初等數(shù)論練習(xí)習(xí)題

1、初等數(shù)論練習(xí)題信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院2010年12月初等數(shù)論練習(xí)題一一、填空題1、d(2420)=_； (2420)=_。2、設(shè)a,n是大于1的整數(shù)，若an-1是質(zhì)數(shù)，則a=_。3、模9的絕對最小完全剩余系是_。4、同余方程9x+120(mod 37)的解是_。5、不定方程18x-23y=100的通解是_。6、分母是正整數(shù)m的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為_。7、18100被172除的余數(shù)是_。8、 =_。9、若p是素?cái)?shù)，則同余方程x p -1º1(mod p)的解數(shù)為 。二、計(jì)算題1、解同余方程：3x2+11x-20º0 (mod 105)。2、判斷同余方程x242(mod 107)是否有

2、解3、求（127156+34）28除以111的最小非負(fù)余數(shù)。三、證明題1、已知p是質(zhì)數(shù)，（a,p）=1，證明：（1）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，ap-1+(p-1)a0 (mod p)；（2）當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，ap-1-(p-1)a0 (mod p)。2、設(shè)a為正奇數(shù)，n為正整數(shù)，試證1(mod 2n+2)。3、設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，且1kp-1。證明： º （-1 ）k(mod p)。4、設(shè)p是不等于3和7的奇質(zhì)數(shù)，證明：p61(mod 84)。初等數(shù)論練習(xí)題二一、填空題1、d(1000)=_；(1000)=_。2、2010!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)數(shù)11的次數(shù)是_。3、費(fèi)爾馬(Fermat)數(shù)是指Fn=+1,

3、這種數(shù)中最小的合數(shù)Fn中的n=_。4、同余方程13x5(mod 31)的解是_。5、分母不大于m的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為_。6、設(shè)7(80n-1),則最小的正整數(shù)n=_。7、使41x+15y=C無非負(fù)整數(shù)解的最大正整數(shù)C=_。8、=_。9、若p是質(zhì)數(shù)，n½p - 1，則同余方程x n º 1 (mod p) 的解數(shù)為 。二、計(jì)算題1、試求被19除所得的余數(shù)。2、解同余方程3x14+4x10+6x-18º0 (mod 5)。3、已知a=5,m=21,求使axº 1 (mod m)成立的最小自然數(shù)x。三、證明題1、試證13|(54m+46n+2000)。(提示：

4、可取模13進(jìn)行計(jì)算性證明)。2、證明Wilson定理的逆定理：若n > 1，并且(n - 1)! º -1 (mod n)，則n是素?cái)?shù)。3、證明：設(shè)ps表示全部由1組成的s位十進(jìn)制數(shù)，若ps是素?cái)?shù)，則s也是一個(gè)素?cái)?shù)。4、證明：若2p + 1是奇素?cái)?shù)，則 (p!)2 + (-1)p º 0 (mod 2p + 1)。5、設(shè)p是大于5的質(zhì)數(shù)，證明：p41(mod 240)。初等數(shù)論練習(xí)題三一、單項(xiàng)選擇題1、若n1，j(n)=n-1是n為質(zhì)數(shù)的（ ）條件。 A.必要但非充分條件 B.充分但非必要條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件2、設(shè)n是正整數(shù)，以下各組a，b使為

5、既約分?jǐn)?shù)的一組數(shù)是（）。=n+1,b=2n-1 =2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1=3n+1,b=5n+23、使方程6x+5y=C無非負(fù)整數(shù)解的最大整數(shù)C是（）。.24 C4、不是同余方程28x21(mod 35)的解為（）。 2(mod 35) B. x7(mod 35) C. x17(mod 35)D. x29(mod 35)5、設(shè)a是整數(shù)，(1)a0(mod9) (2)a2010(mod9)(3)a的十進(jìn)位表示的各位數(shù)碼字之和可被9整除(4)劃去a的十進(jìn)位表示中所有的數(shù)碼字9，所得的新數(shù)被9整除以上各條件中，成為9|a的充要條件的共有（）。個(gè)個(gè) 個(gè) 個(gè)二、填空題1、(

6、2010)=_；(2010)=_。2、數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)7的指數(shù)是_。3、每個(gè)數(shù)都有一個(gè)最小質(zhì)因數(shù).所有不大于10000的合數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)中，最大者是_。4、同余方程24x6(mod34)的解是_。5、整數(shù)n>1，且(n-1)!+10(mod n),則n為_（填：素?cái)?shù)或合數(shù)）。6、3103被11除所得余數(shù)是_。7、=_。三、計(jì)算題1、判定() 2x3 - x2 + 3x - 1 º 0 (mod 5)是否有三個(gè)解；() x6 + 2x5 - 4x2 + 3 º 0 (mod 5)是否有六個(gè)解2、設(shè)n是正整數(shù)，求 的最大公約數(shù)。3、已知a=18,m=77,求使ax

