數(shù)學(xué)建模算法章節(jié)

1、武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)建模概述 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 基本方法建?；痉椒ń?數(shù)學(xué)規(guī)劃方法建模數(shù)學(xué)規(guī)劃方法建模 統(tǒng)計(jì)分析方法建模統(tǒng)計(jì)分析方法建模第第1 1章章第第2 2章章第第3 3章章第第4 4章章第第5 5章章目目 錄錄圖論方法建模圖論方法建模第第6 6章章武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.1 非線性方程求解非線性方程求解 非線性方程簡介非線性方程簡介 u 次代數(shù)方程次代數(shù)方程 u 超越方程超越方程 n00111axaxaxannnn0)2sin(xex武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值

2、計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 非線性方程求解的非線性方程求解的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) x,fval,exitflag,output=fzero(f ,x0,options) r=roots(c) x,fval,exitflag,output=fsolve(f,x0,options)武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例1 在無阻尼強(qiáng)迫振蕩的研究中會(huì)經(jīng)常遇到函數(shù) .試求一點(diǎn) ，滿足 。 解：建立M函數(shù)文件h.m： function y=h(x) y=x*sin(x)-1; 在MATLAB指令窗中輸入下面指令 x0=0,2;x,fval,exitflag=fze

3、ro(h,x0) 運(yùn)行得結(jié)果為：x =1.1142，fval =2.2204e-016，exitflag =1，即所求非線性方程的解為1.1142.xxxhsin)(2 , 0 x1)(xh武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例2 求函數(shù) 的零點(diǎn). 解：（1）為確定其零點(diǎn)的大體位置，先做出它的圖形 ； （2）將圖形放大得5個(gè)零點(diǎn)，利用ginput指令取其坐標(biāo)； （3） 利用指令fzero 計(jì)算其相應(yīng)精確坐標(biāo)20.1( )(sin)0.5tf tt et圖圖2.1 圖形放大法圖形放大法 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v

4、例例3 求解非線性方程組v 解：建立解：建立M文件文件f.m如下：如下： function y=f(x) y(1)=x(1)2+x(2)2-4;y(2)=x(1)2-x(2)2-1; 在在MATLAB指令窗中輸入指令指令窗中輸入指令 x0=2,2;x,fval,exitflag=fsolve(f,x0,)1422212221xxxx武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 建模示例：貸款問題建模示例：貸款問題u 問題：問題： 某人從銀行貸款購房，若他今年初貸款某人從銀行貸款購房，若他今年初貸款10萬元，月利率萬元，月利率0.5%，每月還每月還1000元，試計(jì)算他每年

5、末欠銀行多少錢，多少時(shí)間才能還元，試計(jì)算他每年末欠銀行多少錢，多少時(shí)間才能還清？如果要清？如果要10年還清，每月需還多少？年還清，每月需還多少？ 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 1. 問題的分析問題的分析 每月的還款金額應(yīng)包括本金和利息兩部分每月的還款金額應(yīng)包括本金和利息兩部分 。 2. 模型的建立模型的建立 記第記第 個(gè)月初此人欠銀行個(gè)月初此人欠銀行 元，月利率為元，月利率為 ，每月還款，每月還款 元，元，則則 建立數(shù)學(xué)模型如下：建立數(shù)學(xué)模型如下： ttxpQ100000, 2 , 1),(0111xntpxQxxxtttn 將上式依次遞推可得將上式依次

6、遞推可得 QppxpQQpxpQxpxnnnnn1)1 ()1 ( )1 ()1 ()1 (1121武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 令令 得得 01nxppxpQnn1)1 ()1 (1將所給數(shù)據(jù)代入上式可得將所給數(shù)據(jù)代入上式可得Q=1110.3（元） 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模& 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 在一條在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kW和一只和一只3kW的路的路燈，它們離地面的高度分別為燈，它們離地面的高度分別為5m和和6m（如下圖）（如下圖）.在漆黑的夜晚，

7、當(dāng)在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開啟時(shí)，試求兩只路燈連線的路面上最暗和最亮的點(diǎn)兩只路燈開啟時(shí)，試求兩只路燈連線的路面上最暗和最亮的點(diǎn).（提（提 示：光源在示：光源在 點(diǎn)的照度為點(diǎn)的照度為 ，其中，其中 為光源的功率，為光源的功率， 為為 光源到光源到 的光線與水平面的夾角，為光源到的光線與水平面的夾角，為光源到 點(diǎn)的距離點(diǎn)的距離.） Q2sinrPkIPQrQxsxOy1P2PQ1r2r1h2h12武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.2 線性方程組的數(shù)值解法線性方程組的數(shù)值解法 線性方程組簡介線性方程組簡介 u 階線性方程組階線性方程組 u 矩陣形式矩陣形式

