡位置為坐標原點o，平衡時：平衡時：一、幾種常見的簡諧振動系統(tǒng)一、幾種常見的簡諧振動系統(tǒng) 水平放置的彈簧振子系統(tǒng)水平放置的彈簧振子系統(tǒng)振子受力：振子受力：mkxF是一個是一個理想的系統(tǒng)模型理想的系統(tǒng)模型！ 是線性回復力是線性回復力F = -kx有位移有位移x時，彈簧諧振子受力為：時，彈簧諧振子受力為：0F = mg-k(+x)l0mg = k l 豎直懸掛的彈簧振子系統(tǒng)豎直懸掛的彈簧振子系統(tǒng)mkox0lxo不記空氣阻力、摩擦力、彈簧質量。不記空氣阻力、摩擦力、彈簧質量。= -kx 作

6、簡諧振動作簡諧振動令令 ，得，得簡諧振動（微分）方程簡諧振動（微分）方程：2k =m222d x+ x = 0dtx = Acos(t +)選垂直紙面向外為轉軸的正向，擺錘對轉軸選垂直紙面向外為轉軸的正向，擺錘對轉軸的力矩：的力矩：c 單擺單擺mgoTM=-mg sinlo5M-mg l 線性回復力矩線性回復力矩負號表示力矩與角位移反向！負號表示力矩與角位移反向！35sin=-+-3!5!222d -mg =mdtll222d+ =0dt由轉動定律得：由轉動定律得：令令 ，得簡諧振動微分方程：，得簡諧振動微分方程：2g =l簡諧振動方程：簡諧振動方程： 考慮在豎直平面內作小角度（考慮在豎直平面

7、內作小角度（5）擺）擺動的單擺，擺長為動的單擺，擺長為l，擺錘質量為，擺錘質量為m。 =cos(t +)當當 5時，受時，受線性回復力矩：線性回復力矩： 復擺復擺22d -mgh = Jdt類似單擺，動力學方程為：類似單擺，動力學方程為：復擺的小角度擺動也是簡諧振動。復擺的小角度擺動也是簡諧振動。 復擺是一繞不過質心的水平固定軸轉動的復擺是一繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體。剛體。mgco 剛體質量為剛體質量為m，轉動慣量為，轉動慣量為J。等效于單擺：等效于單擺：擺長為質心擺長為質心c至軸心至軸心o的距離的距離h， 擺錘質量為擺錘質量為m。 oM-mghh222d+ = 0dt2mgh =J令

8、令 ，得：，得： =cos(t +)簡諧振動方程：簡諧振動方程：一、簡諧振動的振幅、周期、頻率和位相一、簡諧振動的振幅、周期、頻率和位相 由諧振子的振動方程由諧振子的振動方程 可見，振子的位可見，振子的位x = Acos(t+)22002vA =x+簡諧振動簡諧振動等幅振動！等幅振動！ 振幅振幅xA移量：移量：最大位移的絕對值最大位移的絕對值諧振子完成一次全振動所需時間。諧振子完成一次全振動所需時間。用用T標記標記周期周期振動方程為周期函數(shù)，則：振動方程為周期函數(shù)，則： x(t) = x(t+T)Acos(t +T)+T= 22T= Acos(t +)即：即：或：或：振幅由初始條件確定：振幅由

9、初始條件確定：1 =T單位時間內完成振動的次數(shù)。單位時間內完成振動的次數(shù)。頻率頻率=24-2 簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學 ( 、T) 決定于系統(tǒng)的性質，每個振動系統(tǒng)有自己確決定于系統(tǒng)的性質，每個振動系統(tǒng)有自己確定的頻率定的頻率。 = 2用用 表示表示:單位（單位（ SI ） ：rad s-1單位時間內完成振動的次數(shù)的單位時間內完成振動的次數(shù)的2 倍倍圓頻率（圓頻率（角頻率角頻率）彈簧振子：彈簧振子：1k =2m單擺：單擺：k =mmT = 2k1g =2lg =lT = 2gl固有頻率固有頻率x = Acos(2t+)2x = Acos(t+)T振動方程也可表示為：振動方程也可表示為：2