7、º 1 (mod m)成立的最小自然數(shù)x。四、證明題 1、若質(zhì)數(shù)p5,且2p+1是質(zhì)數(shù)，證明：4p+1必是合數(shù)。2、設(shè)p、q是兩個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)，證明：p2q2(mod 24)。3、若x,yR+ ,（1）證明：xyxy； （2）試討論xy與xy的大小關(guān)系。注：我們知道，x+yx+y，x+yx+y。此題把加法換成乘法又如何呢4、證明：存在一個(gè)有理數(shù)，其中d < 100,能使 = 。（提示：由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式來證明）初等數(shù)論練習(xí)題四一、單項(xiàng)選擇題 1、若Fn=是合數(shù)，則最小的n是( )。A. 2 B. 3 C. 4 D. 52、記號baa表示baa,但ba+1 a

8、. 以下各式中錯(cuò)誤的一個(gè)是( )。A. 21820! B. 10550! C. 119100! D. 1316200!3、對于任意整數(shù)n，最大公因數(shù)(2n+1,6n-1)的所有可能值是( )。A. 1 B. 4 C. 1或2 D. 1，2或44、設(shè)a是整數(shù)，下面同余式有可能成立的是( )。A. a22 (mod 4) B. a25 (mod 7) C. a25 (mod 11) D. a26 (mod 13)5、如果ab(mod m)，c是任意整數(shù)，則下列錯(cuò)誤的是（）Aacbc(mod mc)Bm|a-b C(a,m)=(b,m) Da=b+mt,tZ二、填空題 1、d(10010)=_；(1

9、0010)=_。2、對于任意一個(gè)自然數(shù)n，為使自N起的n個(gè)相繼自然數(shù)都是合數(shù)，可取N=_。3、為使3n-1與5n+7的最大公因數(shù)達(dá)到最大的可能值，則整數(shù)n應(yīng)滿足條件_。4、在5的倍數(shù)中，選擇盡可能小的正整數(shù)來構(gòu)成模12的一個(gè)簡化系，則這組數(shù)是_。5、同余方程26x+133 (mod 74)的解是_。6、不定方程5x+9y=86的正整數(shù)解是_。7、=_。三、計(jì)算題1、設(shè)n的十進(jìn)制表示是，若792½n，求x，y，z。2、求3406的末二位數(shù)。3、求(214928+40)35被73除所得余數(shù)。四、證明題 1、設(shè)a1, a2, L, am是模m的完全剩余系，證明： （1）當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，a1+

10、 a2+ L+ am 0（mod m）；（2）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，a1+ a2+ L+ am （mod m）。2、證明：若m2，a1, a2, L, aj(m)是模m的任一簡化剩余系，則 3、設(shè)m > 0是偶數(shù)，a1, a2, L, am與b1, b2, L, bm都是模m的完全剩余系，證明：a1 + b1, a2 + b2, L, am + bm不是模m的完全剩余系。4、證明：（1）2730x13-x； （2）24x(x+2)(25x2-1)；（3）504x9-x3；（4）設(shè)質(zhì)數(shù)p3，證明：6pxp-x。初等數(shù)論練習(xí)題五一、單項(xiàng)選擇題 1、設(shè)x、y分別通過模m、n的完全剩余系，若（ ）通過模

11、mn的完全剩余系。、n都是質(zhì)數(shù)，則my + nx B. mn，則my + nx C. （m，n）=1，則my + nx D. （m，n）=1，則mx + ny2、1×3×5××2003×2005的標(biāo)準(zhǔn)分解式中11的冪指數(shù)是( )。 .101 C 3、n為正整數(shù)，若2n-1為質(zhì)數(shù)，則n是( )。A.質(zhì)數(shù) B.合數(shù) (k為正整數(shù))4、從100到500的自然數(shù)中，能被11整除的數(shù)的個(gè)數(shù)是( )。 .34 C 5、模100的最小非負(fù)簡化剩余系中元素的個(gè)數(shù)是( )。 .10 C 二、填空題 1、同余方程ax+b0(modm)有解的充分必要條件是_。2、高

