高等數(shù)學(xué)微積分上(本科)全冊(cè)配套精品完整課件

1、高等數(shù)學(xué)微積分上高等數(shù)學(xué)微積分上(本科本科)全冊(cè)全冊(cè)配套精品完整課件配套精品完整課件第一節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列的定義二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)一、數(shù)列的定義例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定義定義: 自變量取自然數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,)(nfxn或.nxnx其中 為數(shù)列的第n項(xiàng)，稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng) .記作按自然數(shù)順序可將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值排列起來：12,nxxx說明：說明： 數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列，可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1

2、(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 二、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無限增大時(shí)無限增大時(shí), 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn ,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx

3、有有0, 任任意意給給定定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它？刻劃它？ 1nxnnn11)1(1 此時(shí)也稱數(shù)列為收斂數(shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列此時(shí)也稱數(shù)列為收斂數(shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列.說明：說明：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn 2.N 不不是是唯唯一一的的，通通常常與與 有有關(guān)關(guān)x1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個(gè)個(gè)至多只有至多只有只有有限個(gè)只有有限個(gè)內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)N

4、aaxNnn :定義定義N 因此數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無關(guān)因此數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無關(guān).lim0,.nnnxaNnNxa使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 恒恒有有所以，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)不改變其收斂性和極限所以，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)不改變其收斂性和極限.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 0, 1,nx 要要使使,1 n只要只要1,n 即即所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxC

5、Cxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證0, 0,nnxqlnln ,nq 只只要要,lnlnqN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn

6、 0,nnxq 要要使使例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設(shè)設(shè)證證.limaxnn 故故,limaxnn 0,nNnNxaa使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有axaxaxnnn 從而有從而有aaxn aa nnnnxaxaxaxaa 23baab22abnabax證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當(dāng) n N2 時(shí), 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一使當(dāng) n N1 時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)22abnab

7、bxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n N 時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真 .nx滿足的不等式三、數(shù)列極限的性質(zhì)2.有界性有界性定義定義: 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)nx都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn

8、設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .此性質(zhì)反過來不一定成立 .例如,1)1(n雖有界但不收斂 .數(shù)列12,knnnxxx在數(shù)列nx中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為的子數(shù)列（或子列）原數(shù)列nx設(shè)在數(shù)列 中，nx第一次抽取 ，1nx第二次在 后抽取 ，1nx2nx第三次在 后抽取 ，2nx3nx這樣無休止地抽取下去，得到一個(gè)數(shù)列

9、knx這個(gè)數(shù)列 就是數(shù)列 的一個(gè)子數(shù)列.nx注意：注意：在子數(shù)列 中，knxknx一般項(xiàng) 是第k項(xiàng)，Kn而在原數(shù)列中卻是第 項(xiàng).3.收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系顯然， . knk ,axkn定理：收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .Kn證證: 設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .若,limaxnn則,0,N當(dāng) Nn 時(shí), 有axn現(xiàn)取,KN 則當(dāng)Kk 時(shí), 有knNn 從而有由此證明 .limaxknkN 由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明說

10、明: 說明：一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 唯一性 ; 有界性 ; 任一子數(shù)列收斂于同一極限思考與練習(xí)1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列;方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.lim0nnnx y 證證明明：lim0nny 又又， 2.nx設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列有有界界，第二節(jié) 函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)四、小結(jié)第二章( ),yf x 對(duì)對(duì)于于函函數(shù)數(shù) 000(4) xxxxx從從 的的左左右右兩兩側(cè)側(cè)趨趨向向于于00000(5)(xxxxx

11、xxxx 且且即即 從從右右側(cè)側(cè)趨趨于于 ）00000(6)(xxxxxxxxx 且且即即 從從左左側(cè)側(cè)趨趨于于 ） (1) xxx 既既可可取取正正值值也也可可取取負(fù)負(fù)值值且且無無限限增增大大(2)(xx 取取正正值值無無限限增增大大） (3) xxx 取取負(fù)負(fù)值值且且無無限限增增大大自變量變化過程的六種形式:limnnxa :nx對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列0,nNnNxa 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有( )( )f xAf xA 表表示示任任意意小小xXx 表表示示的的過過程程如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限Xx說說明明 充充分分大大的的

