有限長(zhǎng)均勻帶電直線電場(chǎng)的分析

1、有限長(zhǎng)均勻帶電直線電場(chǎng)的分析金彪（浙江省上虞市春暉中學(xué)，浙江 上虞312353）摘要：本文分析了有限長(zhǎng)均勻帶電直線周圍的電場(chǎng)，用兩種方法論述了有限長(zhǎng)均勻帶電 直線電場(chǎng)的電場(chǎng)線為雙曲線而等勢(shì)面為旋轉(zhuǎn)橢球面，并由此計(jì)算出導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面 電荷密度分布。電場(chǎng)線；電勢(shì)；電場(chǎng)強(qiáng)關(guān)鍵詞：有限長(zhǎng)均勻帶電直線；旋轉(zhuǎn)橢球面；雙曲線；等勢(shì)面; 度如圖1所示線段AB為真空中均勻帶正電直線,長(zhǎng)為2c,線電荷密度為求其產(chǎn)生的電場(chǎng)中任一點(diǎn)D的電場(chǎng)強(qiáng)度Ed與電勢(shì)1用等效替代法求電場(chǎng)過D點(diǎn)作AB的垂線段DE,垂足為D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑，作圓弧FEGE,以，點(diǎn)F在線段AD上，點(diǎn)G在線段BD上，當(dāng)圓弧FEG的線電荷密度也

2、為時(shí)，圓弧FEG與線段AB在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。論證如下：過D點(diǎn)作任一微小角d0 ,在圓弧和線段上分別截得HI、JK,過K作KN垂直于DJ, 三角形相似可得：則有A. LnkLjk = lLdjdeLnkLLdjLhiLdj22(1)DH由點(diǎn)電荷電場(chǎng)求解公式可得：線電荷密度相等短線 和圓弧FG在D點(diǎn)的電場(chǎng)也相等。由此可以得到線段 DC反向延長(zhǎng)線向外。JK和HI在D點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度相等，故線段 ABAB在D的電場(chǎng)強(qiáng)度Ed方向?yàn)檠?ADB的角平分線若沿電場(chǎng)線方向移動(dòng)一段微小距離dl到D/,如圖3?？傻肔ad/ - Lad = dl sinjADC ,Lbd/ -Lbd =dl Sin/BDC

3、,BD由于DC是/ADB的角平分線，可得Lad/ - Lad = Lbd/ - Lbd ,LAD/ -LBD/ = LAD LBD °即：當(dāng)D點(diǎn)始終沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為電場(chǎng)線，而 D點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離差保持不變，即電場(chǎng)線為雙曲線。D，如圖4?？傻肔 AD 一 L AD = d l cos AD / DLbd - LBD = dl cos BDD/由于DC是/ADB的角平分線，且dl可忽略，可得LAD/ . LAD = LBD . LBD/LAD/ LBD/ 二 LADLBD可得：當(dāng)D點(diǎn)在ABD平面內(nèi)始終沿垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為等勢(shì)線，而D點(diǎn)到A、

4、B兩點(diǎn)的距離和保持不變，即等勢(shì)線為以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，等勢(shì)面是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)橢球面。下面求D點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)。以 AB中點(diǎn)為原yD .LDBJIcos a<2k - dEx =sin - d-yDk - dEy =cos- d1yDknosin8 d9 =|-cos -Vd 1<2 、g=k<一，LDA J<LDBLDA JEyi-'kecos? diV。Vd .Ud內(nèi)eVd(3)設(shè)合場(chǎng)強(qiáng)與x軸夾角為則E tan = 一Ey cos? 一cos：sin: - sin :cc + P二 tan2即場(chǎng)強(qiáng)Ed方向?yàn)檠?ADB的角平分線反向延長(zhǎng)線。 現(xiàn)在求D

5、點(diǎn)電勢(shì)。UdD1LDA Jdx = k eXdln xd +c + J(Xd + c 2 + VD2-InIn cxD+ J% +cj + Vd2dxdxXd -cIn cXD2用疊加法求電場(chǎng)J(x-c j + V2 DJ(x+ c)2 + V2 1Xd - c + /Xd - J + VD2 j 1Z(Xd -c f + Vd2+ /(Xd +cf + Vd2j-kne In® c)+J(Xd c)2 + Vd2設(shè)坐標(biāo)為x的一小段直線dx在D點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為dU,則dU 二k e dxk e dxv'L2)A +(x+c 2 -2LdaXC0sB(LDASinB f+(x+

