初中競(jìng)賽數(shù)學(xué)第十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題及答案初一

1、3、規(guī)定符號(hào)“”為選擇兩數(shù)中較大者，規(guī)定符號(hào)為選擇兩數(shù)中較小者,第十二屆全國(guó)“華羅慶”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（初一組）（時(shí)間2018年4月21日10:0011:30）一、填空（每題10分，共80分）1、計(jì)算：17.85m624I/3-51=。1713532、“b的相反數(shù)與a的差的一半的平方”的代數(shù)表達(dá)式為圖1（從上向下看）圖2（從正面看）例如：35=5,305=3,WJ4、已知mn=3,m2+n2=13,那么m4+n4=5、用一些棱長(zhǎng)是1的小正方體碼放成一個(gè)立體，從上向下看這個(gè)立體，如圖1,從正面看這個(gè)立體，如圖2,則這個(gè)立體的表面積最多是6、滿足不等式3|n-1|-2n>2|3n十1|

2、的整數(shù)n的個(gè)數(shù)是7、某年級(jí)原有學(xué)生280人，被分為人數(shù)相同的若干個(gè)班。新學(xué)年時(shí)，該年級(jí)人數(shù)增加到585人，仍被分為人數(shù)相同的若干個(gè)班，但是多了6個(gè)班，則這個(gè)年:級(jí)原有：個(gè)班:8、如果銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，并且最大角是最小角的5倍,那么這個(gè)三角形的最大角的度數(shù)是。二、簡(jiǎn)答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過(guò)程）9、已知a,b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a+2b+3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5a+7b_22c的值是否一定能被13整除，為什么？圖310、如圖3所示，在四邊形ABCD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四邊形ABEM,MEFN,NFCD的面積分別記為S1,

3、S2和0,求一S2-=?SS3（提示：連接AE、EN、NC和AC）圖411、圖4是一個(gè)9X9的方格圖，由粗線隔為9個(gè)橫豎各有3個(gè)格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個(gè)不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個(gè)9位數(shù)。請(qǐng)寫出這個(gè)9位數(shù)，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。12、平面上有6個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造多少個(gè)不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個(gè)三角形沒有公共頂點(diǎn)，最多可以選出多少個(gè)三角形？如果要求其中任何兩個(gè)三角形沒有公共邊，最多可以選出多少

4、個(gè)三角形？（前兩問(wèn)不要求說(shuō)明理由）三、詳答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過(guò)程）13、壯壯、菲菲、路路出生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某大三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時(shí)，王雪說(shuō)：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說(shuō)：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說(shuō)：“路路和王雪的年齡的和是35歲”。已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個(gè)人年齡的總和是105歲。請(qǐng)回答：誰(shuí)是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是多少歲？14、請(qǐng)回答：1能否表示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？1能否表示為3個(gè)互88異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請(qǐng)給出一個(gè)例子；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。第十二屆全國(guó)“華羅慶金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)

5、賽決賽試題參考答案(初一組)、填空(每題10分，共80分)題號(hào)12345678答案.8%130Gbza：或電之【2J【2J12121397485785°二、簡(jiǎn)答下列各題(每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過(guò)程)9、解：設(shè)x,y,z,t是整數(shù)，并且假設(shè)5a+7b_22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc)(1)比較上式a,b,c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有7x13y=52x+13z=7(2)3x13t-22取x=4,可以得到y(tǒng)=2,z=1,t=-1,則有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c(3)既然3(7a+2b+3c)和13(2a+bc)者B能被13整除，

6、5a+7b22c就能被13整除【說(shuō)明】5a十7b-22c表式為均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的代數(shù)和，表達(dá)方式不唯一，例如：取x=10,則有y=-5,z=-1,t=T,則有5a7b-22c=10(7a2b3c)-13(5ab4c)實(shí)際上，(2)是一組二元整系數(shù)不定方程，我們先解第一個(gè)，得到x=T+13k,y=2-7k,這里k是任意整數(shù)，將x=q+13k代入其余方程，解得z=1-2k,t=-1-3k,這里k是任意整數(shù)，則可以有5a7b-22c=(-313k)(7a2b3c)13(2-7k)a(1-2k)b(-1-3k)c評(píng)分參考:有類似于（3）的代數(shù)表達(dá)式，給10分10、解：如圖3a,連接AE、EN

7、和NC,易知由S&EMSIEN，S心NF=S揮FIN上面兩個(gè)式子相加得S掙EM+S心NF=S2（1）并且四邊形AECN的面積=2S2。連接AC,如圖3b,由三角形面積公式，易知11S.，ABE=2S.AEGSCDN=SCNA上面兩個(gè)式子相加得1一S由be+SdN=5四邊形AECN的面積=S2將（1）式和（2）相加，得到SAEMSCNF'SABE+S&dn=2S2,既然圖森(2)因此圖3bS1+S3=2S2,S21=-0S1S32SaemSabe=Si,Scnf-Sabe=S3圖4a答：SS1S32評(píng)分參考：能利用三角形面積公式導(dǎo)出結(jié)果（1）,給4分；能利用三角形面積公式