8、n11 11221121 1222221 122 nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xbbAx 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 線性方程組求解的線性方程組求解的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) x=Ab A=sparse(r,c,v,m,n) full(A) 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例1 求解下列線性方程組求解下列線性方程組 解：在解：在MATLAB指令窗中輸入下面指令指令窗中輸入下面指令 ： A=1 1 0 0;2 -1 5 0;0 3 -4 2;0 0 2 -6;b=5;-

9、9;19;2; x=Ab 運(yùn)行得結(jié)果為：運(yùn)行得結(jié)果為： x=-2.0000,7.0000,0.4000,-0.2000262 19243 -9 52x5 4343232121xxxxxxxxx武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例2 驗(yàn)證驗(yàn)證Hilbert矩陣是一個(gè)典型的病態(tài)矩陣矩陣是一個(gè)典型的病態(tài)矩陣 （a）用）用4階階Hilbert矩陣求解矩陣求解 的精確解（用分?jǐn)?shù)表示所有的元素的精確解（用分?jǐn)?shù)表示所有的元素并進(jìn)行精確計(jì)算）：并進(jìn)行精確計(jì)算）： （b）使用精度為）使用精度為4位有效數(shù)字的算術(shù)計(jì)算求解位有效數(shù)字的算術(shù)計(jì)算求解 AXb71615141615

10、14131514131214131211A1000b AXb武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模1429. 01667. 02000. 02500. 01667. 02000. 02500. 03333. 02000. 02500. 03333. 05000. 02500. 03333. 05000. 00000. 1A1000b v 解：（a） A=1 1/2 1/3 1/4;1/2 1/3 1/4 1/5;1/3 1/4 1/5 1/6;1/4 1/5 1/6 1/7; b=1;0;0;0; x1=Ab 運(yùn)行得（a）的解為： x=16.0000, -120.

11、0000, 240.0000,-140.0000 （b） A=1.0000 0.5000 0.3333 0.2500;0.5000 0.3333 0.2500 0.2000; 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667;0.2500 0.2000 0.1667 0.1429; b=1;0;0;0;x2= Ab, cond(A) 運(yùn)行得（b）的解為： x=18.7308,-149.6053,310.0628, -185.0881 cond(A)=19808武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例3 已知帶狀稀疏方程組 用稀疏矩陣和滿矩陣分別求解，并

12、對(duì)運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較5 122 5 2122 52122. . .5 2122 5 2122 5 21225 21250049949850049949849750049949849749665432543214321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 解：在解：在MATLAB指令窗中輸入下面指令指令窗中輸入下面指令 A1=sparse(1:500,1:500,1,500,500); A2=sparse(2:500,1:499,1,500,500); A3=sparse(3:500,1:498,1,

13、500,500); A=12*A1-2*A2-2*A2+A3+A3; b=5*ones(500,1); tic;x=Ab;t1=toc AA=full(A); tic;xx=AAb;t2=toc y=sum(x),yy=sum(xx) 運(yùn)行得結(jié)果為運(yùn)行得結(jié)果為: t1=0.0320，t2=0.2007，y=250.0147，yy=250.0147武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 建模示例：種群繁殖問題建模示例：種群繁殖問題u 問題問題： 種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對(duì)于人工飼養(yǎng)種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對(duì)于人工飼養(yǎng)的種群而言，為

14、了保證穩(wěn)定地收獲，各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不的種群而言，為了保證穩(wěn)定地收獲，各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變變.由于種群繁殖主要取決于雌性個(gè)體，所以下面種群數(shù)量均指其中由于種群繁殖主要取決于雌性個(gè)體，所以下面種群數(shù)量均指其中的雌性的雌性. 已知某種群年齡為已知某種群年齡為 ，第，第 年年 年齡種群的數(shù)量為年齡種群的數(shù)量為 ，繁殖率為繁殖率為 ，自然存活率為，自然存活率為 ，對(duì)給定收獲量，對(duì)給定收獲量 ，建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，使得各年齡的種群數(shù)量維持不變，并就使得各年齡的種群數(shù)量維持不變，并就 ， ， 時(shí)，求各年齡種群的數(shù)量時(shí)，求各年齡種群的數(shù)量. nk, 1 tktkxkbkskh5n,20