12、程程度度0, 定定義義X 0,0,( )XxXf xA使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 恒恒有有 Axfx)(lim:(),)( ,)()fD fRD f 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù),(-,(-:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xlim( )xf xA.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)lim( )xf xA另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理lim( )lim( ).xxf xf xA 幾何解釋幾何解釋:A A X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或

13、或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA例例1. 0sinlim xxx證明證明證證sinsin0 xxxx1x 1x 即即, 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx sin0,xx 要要使使. 0sinlim xxx故故coslim0 xxx 證證明明例例2,0sin xx1x 只只要要二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 000.xxxx 表表示示的的過過程程x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 0, 定義定義 00,0,0,( ).xxf xA 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有 0:fU xR設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)函函數(shù)

14、數(shù)幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：00001. ( )( )( )( );f xxxf xxf xxf xx在在時(shí)時(shí)的的極極限限只只與與在在的的某某去去心心 鄰鄰域域的的值值有有關(guān)關(guān)，與與在在處處是是否否有有定定義義或或在在處處取取值值的的大大小小無無關(guān)關(guān). 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 例例3).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(,成立成立 0 .lim0CC

15、xx 例例4.lim00 xxxx 證明證明證證0( )f xAxx, 取取00,xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx Axf)(CC 0故,0對(duì)任意的當(dāng)00 xx時(shí) , 總有,0,0故例例5. 211lim21 xxx證明證明證證21( )21xf xAx 0, 1,x 只只要要,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx(函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義)1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx, 取取例6. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0( )f xAxx00 x證證:001xxx,00 xx因此只要,00 xxx00limxxxx.lim00

16、 xxxx時(shí)00 xxxx故取0 x 則當(dāng)00 xx時(shí),必有,)( Axf要使要使例例72221lim44xxx 證證明明證證221( )44xf xAx 0, 22221( ),444212xxxf xAxx 只只要要,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx242xx ,)( Axf要使要使. 211lim21 xxx min 1,12, 取取02xxx由由于于，故故可可限限制制 在在 的的一一個(gè)個(gè)小小鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)考考慮慮極極限限，(2,1)021,xUx不不妨妨限限制制 在在內(nèi)內(nèi)考考慮慮極極限限，即即23x 從從而而212 ,x 即即22144xx 左極限左極限00,0,0,( ).xxf xA 使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)

17、恒恒有有右極限右極限00,0,0,( ).xxf xA 使使當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)恒恒有有000:000 xxxxxxxxx 注注意意Axfxfxx )(lim)0(00記作記作Axfxfxx )(lim)0(00記作記作,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近);0(00 xxxx或或記記作作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近);0(00 xxxx或或記記作作另兩種情形另兩種情形:.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例8證證0

18、lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim 11x 說明：若左右極限中有一個(gè)不存在或者雖然左右說明：若左右極限中有一個(gè)不存在或者雖然左右極限都存在但不相等極限都存在但不相等,則此時(shí)極限不存在則此時(shí)極限不存在.在函數(shù)極限不存在的情況中，還有一種比較特別： 0:fU xR設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù). .00,0,0,Mxx若若使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)( )f xM 恒恒有有0( )xxf x則則稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限為為無無窮窮大大， 00lim( )( )xxf xf xxx 記記作作或或0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有

19、00,0,0,Mxx使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)00,0,0,Mxx使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)類似：三、函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性局部有界性1.唯一性唯一性, 00)(lim0 與與存存在在，則則若若MxfxxMxfxUx )(),(0都都有有使使得得 00lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x若若且且或或則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)或或定理定理( (局部保號(hào)性局部保號(hào)性) )00lim( ),0,(, ),( )0( )0),0(0).xxf xAxU xf xf xAA若若且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)或或則則或或推論推論思考: 若推論中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不能不能0l

20、im20 xx如 3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)推論推論000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 設(shè)設(shè)且且則則有有定理定理( (局部保序性局部保序性) )000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxU xf xg xAB 設(shè)設(shè)若若有有則則四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒

21、有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見下表見下表)過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(1lim( )xf x 1lim( 31)2,xx 左極限存在左極限存在,1lim( )xf x 1lim1,xx 右極限存在右極限存在,1lim( )xf x 1lim( )xf x 1lim( )xf x不不存存在在習(xí)題：習(xí)題：解解第三節(jié) 極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則二、求極限方法舉例三、小結(jié)第二章一、極限運(yùn)算

