第五章 二次型

1、 第五章第五章 二次型二次型1. 二次型及其矩陣表示、二次型的秩二次型及其矩陣表示、二次型的秩內(nèi)內(nèi) 容容 摘摘 要要 (1) 設設P是一個數(shù)域，是一個數(shù)域，aijP, n個文字個文字x1, x2, ., xn的的二次齊次多項式二次齊次多項式 f (x1, x2, ., xn)njnijiijjiijnnnnnnnnjiaaxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxa112223223222211311321122111), 2 , 1,( 22 222稱為數(shù)域稱為數(shù)域P上的上的n元二次型，簡稱為二次型元二次型，簡稱為二次型. 當當aij為實數(shù)為實數(shù)時，稱時，稱f為實二次型為實二次型. 當當

2、aij為復數(shù)時，稱為復數(shù)時，稱f為復二次型為復二次型. 如果二次型中只含有文字的平方項，即：如果二次型中只含有文字的平方項，即： f (x1, x2, ., xn)=d1x12+d2x22+.+dnxn2稱稱f為標準形為標準形. (2) 二次型二次型f (x1, x2, ., xn)可唯一的表示成可唯一的表示成 f (x1, x2, ., xn)=XTAX, 其中其中X=(x1, x2, ., xn)T, AT=A，稱該式為二次型稱該式為二次型f的矩陣形式，稱的矩陣形式，稱A為二次型為二次型f的矩陣的矩陣(都是對稱矩陣都是對稱矩陣)，稱，稱A的秩為二次型的秩為二次型f的秩的秩. 二次型和對稱矩

3、陣之間的對應是一個雙射，這種二次型和對稱矩陣之間的對應是一個雙射，這種對應保持加法和數(shù)乘，所以數(shù)域?qū)３旨臃ê蛿?shù)乘，所以數(shù)域P上所有上所有n元二次型組元二次型組成的線性空間與數(shù)域成的線性空間與數(shù)域P上所有上所有n階對稱矩陣組成的空間階對稱矩陣組成的空間同構(gòu)同構(gòu). 由此說明實數(shù)域由此說明實數(shù)域R上全體二次型所組成的線性空上全體二次型所組成的線性空間維數(shù)為間維數(shù)為n(n+1)/2 注意：注意： (3) 設設P是一個數(shù)域，是一個數(shù)域，cijP, 兩組兩組文字文字x1, x2, ., xn；y1, y2, ., yn的關系式的關系式稱為稱為x1, x2, ., xn到到y(tǒng)1, y2, ., yn的一

4、個線性替換的一個線性替換. 用矩陣形用矩陣形式可寫為式可寫為X=CY, 其中其中, X=(x1, x2, ., xn)T, Y=(y1, y2, ., yn)T，C=(cij)nn, 當當|C|0時，稱線性替換是非退化的時，稱線性替換是非退化的(或可逆的，或可逆的，或滿秩的或滿秩的). 非退化線性替換將二次型變成二次型非退化線性替換將二次型變成二次型.nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 2. 合同矩陣合同矩陣 (1) 設設A, BPnn，若存在可逆陣，若存在可逆陣CPnn，使，使B=CTAC，則稱，則稱A合同于合同于B. (2

5、) 合同合同矩陣具有如下性質(zhì)：矩陣具有如下性質(zhì)：1) 反身性反身性: A與與A合同；合同；2) 對稱性對稱性: 若若A與與B合同，則合同，則B與與A合同；合同；3) 傳遞性傳遞性: 若若A與與B合同合同, B與與C合同合同, 則則A與與C合同；合同；4) 若若A與與B合同合同，則，則A的秩與的秩與B的秩相等的秩相等. (3) 經(jīng)過非退化線性替換經(jīng)過非退化線性替換X=CY之，新二次型設之，新二次型設 f=YTBY與原二次型與原二次型f=XTAX的矩陣是合同的，即的矩陣是合同的，即B=CTAC. 3. 二次型的標準形與規(guī)范形二次型的標準形與規(guī)范形 (1) 數(shù)域數(shù)域P上的秩為上的秩為r的的任一二次型