15、0,400,500, 6 . 0, 4 . 0, 3, 5, 0321324143521hhhssssbbbbb100,10054hh武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 1. 問題的分析問題的分析 為了保證穩(wěn)定地收獲，需要維持各年齡的種群數(shù)量保持不變，根據(jù)為了保證穩(wěn)定地收獲，需要維持各年齡的種群數(shù)量保持不變，根據(jù)這個(gè)條件可以建立不同種群數(shù)量的等式關(guān)系這個(gè)條件可以建立不同種群數(shù)量的等式關(guān)系 2. 模型的建立模型的建立 假設(shè)此種群的最高年齡為假設(shè)此種群的最高年齡為 ，則對(duì)第，則對(duì)第 +1年年 年齡種群的數(shù)量年齡種群的數(shù)量 ，有，有 由于各年齡種群繁殖的后代均為年齡

16、由于各年齡種群繁殖的后代均為年齡1的種群，所以有的種群，所以有 要使得各年齡的種群數(shù)量維持不變，需滿足要使得各年齡的種群數(shù)量維持不變，需滿足 ，于是建立，于是建立下面數(shù)學(xué)模型：下面數(shù)學(xué)模型： ntkktx, 11, 2 , 1, 2 , 1,1, 1nkthxsxktkkktnktkktxbx11 , 1kttkxx, 1武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 令令 ， ， 得線性方程組得線性方程組 111112211nnnnnkkkhxsxhxsxxbx1-00 s00001000111 -n211321nnbssbbbbAnnxxxxx1211210nnhhh

17、ccAx 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 求解得求解得x=8481.0, 2892.4, 1335.4, 6012.6，1405.1, 即各年各年即各年各年齡種群的數(shù)量應(yīng)為齡種群的數(shù)量應(yīng)為81,2892,1335,6012,1405，才能保證種群數(shù)量的平，才能保證種群數(shù)量的平衡衡& 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)：一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)：一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路開采一元錢的煤，煤礦需要支付路開采一元錢的煤，煤礦需要支付0.25元的電費(fèi)和元的電費(fèi)和0.25元的運(yùn)輸費(fèi)；元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)

18、電廠需要支付生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠需要支付0.65元的煤費(fèi)，元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)和元的電費(fèi)和0.05元的運(yùn)輸費(fèi)；創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需要支付元的運(yùn)輸費(fèi)；創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需要支付0.55元的煤費(fèi)元的煤費(fèi)和和0.10元的電費(fèi)在某一周期內(nèi)煤礦接到外地金額為元的電費(fèi)在某一周期內(nèi)煤礦接到外地金額為50000元的訂貨，元的訂貨，發(fā)電廠接到外地金額為發(fā)電廠接到外地金額為25000元的訂貨，外地對(duì)地方鐵路沒有需求，元的訂貨，外地對(duì)地方鐵路沒有需求，問三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少時(shí)才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企問三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少時(shí)才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三

19、個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值？業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值？ 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.3 插值插值 插值簡介插值簡介 u 什么是插值什么是插值u 插值在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用插值在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 插值的插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) interp1(x,y,cx,method) interp2（x,y,z,cx,cy, method） griddata（x,y,z,cx,cy, method） 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例

20、1 試用分段線性插值和三次樣條插值分別對(duì)函數(shù)試用分段線性插值和三次樣條插值分別對(duì)函數(shù) （ ）進(jìn)行插值，并與實(shí)際曲線圖比較進(jìn)行插值，并與實(shí)際曲線圖比較v 解：在解：在MATLAB指令窗中輸入下面指令指令窗中輸入下面指令 ： x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2); %產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)（產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)（x0,y0) x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2); %產(chǎn)生插值點(diǎn)產(chǎn)生插值點(diǎn)x y1=interp1(x0,y0,x); %使用分段線性插值并作圖使用分段線性插值并作圖 figure(1),plot(x,y,b,x,y1,k:),grid y2=interp1(x0,y0,x,spline); %

21、使用三次樣條插值并作圖使用三次樣條插值并作圖 figure(2),plot(x,y,b,x,y2,k:),grid 運(yùn)行得圖形見下圖運(yùn)行得圖形見下圖 211xy55x武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例2 在某山區(qū)（平面區(qū)域在某山區(qū)（平面區(qū)域 內(nèi)，單位：內(nèi)，單位：m）測得一些點(diǎn)的高度（單位：測得一些點(diǎn)的高度（單位：m）見下表，試作出該山區(qū)的地貌圖）見下表，試作出該山區(qū)的地貌圖 8004800, 04800 xyxy12001200160016002000200024002400280028003200320036003600400040004400440

22、048004800120012001130113012501250128012801230123010401040900900500500700700780780750750160016001320132014501450142014201400140013001300700700900900850850840840380380200020001390139015001500150015001400140090090011001100106010609509508708709009002400240015001500120012001100110013501350145014501200120

23、011501150101010108808801000100028002800150015001200120011001100155015501600160015501550138013801070107090090010501050320032001500150015501550160016001550155016001600160016001600160015501550150015001500150036003600148014801500150015501550151015101430143013001300120012009809808508507507504000400014501