22、法則定理（四則運(yùn)算法則）定理（四則運(yùn)算法則）00000000000lim( ), lim( ),(1)lim ( )( )lim( )lim( );(2)lim ( )( )lim( ) lim( );lim( )( )(3)lim,0.( )lim( )xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xABf xg xf xg xA Bf xf xABg xg xB設(shè)設(shè)則則其其中中x 此定理對(duì)于 等情形也成立.推論推論1 1000lim(),lim()lim()xxxxxxf xccf xcf x 如如果果存存在在 而而 為為常常數(shù)數(shù) 則則常數(shù)因子可以提到極

23、限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.000lim(),lim ()lim()xxnnxxxxfxnfxfx 如如果果存存在在 而而 是是正正整整數(shù)數(shù) 則則推論推論2 2 定理（復(fù)合運(yùn)算法則）：定理（復(fù)合運(yùn)算法則）： AufxgfxxxgfAufuxgxuxguuxxuuxx 0000lim)(lim)()(lim)(,)(lim0000存在，且存在，且時(shí)的極限也時(shí)的極限也當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)，又，又鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)的某去心的某去心但在點(diǎn)但在點(diǎn)設(shè)設(shè) 0000lim ( )( )limlim( )xxuuxxf g xug xf ug xu 說說明明：通通常常求求可可通通過過變變量量代代換換，

24、化化為為求求的的極極限限問問題題, ,其其中中證證: ,0,0當(dāng)00uu 時(shí), 有 Auf)(,010, 當(dāng)010 xx 時(shí), 有0( )g xu 則對(duì)上述取,min21則當(dāng)00 xx時(shí)0( )g xu 故0 ( )f g xA 恒恒有有0lim( )uuf uA 由由可可得得00lim( )xxg xu 又又由由于于020200( )xxxg xu依依題題不不妨妨設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn) 的的去去心心鄰鄰域域即即時(shí)時(shí),0 12min,0,00 xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 00lim ( )limxxuuf g xAf u即即二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx

25、5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :1011.( ),nnnP xa xa xa 設(shè)設(shè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式則則有有000101lim( )(lim)(lim)nnnxxxxxxP xaxaxa nnnaxaxa 101000()P x 則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則

26、商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ分析：分析：例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x1.x 先先約約去去極極限限為為0 0的的公公因因子子后后再再求求極極限限2211lim23xxxx 解解：31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用1(1)(1)lim(3)(1)xxxxx 例3. 求 33lim33xxxx 31lim3xx 解解: 令.93lim23xxx932xxu2333limlim9xxxux 故 原式 =uu61lim616616 例4. 求解解: 方法方

27、法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2解解例例5 532112lim28xxx 求求23228lim8xxxx 原原式式 2224lim224xxxxxx 224lim24xxxx ()型型12 )00(型型00 說說明明：對(duì)對(duì) - - 型型未未定定式式通通常常通通過過通通分分可可以以化化為為型型未未定定式式例例6 6.147532lim2323 xxxxx求求分析：分析：.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型

28、3,.x先先用用分分母母的的最最高高次次去去除除分分子子分分母母 再再求求極極限限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx 解：解：.72 商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用對(duì)有理分式函數(shù)一般有如下結(jié)果（*）：00(0,a bm k 為為非非負(fù)負(fù)常常數(shù)數(shù)）km 當(dāng)當(dāng)10111011limkkkkmmxmmaa xaxa xbb xbxb x ,kmab,0,km 當(dāng)當(dāng)km 當(dāng)當(dāng)說明：一般以分母中自變量的最高次冪除分子、說明：一般以分母中自變量的最高次冪除分子、分母分母, , 然后再求極限然后再求極限. .定理： 若若10111011limkkkkmmnmmaa nan

29、a nbb nbnb n ,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ,從而關(guān)于數(shù)列也有類似的極限四則運(yùn)算法則，即km 當(dāng)當(dāng),kmab,0,km 當(dāng)當(dāng)km 當(dāng)當(dāng)xn利利用用此此定定理理，將將上上頁(yè)頁(yè)結(jié)結(jié)果果（* *）中中的的換換成成 有有相相應(yīng)應(yīng)的的結(jié)結(jié)果果，即即例例7 7 14 251lim(1)(2)(3)nnnnnn0 5451lim56nnnnn 例例8 8 111lim1 22 31nn n11111lim12231nnn 1lim 11nn 1 3(1)(2)

