概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第4章 第二節(jié)方差

1、概率統(tǒng)計(jì)第二節(jié)第二節(jié) 方方 差差 問(wèn)題的引出問(wèn)題的引出引例引例1 某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為 a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：表示如圖： a 甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果概率統(tǒng)計(jì) 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣， 你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？ 較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近 a 甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果a 乙

2、儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果概率統(tǒng)計(jì)甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：若請(qǐng)你評(píng)估，你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢若請(qǐng)你評(píng)估，你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心引例引例2概率統(tǒng)計(jì)引例引例3某兩個(gè)儲(chǔ)蓄所，它們的月吸收存款額某兩個(gè)儲(chǔ)蓄所，它們的月吸收存款額(萬(wàn)元萬(wàn)元)及其概率如下所示：及其概率如下所示：甲儲(chǔ)蓄所甲儲(chǔ)蓄所乙儲(chǔ)蓄所乙儲(chǔ)蓄所月吸收存款額月吸收存款額X甲甲概率概率p810

3、120. 20. 60. 2月吸收存款額月吸收存款額X乙乙概率概率p710130. 30. 40. 3問(wèn)：?jiǎn)枺杭滓覂蓚€(gè)儲(chǔ)蓄所哪個(gè)月吸收存款額來(lái)得穩(wěn)定？甲乙兩個(gè)儲(chǔ)蓄所哪個(gè)月吸收存款額來(lái)得穩(wěn)定？解：解：(1) 若計(jì)算其數(shù)學(xué)期望，則：若計(jì)算其數(shù)學(xué)期望，則：()8 0.210 0.612 0.210E X甲甲(萬(wàn)元萬(wàn)元)()7 0.310 0.413 0.310E X乙乙(萬(wàn)元萬(wàn)元)概率統(tǒng)計(jì)從計(jì)算的結(jié)果上看，這兩個(gè)儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額從計(jì)算的結(jié)果上看，這兩個(gè)儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額的的平均值平均值是相同的。但從已知條件稍加分析可知，是相同的。但從已知條件稍加分析可知，甲儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額比乙儲(chǔ)蓄所的月吸

4、收存款甲儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額比乙儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額來(lái)得額來(lái)得“穩(wěn)定穩(wěn)定”。因此，要進(jìn)一步的研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。因此，要進(jìn)一步的研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)必須必須了解它的取值與平均值的偏離程度了解它的取值與平均值的偏離程度。(2) 若用隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的偏差的期望值來(lái)若用隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的偏差的期望值來(lái) 表示這表示這偏離程度偏離程度，則：，則：()(810) 0.2(1010) 0.6(1210) 0.20E XE X甲甲甲甲(萬(wàn)元萬(wàn)元)()(710) 0.3(1010) 0.4(1310) 0.30E XE X乙乙乙乙(萬(wàn)元萬(wàn)元)概率統(tǒng)計(jì)從計(jì)算的結(jié)果上看，由于諸偏差的正負(fù)抵消，這兩個(gè)從計(jì)算的結(jié)果上看

5、，由于諸偏差的正負(fù)抵消，這兩個(gè)儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額與其數(shù)學(xué)期望的偏差的期望值儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額與其數(shù)學(xué)期望的偏差的期望值均為均為“0”，這樣就掩蓋了實(shí)際偏差的的大小。因此，這樣就掩蓋了實(shí)際偏差的的大小。因此，為了克服諸偏差的正負(fù)抵消，真正反映出實(shí)際偏差的為了克服諸偏差的正負(fù)抵消，真正反映出實(shí)際偏差的大小程度，通常采用大小程度，通常采用偏差平方的數(shù)學(xué)期望偏差平方的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述隨機(jī)來(lái)描述隨機(jī)變量變量的取值與平均值的偏離程度的取值與平均值的偏離程度。(3) 若用隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的若用隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的偏差平方偏差平方的期望值的期望值 來(lái)表示這來(lái)表示這偏離程度偏離程度，則：，則：2222(

