二次函數(shù)——常見二次函數(shù)模型

1、二次函數(shù)(一)所描述的關(guān)系、結(jié)識拋物線、剎車距離與二次函數(shù)知識點(diǎn)回顧1.函數(shù)概念小結(jié)2特定系數(shù)法求函數(shù)解析式3.圖像平移法則二、典例剖析考點(diǎn)1【二次函數(shù)的相關(guān)概念】(4)y=J一(5)y=(x+3)2-x2(6)v=10兀r2x-xB.二次函數(shù)自變量的取值范圍是所有實(shí)數(shù)D.二次函數(shù)的取值范圍是非零實(shí)數(shù)例1下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？y=3(x-1)2+1(2)y=x+-(3)s=3-2tx隨堂練習(xí)11.下列結(jié)論正確的是A.y=ax2是二次函數(shù)C.二次方程是二次函數(shù)的特例2,下列函數(shù)中：y=-x2；y=2x;y=22+x2x3;m=3tt2是二次函數(shù)的是(其中x、t為自變量).3.下列各關(guān)系式中

2、，屬于二次函數(shù)的是(x為自變量).122J_12A.y=_xB.y=vx-1C.y=_2D.y=ax8x考點(diǎn)2【二次函數(shù)的一般式】例2-1若y=(m1)xm2-6m-7是二次函數(shù)，則m=()B. 7C. 1或7D.以上都不對例2-2.已知拋物線y=ax2g過點(diǎn)A(2,8)(1)求此拋物線的函數(shù)解析式；(2)判斷點(diǎn)B(1,4)是否在此拋物線上.(3)求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo).隨堂練習(xí)21 .函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù))是二次函數(shù)的條件是A.aw0,bw0,cw0B.a<0,bw0,g0C.a>0,bw0,cw0D.aw02 .已知函數(shù)y=(m2m)x2+(

3、m1)x+m+1.(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應(yīng)怎樣？23 .如果函數(shù)y=xk-3k+2+kx+1是二次函數(shù),則k的值一定是考點(diǎn)3【常見的二次函數(shù)模型】例3-1【面積問題】如圖5,一塊草地是長80m、寬60m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時草坪面積為ym2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.用60m例3-2【密8則題】某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹平均每棵樹就會少結(jié)5個橙

4、子.假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結(jié)多少個橙子？如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個,那么請你寫出y與x之間的關(guān)系式.例3-3【利率問題】人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本息合計自動轉(zhuǎn)存，到支取時，銀行將扣除利息的20%作為利息稅，我如果將10000元存入銀行，請寫出兩年后支取時的本息和y(元)與年利率x的函數(shù)表達(dá)式。隨堂練習(xí)31.用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，場地面積S(m2)與矩形一邊長a(m)之間的關(guān)系是什么?是函數(shù)關(guān)系嗎？是哪一種函數(shù)？2.某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000kg，購進(jìn)價格為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不得

5、高于每千克70元也不得低于30元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)；單價定為70元時，日均銷售60kg.單價每降低1元，日均多售出2kg,在銷售過程中，每天還要支出其他費(fèi)用500元(天數(shù)不足一天時，按整天計算).設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元，求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式.考點(diǎn)4二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)例4【對稱性】填右表并填空:(1)拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是，在側(cè),y隨著x的增大而增大；在側(cè),y隨著x的增大而減小，當(dāng)x=時，函數(shù)y的值最拋物線y=x2y=-x2頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸小，最小值是，拋物線y=2x2在x軸的方(除頂點(diǎn)外).(2)拋物線y=-1/3x2x軸的方(除頂點(diǎn)外),在對稱軸白左側(cè)，y隨著x的;

6、開口方向增減性最值在對稱軸白右側(cè)，y隨著x的,當(dāng)x-0時，函數(shù)y的值最大，最大值是,當(dāng)x0時,y<0。隨堂練習(xí)4.1.二次函數(shù)y=3x2的圖象是關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫做,它的開口與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是。當(dāng)x>0,y的值隨x的值增大而。當(dāng)xv0,y的值隨著x值的增大而,當(dāng)x=時，y有最小值，最小值是2.點(diǎn)A(3,m)是拋物線y=x2上一點(diǎn)，則m=，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是2點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是;點(diǎn)B、C關(guān)于對稱。函數(shù)y=axa是二次函數(shù)，當(dāng)a=時，其圖象開口向上；當(dāng)a=時，其圖象開口向下.(1)你能列出面積S與邊長a的函數(shù)關(guān)系式嗎？(2) S是a的次函數(shù)；(3) a能否小于

7、零？3/8（4）你能作出面積S隨邊長a變化而變化的函數(shù)圖象嗎?考點(diǎn)5y=ax2的圖像特點(diǎn)】例5-1對于y=ax2（aw0）的圖象，下列敘述正確的是（）A.a越大開口越大，a越小開口越小B,a越大開口越小，a越小開口越大C.Ia|越大開口越小，Ia|越小開口越大D.1a|越大開口大，Ia|越小開口越小例5-2拋物線y=3x2，y=4x2，y=1x,它們的圖像在同一坐標(biāo)系下開口大小順序是（）33A.下B.下>C.下D.下隨堂練習(xí)51.拋物線y=-x2不具有的性質(zhì)是（）A.開口向下B.對稱軸是Y軸C.與Y軸不相交D.最高點(diǎn)是原點(diǎn)2,二次函數(shù)y=x2,若y>0,則自變量x的取值范圍是（）A