30、(3)lim4nnnnn22212lim()nnnnn2)1(21limnnnn 12 212limnnn 例例9 922112(1)(21)6nn nn 22211321(41)3nnn 2222222424 12(1)(21)3nnn nn1. 極限運(yùn)算法則(1) 極限四則運(yùn)算法則(2) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí), 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時(shí), 對(duì)00型 , 約去公因子x)3時(shí) , 分子分母同除以分母最高次冪(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量三、小結(jié)解：沒有極限解：沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()

31、(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立 在某個(gè)過程中，若在某個(gè)過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題思考題練習(xí)：練習(xí)： 3.lim1nnnn 4.lim221nnnn 113( 2)2.lim3( 2)nnnnn 12 13 0 21111.lim(1)(2)xxxx2 12 203050(23) (32)5.lim(21)xxxx 217.lim41xxx

32、 6.lim()xxxxx18.lim2mnmnxxxxx mnmn 303( )2 0 +(,)m nZ 第四節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、重要極限三、小結(jié)第二章一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證),(),( naznaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即, azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,nxa 即即成成立立.limaxnn 說明說明: :nnyz利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則不不但但可可以以證證明明極極限限存

33、存在在，而而且且還還能能求求出出極極限限，求求極極限限的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出與與，nnyz并并且且與與 的的極極限限是是容容易易求求的的，應(yīng)應(yīng)用用中中通通常常利利用用放放大大或或縮縮小小技技術(shù)術(shù)。準(zhǔn)則準(zhǔn)則和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則稱為稱為夾逼準(zhǔn)則或夾逼原理夾逼準(zhǔn)則或夾逼原理.上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限I(1)( )( )( )g xf xh x 準(zhǔn)準(zhǔn)則則 中中的的條條件件改改為為，結(jié)結(jié)論論如如何何呢呢？I(1)nnnyxz準(zhǔn)準(zhǔn)則則 中中的的條條件件改改為為，結(jié)結(jié)論論是是否否成成立立呢呢？例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解

34、,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼原理得由夾逼原理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 2 lim10nnaa證證明明：證明證明:1.a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立111,0nnnnaaaxx 當(dāng)當(dāng)，則則，不不妨妨令令則則 1nnax從從而而1111nnaaxn 故故1lim1lim 11nnan 又又 lim11nnaa故故11011limlim11nnnnaaaa當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，故故0.a 綜綜上上所所述述，對(duì)對(duì)于于任任何何結(jié)結(jié)論論均均成成立立2(1)112nnnnnn nnx

35、xxnx lim1nnn 同同理理可可證證例例3 3 121212limmaxknnnnkknaaakaaaaaa設(shè)設(shè) ， ， ，為為 個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)，證證明明：， ， ，證明證明: 12maxkaaaA 令令， ， ，12nnnnnkAaaaA k則則有有l(wèi)im1nnk 又又12limnnnnknaaaA故由夾逼原理得故由夾逼原理得x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)單調(diào)有界準(zhǔn)則則 滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 從數(shù)軸上看，對(duì)應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能向一個(gè)從數(shù)軸上看，對(duì)應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能向

36、一個(gè)方向移動(dòng)，方向移動(dòng)，A（判別數(shù)列收斂的一個(gè)常用方法）（判別數(shù)列收斂的一個(gè)常用方法）因此只有兩種情形：因此只有兩種情形： 點(diǎn)列沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)；點(diǎn)列沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)；或者點(diǎn)列無限趨向于某一個(gè)定點(diǎn)，或者點(diǎn)列無限趨向于某一個(gè)定點(diǎn)，此時(shí)數(shù)列有極限此時(shí)數(shù)列有極限.例例4 4 11333()3,3.nnnxnxxx 證證明明數(shù)數(shù)列列重重根根式式的的極極限限存存在在證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx

37、,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角作單位圓作單位圓AOBAOBAOC 由由圖圖可可知知：的的面面積積扇扇形形的的面面積積的的面面積積，xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB 的的高高為為 111sintan222xxx所所以以,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02li