6、)(810)0.2(1010)0.6(1210)0.21.6E XE X甲甲甲甲(萬(wàn)元萬(wàn)元)2222()(710)0.3(1010)0.4(1310)0.35.4E XE X乙乙乙乙(萬(wàn)元萬(wàn)元)概率統(tǒng)計(jì)從計(jì)算的結(jié)果上看，由于克服了諸偏差的正負(fù)抵消，從計(jì)算的結(jié)果上看，由于克服了諸偏差的正負(fù)抵消，這兩個(gè)儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額與其數(shù)學(xué)期望的偏差這兩個(gè)儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額與其數(shù)學(xué)期望的偏差平方的期望值就真正反映出實(shí)際偏差的大小程度：平方的期望值就真正反映出實(shí)際偏差的大小程度：甲儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額比乙儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額甲儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額比乙儲(chǔ)蓄所的月吸收存款額來(lái)得來(lái)得“穩(wěn)定穩(wěn)定”。 通常稱用通常稱

7、用偏差平方的數(shù)學(xué)期望偏差平方的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述來(lái)描述隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值與平均值的偏離程度為的取值與平均值的偏離程度為“方差方差”一一. 方差的定義方差的定義()D X 設(shè)設(shè)X 是一個(gè)隨機(jī)變量，若是一個(gè)隨機(jī)變量，若 E(X-E(X)2 存在，存在， D(X)=EX-E(X)2 為為 X 的的方差方差。記為：。記為：定義定義.()Var X EX-E(X)2采用平方是為采用平方是為了保證一切差了保證一切差值值X-E(X)都起都起正面的作用正面的作用則稱則稱概率統(tǒng)計(jì)注注()D X是個(gè)是個(gè)(實(shí)實(shí))數(shù)，它數(shù)，它形式上形式上是是X 的每一個(gè)取值的每一個(gè)取值和它們的平均值的偏差平方與相應(yīng)概率的乘積和它們的

8、平均值的偏差平方與相應(yīng)概率的乘積之和；之和；本質(zhì)上本質(zhì)上體現(xiàn)了體現(xiàn)了X 圍繞著圍繞著“平均值平均值”的偏離的偏離程度，故它是衡量程度，故它是衡量X 取值分散程度的一個(gè)標(biāo)志；取值分散程度的一個(gè)標(biāo)志；物理上物理上表示了一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系通過(guò)重心表示了一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系通過(guò)重心 E(X)的縱軸的縱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 方差的算術(shù)平方根方差的算術(shù)平方根 稱為稱為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差或或均方均方 差。差。記為記為:()D X()()XD X X()D X實(shí)際上是實(shí)際上是的函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。2)()(XEXXg 概率統(tǒng)計(jì)21()()()kkkD XVar XxE Xp 二二. 離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)

9、變量的方差1. 定義定義.XkP012nxxxx 012npppp 設(shè)設(shè)離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為:如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱此絕對(duì)收斂，則稱此21()kkkxE Xp 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 X 的方差，記為：的方差，記為：2()E XE X注注 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，則稱不絕對(duì)收斂，則稱21()kkkxE Xp ()D X不存在不存在概率統(tǒng)計(jì)2 . 幾種常見(jiàn)分布的方差幾種常見(jiàn)分布的方差22D(X)(0)(1)pqpppq它它的分布律為的分布律為:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 只能取只能取 0 與與 1 兩個(gè)值，它的分布兩個(gè)值，它的分布律為律為:(1)()(1)0,1.

10、 01kkP X kppkp 則：則： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 ( n, p ) 的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，(1) 分布分布(0 1) 即即 ( , ),XB n p(2) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布則：則：D(X)n pq E(X)p nkppCkXPknkkn2 , 1 , 0,)1()( npXE )(概率統(tǒng)計(jì)(3) 泊松分布泊松分布若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X 的所有可能取值為：的所有可能取值為： 而它的分布律而它的分布律(它所取值的各個(gè)概率它所取值的各個(gè)概率)為：為： 0,1,2,()0,1,2,!keP Xkkk )( PX即即:則則:D(X) E(X) 三三. 連續(xù)型隨機(jī)變

11、量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差1. 定義定義. 設(shè)設(shè)連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的概率密度為的概率密度為( )f x如果積分如果積分絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂，則2()( )xE Xf x dx 稱此積分為稱此積分為 X 的方差，記為：的方差，記為：概率統(tǒng)計(jì)()()D XVar X 2()( )xE Xf x dx 2()E XE X2. 幾種常見(jiàn)分布的方差幾種常見(jiàn)分布的方差(1). 均勻分布均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)為：為：( )f x bxaab10其其 它它 , XU a b即即則則 :()2abE X 2()()12baD X 概率統(tǒng)

