§7.4--一階線性微分方程

1、整理課件1)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:, 0)( xQ當當上方程稱為上方程稱為一階線性一階線性齊次方程齊次方程.上方程稱為上方程稱為一階線性非一階線性非齊次方程齊次方程., 0)( xQ當當一、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.7.4 一階線性微分方程一階線性微分方程整理課件2. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性

2、齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法 (使用分離變量法使用分離變量法)整理課件3).(2ln)2()()(120 xfdttfxfxfx，求求滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式、若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)例例 2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 則則整理課件42. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論: 設(shè)設(shè)y=f(x)是解是解, 則則,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 變形變形積分積分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdx

3、xfxQeexf非齊方程通解形式非齊方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()( dxxfxQexc記記 dxxpexcxfy)()()(整理課件5常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .設(shè)解為設(shè)解為 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和將將yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 積分得積分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齊方程通解

4、非齊方程通解整理課件6一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解對應(yīng)齊次方程通解與對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解非齊次方程特解之和。之和。.0)()()(的的解解的的任任意意兩兩解解之之差差是是證證明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 整理課件7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin

5、Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例2 2整理課件8的的通通解解。、求求方方程程例例0)12(2)1(322 dyxyydxy)1(21422yyxyydydx 解解)1(22214214cdyeyyexdyyydyyy )ln2()1(1222cyyy 整理課件9例例4 4 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊

6、求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 整理課件10 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).22(32xxeyx 23xyy 整理課件11).(. 1)(lim), 0()(, 0)()(01.02xfxfxfzdxdyedzdxxxyfdydzxxfsxxsx求求且且內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在其其中中函函數(shù)數(shù)，都都有有面面內(nèi)內(nèi)任任意意光光滑滑有有向向封封閉閉曲曲設(shè)設(shè)對對于于半半空空間間練練習(xí)習(xí) dvexxfxfxfxzdxdyedzdxxxyfdydzxxfvxsx)

7、()()()()(22 解解：0 0)()()(2 xexxfxfxfx則則xexxfxxf21)()11()( 1)()11(2)11(cdxeexexfdxxxdxx 整理課件1212cdxxeexxexxx cexexx 1lim)(lim200 xceexfxxxx0)(lim20 xxxcee1 c)1()( xxexexf整理課件13解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 練習(xí)練習(xí)2.求微分方程求微分方程

8、 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 整理課件14伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程的標準形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為線性微分方程方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程方程為非線性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程 時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 經(jīng)過變量代換化為線性微分方程經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.整理課件15,1 nyz 令令),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以

9、兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn),()(1111xQyxPdxdynnn 即即整理課件16.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以y例例 4 1)整理課件17;22)222xxexyyy 解解22222,2xxxexydxdyxexydxdyy ,2yz 令令,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx .0)ln1(3的的通通解解再再求求方方程程 dxxxyyxdy整理課件18;)(sin1)152xyxyxdxdy 例例解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cx