24、4501470147013201320128012801200120010801080940940780780620620460460440044001430143014401440114011401110111010501050950950820820690690540540380380480048001400140014101410960960940940880880800800690690570570430430290290武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 解：編寫解：編寫M文件文件shanqu.m如下：如下： x=1200:400:4800;y=1

25、200:400:4800; z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750; 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900; 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 150

26、0; 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750; 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460;1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380;1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290; figure(1),mesh(x,y,z), x1,y1=meshgrid(1200:50:4800,1200:50:4800); z1=interp2(x,y,z,x1,y1,spline); figure(2),mesh(x1

27、,y1,z1) 運(yùn)行得得圖形見下圖。運(yùn)行得得圖形見下圖。 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例3 在某水道（平面區(qū)域在某水道（平面區(qū)域 單位：單位：m）測得一些）測得一些點(diǎn)的深度，數(shù)據(jù)見表點(diǎn)的深度，數(shù)據(jù)見表2-3，已知某船只的吃水線為，已知某船只的吃水線為5米，試畫出該水道的米，試畫出該水道的海底地貌圖及船的禁入?yún)^(qū)海底地貌圖及船的禁入?yún)^(qū) v 解解：在MATLAB中編寫M文件haiyum如下： x=129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77

28、81 162 162 117.5; y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; z=-4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9;15090,20075yxxyz129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.57.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2

29、章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 cx,cy=meshgrid(75:5:200,-90:5:150); cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic); figure(1),mesh(cx,cy,cz);view(-60,30); figure(2), contour(cx,cy,cz,-5,-5,k) %繪制等高線運(yùn)行繪制等高線運(yùn)行運(yùn)行程序得圖形見下圖運(yùn)行程序得圖形見下圖 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 建模示例：建模示例：零件加工問題零件加工問題 u 問題：問題： 待加工零件的外形根據(jù)手藝要求由一組數(shù)據(jù)待加工零件的外形根據(jù)手藝要求

30、由一組數(shù)據(jù) 給出（在平面情給出（在平面情況下），用數(shù)控機(jī)床加工時(shí)刀具必須沿這些數(shù)據(jù)點(diǎn)前進(jìn)，由于刀具每次況下），用數(shù)控機(jī)床加工時(shí)刀具必須沿這些數(shù)據(jù)點(diǎn)前進(jìn)，由于刀具每次只能沿只能沿 方向或方向或 方向走非常小的一步，所以需要將已知數(shù)據(jù)加密，得方向走非常小的一步，所以需要將已知數(shù)據(jù)加密，得到加工所要求的步長很小的到加工所要求的步長很小的 坐標(biāo)坐標(biāo) 已知某機(jī)翼斷面的下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)，見表已知某機(jī)翼斷面的下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)，見表2-4現(xiàn)在需要得到現(xiàn)在需要得到 坐標(biāo)坐標(biāo) 每改變每改變0.1時(shí)時(shí) 的坐標(biāo)試完成加工所需數(shù)據(jù)，畫出曲線，并求的坐標(biāo)試完成加工所需數(shù)據(jù)，畫出曲線，并求 范圍內(nèi)范圍內(nèi) 的最小值的

31、最小值 ( , )x yxy( , )x yxy1513 xy 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 1. 問題的分析問題的分析 解決零件加工問題的關(guān)鍵在于計(jì)算加密點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此坐標(biāo)顯然可以解決零件加工問題的關(guān)鍵在于計(jì)算加密點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此坐標(biāo)顯然可以通過插值得到，而最小值，則可以通過編程逐點(diǎn)搜索獲得通過插值得到，而最小值，則可以通過編程逐點(diǎn)搜索獲得 2. 模型的建立及其求解模型的建立及其求解 以所給數(shù)據(jù)為插值節(jié)點(diǎn)，以以所給數(shù)據(jù)為插值節(jié)點(diǎn)，以

32、0. 1為步長，在為步長，在 范圍內(nèi)作三次樣范圍內(nèi)作三次樣條插值，相應(yīng)的條插值，相應(yīng)的MATLAB指令為：指令為： x0=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15; y0=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6; x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,spline); plot(x0,y0, k+,x,y, r),grid 運(yùn)行可得加密點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得下輪廓插值曲線見下圖運(yùn)行可得加密點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得下輪廓插值曲線見下圖 150 x武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模在在 范圍內(nèi)搜索可得范圍內(nèi)搜索

