函數(shù)的連續(xù)性概念

1、關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性概念現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共32頁 設(shè)設(shè))(xfy 在在),(0 xN內(nèi)內(nèi)有有定定義義， x),(0 xN，稱稱0 xxx 為為自自 變變x 量量在在0 x點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量( (或或改改變變量量) )， )()()()(000 xfxxfxfxfy 為為函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)點(diǎn)的的增增量量( (或或改改變變量量) ). . 函數(shù)的連續(xù)性概念函數(shù)的連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念 y xxx xyo)(xfy x 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共32頁x y xyo0 xxx 0)(xfy )(xy xyo0 xxx 0 x y MN.0 0 yx時時.0 0 yx時時現(xiàn)在學(xué)習(xí)的

2、是第三頁，共32頁000lim0,lim( )()xxxyf xf x 或000,0,(, ),( )()xU xf xf x 使得恒有現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共32頁 若若)()(lim00 xfxfxx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)0 ) (xxfy在在點(diǎn)點(diǎn) 處處左左連連續(xù)續(xù). 若若)()(lim00 xfxfxx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)0 ) (xxfy在在點(diǎn)點(diǎn) 處處右右連連續(xù)續(xù). )(lim)()(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx : )( 0處處連連續(xù)續(xù)的的充充要要條條件件在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxfy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共32頁3 3. .函函數(shù)數(shù))(xfy 在在某某區(qū)區(qū)

3、間間內(nèi)內(nèi)的的連連續(xù)續(xù)性性 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共32頁例例1 1證證明明 0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處連連續(xù)續(xù). . , 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx ， 0 ) ( xxf在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù). . 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共32頁例例 2 2證證明明 函函數(shù)數(shù)xy sin 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). . ),2cos(2sin2sin)sin(000 xxxxxxy , 1)2cos( , 02sinlim 00 xxxx, 0)2cos(2sin2limlim 000 xxxyxx, sin

4、0處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故xxy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共32頁類類似似地地可可證證 xy cos 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). . 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共32頁 )(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx . . : )( 0連續(xù)必須滿足三個條件連續(xù)必須滿足三個條件在在函數(shù)函數(shù)xxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共32頁 )()(lim00 xfxfxx . . : )( 0連續(xù)必須滿足三個條件連續(xù)必須滿足三個條件在在函數(shù)函數(shù)xxf 間斷點(diǎn)分為兩類：左右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)；不是第一類的間斷點(diǎn)，都稱為第二類間斷點(diǎn).現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共32頁;2 tan ) 1

5、(處處在在 xxy., . 1 間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型并并指指出出處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)在在指指定定點(diǎn)點(diǎn)例例.2 是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x,tanlim 2 xx 又又現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共32頁; 01sin ) 2 (處處在在 xxy;111arctan)1()( ) 3 (處處在在點(diǎn)點(diǎn) xxxxf. 0 是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x0011 lim sin lim sinxxxx又 及 都不存在. 1 是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共32頁0)1(lim1 xx，211arctan x， 則則若若補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義 , 0)1( : f.1 1 , 0 1 ,11

6、arctan)1()(處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxxxxxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共32頁（4）.00 , 11sin0 , 0 0 , sin )(處處在在 xxxxxxxxxf 解解：1sinlim) 00(0 xxfx， 1) 11sin(lim) 00(0 xxfx， 1)(lim0 xfx， 但但0)0(1)(lim0 fxfx， 點(diǎn)點(diǎn)0 x是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 若若改改變變定定義義：1)0( f，則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù). 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共32頁例例2討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性，并并指指出出間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的

7、的類類型型. （1）xxexf 111)( ) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )( 在在xf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). xxxxexf10011lim)(lim， 0 x為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . ,由由初初等等函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性知知現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共32頁1 x為為第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)，且是，且是跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn). , 111lim)01(11 xxxef現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共32頁111lim)1)(1(lim)00(020 xxxxxxfxx， 111lim)1)(1(lim)00(020 xxxxxxfxx， 0 x為為第第一一

8、類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共32頁2111 lim) 1)(1(lim)(lim1211 xxxxxxxfxxx， 1 x為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且是是可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 故故)(xf在在) (1, 1), , 0( ,0) , 1( ,1) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). , 0)1( f現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共32頁 由由定定理理 1 1 及及xsin，xcos的的連連續(xù)續(xù)性性可可知知xxxcossintan ， xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi) 連連續(xù)續(xù). . 5.2 5

9、.2 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共32頁 若若)(xgu 在在0 x點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)，)(ufy 在在點(diǎn)點(diǎn))(00 xgu 處處連連續(xù)續(xù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgfy 在在0 x點(diǎn)點(diǎn)處處也也連連續(xù)續(xù). （證證明明從從略略） )(lim)()(lim000 xgfxgfxgfxxxx limf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共32頁) 10( aaayx且且在在) ,( 內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)， ) 10(log aaxya且且在在) , 0( 內(nèi)內(nèi)也也嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù). . 定理定理5.3 5.3 ( (反

10、函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性) )現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共32頁例例 4證證明明函函數(shù)數(shù) xy)(R 在在) , 0( 內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的. 而而xuln 在在) , 0( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， uey 在在) ,( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)， 由定理由定理 3 知知xeyln 在在) , 0( 內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 即即 xy在在) , 0( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共32頁 1.6.3 1.6.3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1.1.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的；2.2.一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的.注注：初

11、初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)不不一一定定是是連連續(xù)續(xù)的的. 重要結(jié)論重要結(jié)論：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共32頁).( 1)1(lim ) 3 ();10( ln1lim ) 2 ();10( log)1(loglim ) 1 (: . 5 000Rxxaaaxaaaexxxxxaax 且且且且證明證明例例現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共32頁, (0) )1 (lim)(lim 100fexxfxxx . 0 )( 處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxfxaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim )(loglim0 xfax .log)(limlog0exfaxa 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十

12、六頁，共32頁特特別別有有 . 1)1ln(lim0 xxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，0t， ),1(log , 1 ) 2 (txatax 則則令令,lnlog1)1(loglim1lim00aettxaaatxx . 11lim 0 xexx特特別別有有現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，共32頁（3 3）當(dāng)當(dāng)0 時時，結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立. . 當(dāng)當(dāng)0 時時，xxxexxx)1ln()1ln(11)1()1ln( xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1(lim0)1ln(00 .11 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共32頁, 0 時時當(dāng)當(dāng)x : 論論結(jié)結(jié)要要重重, ln1 )1(logxaxa , )1ln(xx , 1xex ,ln1axax .1)1(xx 則則若若,)(lim, 0)(lim00BxvAxuxxxx ). ( )(lim0)(0 是是有有限限數(shù)數(shù)或或其其中中xAxuBxvxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共32頁例例 7 7求求下下列列極極限限： （1 1）xxxxxln1lim1 ； （2 2）)41ln