6、任一二次型f (x1, x2, ., xn)= XTAX都可以經(jīng)都可以經(jīng)P上的上的非退化線性替換非退化線性替換X=CY化成標準化成標準形形:d1y12+d2y22+.+dryr2 (rn, di0, i=1, 2, ., r). (2) 矩陣語言：數(shù)域矩陣語言：數(shù)域P上任一上任一n階對稱矩陣階對稱矩陣A，都合同，都合同于于n階對角矩陣階對角矩陣diag(d1, d2, ., dr, 0, ., 0). 這里這里di0(i=1, 2, ., r)，r為為A的秩的秩. 注意：注意： 二次型的標準形一般不是唯一的，與對稱矩陣合二次型的標準形一般不是唯一的，與對稱矩陣合同的對角矩陣一般不是唯一的同的對

7、角矩陣一般不是唯一的, 與所作的非退化線性與所作的非退化線性替換有關替換有關. (3) 復數(shù)域上秩為復數(shù)域上秩為r的的二次型二次型f (x1, x2, ., xn)=XTAX總總可以經(jīng)非退化線性替換可以經(jīng)非退化線性替換X=CY化成化成唯一的唯一的規(guī)范形規(guī)范形:y12+y22+.+yr2 (rn). (4) 矩陣語言：任何秩為矩陣語言：任何秩為r的的n階復對稱陣階復對稱陣A在復數(shù)在復數(shù)域上合同于唯一的域上合同于唯一的n階階對角陣對角陣diag(1, 1, ., 1, 0, ., 0)(共共 r個個1)，r=r(A). 即存在即存在n階階復可逆矩陣復可逆矩陣C, 使得：使得：OOOEACCrT (

8、5) 兩個兩個n元復二次型可通過復的非退化線性替換元復二次型可通過復的非退化線性替換互化的充分必要條件是二者有相同的秩互化的充分必要條件是二者有相同的秩. (6) 兩個兩個n級復對稱矩陣在復數(shù)域上合同的充分必級復對稱矩陣在復數(shù)域上合同的充分必要條件是二者有相同的秩要條件是二者有相同的秩. (7) (慣性定理慣性定理)實數(shù)域上秩為實數(shù)域上秩為r的的二次型二次型f (x1, x2, ., xn)=XTAX總可以經(jīng)實的非退化線性替換總可以經(jīng)實的非退化線性替換X=CY化成化成唯唯一的一的規(guī)范形規(guī)范形: y12+y22+.+yp2 -yp+12-yp+22-.-yr2(rn)，其中正項個數(shù)其中正項個數(shù)p

9、及負項個數(shù)及負項個數(shù)q=r-p是確定的，分別稱為是確定的，分別稱為f的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)，的正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)，p-(r-p)=2p-r稱為稱為f的的符符號差號差. (8) 矩陣語言：任一實對稱陣矩陣語言：任一實對稱陣A在實數(shù)域上在實數(shù)域上合同于合同于唯一的唯一的n階對角陣階對角陣diag(1, 1, ., 1,-1, ., -1, 0, ., 0)(共共 p個個1, r-p個個-1)，r=r(A). 即存在即存在n階階實可逆矩陣實可逆矩陣C, 使得：使得：OEEACCprpT (9) 兩個兩個n元實二次型可通過實的非退化線性替換元實二次型可通過實的非退化線性替換互化的充分必要條件是二

10、者有相同的秩與符號差互化的充分必要條件是二者有相同的秩與符號差. (10) 兩個兩個n級實對稱矩陣在實數(shù)域上合同的充分必級實對稱矩陣在實數(shù)域上合同的充分必要條件是二者有相同的秩與符號差要條件是二者有相同的秩與符號差(即二次型的符號差即二次型的符號差). 注意：注意： (1) 所有實對稱矩陣按合同可分為所有實對稱矩陣按合同可分為1+2+3+.+(n+1)=(n+1)(n+2)/2類類;如：實數(shù)域上的四元二次型的不同規(guī)范形的個數(shù)為如：實數(shù)域上的四元二次型的不同規(guī)范形的個數(shù)為(4+1)(4+2)/2=15 (2) 兩個兩個n階實對稱矩陣合同的充要條件是其正的特階實對稱矩陣合同的充要條件是其正的特征值