12、計(jì)(2). 指數(shù)分布指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)為：為：10( )0 xexf x 其其它它為常數(shù)為常數(shù)0 其中其中則則:201()xxedx 2()()( )D XxE Xf x dx 2 2()D X 即即:()E X 概率統(tǒng)計(jì)xz 令令: :2()()( )D Xxf x dx (3). 正態(tài)分布正態(tài)分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的的概率密度為：概率密度為：22()21( ),2xf xex 2( ,)XN 即即 :則則:dxexx222)(221)( 概率統(tǒng)計(jì)2222112zzed z 222 222222zzzeed z 222

13、22zz ed z 2 2()D X 即即:()E X 結(jié)論：結(jié)論：正態(tài)分布中密度函數(shù)的參數(shù)正態(tài)分布中密度函數(shù)的參數(shù) 恰好就是恰好就是 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的方差。的方差。2 正態(tài)分布中密度函數(shù)的參數(shù)正態(tài)分布中密度函數(shù)的參數(shù) 恰好就是恰好就是 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 概率統(tǒng)計(jì)22()()()D XE XE X2()()D XE XE X22()2 ()()()E XE X E XE X22()()E XE X三三. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)1. 這是一個(gè)重要的經(jīng)這是一個(gè)重要的經(jīng)常使用的計(jì)算公式常使用的計(jì)算公式證明證明:222()() E XX E XE X22()2()() E

14、 XEX E XE E X由數(shù)學(xué)期由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)望的性質(zhì)因?yàn)閿?shù)學(xué)因?yàn)閿?shù)學(xué)期望期望E(X)是數(shù)是數(shù)注注:這個(gè)公式給出了計(jì)算隨機(jī)變量這個(gè)公式給出了計(jì)算隨機(jī)變量X的方差的公式，的方差的公式，同時(shí)也給出了數(shù)學(xué)期望與方差之間的關(guān)系。同時(shí)也給出了數(shù)學(xué)期望與方差之間的關(guān)系。概率統(tǒng)計(jì)22()()()D XE XE X()2abE X 例例1. 1,( )0,axbf xba 其其它它 , ,XU a b設(shè)設(shè)即它的概率密度函數(shù)為：即它的概率密度函數(shù)為：求：求：X 的方差的方差解：解： 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?21()()2baabD Xxdxba 所以：所以：2()12ba 概率統(tǒng)計(jì)例例2. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X

15、服從幾何分布，其分布律數(shù)為：服從幾何分布，其分布律數(shù)為：其中其中，0 p 1解：解：11()kkE Xk pq 1()kkpq 1()kkpq ()1qpq 1p 求和與求和與求導(dǎo)求導(dǎo)交換交換次序次序無(wú)窮遞縮等比無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式級(jí)數(shù)求和公式求求：D ( X )(1)qp記記, 2 , 1,)1()(1 kppkxPk概率統(tǒng)計(jì)2211()kkE Xk pq 1111(1)kkkkpk kqkq1()kkqpq +E(X)1()1qqpqp 321(1)qpqp 221qpp22pp 22pp 21p 21pp 22()()EDEXXX所以所以:概率統(tǒng)計(jì)2()()cD cXD X ()()

16、( )D XYD XD Y()D XY ( )0D c 2 .c若若 是常數(shù)，則：是常數(shù)，則：3. c若若 是常數(shù)，是常數(shù)，X 是隨機(jī)變量，則：是隨機(jī)變量，則：證明：證明：22()() ()D cXE cXE cX222()()E c XcE X2222()()c E XcE X222()() cE XE X2()c D X 4. 若若X,Y是是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則：的隨機(jī)變量，則：證明：證明：由方差定義由方差定義2()()EXYE XY概率統(tǒng)計(jì)()( )2 ()( )D XD YE XE XE YE Y ()( )D XD Y22()( )2 ()( )E XE XE YE YE

17、XE XYE Y 2() ( )EXE XYE Y 因?yàn)橐驗(yàn)閄,Y相相互獨(dú)立，所互獨(dú)立，所以以X-E(X)與與Y-E(Y)也相也相互獨(dú)立互獨(dú)立()( )2()() ( )( )D XD YE XE XE YE Y 注：注：此性質(zhì)可推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)此性質(zhì)可推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情形。變量之和的情形。概率統(tǒng)計(jì)()0D X 5. ()1P Xc的的充分必要條件充分必要條件是是X以概率以概率1取常數(shù)取常數(shù)c即即6. (切比雪夫不等式切比雪夫不等式) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望(),E X 2().D X 方差方差則對(duì)任意正數(shù)則對(duì)任意正數(shù) 不等式：