10、=T即：振動的即：振動的位相相同位相相同 振動狀態(tài)（振動狀態(tài)（x,v）相同）相同! 在同一個周期中在同一個周期中振動狀態(tài)不同。振動狀態(tài)不同。 在在不同周期中不同周期中振動狀態(tài)可以相同。振動狀態(tài)可以相同。位置：位置：x = Acos(t+)速度：速度：v = -Asin(t +)可見：可見：t時刻的時刻的振動狀態(tài)振動狀態(tài)由由 t+ 確定確定。 位相（位相（相位相位） t = 0 時刻的位相：時刻的位相： 確定確定t = 0的振動狀態(tài)的振動狀態(tài)約定：約定：02 - 或：或：振子的振子的振動狀態(tài)振動狀態(tài)由（由（x,v）確定?。┐_定！振動的位相振動的位相初位相初位相00vtan = -xxotTTA0

11、 xv3t位相不同位相不同位相差位相差2k 12tt4t00 x0; v000 x0; v000 x0; v000 x0; v03 220 23 2 2xotT1A同相同相位相差反映兩個振動之位相差反映兩個振動之 間的間的步調差異步調差異！ 位相差位相差 ：兩振動位相之差。：兩振動位相之差。 對兩對兩同頻率同頻率的諧振動：的諧振動：初位相差初位相差1111x = A cos( t + )2222x = A cos( t + ) = 2 - 1 當當 2 - 1 = 0 當當 2 - 1 = 兩振動步調相同！兩振動步調相同！兩振動步調相反！兩振動步調相反！2AxotT1A反相反相2A位相差：位相

12、差： = ( 2t + 2) - ( 1t + 1)稱稱x2比比x1超前超前（或（或x1比比x2落后落后）速度：速度：加速度：加速度：v = Acos(t+)22a = Acos(t+ )位移：位移：x = Acos(t+)v比比x領先領先 /2a比比x領先領先 13 =2xot2322振子的振子的x、v、a的位相的位相比較：比較： 若若 0 2 - 1 例：如圖，證明密度計的運動為簡諧振動，求角頻率。例：如圖，證明密度計的運動為簡諧振動，求角頻率。解：解：設密度計截面設密度計截面S，質量質量m，液體密度，液體密度 不考慮黏滯阻力。不考慮黏滯阻力。以密度計平衡位置為原點建立以密度計平衡位置為原

13、點建立ox 坐標系，當將密度計下壓坐標系，當將密度計下壓 x 高度時受力：高度時受力：F = -xSg22d xm= -xSgdt22d xSg+x = 0dtmSg =mf 是是線性回復力，運動為簡諧振動。線性回復力，運動為簡諧振動。動力學方程動力學方程為：為：mgoxx系統(tǒng)等效于勁度系數(shù)系統(tǒng)等效于勁度系數(shù) k = 29.4 N/m 的彈的彈簧，其振動周期為：簧，其振動周期為：例：如圖，將例：如圖，將294.0g的水銀注入的水銀注入U形玻璃管，靜止時兩側水形玻璃管，靜止時兩側水 銀柱等高。忽略水銀與管壁的摩擦，銀柱等高。忽略水銀與管壁的摩擦， 證明水銀柱受證明水銀柱受 擾動后其液面作簡諧振動

14、；擾動后其液面作簡諧振動；求求振動周期。（已知每振動周期。（已知每 厘米水銀柱的質量為厘米水銀柱的質量為15.0g）解：解：如圖，以平衡位置為原點，向上建立如圖，以平衡位置為原點，向上建立ox坐標系。當坐標系。當液面位移為液面位移為x時，水銀柱所受力為時，水銀柱所受力為F，則：，則：F =F-2x g .().15 0= -x1029 8 即：水銀柱受線性回復力作用，其液面作簡諧振動。即：水銀柱受線性回復力作用，其液面作簡諧振動。mT = 2k -3294.0 10= 229.4 . 0 63s = -29.4xxoFoo o 例：如圖，在半徑為例：如圖，在半徑為a的實心球中挖去一半徑為的實心

15、球中挖去一半徑為a/2的球形空的球形空 腔，其球心距實心球心的距離為腔，其球心距實心球心的距離為a/2。將該球放在光滑。將該球放在光滑 的水平面上處于平衡位置，求證：的水平面上處于平衡位置，求證：該球以小角度偏離該球以小角度偏離 平衡位置時能否作簡諧振動；平衡位置時能否作簡諧振動； 如能，求如能，求振動周期。振動周期。oo o 即兩串聯(lián)彈簧等效一個彈簧，其頻率為：即兩串聯(lián)彈簧等效一個彈簧，其頻率為：1212kx =xk +k12012k k =m(k +k )01 =km00 = 212112k kk1=m(k +k )2m211k =k3例：例：勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k1的輕彈簧垂直懸掛質量為

