固體物理知識點總結(jié)(考試必備)

1、11. 體心立方元素晶體, 111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為多大? 實際周期為多大? 解答 結(jié)晶學(xué)的晶胞,其基矢為 a，b，c ,只考慮由格矢 R= h a +kb +l c 構(gòu)成的格點. 因此, 體心立方元素晶體111方向上的結(jié)晶學(xué)周期為 根3a , 但實際周期為 根3a /2.13. 在晶體衍射中，為什么不能用可見光？ 解答晶體中原子間距的數(shù)量級為 10-10米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應(yīng)小于 10-10 米. 但可見光的波長為7.6-4.0*10-7 米, 是晶體中原子間距的1000倍. 因此, 在晶體衍射中，不能用可見光.3.晶體的結(jié)合能, 晶體的內(nèi)能, 原子間的相互作用勢

2、能有何區(qū)別?解答自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量, 或者把晶體拆散成一個個自由粒子所需要的能量, 稱為晶體的結(jié)合能. 原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能.在0K時, 原子還存在零點振動能. 但零點振動能與原子間的相互作用勢能的絕對值相比小得多. 所以, 在0K時原子間的相互作用勢能的絕對值近似等于晶體的結(jié)合能. 10.為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)?解答金屬結(jié)合中, 受到最小能量原理的約束, 要求原子實與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低(絕對值盡可能的大). 原子實越緊湊, 原子實與共有電子電子云靠得就越緊密, 庫侖能就越低. 所以, 許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu). 5. 晶體中聲

3、子數(shù)目是否守恒?頻率為w的格波平均聲子數(shù)為18. 在甚低溫下, 德拜模型為什么與實驗相符? 解答在甚低溫下, 不僅光學(xué)波得不到激發(fā), 而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā), 得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波. 長聲學(xué)格波即彈性波. 德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻. 因此, 在甚低溫下, 德拜模型與事實相符, 自然與實驗相符.19. 在絕對零度時還有格波存在嗎? 若存在, 格波間還有能量交換嗎? 解答頻率為 w的格波的振動能為其中 是由 個聲子攜帶的熱振動能, ( )是零點振動能, 聲子數(shù)為絕對零度時, =0. 頻率為 的格波的振動能只剩下零點振動能. 格波間交換能量是靠聲子的碰撞實現(xiàn)

4、的. 絕對零度時, 聲子消失, 格波間不再交換能量.6. 溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢, 還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多? 解答頻率為 的格波的(平均) 聲子數(shù)為 因為光學(xué)波的頻率 比聲學(xué)波的頻率 高, ( )大于( ）, 所以在溫度一定情況下, 一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目.5.金屬淬火后為什么變硬? 解答 我們已經(jīng)知道 晶體的一部分相對于另一部分的滑移, 實際是位錯線的滑移, 位錯線的移動是逐步進行的, 使得滑移的切應(yīng)力最小. 這就是金屬一般較軟的原因之一. 顯然, 要提高金屬的強度和硬度, 似乎可以通過消除位錯的辦法來實現(xiàn). 但事實上位錯是很難消除的. 相反, 要提高金屬的

5、強度和硬度, 通常采用增加位錯的辦法來實現(xiàn). 金屬淬火就是增加位錯的有效辦法. 將金屬加熱到一定高溫, 原子振動的幅度比常溫時的幅度大得多, 原子脫離正常格點的幾率比常溫時大得多, 晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺陷. 這些點缺陷容易形成位錯. 也就是說, 在高溫時, 晶體內(nèi)的位錯缺陷比常溫時多得多. 高溫的晶體在適宜的液體中急冷, 高溫時新產(chǎn)生的位錯來不及恢復(fù)和消退, 大部分被存留了下來. 數(shù)目眾多的位錯相互交織在一起, 某一方向的位錯的滑移, 會受到其它方向位錯的牽制, 使位錯滑移的阻力大大增加, 使得金屬變硬.6.在位錯滑移時, 刃位錯上原子受的力和螺位錯上原子受的力各有什么特點?解答在位錯