11、與負的特征值的個數(shù)相等；征值與負的特征值的個數(shù)相等； (3) 盡管特征值相同僅是兩個矩陣相似的必要條件，盡管特征值相同僅是兩個矩陣相似的必要條件，但對于實對稱矩陣但對于實對稱矩陣A而言，總存在正交矩陣而言，總存在正交矩陣P使使PTAP=P-1AP為對角陣，所以有：實對稱矩陣為對角陣，所以有：實對稱矩陣A、B相相似的充要條件是它們的特征值全相同似的充要條件是它們的特征值全相同. (1) 配方法；配方法； 情形情形1 如果二次型如果二次型f (x1, x2, ., xn)含某個文字例如含某個文字例如x1的平方項，而的平方項，而a110，則集中二次型中含，則集中二次型中含x1的所有交叉項，的所有交叉

12、項，然后與然后與x12配方，并作非退化線性替換配方，并作非退化線性替換)( 12212121111Pcxyxyxcxcxcyjnnnn 4. 化二次型為標準形的方法化二次型為標準形的方法得得 f (x1, x2, ., xn)= d1y12+g ( y2, ., yn)，其中，其中g ( y2, ., yn)是是 y2, ., yn的二次型的二次型. 對對g ( y2, ., yn)重復上述方法直到化重復上述方法直到化二次型二次型 f為標準形為止為標準形為止. 情形情形2 如果二次型如果二次型 f (x1, x2, ., xn)不含平方項，即不含平方項，即aii=0(i=1, 2, ., n)

13、，但含某一個，但含某一個aij0(ij)，則可先作非退，則可先作非退化線性替換化線性替換把把f 化為一個含平方項化為一個含平方項yi2的二次型，再用情形的二次型，再用情形1的方法化的方法化為標準形為標準形. ),;,2,1( jiknkyxyyxyyxkkjijjii 注意：注意： (1) 為了寫出化二次型為標準形所用的非退化線性替為了寫出化二次型為標準形所用的非退化線性替換，對情形換，對情形1中的線性替換應寫出它的逆變換中的線性替換應寫出它的逆變換(即用即用yi表表示出示出xi)，再將化簡過程中每一步的線性替換進行復合得，再將化簡過程中每一步的線性替換進行復合得到總的線性替換到總的線性替換.

14、 (2) 將配方法過程的每一步用矩陣寫出來將配方法過程的每一步用矩陣寫出來, 相當于對相當于對二次型的矩陣二次型的矩陣A逐步采用合同變換進行化簡逐步采用合同變換進行化簡, 最終化為最終化為對角陣對角陣. 從而也可以用合同變換的方法化二次型為標準從而也可以用合同變換的方法化二次型為標準形形. (2) 初等變換法：用非退化線性替換初等變換法：用非退化線性替換X=CY化二次型化二次型 f =XTAX為標準形，相當于對于對稱矩陣為標準形，相當于對于對稱矩陣A找一個可逆找一個可逆矩陣矩陣C，使得，使得CTAC=D為對角矩陣為對角矩陣. 由于可逆矩陣由于可逆矩陣C可以可以寫成若干初等矩陣寫成若干初等矩陣P

15、1, P2, ., Ps的乘積，即的乘積，即C=P1P2.Ps，從而有從而有PsTPs-1T.P1TAP1P2.Ps=D, PsTPs-1T.P1TE=CT根據(jù)初等矩陣的有關性質(zhì)根據(jù)初等矩陣的有關性質(zhì)(用初等矩陣左用初等矩陣左(右右)乘矩陣乘矩陣A相相當于對當于對A作一次初等行作一次初等行(列列)變換變換)，由上述可得到用初等，由上述可得到用初等變換法化二次型為標準形的步驟如下：變換法化二次型為標準形的步驟如下： 第一步第一步 寫出二次型寫出二次型f的矩陣的矩陣A，并構(gòu)造矩陣，并構(gòu)造矩陣 ； 第二步第二步 對對A進行初等行變換和同樣的初等列變換，進行初等行變換和同樣的初等列變換，把把A化為對角

