高等數(shù)學(xué)7_7常系數(shù)齊次線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1/21常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2/21二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時, 有兩個相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrCCy21ee21( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時因?yàn)樗粤畹慕鉃?則微分其根稱為特征根特征根.目錄

2、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3/21),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定 )常數(shù)變易法常數(shù)變易法: 情形情形2代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4/21),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)0

3、42qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根i,i21rr這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xCxCyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5/21小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常

4、系數(shù)線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6/21若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)xrkkxCxCCe)(121sin)(cos)( e121121xxDxDDxxCxCCkkkkx則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7/21例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxCCy321ee例例2. 求解初值問題0dd2d

5、d22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 8/21例例3.xxO解解:質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動,初始求物體的運(yùn)動規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 立坐標(biāo)系如圖, ,0 xx 設(shè) t = 0 時物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解問題為由第六節(jié)例1 (P323) 知, 位移滿足目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9

6、/21方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始條件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 無阻尼自由振動情況無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10/21解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO簡諧振動 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有頻率 T0dd00vtxt, 000 xxt下圖中假設(shè)(僅由系統(tǒng)特性確定)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11/21方程

7、:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振動解的特征小阻尼自由振動解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始條件確定任意常數(shù)后變形)sin(etAxtntxOT0 x運(yùn)動周期:;2T振幅: tnAe衰減很快,)0, 0(00vx此圖隨時間 t 的增大物體趨于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 無振蕩現(xiàn)象

8、; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 :( n = k )任意常數(shù)由初始條件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只與 t 軸交于一點(diǎn); :,21取何值都有無論CC)(lim)3txt即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 無振蕩現(xiàn)象 ;此圖參數(shù): 2n1 . 00 x10v0 xOxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15/210vOxy目

9、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16/21例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不難看出, 原方程有特解)e, 132xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17/2102)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),i1(

10、22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18/21例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19/21內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時, 通解為xrxrCCy21ee2121rr (2) 當(dāng)時, 通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) 當(dāng)時, 通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20/21思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaCCyee21作業(yè)作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21/21備用題備用題,2cos,