18、不等式：22PX 成立。成立。稱其為稱其為切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式(chebysev)的另一形式的另一形式:221)( XP概率統(tǒng)計(jì)證明證明:我們就連續(xù)型的隨機(jī)變量的情況來(lái)證明我們就連續(xù)型的隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.設(shè)設(shè)X的概率密度為的概率密度為 f(x),則有則有 xdxxfXP)()(dxxfxx)(22 dxxfx)()(122 22 概率統(tǒng)計(jì)切比雪夫不等式的切比雪夫不等式的作用：作用：給出了在隨機(jī)變量給出了在隨機(jī)變量 X 的的分布未知的情況下分布未知的情況下 概率的上限的概率的上限的一種估計(jì)方法。一種估計(jì)方法。 如取如取3 22|()| 3 0.1119PX

19、E X 可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差 存在存在,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 取值偏離取值偏離 E(X) 超過(guò)超過(guò) 的概率小的概率小于于0.111 .2 3 則則: 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件越小，則事件|X-E(X)| 的概率越大，的概率越大，即即隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 集中在期集中在期望附近的可能性越大望附近的可能性越大. 由此：由此：2 X概率統(tǒng)計(jì) 現(xiàn)應(yīng)用切比雪夫不等式證明性質(zhì)現(xiàn)應(yīng)用切比雪夫不等式證明性質(zhì)5：()0D X 的的充分必要條件充分必要條件是是 X 以概率以概率 1 取常數(shù)取常數(shù)c即即()1P Xc證

20、明：證明：()1P Xc()0D Xc()0D Xc所以由切比雪夫不等式可知：所以由切比雪夫不等式可知：2()0D XPX 0 即：即：0PX由此可體會(huì)方差的由此可體會(huì)方差的概率意義概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度概率統(tǒng)計(jì)則其對(duì)立事件：則其對(duì)立事件：1PX取取1,n 記記1()nAXE Xn顯然，顯然，1nnAA 1nA nA11n 1n0令：令：1()0nnAAXE X ()XE X由連續(xù)性得：由連續(xù)性得：1( )lim()lim()1nnnP AP AP XE Xn即：即：()1P XE X顯然，顯然，()cE X 1n nA 事件事件是在是在0與與

21、之間之間1 n概率統(tǒng)計(jì)已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200 9400之間的概率之間的概率 .設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為 X依題意，依題意，現(xiàn)求：現(xiàn)求：例例3解：解：(52009400)?PX2()7300,()700E XD X73007300(5200940)00073PX( 2100()2100)PXE X()2100)PXE X由由切比雪夫不等式得：切比雪夫不等式得：概率統(tǒng)計(jì)2()()2100 1(2

22、100)D XPXE X27001()210018199即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200 9400之間的概率之間的概率不小于不小于8/9 .例例4 在每次試驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中，事件A 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 利用利用切比雪夫不等式求：切比雪夫不等式求：n 需要多么大時(shí)，才能使得需要多么大時(shí)，才能使得在在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件事件 A 出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.74 0.76之間的概率至少為之間的概率至少為 0. 90 ?設(shè)設(shè) X 為為 n 次試驗(yàn)中，事件次試驗(yàn)中，事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)解：解：概率統(tǒng)計(jì)的最小的的最小的 n

23、900760740.).(nXP則：則：所求為滿足：所求為滿足：( , 0.75)XB n()0.75E Xn ()0.750.250.1875D Xnn 可改寫(xiě)為：可改寫(xiě)為：(0.740.76)XPn (0.740.76 )PnXn (0.740.750.750.760.75 )PnnXnnn( 0.010.750.01 )PnXnn ()0.01 )PXE Xn在在切比雪夫不等式中取切比雪夫不等式中取 ：0.01n 概率統(tǒng)計(jì)2()1(0.01 )D Xn20.187510.0001nn 18751n則有：則有：(0.740.76)XPn ()0.01 )PXE Xn依題意，?。阂李}意，?。?87510.9n9n 解得：解得：即即 n 取取