8、導(dǎo)出結(jié)果（2）,給4分；正確給出答案，給2分。11、解答：填數(shù)的方法是排除法，用（m,n）表示位于第m行和第n列的方格。第七行、第八行和第3列有9,所以，原題圖4左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在（9,2）格子中；第1歹h第2列和第七行有數(shù)字5,所以，在圖4右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能填在（9,3）中；第七行、第八行有數(shù)字6,圖4中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在（9,6）;此時(shí)，在第九行尚缺數(shù)字7和3,由于第9列有數(shù)字7,所以，7應(yīng)當(dāng)填在（9,8）;3自然就填在（9,9）了，填法見圖4a。九位數(shù)是495186273c評(píng)分參考:正確給出答案，給5分；對(duì)圖4左邊中間的“小九宮”格的5個(gè)空

9、格的填法，能說(shuō)明理由，給5分，每個(gè)空格給1分；即使最后答案不正確，對(duì)于推理正確的空格填法，要適當(dāng)給分；12、解答：（1）先從6個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，有6種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的第二個(gè)頂點(diǎn)，有5種取法；再?gòu)挠嘞碌?個(gè)點(diǎn)中選取1個(gè)做三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，有4種取法。因?yàn)槿魏?個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，所以，這樣選出的三個(gè)點(diǎn)可以做出1個(gè)三角形。但是，如果選出的三個(gè)點(diǎn)相同的話，則做出的三角形相同，三個(gè)點(diǎn)相同的取法有3X2X1=6種，所以，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)造封口=20個(gè)不同的三角形。321（2）每個(gè)三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，所以，6個(gè)點(diǎn)最多只能構(gòu)造2個(gè)沒有公共頂點(diǎn)的三角形。（3）

10、用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個(gè)點(diǎn)，假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個(gè)三角形，它們共有15個(gè)頂點(diǎn)，需要15個(gè)英文大寫字母。這里不同的英文大寫字母僅有6個(gè)。因此，這5個(gè)三角形中至少有3個(gè)三角形有同一個(gè)頂點(diǎn)，無(wú)妨設(shè)為Ao根據(jù)假設(shè)，這3個(gè)三角形兩兩沒有公共邊，即除去公共頂點(diǎn)A之外，其余6個(gè)頂點(diǎn)互不相同，即表示這6個(gè)頂點(diǎn)的字母不相同。但是，除A之外，我們僅有5個(gè)不同的字母。所以，不可能存在5個(gè)三角形，它們兩兩沒有公共邊。又顯然MBC,MDE,ABDF和ACEF這4個(gè)三角形兩兩沒有公共邊。所以，最多可以選出4個(gè)三角形，其中任何兩個(gè)三角形都沒有公共邊。評(píng)分參考:回答第一問(wèn)正確給3分；回答第二問(wèn)正

11、確給2分；第三問(wèn)，回答正確給2分，能解釋理由再給2分。三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過(guò)程）13、解：設(shè)劉芳的年齡為x歲劉芳和路路的年齡和是36歲，是個(gè)偶數(shù)，他們的年齡差也是一個(gè)偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳。注意到菲菲比劉芳小29歲，菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳。壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為（2x27）路路（36x）歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是（36x+27）歲，和為（992x）菲菲（x29）歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是（x29+27）歲，和為（2x31）由于6個(gè)人共105歲，所以，（2x-27）+（99-2x）+（2x-31）=105。解出x=32,

12、菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36,路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲。答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲。評(píng)分參考:第一步，能判斷出壯壯的媽媽是劉芳，給5分；能正確回答誰(shuí)是路路的媽媽，給5分；能正確回答3個(gè)孩子的年齡，給5分。14、解：(1)由于-十1+1=1,故有23611111111一=M.一十一十一尸十十o所以，882361624481臺(tái)匕主一月匕表8示為3個(gè)互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）（2）不妨設(shè)a<b<c,現(xiàn)在的問(wèn)題就是尋找整a,b,c,滿足1111=+o2.228abc由a<b<c,貝U有1 112 <2<2,從而cba118-a21b2所以11a2<24。又有1所以a8a2>8,故a2=9或16。若a2=9,則有J2+Jr=1b，c，8由于工<，并且72b22111>+=222”，bbc72所以b2>72,72<b2<144。故b2=81,100或121。將b2=81、100和121分別代入2272b-z-c=-,沒有b2-72個(gè)是完全平方數(shù),說(shuō)明當(dāng)a2=9時(shí),8若a2=16,則類似地，可得:11_1J1b2c2-8-1