38、m20 xx, 0)cos1(lim0 xx0limcos1xx , 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx從而從而例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exx

39、x )11(lim先考慮先考慮x取正整數(shù)取正整數(shù)n的情況：的情況：ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( exxx 10)1(lim).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;有上界有上界nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828

40、. 2( e類似地類似地,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(l

41、im xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 三、小結(jié)exxx 10)1(lim1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limennn )11(lim0limcos1xx ._3cotlim40 xxx、._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、練練 習(xí)習(xí) :16.limsin_ .xxx 0arcsin3.lim_.xxx 321 310

42、1 217lim()_.xxxx 、8lim()_.xxxaxa 、329lim(1)_.3nnn、2eae22110lim(1)_.nnn、2e1 第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、小結(jié)第二章一、函數(shù)的連續(xù)性:定義定義 1.連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念.)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng).0，稱為自變量的增量，稱為自變量的增量令令xxx 的增量的增量為函數(shù)為函數(shù))()()()(000 xfxxfxfxfy .0lim)()(0000處處連連續(xù)續(xù)在在，則則稱稱函函數(shù)數(shù)若若內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)的的另另一一定定義義：在在于于是

43、是可可得得函函數(shù)數(shù)xfyxUxfxfx .這就是連續(xù)這就是連續(xù)函數(shù)值的變化也很小，函數(shù)值的變化也很小，化很小時(shí)，引起化很小時(shí)，引起此定義表明當(dāng)自變量變此定義表明當(dāng)自變量變2.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf0000( ), )lim( )()( )xxf xx bf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且，則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn) 處處右右連連續(xù)續(xù). .0000( )( ,lim( )(),( )xxf xa xf xf xf xx 若若函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn) 處處左

44、左連連續(xù)續(xù)；3.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間( , )( , )fa ba b若若 在在內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱它它在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)；連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.顯然顯然,2012( )(,)nnP xaa xa xa x 在在內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的；( , ), , .fa babfa b若若 在在開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) 并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn) 處處右右連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn) 處處左左連連續(xù)續(xù) 則則稱稱在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù).f若若 在在定定義義區(qū)區(qū)間間上上處處處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱它它是是該該區(qū)區(qū)間間上上的的

45、連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)( )( )( )P xF xQ x 在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都是是連連續(xù)續(xù)的的. .例例2 2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),(0 x0sinsinxx 0, 故故.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy002cossin22xxxx 02 sin2xx 0 xx00lim sinsinxxxx 即即cos(,).yx 類類似似可可證證函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)(0,1)(,).xyaaa 指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)0,0sinsinxx 0 xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0列三

46、個(gè)條件列三個(gè)條件處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足下處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足下在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 00,( ),( ).f xxxf x如如果果上上述述三三個(gè)個(gè)條條件件中中只只要要有有一一個(gè)個(gè)不不滿滿足足則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)處處不不連連續(xù)續(xù)并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn);)()1(0處無定義處無定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)()2(00不存在不存在處有定義，但處有定義，但雖在雖在xfxxfxx0000(3)( )lim( )lim( )().xxxxf xxf xf xf x 雖雖在在處處有有

47、定定義義，且且存存在在，但但有有下下列列三三種種情情形形之之一一：)(xf.)(0處處不不連連續(xù)續(xù)在在則則xxf0( )( ).f xxf x使使函函數(shù)數(shù)不不連連續(xù)續(xù)的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例1 121( )11xf xxx 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解解2111lim( )lim1xxxf xx 1.x 所以為函數(shù)的間斷點(diǎn)( )1,f xx 顯顯然然在在處處沒沒有有定定義義1lim(1)xx( )1.f xx 故函數(shù)在處不連續(xù)分析：xoy121,1( )12 ,1xxf xxx 補(bǔ)充定義( )1.f xx 則則可可使使在在處處連連續(xù)續(xù)說明：2 例例2 21sin,0,( )01,0,x