12、斯稱反轉(zhuǎn)定律是數(shù)論的酵母，反轉(zhuǎn)定律是指_。3、被3除所得的余數(shù)為_。4、設(shè)n是大于2的整數(shù)，則(-1)(n)=_。5、單位圓上的有理點(diǎn)的坐標(biāo)是_。6、若3258×a恰好是一個(gè)正整數(shù)的平方，則a的最小值為_。7、=_三、計(jì)算題 1、求32008×72009×132010的個(gè)位數(shù)字。2、求滿足j(mn)=j(m)+j(n)的互質(zhì)的正整數(shù)m和n的值。3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，現(xiàn)在用100元買這三樣?xùn)|西共100斤，問各買幾斤四、證明題 1、已知2011是質(zhì)數(shù)，則有2011|。2、設(shè)p是4n+1型的質(zhì)數(shù)，證明若a是p的平方剩余，則p-a也是p的平方剩余

13、.3、已知p,q是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，且ap-11 (mod q), aq-11 (mod p), 證明：apqa (mod pq)。4、證明：若m,n都是正整數(shù)，則j(mn)=（m,n）j(m,n)。初等數(shù)論練習(xí)題六一、填空題 1、為了驗(yàn)明2011是質(zhì)數(shù)，只需逐個(gè)驗(yàn)算質(zhì)數(shù)2，3，5，p都不能整除2011，此時(shí)，質(zhì)數(shù)p至少是_。2、最大公因數(shù)(4n+3,5n+2)的可能值是_。3、設(shè)340!，而3+140!，即340!，則=_。4、形如3n+1的自然數(shù)中，構(gòu)成模8的一個(gè)完全剩余系的最小的那些數(shù)是_。5、不定方程x2+y2=z2,2|x, (x,y)=1, x,y,z>0的整數(shù)解是且僅是_ 。

14、6、21x9 (mod 43)的解是_。7、 =_。二、計(jì)算題1、將寫成三個(gè)既約分?jǐn)?shù)之和，它們的分母分別是3，5和7。2、若3是質(zhì)數(shù)p的平方剩余，問p是什么形式的質(zhì)數(shù)3、判斷不定方程x2+23y=17是否有解三、證明題1、試證對任何實(shí)數(shù)x,恒有x+x+=2x。2、證明：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3（2n+1）； （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3（2n+1）。3、證明：（1）當(dāng)3n（n為正整數(shù)）時(shí)，7（2n-1）； （2）無論n為任何正整數(shù)，7（2n+1）。4、設(shè)m0，n0，且m為奇數(shù)，證明：（2m-1，2n+1）=1。初等數(shù)論練習(xí)題七一、單項(xiàng)選擇題 1、設(shè)a和b是正整數(shù)，則=（）。A1 Ba CbD(a,b)

15、2、176至545的正整數(shù)中，13的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（）。A27 B28 C29D303、200!中末尾相繼的0的個(gè)數(shù)是（）。A49 B50 C51D524、從以下滿足規(guī)定要求的整數(shù)中，能選取出模20的簡化剩余系的是（）。A2的倍數(shù) B3的倍數(shù) C4的倍數(shù)D5的倍數(shù)5、設(shè)n是正整數(shù)，下列選項(xiàng)為既約分?jǐn)?shù)的是（）。A B CD二、填空題 1、314162被163除的余數(shù)是_。2、同余方程3x5(mod13)的解是_。3、4、-_。5、為使n-1與3n的最大公因數(shù)達(dá)到最大的可能值，則整數(shù)n應(yīng)滿足條件_。6、如果一個(gè)正整數(shù)具有21個(gè)正因數(shù)，問這個(gè)正整數(shù)最小是_。7、同余方程x3+x2-x-10(mod 3

16、)的解是_。三、計(jì)算題1、求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整數(shù)解。2、有一隊(duì)士兵，若三人一組，則余1人；若五人一組，則缺2人；若十一人一組，則余3人。已知這隊(duì)士兵不超過170人，問這隊(duì)士兵有幾人3、判斷同余方程是否有解四、證明題 1、設(shè)(a, m) = 1，d0是使a d º 1 (mod m)成立的最小正整數(shù)，則() d0½j(m)；()對于任意的i，j，0 £ i, j £ d0 - 1，i ¹ j，有a ia j (mod m)。2、證明：設(shè)a，b，c，m是正整數(shù)，m > 1，(b, m) = 1，并且b a &#