33、可得 的最小值為的最小值為0.9828，相應(yīng)的，相應(yīng)的 值為值為13.8. 1513 xyx武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模&課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 在一丘陵地帶測量高程，在一丘陵地帶測量高程， 和和 方向每隔方向每隔100m測一個(gè)點(diǎn)，得高度測一個(gè)點(diǎn)，得高度見表見表2-7，試作出該丘陵地帶的地形圖，并求出該地帶的最高點(diǎn)和該，試作出該丘陵地帶的地形圖，并求出該地帶的最高點(diǎn)和該點(diǎn)的高度點(diǎn)的高度 xy表表2-7 某丘陵測量數(shù)據(jù)表某丘陵測量數(shù)據(jù)表xy10010020020030030040040010010063663669769762462447847820

34、0200698698712712630630478478300300680680674674598598412412400400662662626626552552334334武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.4 數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合 數(shù)據(jù)擬合簡介數(shù)據(jù)擬合簡介 u 最小二乘思想最小二乘思想u 數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 niiiniimyxfccc121210)(),(min武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 數(shù)據(jù)擬合的數(shù)據(jù)擬合的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) a=polyfit(x,y,m) x,resn

35、orm,residual=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) x,resnorm,residual=lsqnonlin(fun,x0,xdata,ydata) 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例1 已知一組溫度已知一組溫度 和電阻和電阻 的數(shù)據(jù)見表的數(shù)據(jù)見表2-8, 擬合電阻與溫度之間的關(guān)擬合電阻與溫度之間的關(guān)系系 ，并預(yù)測，并預(yù)測60時(shí)的電阻有多大時(shí)的電阻有多大 v 解：在解：在MATLAB指令窗中輸入下面指令指令窗中輸入下面指令 ： t=20.5 32.7 51.0 73.0 95.7;r=765 826 873 942

36、 1032; aa=polyfit(t,r,1);a=aa(1),b=aa(2) y=polyval(aa,t); plot(t,r,k+,t,y,r),xlabel(t),ylabel(R) 運(yùn)行得運(yùn)行得a=3.3940,b=702.4918,R(60)= 906.0212，生成圖形見下圖。，生成圖形見下圖。 tRRatb表表2-8溫度和電阻數(shù)據(jù)表溫度和電阻數(shù)據(jù)表tR（ ） 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 （ ） 765 826 873 942 1032 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模電阻和溫度的關(guān)系式為電阻和溫度的關(guān)系式為3.3940

37、702.4918Rt武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例2 影響經(jīng)濟(jì)增長的主要因素有增加投資、增加勞動(dòng)力以及技術(shù)革新影響經(jīng)濟(jì)增長的主要因素有增加投資、增加勞動(dòng)力以及技術(shù)革新等當(dāng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展不是很快時(shí)，經(jīng)過簡化假設(shè)與分析，可推導(dǎo)出經(jīng)濟(jì)學(xué)等當(dāng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展不是很快時(shí)，經(jīng)過簡化假設(shè)與分析，可推導(dǎo)出經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的中著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)：生產(chǎn)函數(shù)： 其中，其中， 分別表示產(chǎn)值、資金和勞動(dòng)力，分別表示產(chǎn)值、資金和勞動(dòng)力， 可由經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確可由經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定現(xiàn)有美國馬薩諸塞州定現(xiàn)有美國馬薩諸塞州1900-1925年上述三個(gè)經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，見年上

38、述三個(gè)經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，見表表2-9，試用數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法求出上式中的參數(shù)。，試用數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法求出上式中的參數(shù)。 (, ),0,1Q K LaK L 1,Q K L, ,a 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模表表2-9 美國馬薩諸塞州美國馬薩諸塞州1900-1925年三個(gè)經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年三個(gè)經(jīng)濟(jì)指數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) QQKKLL1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 19121.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.6

39、0 1.69 1.81 1.931.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.741.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.661913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 19251.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.452.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.3

40、6 4.77 4.75 4.54 4.58 4.58 4.58 4.581.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61tt武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 解：（解：（1）建立）建立M函數(shù)文件函數(shù)文件jingji.m如下：如下： function Q=jingji(x,y) Q=x(1)*(y(1,:).x(2).*(y(2,:).(1-x(2); 其中其中x為待求參數(shù)向量，為待求參數(shù)向量，y為已知自變量數(shù)據(jù)向量。為已知自變量數(shù)據(jù)向量。 （2）建立）建立M腳本文件腳本文件ni

41、he1.m Q=1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.46,1.60,1.69, 1.81, 1.93 ,1.95, 2.01,2.00,2.09,1.96,2.20,2.12,2.16,2.08,2.24,2.56, 2.34,2.45; y=1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.57,2.05,2.51,2.63, 2.74, 2.82, 3.24,3.24,3.61,4.10,4.36,4.77,4.75,4.54,4.58,4.58, 4.58, 4.58;1.05,1.08,1.18,1.22