6、滑移時, 刃位錯上原子受力的方向就是位錯滑移的方向. 但螺位錯滑移時, 螺位錯上原子受力的方向與位錯滑移的方向相垂直.2. 布洛赫函數(shù)滿足 = , 何以見得上式中 具有波矢的意義? 解答人們總可以把布洛赫函數(shù) 展成付里葉級數(shù) ,其中k是電子的波矢. 將 代入 = ,得到其中利用了 ( 是整數(shù)), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意義.14. 等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交的物理意義是什么？ 解答將電子的波矢k分成平行于布里淵區(qū)邊界的分量 和垂直于布里淵區(qū)邊界的分量k. 則由電子的平均速度得到等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交, 則在布里淵區(qū)邊界上恒有 =0, 即垂直于界面的速度分

7、量 為零. 垂直于界面的速度分量為零, 是晶格對電子產(chǎn)生布拉格反射的結(jié)果. 在垂直于界面的方向上, 電子的入射分波與晶格的反射分波干涉形成了駐波.8. 當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時, 其有效質(zhì)量何以與真實質(zhì)量有顯著差別? 解答晶體中的電子除受外場力的作用外, 還和晶格相互作用. 設(shè)外場力為F, 晶格對電子的作用力為Fl, 電子的加速度為但Fl的具體形式是難以得知的. 要使上式中不顯含F(xiàn)l, 又要保持上式左右恒等, 則只有顯然, 晶格對電子的作用越弱, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越小. 相反, 晶格對電子的作用越強, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越大. 當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界

8、上時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈. 在晶面族的反射方向上, 各格點的散射波相位相同, 迭加形成很強的反射波. 正因為在布里淵區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強, 所以其有效質(zhì)量與真實質(zhì)量有顯著差別.18. 一維簡單晶格中一個能級包含幾個電子? 解答設(shè)晶格是由N個格點組成, 則一個能帶有N個不同的波矢狀態(tài), 能容納2N個電子. 由于電子的能帶是波矢的偶函數(shù), 所以能級有(N/2)個. 可見一個能級上包含4個電子.電子氣的費米能和熱容量在熱平衡時，能量為在熱平衡時，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是的狀態(tài)被電子占據(jù)的概率是1.費米分布函數(shù)0. a T FFF01)(EEEEEEE

9、f陡變0.b T FFF0211)(EEEEEEEf1e1)(BF)( TkEEEf索末菲自由電子服從費米電子服從費米狄拉克分布。狄拉克分布。1eBF( Tk)EEgnB0F22kTTCV 這是因為在常溫下，費米球內(nèi)部的電子從晶格振動獲取的能量不這是因為在常溫下，費米球內(nèi)部的電子從晶格振動獲取的能量不足以使其躍遷到費米面附近或以外的空狀態(tài)，只有費米面附近足以使其躍遷到費米面附近或以外的空狀態(tài)，只有費米面附近kBT范圍的電范圍的電子才能受熱激發(fā)而躍遷至較高的能級。也就是說能量隨溫度發(fā)生變化的只子才能受熱激發(fā)而躍遷至較高的能級。也就是說能量隨溫度發(fā)生變化的只是少數(shù)電子。所以電子的熱容量很小。是少數(shù)

10、電子。所以電子的熱容量很小。2 電子的熱容量常溫下常溫下電子對與熱容量的貢獻很小，如何解釋呢電子對與熱容量的貢獻很小，如何解釋呢? ? 習(xí)題習(xí)題2:一維一維復(fù)式格子復(fù)式格子，原子質(zhì)量為，原子質(zhì)量為m，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩個，原子統(tǒng)一編號，任一原子與兩個最近鄰原子的間距不同，力學(xué)常數(shù)不同。分別為最近鄰原子的間距不同，力學(xué)常數(shù)不同。分別為 1，和，和 2，晶格常量為晶格常量為a，求原子的運動方程和色散關(guān)系求原子的運動方程和色散關(guān)系。解解:只考慮最近鄰原子間的相互作用，只考慮最近鄰原子間的相互作用， 1211.m nnnnnxxxxx nnnnnxxxxmx 112121. 設(shè)格波的解為設(shè)格波

11、的解為: : aqntinAx2e aqntiqbaqntinBBx221ee 將試探解代入方程得將試探解代入方程得: :)e()(m212iaqBABAA )()e(122ABABBmiaq 0e21221 BmAiaq 0e21221 BAMiaq 0ee2212121221 mMiaqiaq解得解得: : 2sin)(4112sin)(16)2(2222212121222121222212aqmaqmmmm 2sin)(411222121212aqmo 2sin)(411222121212aqmA 晶體的宏觀特性是由晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的，即晶體的宏觀特性是微觀晶體的宏觀特性是由晶體