16、的輕彈簧垂直懸掛質量為m振子，振子，若在振若在振 子和彈簧之間串接另一輕彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一子和彈簧之間串接另一輕彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一 半。問串聯(lián)彈簧的勁度系數(shù)半。問串聯(lián)彈簧的勁度系數(shù)k2應是應是k1的多少倍？的多少倍？得得m所受力：所受力： 彈簧彈簧1的原頻率：的原頻率：要使：要使：有：有：解：以解：以m的平衡位置為原點建立的平衡位置為原點建立ox坐標。設坐標。設m處處于于x時彈簧時彈簧1、2分別伸長分別伸長 x1、 x2，即：，即：兩彈簧連接點處的彈力：兩彈簧連接點處的彈力：m1k2koxx由上兩式得：由上兩式得：22F = -k x12x +x = x1122k x = k x1

17、212k kk=+k-x得：得：k1=k2？例：如圖，兩勁度系數(shù)分別為例：如圖，兩勁度系數(shù)分別為k1=3k2=30N/m的輕彈簧自然伸的輕彈簧自然伸 長，與質量長，與質量m=75g的物體連接置于光滑的水平面上。的物體連接置于光滑的水平面上。 試證該系統(tǒng)能作簡諧振動；試證該系統(tǒng)能作簡諧振動；求物體振動的頻率；求物體振動的頻率；為為 使物體振動起來，給它一個向右的初速使物體振動起來，給它一個向右的初速3m/s，求物體的，求物體的 振動方程。振動方程。12F = F = F121212FFx = -x = -kk；12x = x +x1212k kkF-+k=x1k2koxx由胡克定律有：由胡克定律

18、有： 即：即： 解：解：取平衡位置為坐標原點，建取平衡位置為坐標原點，建立立ox坐標系。當物體的位移為坐標系。當物體的位移為x時，時，設彈簧設彈簧1、2的伸長量分別為的伸長量分別為x1、x2。由于物體受力等于彈。由于物體受力等于彈簧簧1或彈簧或彈簧2的彈性力，即有：的彈性力，即有：線性回復力，能作簡諧振動線性回復力，能作簡諧振動12FF= -kk1212k +k= -Fk k可見兩彈簧等效于勁度系數(shù)為可見兩彈簧等效于勁度系數(shù)為 的彈簧，得物體的彈簧，得物體1212k kk +k1212k k =(k +k )m00t = 0:x = 0v = 3m s，2200vA =x +()00vtg =

19、 -x 3x = 0.3cos(10t +)(m)2初始條件為：初始條件為：振動方程：振動方程：則：則：振動的頻率為：振動的頻率為：10 30=10(rad/s)(10+30) 0.07523=0+() = 0.3(m)103 =2解：解：當子彈穿過后擺錘的最大偏轉角當子彈穿過后擺錘的最大偏轉角，則，則擺錘作簡諧振動。設子彈穿過后擺錘獲得初始角擺錘作簡諧振動。設子彈穿過后擺錘獲得初始角速度為速度為 0，最大偏轉角為，最大偏轉角為 m。例：如圖，質量例：如圖，質量M=100g擺線長擺線長l =1m的單擺處于靜止狀態(tài)。的單擺處于靜止狀態(tài)。 若一質量若一質量m=10g的子彈，以的子彈，以v0=100

20、m/s的速率射穿擺錘的速率射穿擺錘 而過，速度減為而過，速度減為v=98m/s。試證明擺錘隨后作簡諧振試證明擺錘隨后作簡諧振 動；動；求簡諧振動方程。求簡諧振動方程。00mv = J +mvll ；00v - v =10 l 20m= arccos(1-)2gl0vmv得：得：子彈射穿過程子彈射穿過程角動量守恒角動量守恒，擺錘的轉動過程機，擺錘的轉動過程機械能守恒（靜止擺錘位置為勢能零點）：械能守恒（靜止擺錘位置為勢能零點）：100-98= 0.2(rad/s)10 120m1J= Mg (1-cos )2l 20.2= arccos(1-)2 9.8g =l00t = 0: = 0 = 0.