42、,1.17,1.30,1.39,1.47,1.31,1.43,1.58, 1.59, 1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93,1.96,1.95,1.90,1.58,1.67, 1.82, 1.60,1.61; x0=0.1,0.1; x,resnorm=lsqcurvefit(jingji,x0,y,Q) 運(yùn)行得結(jié)果為：運(yùn)行得結(jié)果為：x=1.0270,0.2187,0.7813 .于是得經(jīng)濟(jì)增長模型：于是得經(jīng)濟(jì)增長模型：武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模7813. 02187. 00270. 1),(LKLKQ 建模示例：錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題建

43、模示例：錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題 問題：問題： 在老式的錄像機(jī)上會(huì)有一個(gè)四位數(shù)字的計(jì)數(shù)器，用于計(jì)時(shí)一盤標(biāo)在老式的錄像機(jī)上會(huì)有一個(gè)四位數(shù)字的計(jì)數(shù)器，用于計(jì)時(shí)一盤標(biāo)明明180分鐘的錄像帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時(shí)分鐘的錄像帶從頭轉(zhuǎn)到尾，用時(shí)184分鐘，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從分鐘，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從“0000”運(yùn)轉(zhuǎn)到運(yùn)轉(zhuǎn)到“6061”此外，我們還在不同時(shí)間測試了這盤錄像帶的計(jì)數(shù)器此外，我們還在不同時(shí)間測試了這盤錄像帶的計(jì)數(shù)器讀數(shù)，測試數(shù)據(jù)見表讀數(shù)，測試數(shù)據(jù)見表2-10現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上顯示為現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上顯示為“4450”，問剩下的錄，問剩下的錄像帶還能否再記錄像帶還能否再記錄1小時(shí)長的節(jié)目？小時(shí)長的節(jié)目？ 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章

44、 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模表表2-10 一盤錄像帶的測試數(shù)據(jù)一盤錄像帶的測試數(shù)據(jù)tntn（分鐘）（分鐘）0 0101020203030404050506060707080809090（讀數(shù)）（讀數(shù)）00000000061706171141114116011601201920192403240327602760309630963413341337153715（分鐘）（分鐘）100100110110120120130130140140150150160160170170184184（讀數(shù)）（讀數(shù)）40044004428042804545454548034803505150515291529

45、1552555255752575260616061圖圖2.11 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器工作原理示意圖錄像機(jī)計(jì)數(shù)器工作原理示意圖錄像帶錄像帶輪盤輪盤0000磁頭磁頭計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)器武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 1. 問題的分析問題的分析 由錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理可知，計(jì)數(shù)器讀數(shù)不是隨著錄像帶的轉(zhuǎn)動(dòng)由錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理可知，計(jì)數(shù)器讀數(shù)不是隨著錄像帶的轉(zhuǎn)動(dòng)均勻增加，而是先快后慢增加開始時(shí)，輪盤是空的，讀數(shù)為均勻增加，而是先快后慢增加開始時(shí)，輪盤是空的，讀數(shù)為0000隨隨著錄像帶的不斷運(yùn)動(dòng)，輪盤的半徑不斷增加，由于錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度著錄像帶的不斷運(yùn)動(dòng)，輪盤的半徑不斷增加，由

46、于錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度（線速度）為常數(shù)，所以輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)越來越慢，從而導(dǎo)致計(jì)數(shù)器讀數(shù)的（線速度）為常數(shù)，所以輪盤的轉(zhuǎn)動(dòng)越來越慢，從而導(dǎo)致計(jì)數(shù)器讀數(shù)的增長也越來越慢在錄像的過程中，纏繞在輪盤上的錄像帶的長度可通增長也越來越慢在錄像的過程中，纏繞在輪盤上的錄像帶的長度可通過錄像的時(shí)間獲得，另外此長度還與輪盤（包括纏繞的錄像帶部分）的過錄像的時(shí)間獲得，另外此長度還與輪盤（包括纏繞的錄像帶部分）的半徑密不可分，由此可以找出計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系半徑密不可分，由此可以找出計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系 2. 模型的假設(shè)模型的假設(shè) （1）錄像帶的線速度是常數(shù)）錄像帶的線速度是常數(shù) ； （2）計(jì)數(shù)器讀