12、內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性決定的，即晶體的宏觀特性是微觀特性的反映。特性的反映。晶格+基元=晶體結(jié)構(gòu)。 晶格是晶體結(jié)構(gòu)周期性的數(shù)學(xué)抽象。原胞 構(gòu)造：取一格點為頂點，由此點向近鄰的三個格點作三個不共面的矢量，構(gòu)造：取一格點為頂點，由此點向近鄰的三個格點作三個不共面的矢量，以此三個矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。以此三個矢量為邊作平行六面體即為固體物理學(xué)原胞。 特點：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物特點：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物理學(xué)原胞包含理學(xué)原胞包含1 1個格點。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。個格點。它反映了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。晶胞晶胞

13、 構(gòu)造：使三個基矢的主軸盡可能地沿空間對稱軸的方向。它具有明顯的對構(gòu)造：使三個基矢的主軸盡可能地沿空間對稱軸的方向。它具有明顯的對稱性和周期性。稱性和周期性。特點：晶胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部亦可有格點。其體積特點：晶胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部亦可有格點。其體積是原胞體積的整數(shù)倍。是原胞體積的整數(shù)倍。通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列晶列，晶列的取向稱為晶列的取向稱為晶向晶向，描寫晶向的一組描寫晶向的一組數(shù)稱為數(shù)稱為晶向指數(shù)晶向指數(shù)( (或或晶列指數(shù)晶列指數(shù)) )。在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為

14、在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面晶面，描寫晶面方位的，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為一組數(shù)稱為晶面指數(shù)晶面指數(shù)配位數(shù)：一個粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù)：一個粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù)配位數(shù)。它可以描述晶體中粒子排列的緊密。它可以描述晶體中粒子排列的緊密程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大?？赡艿呐湮粩?shù)有：程度，粒子排列越緊密，配位數(shù)越大?？赡艿呐湮粩?shù)有：12、8、6、4、3、2 。密堆積：如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小如果晶體由完全相同的一種粒子組成，而粒子被看作小圓球，則這些全同的小圓球最緊密的堆積稱為圓球最緊密的堆積稱為密堆

15、積密堆積。密堆積的配位數(shù)最大，為。密堆積的配位數(shù)最大，為12 。密堆積有六角密積和立方密積。致密度：如果把等體積的硬球放置在晶體結(jié)構(gòu)中原子所在的位置上，如果把等體積的硬球放置在晶體結(jié)構(gòu)中原子所在的位置上，球的體積取得盡可能大，以使最近鄰的球相切，我們把一個晶胞中球的體積取得盡可能大，以使最近鄰的球相切，我們把一個晶胞中被硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為被硬球占據(jù)的體積和晶胞體積之比稱為致密度致密度Vv 平均每個晶胞包含平均每個晶胞包含4個個格點。格點。 332141aaaa 3.體心立方 kjiaakjiaakjiaa 222321 平均每個晶胞包含平均每個晶胞包含2個格個格點。點。 3321

16、21aaaa 2.面心立方 jiaakiaakjaa 2223211a3a2aiajakai ajaka1a3a2a 典型的晶體結(jié)構(gòu)1.簡立方,321kaajaaiaa 3321aaaa 倒格1.1. ijjiba2)ji ( 2 ji 02.2.KRhl2 3.3. *32 3213212. 5hhhhhhdK 332211bhbhbhKh( (h1 1h2 2h3 3) )4.4. 213132321222aabaabaab 321aaa 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，是固體物理學(xué)原胞體積。是固體物理學(xué)原胞體積。321,aaa與與 332211bhbhbhKn ),(321為整數(shù)為整數(shù)

17、hhh 所聯(lián)系的各點的列陣即為所聯(lián)系的各點的列陣即為倒格倒格。倒格1.1. ijjiba2)ji ( 2 ji 02.2.KRhl2 3.3. *32 3213212. 5hhhhhhdK 332211bhbhbhKh( (h1 1h2 2h3 3) )4.4. 213132321222aabaabaab 321aaa 其中其中 是正格基矢，是正格基矢，是固體物理學(xué)原胞體積。是固體物理學(xué)原胞體積。321,aaa與與 332211bhbhbhKn ),(321為整數(shù)為整數(shù)hhh 所聯(lián)系的各點的列陣即為所聯(lián)系的各點的列陣即為倒格倒格。 倒格矢倒格矢 與正格中晶面族與正格中晶面族( (h1h2h3)