8、.可取一切實(shí)數(shù)B.xw0C.x>0D.x<03 .求直線y=x與拋物線y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)。4 .已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且經(jīng)過原點(diǎn)。請寫出一個符合條件的二次函數(shù)的解析式考點(diǎn)61y=ax2+c的圖像特點(diǎn)】例6.若二次函數(shù)y=ax2+c（aW0）中，a>0,c>0時，它的圖象的開口方向是（）A.向上B.向下C.向上或向下D.無法判斷隨堂練習(xí)61 .若二次函數(shù)y=ax2+c,當(dāng)x取x1,x2（x產(chǎn)x2）時函數(shù)值相等，則當(dāng)xWx-x2時，函數(shù)值為（）A.a+cB.acC.cD.c2 .拋物線y=ax2+b（aw0）與x軸有兩個交點(diǎn)，且開口向上，則a,b的取值范圍是（）A.a

9、>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b<0D,a<0,b>03 .拋物線y=x2+b與拋物線y=ax22的形狀相同，只是位置不同，則a、b值分別是（）A.a=1,bw-2B,a=-2,bw2C,a=1,bw2D,a=2,bw24,函數(shù)y=kx23與y=4(kw0)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()例7.將拋物線y=3x2向上平移兩個單位得到拋物線的表達(dá)式()考點(diǎn)71圖像的上下平移】A.y=3x2-2B.y=3(x+2)2C.y=3x2+2D.y=3(x-2)2隨堂練習(xí)71 .將拋物線y=-x2-1向上平移兩個單位得到拋物線的表達(dá)式()A.y

10、=x2B.y=x22C.y=x2+1D.y=x2+12 .拋物線y=3x2+4可以由拋物線y=3x2沿平移得到；同樣，y=3x24可以由拋物線y=3x2沿平移得到3 .二次函數(shù)y=4x22的圖象與y=4x2的圖象有什么關(guān)系？它是軸對稱圖形嗎？它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？三、經(jīng)典習(xí)題一、選擇題(10*3)1,已知丫個=x,那么y是x的()x-32A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)C,正比例函數(shù)D.反比例函數(shù)2.如果二次函數(shù)y=ax2+m的值恒大于0,那么必有()A.a>0,m取任意實(shí)數(shù)B.a>0,m>0C.a<0,m>0D.a,m均可取任意實(shí)數(shù)3 .拋物線y=a

11、x2+c與y軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列判斷正確的是()A.c>0B.c=0C.c<0D.c的符號與a無關(guān)4 .拋物線y=x2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,0)B.(2,0)C.(1,3)D.(0,4)5 .在半彳空為5cm的圓面上，從中挖去一個半徑為xcm的圓面，剩下一個圓環(huán)的面積為ycm則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()A.y=nx25B.y=n(5x)2C.y=(x2+5)D.y=-nx2+25n6 .函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù))是二次函數(shù)的條件是A.aw0,bw0,cw0B.a<0,bw0,cw0C.a>0,bw0,g0D.aw07.1. 函數(shù)y=ax2(a

12、w0)的圖象與a的符號有關(guān)的是A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.開口方向C.開口大小D.對稱軸8.函數(shù)y=ax2(aw0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,8),則a的值為A.±2B.-2C.2D.319 .下列結(jié)論正確的是A.y=ax2是二次函數(shù)B.二次函數(shù)自變量的取值范圍是所有實(shí)數(shù)C.二次方程是二次函數(shù)的特例D.二次函數(shù)的取值范圍是非零實(shí)數(shù)10 .在圖4中，函數(shù)尸2*2與y=ax+b的圖象可能是二、填空題(6*3AC11.過點(diǎn)A(0,1)作一條與x軸平行的直線與拋物線y=4x2相交于點(diǎn)MN則MN兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是:12 .拋物線y=-1x2-3的圖象開口,對稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)/為,當(dāng)x=時，y有最值為13 .已知函數(shù)

13、y=x2+1,y=2x2+1,函數(shù)(填序號)有最小葉|值，當(dāng)x時，該函數(shù)的最小值是14 .已知，拋物線y=ax2+c與拋物線y=2x21關(guān)于x軸對稱，貝Ua=,c=15 .已知拋物線y=ax2與直線y=kx+1交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),則a=k=,B點(diǎn)坐標(biāo)是216 .函數(shù)y=axaa是二次函數(shù)，當(dāng)a=時，其圖象開口向上；當(dāng)a=時，其圖象開口向下.三(計算題)17 .(6分)已知函數(shù)y=(m2m)x2+(m1)x+m+1.(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應(yīng)怎樣?18 .(6分)已知直線AB過點(diǎn)A(3,0)且與拋物線y=ax2相交于B、C兩

14、點(diǎn)，若B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).(1)求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求C點(diǎn)坐標(biāo)。19 .(7分)如圖，二次函數(shù)y=mx2+4m圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),矩形ABCD的頂點(diǎn)BC在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD&拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)。(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),試求矩形ABCD勺周長P關(guān)于自變量x的函數(shù)表達(dá)式，并求自變量x的取值范圍。20(7分).已知拋物線y=ax2(aw0)與直線y=2x+3交于點(diǎn)(1,b)(1)求a、b的值；(2)求拋物線與y=x+6的兩交點(diǎn)及頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積。21. (8分)已知二次函數(shù)y=x2+4x3的圖象交y軸于點(diǎn)B,交x軸于A,C兩點(diǎn)，求：(1)