七年級下冊第24題壓軸題平行線的拐角問題

1、七下平行線，平面直角坐標(biāo)系壓軸題.解答題（共27小題）14.如圖，已知直線 AB/ CD,直線EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F, FM平分/ EFD點(diǎn)H是射線EA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），過點(diǎn)H的直線交EF于點(diǎn)P, HM平分/ BHP交FM于點(diǎn)M.（1）如圖 1,試說明：/ HMF= （/BHP+/DFP）;2請?jiān)谙铝薪獯鹬?，填寫相?yīng)的理由：解：過點(diǎn)M作MQ / AB （過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行）. AB/ CD （已知），.MQ/CD （如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；/1=/ 3, /2=/ 4（）/1+/ 2=/ 3+/4 （等式的性質(zhì)）即

2、/ HMF=/ 1 + /2. FM平分/EFD HM平分/BHP （已知）./I卷 / BHP, /2=/DFP（ /HMF/ BH/ 22（/BHP+/ DFP （等量代換）.（2）如圖2,若HPEF,求/ HMF的度數(shù);（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)N平分/ HFE交AB于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NQ FM于點(diǎn)Q,試說明無論點(diǎn)H在何處都有/ EHF=2/ FNQ.第1頁（共13頁）14.如圖，已知直線 AB/ CD,直線EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F, FM平分/ EFR點(diǎn)H是射線EA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），過點(diǎn)H的直線交EF于點(diǎn)P, HM平分/ BHP交FM于點(diǎn)M.（1）如圖 1,試

3、說明：/ HMF=（/BHP+/DFP）;2請?jiān)谙铝薪獯鹬?，填寫相?yīng)的理由：解：過點(diǎn)M作MQ / AB （過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行）. AB/ CD （已知），.MQ/CD （如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）./1=/ 3, Z2=Z 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）1+/2=/3+/4 （等式的性質(zhì)）即/ HMF=/ 1 + /2. FM平分/EFD HM平分/BHP （已知）/1:L/ BHP, /2，/DFP（ 角平分線定義 ） 22丁 / HMF/ BHP+Z DFP222（/BHP+/DFP （等量代換）.（2）如圖2,若HPEF,求/ H

4、MF的度數(shù);（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，F(xiàn)N平分/ HFE交AB于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NQ FM于點(diǎn)Q,試說明無論點(diǎn)H在何處都有/ EHF=2/ FNQ.【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)HP EF, AB/ CD,得到/ EHF+Z DFP=90,再根據(jù)（1）中結(jié)論即可得到/ HMF的度數(shù)；（3）先根據(jù)題意得到/ NFQ=9 0-/FNQ,再正g據(jù)FN平分/ HFE, FM平分/ EFD即可彳4出/ HFD=2/NFQ,最后由g據(jù)/ EHF+ZHFD=180,即可得出/ EHF=2Z FNQ.【解答】解：（1）由MQ/CD,得到/ 1=/3,

5、 /2=/4,其依據(jù)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；由FM平分/EFR HM平分/BHP,得到/ 1=1/BHP, /2=1/DFP,其依據(jù)為：角平分線定義.故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線定義.(2)如圖 2, v HP，EF, ./HPE=90,；/EHR/HEP=180 90=90 (三角形的內(nèi)角和等于180 )又AB/ CD, /HEP4 DFP. /EHR/DFP=90.由(1)得：/ HMF=- (/EH、/DFP 卷 X90=45.(3)如圖 3, v NQFM,丁. / NFC+Z FNQ=180 - 90=90 (三角形的內(nèi)角和等于 180).丁. / NFQ=90 -

6、 / FNQ. FN平分/HFE, FM 平分/EFD又. /NFQ=/ NFEnZ QFE= (/HFEfFEFD =j-Z HFD, ./HFD=2ZNFQ又AB/ CD, /EHR/HFD=180, ./EHF=180-/ HFD=180-2/NFQ=180-2 (90-/FNQ =2/FNQ, 即無論點(diǎn)H在何處都有/ EHF=2/ FNQ.【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義以及平行公理的運(yùn)用，解決問題的 關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).TE/ r 八 He/ B A H M E/ B15.如圖1,直線m/n,點(diǎn)B、F在直線m上，點(diǎn)E、

7、C在直線n上，連結(jié)FE并延長至點(diǎn)A,連結(jié)BA和 CA,使 / AEC=/ BAC.(1)求證：/ BFAVBAC=180;(2)請?jiān)趫D1中找出與/ CAF相等的角，并加以證明；第5頁(共13頁)(3)如圖2,連結(jié)BC交AF于點(diǎn)D,作/ CBF和/CEF的角平分線交于點(diǎn)M,若/ ADC=,請直接寫 出/M的度數(shù)(用含a的式子表示)【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到/ AECW AFM,再根據(jù)/ AEC= BAC,可得/ AFM=/ BAC 根據(jù)/ BFA+/AFM=180,可得結(jié)論；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，即可得到與/CAF相等的角；(3)過D作DH/ BF,過M作MG/

