自動(dòng)控制理論 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1

1、Friday, January 14, 20221第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Friday, January 14, 20222知識(shí)點(diǎn)v系統(tǒng)微分方程的建立方法v 傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)v 控制系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型v 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立方法及簡化v 準(zhǔn)確求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)v 自動(dòng)控制系統(tǒng)中微分方程、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖之間的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)換Friday, January 14, 20223Friday, January 14, 202242.1 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型Friday, January 14, 20225微分方程 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 ：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)

2、學(xué)表達(dá)式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。 例如對(duì)一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。 控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。Friday, January 14, 20226 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) ：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。 線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入量同時(shí)作用的響應(yīng)可以一個(gè)一個(gè)

3、地處理，然后對(duì)每一個(gè)輸入量響應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行疊加。線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。 宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時(shí)變控制的一個(gè)例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。Friday, January 14, 20227 古典控制理論中（我們所正在學(xué)習(xí)的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對(duì)線性定常系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)：如果不能應(yīng)用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。 下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：0,

4、 0) 1(,sin)(322222222xxdtdxdtxdxdtdxxdtxdtAxdtdxdtxdFriday, January 14, 20228 微分方程的編寫應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等?？刂葡到y(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程2.1.1.線性元件的微分方程 Friday, January 14, 20229控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程iooouudtduRCdtudLC22dtduCio由： ，代入得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。iuidtCRidtdiL1dtiCou1解：據(jù)

5、基爾霍夫電路定理：iu輸入ou輸出iuouLRCi例2-1：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。Friday, January 14, 202210例2-2 求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。解：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFFx fxm 圖2圖1xkkxFkxx fxm mNmsNkg/,/.,根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程Friday, J

6、anuary 14, 202211例2-3電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)aaaadiLR ieudtaeeCMaRaLaefiauJicM這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速 Cm稱為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)方程mcdJfm mdt電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程電樞回路方程其中ea 為反電勢(shì)mamC iFriday, January 14, 202212aaaaueiRdtdiLeaCe amiCm mcdJfmmdt22aamaaacacememeememL JL fR JuLdmR mddC CdtC CdtCC CdtC C)

7、(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT其中 和aaaRLT meamCCJRT 分別稱為電磁時(shí)間常數(shù)和機(jī)電時(shí)間常數(shù)整理得euCK1meamCCRK分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負(fù)載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力?？刂葡到y(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程Friday, January 14, 202213確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，比如略去一些?duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到

8、描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟 2.1.2、控制系統(tǒng)微分方程的建立 Friday, January 14, 202214例2-6：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)載gueu-+1u- +2u 功率 放大器fu測(cè)速發(fā)電機(jī)cMau解：該系統(tǒng)的組成和原理； 該系統(tǒng)的輸出量是 ，輸入量是 ，擾動(dòng)量是gucM線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例例2-6Friday, January 14, 202215線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子例例2-6)()(1110000cCamggmaMMTKuuKKKKT

9、KTTm )(cgMugucM消去中間變量：推出 之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速 既與輸入量 有關(guān)，也與干擾 有關(guān)。efgukuuku111)()(1122uuku各環(huán)節(jié)微分方程：運(yùn)放： ， 運(yùn)放： 功率放大： ，反饋環(huán)節(jié)：電動(dòng)機(jī)環(huán)節(jié)：23ukuaffku )(ccamanmmaMMTkukTTT 見例2-4測(cè)速au1u2ueugufu-cM運(yùn)放運(yùn)放功放電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)方塊圖：Friday, January 14, 2022163、線性系統(tǒng)的特性 (1)、線性系統(tǒng)是指用線性微分方程描述的系統(tǒng)，其重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。(2)、疊加原理具有可疊加性和均勻性。 Friday, January 14,

10、 2022174、線性定常微分方程的求解直接求解法、 換域求解法（Laplace 變換方法） 用拉氏求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下： 1)考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量，的代數(shù)方程； 2)由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3)對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。 Friday, January 14, 202218Friday, January 14, 202219 在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性

11、便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化 5、非線性元件微分方程的線性化Friday, January 14, 202220 若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。 設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)

12、為工作點(diǎn)，如下圖中的 。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為 當(dāng) 很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。(,)B xx yy非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy 0,0()A x yxFriday, January 14, 202221AByx00 xxx00y00yy)(xfy .)(|)(! 21)(|)()(20220000 xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0, 0yxA設(shè)f(x)在 點(diǎn)連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)，得：若 很小，則 ，即 式中，K為與工作點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點(diǎn)附近展開。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性