17、186; 1 (mod m)，b c º 1 (mod m)， 記d = (a, c)，則bd º 1 (mod m)。3、設(shè)p是素?cái)?shù)，p½bn - 1，nÎN，則下面的兩個(gè)結(jié)論中至少有一個(gè)成立：() p½bd - 1對于n的某個(gè)因數(shù)d < n成立；() p º 1 ( mod n )。若2n，p > 2，則()中的mod n可以改為mod 2n。初等數(shù)論練習(xí)題八一、單項(xiàng)選擇題 1、若n > 1，則(n - 1)! º -1 (mod n)是n為素?cái)?shù)的（ ）。 A.必要但非充分條件 B.充分但非必要條件 C

18、.充要條件 D.既非充分又非必要條件2、小于545的正整數(shù)中，15的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）。 .35 C 3、500!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中7的冪指數(shù)是（ ）。 .80 C 4、以下各組數(shù)中，成為模10的簡化剩余系的是（ ）。,9,3,1 ,1,7,9 C.5,7,11,13 D.1,1,3,35、設(shè)n是正整數(shù)，下列選項(xiàng)為既約分?jǐn)?shù)的是（ ）。A. B. C. D. 二、填空題1、（120）=_。2、7355的個(gè)位數(shù)字是_。3、同余方程3x5(mod14)的解是_。4、（）=_。5、-_。6、如果一個(gè)正整數(shù)具有6個(gè)正因數(shù)，問這個(gè)正整數(shù)最小是_。7、同余方程x3+x2-x-10(mod 5)的解是_。三、計(jì)算

19、題 1、已知563是素?cái)?shù)，判定方程x2 º 429 (mod 563)是否有解。2、求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。3、試求出所有正整數(shù)n ，使得1n2n3n4n 能被5整除。四、證明題 1、證明：若質(zhì)數(shù)p>2，則2P-1的質(zhì)因數(shù)一定是2pk+1形。2、設(shè)（m,n）=1,證明：mj(n)+n j(m) 1 (mod mn)。3、設(shè)（a,b）=1,a+b0,p為一個(gè)奇質(zhì)數(shù)，證明：。初等數(shù)論練習(xí)題九一、單項(xiàng)選擇題1、以下Legendre符號等于-1的30被-1是( )。A. B. C. D. 2、100至500的正整數(shù)中，能被17整除的個(gè)數(shù)是( )。A. 23B. 24C.

20、 25D. 263、設(shè) |500!，但500！，則=( )。A. 245.246D. 2484、以下數(shù)組中，成為模7的完全剩余系的是( )。A. 14，4，0，5，15，18，19B. 7，10，14，19，25，32，40C. 4，2，8，13，32，35，135D. 3，3，4，4，5，5，05、設(shè)n是正整數(shù)，則以下各式中一定成立的是( )。A.(n+1,3n1)=1 B.（2n1,2n1）=1 C.（2n,n1）=1 D.（2n1,n1）=1二、填空題 1、25736被50除的余數(shù)是_。2、同余方程3x5(mod16) 的解是_。3、不定方程9x12y=15的通解是_。4、 =_。5、實(shí)

21、數(shù)的小數(shù)部分記為x ，則 _。6、為使3n與4n1 的最大公因數(shù)達(dá)到最大的可能值，則整數(shù)n應(yīng)滿足條件_。7、如果一個(gè)正整數(shù)具有35個(gè)正因數(shù)，問這個(gè)正整數(shù)最小是_。三、計(jì)算題 1、解不定方程9x24y5z=1000。2、設(shè)A = x1, x2, L, xm是模m的一個(gè)完全系，以x表示x的小數(shù)部分，若(a, m) = 1，求。3、設(shè)整數(shù)n ³ 2，求：。即在數(shù)列1, 2, L, n中，與n互素的整數(shù)之和。4、設(shè)m > 1，(a, m) = 1，x1, x2, ¼, xj(m)是模m的簡化剩余系，求：。其中x表示x的小數(shù)部分。四、證明題 1、證明：設(shè)a是有理數(shù)，b是使ba為整數(shù)的最小正整數(shù)，若c和ca都是整數(shù)，則bc。(提示：利用帶余數(shù)除法解決。) 2、設(shè)p是素?cái)?shù)，證明：() 對于一切整數(shù)x，xp - 1 - 1 º (x - 1) (x - 2)L(x - p + 1) (mod p)；() (p - 1)! º - 1 (mod p)。3、證明：若2n，p是奇質(zhì)數(shù)，pan-1,則。4、證明：若p=4m+1是一質(zhì)數(shù)，則。5、設(shè)p是奇質(zhì)數(shù)，p º 1 (mod 4)，