8、BF,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到/ CED=T HDE, / FBD之HDB, 再根據(jù)/ CBF和/ CEF的角平分線交于點(diǎn) M,可得/ CEM+Z FBM號(/CE/ FBD),進(jìn)而得到/ M 的度數(shù).【解答】解：(1)如圖1,.直線m / n,ZAECAFM,vZ AEC之 BAC,丁. / AFM=/ BAC又. / BFA+/AFM=180 , ./BFAf/BAC=180;(2)與/ CAF相等的角有：/ ANC, / ABF, / BNG.證明：vZ AECW BAC, / ACE玄 NCA /CAE4ANC之 BNG,; m / n, /ABF之 ANC, 與/ CAF相等的角有

9、：/ ANC, / ABF, / BNG;(3)如圖 2,過 D作 DH/ BF,過 M 作 MG / BF,第4頁(共13頁). BF/ CEE, .DH/ BF/ CEE, MG / BF/ CEE, /CED力 HDEE, / FBD=/ HDB,丁 / CEDV FBD=Z EDB=180 - / ADC=180 - a,: / CBF和/ CEF勺角平分線交于點(diǎn) M ,ZCEM+Z FBMJ (ZCEt+ZFBD) 息(180 - a) =90 上 a, 222. MG / BF/ CE ./CEM=/ GME, / FBM=/ GMB,丁. / BME=/ GME+Z GMB=/

10、CEM+Z FBM=90a.國2【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注 意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.16.已知直線 AB/ CD, M, N分別是AB, CD上的點(diǎn).(1)若E是AB, CD內(nèi)一點(diǎn).如圖甲所示，請寫出/ BME, /DNE, /MEN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.如圖乙所示，若/ 1/BME, /2=/DNE,請利用的結(jié)論探究/ F與/MEN的數(shù)量關(guān)系.(2)若E是AB, CD外一點(diǎn).如圖內(nèi)所示，請直接寫出/ EMB, / END, /E之間的數(shù)量關(guān)系.如圖丁所示，已知/ BMP/EMB,在射線MP上找一點(diǎn)G,使得/MGN2/E,請?jiān)趫D

11、中畫出點(diǎn) 44G的大致位置，并求/ ENG /GND的值.A A/ B之、rsi c. 力 日乙丙【分析】（1）過E作EF/ AB,構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行推導(dǎo)，即可得到ZBME+ZDNE+Z MEN=360 .過F作FG/ AB,構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得至|J/MFN=/ 1+/ 2,再結(jié)合的結(jié)論，即可得出 3/MFN+/MEN=360;（2）過E作EF/ AB,構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，即可得到/ DNE/BME=/ MEN;設(shè)/ GMB = , / G邛，由/BMP/EMB, / G=l / E,可得/ EMQ=3 ,

12、/ E=40, 44根據(jù)8字形結(jié)構(gòu)得到/ GNQ=3+3就根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，得到/ GND=/1 = a+&據(jù)此可得/ ENG /GND的值.【解答】 解：（1）/ BME+/DNE+/MEN=360 .證明：如圖甲，過E作EF/ AB,第9頁(共13頁)甲 . AB/ CD,EF/ CD, /BME+/ FEM=180, / DNE+/FEN=180, 丁. / BME+Z FEM+Z DNE+Z FEN=180+180 =360, 即/ BME+/ DNE+Z MEN=360 .如圖乙，過F作FG/ AB,AMR乙. AB/ CD, FG/ CD, ./1=/ MFG,

13、/2=/ NFG ./MFN=/ 1 + /2,又. / 1烏/ BME, /2毛 rJJ/DNE, ./BME=3/ 1, /DNE=3/2, 又/ BME+Z DNEfZ MEN=360 , .3/ 1+3/2+/MEN=360 , 即 3ZMFN+Z MEN=360;(2)/ EMB, /END, /E之間的數(shù)量關(guān)系為：/ DNE-/BME=/MEN. 理由如下：如圖內(nèi)，過 E作EF/ AB, . AB/ CD,EF/ CD,ZDNE=Z FEN, / BME=/ FEM, 又. / FEN- /FEM=/MEN, ./DNE- / BME=/ MEN;點(diǎn)G的大致位置如圖丁所示：設(shè)MG與

14、NE交于點(diǎn)Q, NG與AB交于點(diǎn)F,設(shè)/ GMB = , /G邛，由/BMPJ/ EMB, /G2/E,可彳4/ EMQ=3 , / E=40, 44vZ EQM=/ GQN, /E+/ EMQ=/G+/GNQ,即/GNQ=/E+/EMQ / G=4g+3a 0=3 +3 0, / 1是GEM的外角，. ./1=/ G+/ GMF =+a,又AB/ CD, ./GND=/ 1 = a+B, /ENG /GND= (3a+3 0):(什位=3.【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性 質(zhì)的運(yùn)用，過拐點(diǎn)作平行線，準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解決