21、2rad s，00tan = - 3 = 0.06cos(3.13t+)(rad)2最大偏轉角最大偏轉角 m即為振幅即為振幅 初始條件：初始條件：單擺角頻率：單擺角頻率：作簡諧振動作簡諧振動振動方程：振動方程：om3.669.8=3.13(/s)l 有有：3 =2 0.06rado二、二、簡諧振動簡諧振動的描述方法的描述方法1. 解析法：解析法：2. 曲線法：曲線法：x = Acos(t+)3. 旋轉矢量法旋轉矢量法 旋轉矢量旋轉矢量 （質點的位矢）質點的位矢）A 考慮一質點在半徑為考慮一質點在半徑為A的的圓上圓上作勻速圓周運動，角速作勻速圓周運動，角速度為度為 。t 時刻質點在時刻質點在x軸

22、上投影點軸上投影點p的坐標為：的坐標為：At = 0At =tt +t=0時刻時刻 跟跟x軸夾角為軸夾角為 。Ax = Acos(t+)則則t時刻，時刻， 與與x 軸的夾角為軸的夾角為 t+ 。Axp(x)A 直觀地直觀地Axt 曲線曲線t +2Att +p(x)旋轉矢量旋轉矢量 端點的速度端點的速度在在x軸上的分量也就是作軸上的分量也就是作A2t +vxv = Acos(t+)2xvt時刻，時刻， 與與x 軸的夾角為：軸的夾角為：v 質點的速度質點的速度 在在x軸上的分量軸上的分量xvvt時刻時刻 在在x軸上的分量為：軸上的分量為：v簡諧振動簡諧振動p點的速度。點的速度。oxAtt +p(x

23、)t + at + t時刻質點向心加速度在時刻質點向心加速度在x軸上的分量為：軸上的分量為：旋轉矢量旋轉矢量 端點的向心加速度端點的向心加速度在在x軸上的分量軸上的分量A2xa = Acos(t+)xa2na = At時刻，時刻， 與與x 軸的夾角為：軸的夾角為：a 質點的向心加速度質點的向心加速度 在在x軸上的分量軸上的分量axa即是作簡諧振動即是作簡諧振動p點的加速度。點的加速度。ox40= 20(Hz)2 0.05 例：如圖，質量例：如圖，質量m=0.05kg的振子在光滑的水平面上振動，的振子在光滑的水平面上振動， 振幅振幅a=0.1m，彈簧勁度系數(shù)，彈簧勁度系數(shù)k=40N/m。當振子運

24、動至。當振子運動至 最大位置時，另一等質量的滑塊以速率最大位置時，另一等質量的滑塊以速率u=4m/s沿沿ox軸軸 負向與之碰撞并粘在一起。求：負向與之碰撞并粘在一起。求：新系統(tǒng)的振動方程；新系統(tǒng)的振動方程； 新振子第一次回到碰撞位置所用時間。新振子第一次回到碰撞位置所用時間。解：解：滑塊、振子、彈簧組成新振動滑塊、振子、彈簧組成新振動系統(tǒng)。新振子質量為系統(tǒng)。新振子質量為2m，則新振動系，則新振動系統(tǒng)的角頻率：統(tǒng)的角頻率：k =2m0m(-u) = 2mv2200vA =x +()auxo以碰撞時刻為計時起點，則新振子的初位置：以碰撞時刻為計時起點，則新振子的初位置：x0=0.1m由完全非彈性碰

25、撞，設新振子的初速度由完全非彈性碰撞，設新振子的初速度v0，有：，有：則新振子的振幅：則新振子的振幅：0v = -u 2 = -2m s22-2=0.1 +() = 0.1 20.14(m)200v = -Asin 00 xcos =Ax = 0.1 2cos(20t +)(m)43 =2 = 20(rad s)t =op=0.1 oA=0.1 2；xo 旋轉矢量法旋轉矢量法：作旋轉矢量圖，旋轉矢量：作旋轉矢量圖，旋轉矢量 應在第一象限。應在第一象限。直角三角形直角三角形opA中中：新振子的振動方程：新振子的振動方程：新振子第一次回到碰撞位置，旋轉矢量轉過角度新振子第一次回到碰撞位置，旋轉矢量

