線段的垂直平分線

1、問題問題:如圖如圖,A、B、C三個村莊合建三個村莊合建一所學(xué)校一所學(xué)校,要求校址要求校址P點(diǎn)距離三個村點(diǎn)距離三個村莊都相等莊都相等.請你幫助確定校址請你幫助確定校址. ABC線段垂直平分線畫法（1）分別以端點(diǎn)）分別以端點(diǎn)A、B為圓心，大于為圓心，大于AB長長 為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E、F.（2）作直線）作直線EF.則則EF就是線段就是線段AB的垂直平分線的垂直平分線.動手畫一畫：作法：直線EF是不是線段線段AB的垂直平分線的垂直平分線呢？AB線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì)PA=PBP1P1A=P1B命題命題：線段垂直平分線上：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線

2、段兩個端點(diǎn)的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。PMNC動手操作動手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；由此你能得到什么規(guī)律？由此你能得到什么規(guī)律？量一量：量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.求證求證：證明：MNAB PCA= PCB=90 在 PAC和 PBC中

3、， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBCSAS PA=PB性質(zhì)定理性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)和這條和這條線段線段兩個端點(diǎn)兩個端點(diǎn)的的距離相等距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNC幾何語言幾何語言AC=BC,MNAB,P是是MN上任上任意一點(diǎn)意一點(diǎn)(已知已知),PA=PB(線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)距離相等).1、如圖、如圖,線段線段MN被直線被直線AB垂直垂直平分平分,圖中有哪些相等的線段圖中有哪些相等的線段?MFENABo基礎(chǔ)練習(xí)：EM=ENFM=FNBM=BNOM=ON2

4、.如圖如圖P是是AB垂直平分線垂直平分線MN上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，連結(jié)連結(jié)PA、PB,則則A與與B( )A.AB B. ABC. A=BMNPABC基礎(chǔ)練習(xí)：應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例:例例1。如圖所示，在。如圖所示，在ABC中，邊中，邊BC的垂直平分的垂直平分線線MN分別交分別交AB于點(diǎn)于點(diǎn)M,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)N, BMC的周的周長為長為23,且且BM=7,求求BC的長。的長。CBMNA解解: MN是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線 BM=7 CM=BM=7 BMC 的周長的周長=23BM+CM+BC=23BC=23-CM-BM =23-7-7 =9例例2 2。如圖，。如圖，BC=BABC=BA，MN

5、MN垂直平分垂直平分BCBC，若，若ABCABC周長周長為為2828，CA=8CA=8，求，求: :DCADCA的周長。的周長。BCADM解：解： ABCABC周長為周長為2828，CA=8CA=8 BC=BA BC=BAN2BA+CA=282BA+CA=28BA=10BA=10 MNMN垂直平分垂直平分BCBC BD=DC BD=DC DCADCA的周長的周長=DC+DA+CA=DC+DA+CA =BD+DA+CA=BD+DA+CA =BA+CA =BA+CA =10+8 =10+8 =18 =18 例例3。如圖所示，直線。如圖所示，直線MN和和DE分別是線段分別是線段AB、BC的的垂直平分

6、線垂直平分線,它們交于點(diǎn)它們交于點(diǎn),試判斷線段試判斷線段A和和C是否是否相等？請說明理由？相等？請說明理由？NMEDCBA解：相等，連接解：相等，連接B. MN是線段是線段AB的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） A=B（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)）又又 DE是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） B=C（線段中垂線的性（線段中垂線的性質(zhì)）質(zhì)） A=C（等量代換）（等量代換）填空：填空：1.已知已知:如圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,則則 ABC為為 三角形三角形.ABCED1題圖題圖等腰等腰填空：填空：1.已知已知:如

7、圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,則則 ABC為為 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD為為BC邊上的高邊上的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),則則BE EC.(填填、或或=號號)ABCEDABCED1題圖題圖2題圖題圖等腰等腰=證明題證明題:2.已知已知:如圖如圖,線段線段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求證求證:ADBC.ABCDO證明證明: 線段線段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知) CA=CB(線段垂直平分線的線段垂直平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)定理) 1= 3(等邊對等角等邊對等角)又又 AB平分平分 CAD(

8、已知已知) 1= 2(角平分線的定義角平分線的定義) 2= 3(等量代換等量代換) AD BC(內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等, ,兩直線平行兩直線平行)證明題證明題:4.已知已知:如圖如圖,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延長線于的延長線于F,連結(jié)連結(jié)AF.求證求證: CAF= B.ABCDEFABCDEF1234 1+ 2= 4(等邊對等角等邊對等角)又又 4= B+ 3(三角形的一個外角等于與它三角形的一個外角等于與它 不相鄰的兩個內(nèi)角的和不相鄰的兩個內(nèi)角的和) 1+ 2= B+ 3 AD平分平分 BAC(已知已知) 2= 3(角平分線的定義角平分線的定義) 1= B 即即