15、問題的關(guān)鍵.17.已知，AB/ CD,點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn).(1)如圖 1,若/ EAF=30, /EDG=40,則/ AED= 70 ;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在FG延長線上時(shí)，此時(shí) CD與AE交于點(diǎn)H,則/ AED / EAF / EDG之間滿 足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；(3)如圖 3, DI 平分/EDC 交 AE于點(diǎn) K,交 AI 于點(diǎn) I,且3EAI: / BAI=1: 2, /AED=22, / I=20 , 求/ EKD的度數(shù).【分析】(1)延長DE交AB于H,依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得/ D=/AHE=40,再根據(jù)/ AED是4AEH 的外角，即可得到/ AED之A+/AHE=30

16、+40=70;(2)依據(jù) AB/ CD,可得/ EAF=Z EHC 再根據(jù)/ EHC是4DEH的外角，即可得到/ EHG=/ AED+ZEDG 即/EAFW AEC+/EDG(3)設(shè)/ EAI=% 則/ BAE=3x,進(jìn)而得出/ EDK須-2,依據(jù)/ EHC=Z EAF=Z AEa/EDG 可得 3a =2H2a 4,求得/ EDK=16,即可得出/ EKD的度數(shù).【解答】解：(1)如圖，延長DE交AB于H,. AB/ CD,. ./D=/ AHE=40,:/AED是AAEH的外角，丁. / AED=Z A+ZAHE=30+40=70,故答案為：70;(2) / EAF4 AEC+ZEDG.理

17、由：=AB/ CD,丁. / EAF4 EHC:/EHC是4DEH的外角, /EHG玄 AED+Z EDG /EAF4 AEC+ZEDG;(3) :/ EAI: / BAI=1: 2, 設(shè)/ EAI=% 則 / BAE=3x,ZAED=22, /I=20 ； / DKE之 AKI,又EDK+Z DKEnZ DEK=180, Z KA+Z KIA+Z AKI=180, /EDK須-2,. DI 平分/ EDC ./CDE=2EDK=Z-4,. AB/ CD,丁 / EHC力 EAF與 AEDfZ EDG,即 3 a =22+2 a 4,解得a =18； ./EDK=16,.在ADKE中，/ EK

18、D=180- 16 - 22 =142.【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決 問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.解題時(shí)注意：三角形的一 個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.19.如圖 1, AC平分/ DAB, /1=/ 2.第#頁（共13頁）(1)試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；(2)如圖2,當(dāng)/ADC=120時(shí)，點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延長線上運(yùn)動(dòng)，試探討/ E和/F的數(shù)量 關(guān)系；(3)如圖3, AD和BC交于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH/ BC交AC于點(diǎn)H,若AC，BC,問當(dāng)/ CDH為多少 度時(shí)，/ GDC

19、4 ADH.【分析】(1)依據(jù)AC平分/DAB, /1=/2,即可得到/ 2=/BAC,進(jìn)而判定CD/ AB.(2)當(dāng)/ADC=120時(shí)，Z 1 = 7 2=30,依據(jù)/ 2 是 CEF的外角，可得/ E+ZF=Z 2=30.(3)依據(jù)DH/ BC, AC BC,可得DHL AC,進(jìn)而彳4到/ ADH=/CDH,據(jù)此可得當(dāng)/ GDC4ADH時(shí), /CDG玄 CDH之 ADH,即可彳4到 / CDH工 X180 =60.3【解答】解：(1)如圖，: AC平分/ DAB, ./ 1=/ BAC又: / 1 = /2, / 2=/ BAC.CD/ AB.(2)當(dāng)/ADC=120時(shí)，/1 = /2=3

20、0,點(diǎn)E、F分別在CD和AC的延長線上運(yùn)動(dòng)，/2是CEF的外角, . /E+/ F=/ 2=30.(3)DH/ BC, AC BC, .DH, AC,又: / 1 = /2, ./ADH=/ CDH, 當(dāng) / GDC4 ADH 時(shí)，/ CDG玄 CDH之 ADH,第10頁(共13頁)ZCDH=L X 180 =60.3故當(dāng)/CDH為60度時(shí)，/ GDC玄ADH.第13頁(共13頁)【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，兩條直線被第三條所截，如果 內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.22.如圖，已知 AB/ CD, CE BE的交點(diǎn)為E,現(xiàn)作如下操作： 第一次操作，分別作/ ABE和/ DCE的平分線，交點(diǎn)為Ei, 第二次操作，分別作/ ABE和/ DCE的平分線，交點(diǎn)為E2, 第三次操作，分別作/ ABE和/ DCE的平分線，交點(diǎn)為 目，,國國第n次操作，分別作/ ABH i和/DCE-i的平分線，交點(diǎn)為En.(1)如圖，求證：/ BEC=zABE+/DCE(2)如圖，求證：/ BE2C=pZ BEC(3)猜想：若/ En=a度，那/ BEC等于多少度？(直接寫出結(jié)論).【分析】(1)先過E作EF/ AB,根