26、轉過角度:旋轉矢量的角速度：旋轉矢量的角速度：新振子所用時間：新振子所用時間：新振子的初位相：新振子的初位相：00vtan = -x-2= -=120 0.15 =or44 = 43 2=0.24(s)20pAB有：有：0.12=20.1 2 =4t=1s時時v=0，則：，則：即：即：在在Rt opA中中：vo( )p v例：如圖為某振子簡諧振動的例：如圖為某振子簡諧振動的vt的的 關系曲線。試求振子的振動方程。關系曲線。試求振子的振動方程。3-31.5o1t s-1v (m s )A解：設解：設 v 的振動方程為：的振動方程為：作關于作關于 v 的旋轉矢量圖。的旋轉矢量圖。0mvcos =v

27、 = -3mv = v cos(t +)v = 3cos(t-)3. 1 5=30 = 3cos(-)35 =6 即：即：()0-3 5v = 3cos(t-)63 dx=dt5dx =3cos(t-)dt63 185x =cos(t-)c5656 () 1855x =cos(t-) m566得：得： t=1s時時x=A= ，則：，則：c = 0 185得振動方程：得振動方程：作旋轉矢量圖：因作旋轉矢量圖：因01s時間段振子速度時間段振子速度從從v0vm0，因此，因此t=0時旋轉矢量在第三時旋轉矢量在第三象限，有：象限，有：v =Acos(t + 2) mmv2 = v cos( + 2) =

28、 2- = 5 6 =tmvA =1857x =cos(t +)(m)566xot = 0由圖知由圖知vm= A=3，t=0時時v0=vm/2，即：即：振動方程：振動方程： 另法：設簡諧振動方程為：另法：設簡諧振動方程為：則：則：x = Acos(t +) sin = -1 2則：則：01s時間段旋轉矢量轉過的角度為：時間段旋轉矢量轉過的角度為：5 65=16318=(m)5 65 = 7 6or11 6 = 7 63-31.5o1t s-1v (m s ) 動能：動能：2k1E =mv2221=kA sin (t+)24-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量 勢能：勢能：2p1E =kx2221

29、=kA cos (t+)2v = -Asin(t +)2k =mt+T2ppt11E =E dt =kAT42kp1E = E =kA4平均值：平均值：t+T2kkt11E =E dt =kAT4 機械能：機械能：機械能守恒機械能守恒!21=kA2kpE = E +Ex = Acos(t +)以彈簧振子為例以彈簧振子為例1=E2 勢能位移圖勢能位移圖 KPE = E +E例：振子例：振子質量為質量為0.25kg的彈性的彈性振子系統(tǒng)，振子系統(tǒng)，開始振動時具有勢開始振動時具有勢 能能1.2J和動能和動能0.8J，彈簧的，彈簧的倔強系數(shù)倔強系數(shù)k=25N/m。求：求： 振幅；振幅；動能等于勢能時動能

30、等于勢能時物體的位置；物體的位置；位移為振幅位移為振幅 的一半時的動能和勢能；的一半時的動能和勢能；物體物體經(jīng)平衡位置時的速度經(jīng)平衡位置時的速度。 解：解：系統(tǒng)總能量：系統(tǒng)總能量：動能和勢能各占總能量一半：動能和勢能各占總能量一半：位移為振幅的一半：位移為振幅的一半：=1.2+0.8= 2.0J則：則：21=kA22EA =k22=25 .= 0 4m2p1E =kx2()2p11E =kA222x =A2 21 1=kA2 2（）k3E =E41=E4平衡位置時平衡位置時：. 0 28 .= 0 5 J.=1 5 J2k1E =mv2= E2Ev =m22= 4m s0.25 4-4 簡諧振

31、動的合成簡諧振動的合成振動疊加原理振動疊加原理主要討論兩種疊加形式：主要討論兩種疊加形式： 平行簡諧振動疊加平行簡諧振動疊加同頻率同頻率不同頻率不同頻率 垂直簡諧振動疊加垂直簡諧振動疊加同頻率同頻率不同頻率不同頻率力的疊加原理：力的疊加原理：振子同時受到多個線性回復力的作用振子同時受到多個線性回復力的作用 時，各回復力將產(chǎn)生各自的分振動；時，各回復力將產(chǎn)生各自的分振動；振子實際的振動是各分振動位移矢量的振子實際的振動是各分振動位移矢量的 疊加合成。疊加合成。反過來：一個復雜的振動可以分解成幾個簡單的分振動。反過來：一個復雜的振動可以分解成幾個簡單的分振動。物體受多個力的作用時，各個分力產(chǎn)生物體