47、數(shù)）計(jì)數(shù)器讀數(shù) 與輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù)與輪盤轉(zhuǎn)的圈數(shù) 成正比，即成正比，即 為比例為比例系數(shù)；系數(shù)；vmnkknm,武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 （3）錄像帶的厚度是均勻的，設(shè)為）錄像帶的厚度是均勻的，設(shè)為 ，輪盤半徑記為，輪盤半徑記為 ； （4）錄像帶各圈松緊均勻；）錄像帶各圈松緊均勻； （5）初始時(shí)刻）初始時(shí)刻 時(shí)，時(shí)， 。 3.模型的建立模型的建立 由假設(shè)（由假設(shè)（1）可得時(shí)間）可得時(shí)間 內(nèi)錄像帶轉(zhuǎn)過的總長度為：內(nèi)錄像帶轉(zhuǎn)過的總長度為： 再由假設(shè)（再由假設(shè)（2）（）（4）可知，）可知， dr0t0ntvtL miidrL1)(2武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第

48、2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 于是建立錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型如下于是建立錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型如下 簡記為簡記為 4.模型的求解模型的求解 t=0 20 40 60 80 100 120 140 160 184; n=0 1141 2019 2760 3413 4004 4545 5051 5525 6061; x0=0.1,0.1;x,resnorm=lsqcurvefit(jishu,x0,n,t) 其中其中M函數(shù)文件函數(shù)文件jishu.m為：為： function t=jishu(x,n) t=x(1)*n+x(2)*(n.2);222nvdknvdkrkt2bnant武

49、漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 運(yùn)行得錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型：運(yùn)行得錄像機(jī)計(jì)數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型： 5.模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn) 6.模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用 =116.4（分鐘），已錄制時(shí)間不足（分鐘），已錄制時(shí)間不足120分鐘，所以錄完分鐘，所以錄完262106113. 2104530. 1nntt武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模&課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 某種醫(yī)用薄膜允許一種物質(zhì)的分子穿透它，即允許它從高濃度的溶液某種醫(yī)用薄膜允許一種物質(zhì)的分子穿透它，即允許它從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散向低濃度的溶液擴(kuò)散.在試制時(shí)需確

50、定薄膜被這種分子穿透的能力在試制時(shí)需確定薄膜被這種分子穿透的能力.測定方測定方法如下：用面積為法如下：用面積為 的薄膜將容器分成體積分別為的薄膜將容器分成體積分別為 的兩部分，在這的兩部分，在這兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液.此時(shí)該物質(zhì)的分子就會(huì)此時(shí)該物質(zhì)的分子就會(huì)從高濃度部分穿過薄膜向低濃度部分?jǐn)U散從高濃度部分穿過薄膜向低濃度部分?jǐn)U散.通過單位面積薄膜分子擴(kuò)散的通過單位面積薄膜分子擴(kuò)散的速度與薄膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)速度與薄膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù) 表征了薄膜被該物質(zhì)表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率分子穿

51、透的能力，稱為滲透率.定時(shí)測量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值，定時(shí)測量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值，便能確定其值。便能確定其值。 參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： ，對(duì)容器，對(duì)容器 部分溶液濃度的測試部分溶液濃度的測試結(jié)果見表結(jié)果見表2-13. S,ABV VK321000cm ,10cmABVVSB表表2-13 時(shí)時(shí) 間間10010020020030030040040050050060060070070080080090090010001000濃度濃度mg/cm3（10-5）4.544.544.994.995.355.355.655.655.905.906.106.106.266.266.396.396.

52、506.506.596.59武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.5 數(shù)值差分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值差分與數(shù)值微分 數(shù)值差分與數(shù)值微分簡介數(shù)值差分與數(shù)值微分簡介 u 差商差商u 三點(diǎn)公式三點(diǎn)公式 hxfhxfxf)()()(*000()()()2f xhf xhfxhhyyyxf243)(2100hyyyxfnnnn234)(12武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 數(shù)值微分的數(shù)值微分的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) dx=diff(x) pp=spline(x,y),dy=ppd(pp);dyy=ppval(dy,xx); function

53、 dy=ppd(pp) breaks,coefs,m=unmkpp(pp); for i=1:m coefsm(i,:)=polyder(coefs(i,:); end dy=mkpp(breaks,coefsm);武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例1 用三點(diǎn)公式計(jì)算用三點(diǎn)公式計(jì)算 在在 1.0,1.2,1.4處的導(dǎo)數(shù)值，處的導(dǎo)數(shù)值， 的值由表的值由表2-15給出給出 v 解：在解：在MATLAB指令窗中輸入指令：指令窗中輸入指令： x=1.0,1.1,1.2,1.3,1.4; y=0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736;

54、 diff3(x,y) 運(yùn)行得各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為：運(yùn)行得各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為： -0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014 ( )yf xx( )f x表表 2-15 x)(xf1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.17360.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 例例2 基于正弦函數(shù)基于正弦函數(shù) 的數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用三點(diǎn)公式和三次樣條插的數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用三點(diǎn)公式和三次樣條插值分別