18、 )正交正交. .332211hbhbhbhK 3212hhhd且倒格矢且倒格矢 的模等于的模等于 。332211hbhbhbhK 已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？晶體結(jié)晶體結(jié)構(gòu)構(gòu)正格正格332211bhbhbhKh 正格基正格基矢矢321,aaa倒格基倒格基矢矢321,bbb倒格倒格 213132321aabaabaab 222(h1h2h3) 面間距面間距晶格振動的波矢數(shù)目晶格振動的波矢數(shù)目 =晶體的原胞數(shù)晶體的原胞數(shù)N，格波振動頻率格波振動頻率(模式模式)數(shù)目數(shù)目=晶體的自由晶體的自由度數(shù)度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)原胞內(nèi)原子

19、的自由度數(shù)mn。N是晶體的原胞個數(shù)，是晶體的原胞個數(shù)，n是原胞內(nèi)原子個數(shù)，是原胞內(nèi)原子個數(shù)，m是維數(shù)。是維數(shù)。簡諧近似下，原子的振動或者說格波的振動可以看成是簡諧近似下，原子的振動或者說格波的振動可以看成是3N3N個簡正振動模式的線個簡正振動模式的線性疊加。性疊加。聲子是晶格振動的能量量子，聲子是晶格振動的能量量子，3nN個振動模式得：個振動模式得：3nN種聲子，種聲子，3N種聲學(xué)聲子，種聲學(xué)聲子， ( (3n- -3) )N種光學(xué)聲子。種光學(xué)聲子。1.1.固體比熱的實驗規(guī)律固體比熱的實驗規(guī)律(1)(1)在高溫時，晶體的比熱為在高溫時，晶體的比熱為3 3NkNkB B；(2)(2)在低溫時，絕

20、緣體的比熱按在低溫時，絕緣體的比熱按T3 3趨于零。趨于零。2.模式密度 nDlim0)( nsqcqsVD3 31 13 32 2 d模型模型運動方程運動方程 試探解試探解色散關(guān)系色散關(guān)系波矢波矢q范圍范圍一維無限長原子鏈，一維無限長原子鏈，m，a， 晶格振動波矢的數(shù)目晶格振動波矢的數(shù)目=晶晶體的原胞數(shù)體的原胞數(shù)B-K條件條件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinAx e2sin2aqm aqa Nnnxx n- -2nn+ +1n+ +2n- -1ammoa a m 2lNaq2 愛因斯坦模型：愛因斯坦模型：(1)(1)晶體中原子的振動是相互獨立的；晶體中原子的振

21、動是相互獨立的；(2)(2)所有原子都具有同一所有原子都具有同一頻率頻率 ；(3)(3)設(shè)晶體由設(shè)晶體由N個原子組成個原子組成, ,共有共有3N個頻率為個頻率為 的振動的振動。高溫時與實驗相吻合，低溫時以比高溫時與實驗相吻合，低溫時以比T3 3更快的速度趨于零。更快的速度趨于零。德拜模型：德拜模型：(1)(1)晶體視為連續(xù)介質(zhì)晶體視為連續(xù)介質(zhì), ,格波視為彈性波；格波視為彈性波；(2)(2)有一支縱波兩支橫波；有一支縱波兩支橫波；(3)(3)晶格振動頻率在晶格振動頻率在0w 0w 之間之間( ( D為德拜頻率為德拜頻率) )。高低溫時均與實驗相吻合高低溫時均與實驗相吻合, ,且溫度越低，與實驗

22、吻合的越好。且溫度越低，與實驗吻合的越好。 按缺陷的幾何形狀和涉及范圍將缺陷分為：點缺陷、線缺陷和面缺陷。按缺陷的幾何形狀和涉及范圍將缺陷分為：點缺陷、線缺陷和面缺陷。1.1.點缺陷：點缺陷： 點缺陷點缺陷是在格點附近一個或幾個晶格常量范圍內(nèi)的一種晶格缺是在格點附近一個或幾個晶格常量范圍內(nèi)的一種晶格缺陷，陷， 如空位、填隙原子、雜質(zhì)等。如空位、填隙原子、雜質(zhì)等。 弗侖克爾缺陷弗侖克爾缺陷：當(dāng)晶格中的原子脫離格點后，移到間隙位置形成填隙原子：當(dāng)晶格中的原子脫離格點后，移到間隙位置形成填隙原子時，在原來的格點位置處產(chǎn)生一個空位，時，在原來的格點位置處產(chǎn)生一個空位，填隙原子和空位成對出現(xiàn)，這種缺陷，