9、 CAF= B.證明證明: EF垂直平分垂直平分AD(已知已知) AF=DF(線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線的性質(zhì)定理) 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端 點(diǎn)點(diǎn) 的距離相等。的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線上上?逆命題逆命題：和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線 段的垂直平分線上。段的垂直平分線上。與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。條線段的垂直平分線上。 已知，如圖，已知

10、，如圖，AP=BP 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上證明：過點(diǎn)P作直線MN垂直于線段AB交AB于點(diǎn)O在Rt AOP與Rt BOP中O是AB的中點(diǎn)PA=PB(已知) PO=PO(公共邊) Rt AOP Rt BOP(HL)OA=OB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)PO垂直平分AB ，即點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上垂直平分線上。 逆定理逆定理：和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。在這條線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線

11、線段的垂直平分線 性質(zhì)定理性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等兩個端點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線上上和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等條線段兩個端點(diǎn)的距離相等 你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線段的垂直平分線的集合定義嗎？段的垂直平分線的集合定義嗎？ 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線

12、可以看作是和線線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合段兩個端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 （1 1）若）若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB. ( ) .如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤:AB（2 2）若）若PA=PB，則點(diǎn)則點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上. （ ） （3）若）若PA=PB，OA=OB,則則OP垂直平分垂直平分AB . （ ） 基礎(chǔ)練習(xí)：（1 1）若）若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB . ( )基礎(chǔ)練習(xí)： （1 1）若）若PA=PB，則則OP垂直平分垂直平分AB. ( )如圖，判斷下列各結(jié)論的正誤如圖，判

13、斷下列各結(jié)論的正誤:AB（2 2）若）若PA=PB，則點(diǎn)則點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線上上. （ ） （3）若）若PA=PB，OA=OB,則則OP垂直平分垂直平分AB . （ ） 基礎(chǔ)練習(xí)：基礎(chǔ)練習(xí)：新課標(biāo)教學(xué)網(wǎng)（）-海量教學(xué)資源歡迎下載！綜合提高1 如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PAPB提示：連結(jié)AB,作AB的垂直平分垂直平分線，交直線線，交直線L于于P,點(diǎn)點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。就是所求的點(diǎn)。新課標(biāo)教學(xué)網(wǎng)（）-海量教學(xué)資源歡迎下載！ 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同側(cè)，有兩個工廠的同側(cè)，有兩個工廠A A、B B，為了便，為了

14、便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么在何處？你的方案是什么? ?生活中的數(shù)學(xué)生活中的數(shù)學(xué)L老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣.http:/ 結(jié)論結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn),用想一想，馬到心功用想一想，馬到心功成成例例1已知：在已知：在ABC中，設(shè)中，設(shè)AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)的垂直平分線交于點(diǎn)P求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在AC的垂直平分線上的垂直平分線上證明：證明：連接連接AP，

15、BP，CP 點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上，的垂直平分線上， PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等個端點(diǎn)的距離相等) 同理同理PB=PCPA=PC P點(diǎn)在點(diǎn)在AC的垂直平分線上的垂直平分線上(到線段兩個端到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)點(diǎn)距離相等的點(diǎn).在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上) AB、BC、AC的垂直平分線相交于點(diǎn)的垂直平分線相交于點(diǎn)PCBAP新課標(biāo)教學(xué)網(wǎng)（）-海量教學(xué)資源歡迎下載！ 某區(qū)政府為了方便居民的生某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)活，計劃在三個住宅小區(qū)A A、B B、C C之間修建一個購物中心，試問

16、，之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC思考：生活中的數(shù)學(xué)思考：生活中的數(shù)學(xué)BAC1、求作一點(diǎn)、求作一點(diǎn)P，使它和已知，使它和已知ABC的三個頂點(diǎn)距離相等的三個頂點(diǎn)距離相等.實際問題實際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實際問題實際問題1提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練作法：（作法：（1 1）作邊）作邊BC的垂直平分線的垂直平分線MN.（2）作邊）作邊AB的垂直平分線的垂直平分線MN.（3）MN與與MN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P.點(diǎn)點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)就是所求作的點(diǎn).京京 石石 高高 速速 公公 路路ABL實際問題實際問題2 在京石高速公路在京石高速公路L（保定段）（保定段）的的同側(cè)，有兩個化工廠同側(cè)，有兩個化工廠A、B，為了便，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？址應(yīng)選在何處？提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練2、如圖，在直線、如圖，在直線L上求上求作一點(diǎn)作一點(diǎn)P，使，使PA=PB.LAB實際問題實際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化實際問題實際問題2pPA=PB提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練作法：（作法：（1）連結(jié)）連結(jié)AB.（2）作線段）作線段AB的垂直平分的垂直平分線線