32、受多個力的作用時，各個分力產(chǎn)生各自的加速度；物體的實際運動狀態(tài)是各自的加速度；物體的實際運動狀態(tài)是各分加速度引起的運動狀態(tài)的合成。各分加速度引起的運動狀態(tài)的合成。應用到振動系統(tǒng)：應用到振動系統(tǒng)：一、同方向同頻率的簡諧振動的合成一、同方向同頻率的簡諧振動的合成分振動分振動 :x1=A1cos( t + 1)合振動合振動 :合振動是簡諧振動，其頻率仍為合振動是簡諧振動，其頻率仍為 ！x =A cos( t + )x2=A2cos( t + 2)x = x1+ x22212122111221122A =A +A +2A A cos( - )A sin +A sintg =A cos +A cos其中

33、：其中：A22xx1A2Aox11x46頁頁分析合振動的振幅：分析合振動的振幅：若兩分振動同相若兩分振動同相 21= 0 or 2 若兩分振動反相若兩分振動反相 21= 如果如果 A1=A2 A=0則則A=A1+A2則則A=|A1-A2|如果如果 A1=A2 A=2A122121221A =A +A +2A A cos( - )1212A -A A A +A若若 21取值為其它情況，則有：取值為其它情況，則有：可見：可見：位相差在同頻率簡諧振動的合成中起決定性作用！位相差在同頻率簡諧振動的合成中起決定性作用！ 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱 兩分振動相互加強兩分振動相互加強例：有兩個同方向同

34、頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為例：有兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為 0.20m，位相與第一振動的位相差為，位相與第一振動的位相差為 /6，已知第一振動，已知第一振動 振幅為振幅為 ，求第二振動的振幅，以及兩振動的位，求第二振動的振幅，以及兩振動的位 相差。相差。222211A = A + A -2A Acos30說明說明A1與與A2間夾角為間夾角為 /2， 即兩振動的位相差為即兩振動的位相差為 /2。0.1 3 m解：由題意作旋轉矢量圖，由圖知：解：由題意作旋轉矢量圖，由圖知：22= (0.1 3) +(0.2) -2 0.1 30.2 cos= 0.016得：得：2A =

35、 0.1m22212A = A + A合振動的初位相：合振動的初位相：221212A =A +A +2A A cos( 3)22= 0.1 +0.05 +2 0.1 0.05 0.5=0.13(m)11221122A sin +A sintan =A cos +A cos22222A sin( 2)+A sin( 2+ 3)5 3= -2A cos( 2)+A cos( 2+ 3)3o-1o5 3 =180 -tan ()109.111.90rad3x = Acos(t+) = 0.13cos(100t+1.9)(m)1A2AoxA 3例：振子同時參與兩個同方向同頻率的簡諧振動，其角頻例：振子

36、同時參與兩個同方向同頻率的簡諧振動，其角頻 率率 =100Hz，振幅，振幅A1=2A2=0.1m，初位相差，初位相差 2- 1= /3， 已知第一振動的初位相已知第一振動的初位相 1= /2。求合振動方程。求合振動方程。見圖，合矢量在第二象限，則初位相為：見圖，合矢量在第二象限，則初位相為：合振動方程為：合振動方程為： 解：由題意作旋轉矢量圖，由圖知：解：由題意作旋轉矢量圖，由圖知：合振動：合振動：當當 2 1時：時： 2 - 1 2 + 1二、同方向不同頻率的簡諧振動的合成二、同方向不同頻率的簡諧振動的合成合振動可看作合振動可看作“振幅緩變的簡諧振動振幅緩變的簡諧振動” x = x1+x2

37、合振動不是合振動不是簡諧振動簡諧振動2121 - += 2Acos(t) cos(t+)2221 +x = A(t)cos(t+ )221 -2以低頻以低頻 隨隨t緩變緩變 21 +2以高頻以高頻 隨隨t快變快變 分振動分振動 :x1=Acos( 1t + )x2=Acos( 2t + )21 -2Acos(t)2振幅：振幅：振幅緩變的頻率：振幅緩變的頻率：21 -21 +x = A(t)cos(t+)21拍拍21 -2Acos()t2振幅：振幅： 21 -A(t) = 2Acos()t2合振動的振幅出現(xiàn)周期性變化合振動的振幅出現(xiàn)周期性變化的現(xiàn)象稱為的現(xiàn)象稱為拍拍。振幅每變化一個周期振幅每變化