23、這種缺陷稱為弗侖克爾缺陷。稱為弗侖克爾缺陷。 肖特基缺陷肖特基缺陷：當(dāng)晶體中的原子脫離格點位置后不在晶：當(dāng)晶體中的原子脫離格點位置后不在晶體內(nèi)部形成填隙原子，而是占據(jù)晶體表面的一個正常位置，并在原來的格點位體內(nèi)部形成填隙原子，而是占據(jù)晶體表面的一個正常位置，并在原來的格點位置產(chǎn)生一個空位，這種缺陷稱為肖特基缺陷。置產(chǎn)生一個空位，這種缺陷稱為肖特基缺陷。2.線缺陷： 當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰，這當(dāng)晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內(nèi)部一條線的周圍近鄰，這種缺陷稱為種缺陷稱為線缺陷線缺陷。位錯位錯就是線缺陷。就是線缺陷。刃型位錯刃型位錯：刃型位錯的位錯線與滑移方向垂直刃型位錯的

24、位錯線與滑移方向垂直。螺旋位錯螺旋位錯：螺旋位錯的位錯線：螺旋位錯的位錯線與滑移方向平行。與滑移方向平行。位錯缺陷的滑移：位錯缺陷的滑移：刃位錯刃位錯：刃位錯的滑移方向與晶體受力方向平行刃位錯的滑移方向與晶體受力方向平行。螺位錯螺位錯：螺位錯的滑移方向：螺位錯的滑移方向與晶體受力方向垂直與晶體受力方向垂直。三個近似：三個近似： 第一步簡化第一步簡化 絕熱近似：離子實質(zhì)量比電子大，離子運動速度慢，討論絕熱近似：離子實質(zhì)量比電子大，離子運動速度慢，討論電子問題，認(rèn)為離子是固定在瞬時位置上。電子問題，認(rèn)為離子是固定在瞬時位置上。 第二步簡化第二步簡化 單電子近似：每個電子是在固定的離子勢場以及其它電

25、子單電子近似：每個電子是在固定的離子勢場以及其它電子的平均場中運動的平均場中運動 第三步簡化第三步簡化 所有離子勢場和其它電子的平均場是周期性勢場所有離子勢場和其它電子的平均場是周期性勢場 復(fù)雜的多體問題轉(zhuǎn)化為周期場中的單電子運動問題復(fù)雜的多體問題轉(zhuǎn)化為周期場中的單電子運動問題布里淵區(qū)： 在在倒格空間中以中以任意一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒一個倒格點為原點，做原點和其他所有倒格點連線的中垂面格點連線的中垂面(或中垂線或中垂線)，這些中垂面，這些中垂面(或中垂線或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)布里淵區(qū)。 第一布里淵區(qū)第一布里淵

26、區(qū)( (簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)) )：圍繞原點的最小閉合區(qū)域；：圍繞原點的最小閉合區(qū)域；布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布喇菲晶格決定；布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布喇菲晶格決定；布里淵區(qū)的體積布里淵區(qū)的體積( (或面積或面積) )等于倒格原胞的體積等于倒格原胞的體積( (或面積或面積) )。布洛赫定理： 在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅在晶格周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。的平面波。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。 rurkrkik e nkkRruru ,rRrnRk in)(e)( )()(rrhKkk )3 2 1( 22， ibkbiii 在此范圍內(nèi)在此范圍內(nèi)k共有共有N個值個值(N為晶體原胞為晶體原胞數(shù)數(shù)) ,可容納可容納2N個電子。個電子。簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)(第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū))0)2( nnKkK 晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場晶體中的電子在某個原子附近時主要受該原子勢場 的作用，其他原子的作用，其他原子的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似。的作用視為微擾來處理，以孤立原子的電子態(tài)作為零級近似。)(nRrV mRmatnatRrVRrVrV)()(2.勢場 緊束縛近似1.模型 nnRnatRk iRrNr ,k)(e1)(