16、矩陣化為對角矩陣D，并對，并對E施行與施行與A相同的初等行變換相同的初等行變換化為矩陣化為矩陣CT，此時，此時CTAC=D； 第三步第三步 寫出非退化線性替換寫出非退化線性替換X=CY化二次型為標準化二次型為標準形形f=YTDY.nnEA2| (3) 正交變換法正交變換法. 1) (主軸定理主軸定理)任意一個任意一個n元實二次型元實二次型 f (x1, x2, ., xn)=XTAX都可以經(jīng)過正交線性替換都可以經(jīng)過正交線性替換X=QY化為標準形化為標準形f=1y12+2y22+.+nyn2其中其中1, 2, ., n是是A的全部特征值，正交矩陣的全部特征值，正交矩陣Q的列向的列向量是對應特征值

17、量是對應特征值1, 2, ., n的兩兩正交的單位特征向量的兩兩正交的單位特征向量. 2) 用正交線性替換化二次型為標準形的計算步驟：用正交線性替換化二次型為標準形的計算步驟： 第一步第一步 寫出寫出n元實元實二次型二次型f的矩陣的矩陣A=(aij)nn； 第二步第二步 求求n級正交矩陣級正交矩陣Q，使得，使得 第三步第三步 正交線性替換化二次型為正交線性替換化二次型為X=QY： f=1y12+2y22+.+nyn2nTAQQAQQ211 5. 正、負定二次型正、負定二次型 (1) 設設f (x1, x2, ., xn)=XTAX是一個是一個n元實二次型元實二次型(A為對為對稱矩陣稱矩陣)，如

18、果任給，如果任給(c1, c2, ., cn)0，有，有f (c1, c2, ., cn)0，則稱則稱f (x1, x2, ., xn)為正定二次型為正定二次型, A為正定矩陣為正定矩陣；如果；如果f (c1, c2, ., cn)0，則稱，則稱f (x1, x2, ., xn)為半正定為半正定二次型二次型, A為半正定矩陣為半正定矩陣；如果；如果f (c1, c2, ., cn)0，則稱，則稱f (x1, x2, ., xn)為負定為負定二次型二次型, A為負定矩陣為負定矩陣；如果；如果f (c1, c2, ., cn)0，則稱則稱f (x1, x2, ., xn)為半負定為半負定二次型二次

19、型, A為半負定矩陣；既為半負定矩陣；既不是半正定又不是半負定的實二次型稱不是半正定又不是半負定的實二次型稱f為不定的二次為不定的二次型，稱型，稱A為不定矩陣為不定矩陣. (2) 正定二次型與正定矩陣的判定：正定二次型與正定矩陣的判定： 1) n元實二次型元實二次型f(x1, x2, ., xn)=XTAX是正定的充分必是正定的充分必要條件是它的標準形的系數(shù)全為正，即它的正慣性指數(shù)要條件是它的標準形的系數(shù)全為正，即它的正慣性指數(shù)為為n. 2) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是是正定的充分必要條件是A與單與單位矩陣位矩陣E合同合同. 3) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A是正定的充

20、分必要條件是存在是正定的充分必要條件是存在n級實可逆矩陣級實可逆矩陣C，使得，使得A=CTC. 4) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A=(aij)nn是正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是是A的順序主子式的順序主子式|aij|kk(k=1, 2, ., n)都大于零都大于零. 5) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A是正定的充分必要條件是是正定的充分必要條件是A的的特征值全大于零特征值全大于零. (3) 負定二次型與負定矩陣的判定：負定二次型與負定矩陣的判定： 1) n元實二次型元實二次型f(x1, x2, ., xn)=XTAX是負定的充分必是負定的充分必要條件是它的標準形的系數(shù)全為負，即它的負慣性指數(shù)要條件是它的標準形的系數(shù)全為負，即它的負慣性指數(shù)為為n. 2) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A是負定的充分必要條件是是負定的充分必要條件是A與與-E合同合同. 3) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A是是負負定的充分必要條件是存在定的充分必要條件是存在n級實可逆矩陣級實可逆矩陣C，使得，使得A=-CTC. 4) n級實對稱矩陣級實對稱矩陣A=(aij)nn是是負負定的充分必要條件定的充分必要條件是是(-1)k|aij|kk(k=1, 2, ., n)都大于零都大于零, 即奇數(shù)級順序主即奇數(shù)級順序主子式小于零，偶數(shù)級順序主子