55、求導(dǎo)，并與解析所求得的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行比較值分別求導(dǎo)，并與解析所求得的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行比較 v 解解: 編寫編寫M腳本文件腳本文件bijiao.m如下：如下： h=0.1*pi;x=0:h:2*pi;y=sin(x); dy1=diff3(x,y); pp=spline(x,y);dy=ppd(pp);dy2=ppval(dy,x); z=cos(x); error1=norm(dy1-z),error2=norm(dy2-z) plot(x,dy1,k:,x,dy2,r-,x,z,b) 運(yùn)行得結(jié)果為：運(yùn)行得結(jié)果為：error1 =0.0666，error2 =0.0025，生成圖形見，生成圖形見圖圖2.13

56、 sinyx武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模圖圖2.13 三點(diǎn)公式、三次樣條插值與解析求導(dǎo)比較圖三點(diǎn)公式、三次樣條插值與解析求導(dǎo)比較圖武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 建模示例：湖水溫度變化問題建模示例：湖水溫度變化問題 問題：問題： 湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，其特點(diǎn)是接近湖面的水的溫度較高，湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，其特點(diǎn)是接近湖面的水的溫度較高，越往下水的溫度越低這種現(xiàn)象會(huì)影響水的對(duì)流和混合過程，使得下層越往下水的溫度越低這種現(xiàn)象會(huì)影響水的對(duì)流和混合過程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類死亡對(duì)某個(gè)湖的水溫進(jìn)行觀測得數(shù)據(jù)見

57、表水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類死亡對(duì)某個(gè)湖的水溫進(jìn)行觀測得數(shù)據(jù)見表2-16 試找出湖水溫度變化最大的深度試找出湖水溫度變化最大的深度 表表2-16 某湖的水溫觀測數(shù)據(jù)某湖的水溫觀測數(shù)據(jù)深度（深度（m m）0 02.32.34.94.99.19.113.713.718.318.322.922.927.227.2溫度（溫度（）22.822.822.822.822.822.820.620.613.913.911.711.711.111.111.111.1武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 1. 問題的分析問題的分析 湖水的溫度可視為關(guān)于深度的函數(shù)，于是湖水溫度的變化問題便

58、轉(zhuǎn)湖水的溫度可視為關(guān)于深度的函數(shù)，于是湖水溫度的變化問題便轉(zhuǎn)化為溫度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，顯然導(dǎo)函數(shù)的最大絕對(duì)值所對(duì)應(yīng)的深度即為化為溫度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，顯然導(dǎo)函數(shù)的最大絕對(duì)值所對(duì)應(yīng)的深度即為溫度變化最大的深度溫度變化最大的深度 2. 模型的建立與求解模型的建立與求解 記湖水的深度為記湖水的深度為 （m），相應(yīng)的溫度為），相應(yīng)的溫度為 （），且有），且有 ，并，并假定函數(shù)假定函數(shù) 可導(dǎo)可導(dǎo) h=0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2; T=22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1; hh=0:0.1:27.2; pp=spline(h,

59、T);dT=ppd(pp);dTT=ppval(dT,hh); dTTmax,i=max(abs(dTT),hh(i) plot(hh,dTT, b ,hh(i),dTT(i), r. ),grid onhT)(hTT )(hT武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模 運(yùn)行得導(dǎo)函數(shù)絕對(duì)值的最大值點(diǎn)為：運(yùn)行得導(dǎo)函數(shù)絕對(duì)值的最大值點(diǎn)為： =11.4，最大值為，最大值為1.6139,即湖即湖水在深度為水在深度為11.4m時(shí)溫度變化最大，如圖時(shí)溫度變化最大，如圖2.14所示（黑點(diǎn)為溫度變化最大所示（黑點(diǎn)為溫度變化最大的點(diǎn)）的點(diǎn)） h圖圖2.14 湖水溫度變化曲線圖湖水溫度變

60、化曲線圖 武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模&課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 某居民小區(qū)有一個(gè)直徑某居民小區(qū)有一個(gè)直徑10m的圓柱形水塔，每天午夜的圓柱形水塔，每天午夜24時(shí)向水塔供水，此后時(shí)向水塔供水，此后每隔每隔2h記錄水位，所得數(shù)據(jù)見表記錄水位，所得數(shù)據(jù)見表2-20計(jì)算小區(qū)在這些時(shí)刻每小時(shí)的用水量計(jì)算小區(qū)在這些時(shí)刻每小時(shí)的用水量 表表2-20 水位記錄表水位記錄表時(shí)刻時(shí)刻/h24681012141618202224水位水位/cm305298290265246225207189165148130114武漢科技大學(xué)武漢科技大學(xué)第第2章章 數(shù)值計(jì)算方法建模數(shù)值計(jì)算方法建模v 2.5 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積