6、c-LdaCOsB fk e dx，LDAsinP 2 +(x +c - LdacosB 2c=k e.qdIn x+c-LdacosB + V(LDAsinP 2 +(x+c - LdacosP 2 J=k eIni2c-LDAcos.：，|：LDAsin' '' ii2c - LDAcos 1-LdacosB +d(LDAsinP 2 +(LdacosB(4)=k eInc - Xd - Xd - c 2 VD2-(c+Xd )+''(Xd +c2 + VD2=k eInc + Xd + V(Xd +c 2 + Vd2(Xd -c)r (Xd -cf

7、 + Vd2由此，當(dāng)D點(diǎn)在等勢(shì)面上移動(dòng)時(shí)，C+xD+'E +c）2"保持不變,可設(shè)xD -ci-" I. xD - c yDc + Xd + J(Xd + c )2 + yD2(xD - c )+ J(xD - c)2 +2 yD其中a為可求常量。則有:c +xd +<(Xd +c 2 +yD2(Xd -c )+V(Xd -cf + yD2Lda 1 cos： sin：”1 cos：Ldb 1 cos- i sin ： 1 cos：a tan 2-W tan2(5)延長(zhǎng)三角形 ABD的AD、AB兩邊，作半徑為r的圓與邊BD及AB、AD的延長(zhǎng)線相切，切點(diǎn)分別為G

8、、 H、F,由圓與直線相切的性質(zhì)可得：LabLah - Lbh可得:LADLBD 二 LAFtan 二 2atan2rtan 2P ) tan 1-2a tan 、2 )r, Ptan 2a - c1 -=2ca cLbgB BGtan tan tan2tan1+。atan、2 )tan2型)2a a c即D至ij A、B兩點(diǎn)的距離之和為常量,平面內(nèi)任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為（設(shè)該點(diǎn)到故所有電勢(shì)相等的點(diǎn)的集合為旋轉(zhuǎn)橢球面。由（A、B兩點(diǎn)的距離分別為 P、r）4）式得，xy=-k e4U .,現(xiàn).i +j excy jdn Jc + x + J(x+c f + y2 j ln I xc + q'

9、;(xc)2 + y2+ x+,(x+cf + y2 j ln I xc + J(x c f + y2 ，:j：:y1<v'(x +c 2 +y21 sin P sin a 、r(1 +cosP ) P(1 +cosa )/sin B(1 -cosP ) sina(1 -cosa ) 、P(1 一 cos2 P )r(1 - cos2« ) /11 -cosP ) (1 cosa ”i PsinPrsina ?yk esin : - sin - i cos - - cos：yPx c x - c ._ _ j此點(diǎn)為某條電場(chǎng)線上一點(diǎn)，設(shè)電場(chǎng)線函數(shù)為y = f (x),則其

10、導(dǎo)數(shù)為“dyEycos： - cos：EX sin: 一 sin :則有:d P d . x c 2 y2 dxdx"5y dx = cosP + sinP co& -82=sin("")1 cos1 sin1在口x c 2y2sin： - sin: sin： - sin:dr _ d<(x -c 2 +y2dxdxxc y dx =cos£，sin：x - c ! - y2cos - -cos：sin - -sin ：sinH：-)sin - -sin :即：dP=dr, P r =常量，故電場(chǎng)線為雙曲線。3關(guān)于孤立導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面電容及面

11、電荷密度的求解帶電量為 Q的導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面處于靜電平衡狀態(tài)，橢球面的方程為2 x 2 a22+ y 2Z =1。由前所述, b2對(duì)于中點(diǎn)在原點(diǎn)、長(zhǎng)度為 2c = 2va2 -b2、電荷密度為，= Q 、在x軸上的有限長(zhǎng)均勻帶電直2.a2 -b2線，方程為2x2a22. y zb2=1的橢球面為其一個(gè)等勢(shì)面，由（4）、（5）兩式得電勢(shì)為2. 2,a cIna - ckQ i a r a - bc 22n222 a - b a _ < a -b因此，該導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)橢球面的電容為： .1n _ Q2-2” , a +Va2 -b2C 8兀60 Fa - b inI I2 2.2Ua a _ a _

12、 b ；本式與文獻(xiàn)1中（11）式一樣。由于有限長(zhǎng)均勻帶電直線在某點(diǎn)（x、V、0）產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為E = . Ex2 E2y "I 卜' ''x - c x +cPZ I y p kQ2c yy% y2，lx ckQ2c y222y x -c 2-2y2 x222 2c -4x c則總電量為Q,橢球面方程為222、+ y ; =1的導(dǎo)體在（x、V、0）上面電荷密度為:a b；e = E . ；02ckQ ”(y2 +x2 +c2 ) -4x2c2b2 1 -4 二 2c y2-2b2 1 -b22-24 二 2c yb24 二 2c y2-22c2c2c2 、 x-2a J22x -c222 2x c -4x ca222 2Vc x2 2-4x c2 2、2 c x-2