38、一個周期即稱為即稱為一拍一拍。單位時間內拍出現(xiàn)的次數(shù)單位時間內拍出現(xiàn)的次數(shù)稱為稱為拍頻拍頻。 2121 -= - 2拍振幅角頻振幅角頻三、垂直方向同頻率簡諧振動的合成三、垂直方向同頻率簡諧振動的合成分振動：分振動：x = Axcos( t+ x)y = Aycos( t+ y)222yxyx22xyxyxyxy+-2cos( - ) = sin ( - )AAA A振子位于振子位于xy平面內運動，平面內運動， 為：為：yxAy =xA 當當 y- x=0、 時，軌跡方程：時，軌跡方程：振子作簡諧振動，振動頻率與分振動相同。振子作簡諧振動，振動頻率與分振動相同。直線直線2222xyxy+=1AA

39、當當Ax=Ay時軌跡則為圓！時軌跡則為圓！ 當當 y- x= /2、3 /2時，軌跡方程時，軌跡方程:正橢圓正橢圓當當 y- x= /2時，時，因因y軸分量超前軸分量超前x軸分量，此時振子在軸分量，此時振子在 軌跡上沿順時針方向旋轉，運動周期與分振動相同。軌跡上沿順時針方向旋轉，運動周期與分振動相同。yx3 - = 0424xoyxoyxoyxoyxoyxoyxoy振動方向垂直、同頻率兩簡諧振動的合成振動方向垂直、同頻率兩簡諧振動的合成xoyyx537 - = 424四、垂直方向不同頻率簡諧振動的合成四、垂直方向不同頻率簡諧振動的合成在在xoy平面，其合運動軌跡跟兩分振動的頻率、初相平面，其合

40、運動軌跡跟兩分振動的頻率、初相 位有關，一般軌跡曲線不穩(wěn)定、非閉合。位有關，一般軌跡曲線不穩(wěn)定、非閉合。當兩振動的頻率成當兩振動的頻率成整數(shù)比整數(shù)比，軌跡曲線才是穩(wěn)定、閉合。，軌跡曲線才是穩(wěn)定、閉合。位相差：位相差： = ( 2t + 2) - ( 1t + 1)隨時間變化。隨時間變化。yx : = 1:21:32:3李薩如圖形不同李薩如圖形不同 兩分振動的頻率比不同兩分振動的頻率比不同 判斷兩分振動的頻率。判斷兩分振動的頻率。李薩如圖形可以應用到電子技術中測量頻率。李薩如圖形可以應用到電子技術中測量頻率。 軌跡稱為軌跡稱為1. 阻尼振動阻尼振動*4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共

41、振共振阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。阻尼：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。在流體（液體、氣體）中低速振動的物體，所受阻力：在流體（液體、氣體）中低速振動的物體，所受阻力： ：阻力系數(shù)：阻力系數(shù)rdxf = -v = -dt 當振動系統(tǒng)受到外界的阻力作用，振幅不斷衰減，這樣當振動系統(tǒng)受到外界的阻力作用，振幅不斷衰減，這樣的振動稱為的振動稱為阻尼振動阻尼振動。 22d xdxm= -kx-v = -kx-dtdt振子的動力學方程為振子的動力學方程為： 2202d xdx+2+ x = 0dtdt ：阻尼系數(shù)：阻尼系數(shù) 0：無阻尼時振子系統(tǒng)的固有角頻率：無阻尼時振子系統(tǒng)的固有角頻率令令 ，即：，即：20k =2 =mm，如：摩擦、輻射、如：摩擦、輻射、弱阻尼作用弱阻尼作用 ( ：過阻尼運動：過阻尼運動特點：振子緩慢地從特點：振子緩慢地從初始位置向平衡位置初始位置向平衡位置運動，運動，無周期性無周期性。弱阻尼與過阻尼弱阻尼與過阻尼 之間的之間的狀態(tài)狀態(tài)!0 = ：臨界阻尼運動：臨界阻尼運動0 （ ）0 = 2. 受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)受周期性外來振動系統(tǒng)受周期性外來策動力策動力作用形成的振動。作用形成的振動。202d xdxm= -kx- + F cosptdtdt彈性力彈性力 阻尼力阻尼力策動力策動力22002d xdx+