48、xf xxxx 討論函數(shù)在處的連續(xù)性.解解0lim( )xf x 0lim( )(0)xf xf 故，01limsinxxx0 (0)1f 顯顯然然( )0f xx 所所以以在在處處不不連連續(xù)續(xù), ,1sin,0( )0,0 xxf xxx 改變定義( )0.f xx 則則可可使使在在處處連連續(xù)續(xù)0.x 為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)說明：00000( ),( )lim( )()( ).xxf xxf xxf xf xxf x 如如果果函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的極極限限存存在在 但但 函函數(shù)數(shù)在在這這一一點(diǎn)點(diǎn)處處沒沒有有定定義義，或或者者雖雖然然有有定定義義但但，則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的可可去

49、去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)只要可去間斷點(diǎn)只要補(bǔ)充補(bǔ)充或者或者改變改變間斷點(diǎn)處間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義，則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)函數(shù)的定義，則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .注意：注意：例例3 3,0( )0.1,0 xxf xxxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性解解0lim( )xf x 0lim( )xf x oxy),(lim)(lim00 xfxfxx 0lim()xx 0 0lim(1)xx 1 ( )0.f xx 所所以以在在處處不不連連續(xù)續(xù)00( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處左左 右右極極限限都都存存在在但但不不相相等等 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)左左、右右

50、極極限限都都存存在在的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)；.不不是是第第一一類類的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)都都稱稱為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)（左、右極限至少有一個(gè)不存在）（左、右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)：可去間斷點(diǎn)：左右極限都存在并相等左右極限都存在并相等跳躍間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：左右極限都存在但不相等左右極限都存在但不相等例例4 4( )tan2f xxx 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性,若不連續(xù)請(qǐng)判斷間斷點(diǎn)的類型.22lim( )lim tanxxf xx ( )tan2f xxx 顯顯然然函函數(shù)數(shù)在在處處沒沒有有定定義義，解解( ).2f xx 所所以以在在處處不不連連續(xù)續(xù)xytan2

51、xyo22lim( )lim tanxxf xx ( ).2xf x 因因此此是是的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種使使函函數(shù)數(shù)值值趨趨于于無無窮窮大大的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .1( )sin0,.f xxx討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性若若不不連連續(xù)續(xù)請(qǐng)請(qǐng)判判斷斷間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型( )0,f xx 顯顯然然在在處處沒沒有有定定義義01lim sinxx 又又不不存存在在，011x 顯顯然然當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)值值在在與與之之間間變變動(dòng)動(dòng)無無限限多多次次，這這類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .例例5 5解解( )0.f xx 所所以以在

52、在處處不不連連續(xù)續(xù)01lim sinxx 不不存存在在, ,10sin.xx 因因此此為為的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)oyx例例6 6.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函

53、數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 xo1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型:解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|x

54、f、)(2xf在在0 x都連續(xù)都連續(xù).思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)習(xí)題1解解sin( )01(1)xf xxxx x 討討論論函函數(shù)數(shù)在在、處處的的連連續(xù)續(xù)性性，若若不不連連續(xù)續(xù)請(qǐng)請(qǐng)判判斷斷間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型. .( )01,f xxx 顯顯然然在在、處處沒沒有有定定義義( )01.f xxx所所以

55、以在在、處處不不連連續(xù)續(xù)00sinlim( )lim(1)xxxf xx x 0sin1lim1xxxx 00sin1limlim(1)xxxxx 1 0( ).xf x 因因此此為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)11sinlim( )lim(1)xxxf xx x 1( ).xf x 因因此此為為函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)又2.2.11sinlim( )lim(1)xxxf xx x 第六節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與 初等函數(shù)的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)第二章一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(

56、000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy.1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xyarctan ,cot,).yx yarcx 在在( (上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù) 1:,( ),.yfa bRfI

57、y yf xxa b 設(shè)設(shè)是是單單調(diào)調(diào)增增加加（或或單單調(diào)調(diào)減減少少）的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則其其反反函函數(shù)數(shù)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間上上單單調(diào)調(diào)增增加加（或或單單調(diào)調(diào)減減少少）且且連連續(xù)續(xù)(0,1)(,)log(0,1)(0,).xayaaayx aa 由由在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)，則則在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù) .)(,)()(,)()()()(0000處連續(xù)處連續(xù)也在也在則則處連續(xù)處連續(xù)在對(duì)應(yīng)的在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)處連續(xù)在在復(fù)合而成的函數(shù)，若復(fù)合而成的函數(shù)，若與與是由是由設(shè)設(shè)xxgfyxguufxxgxguufyxgfy 定理定理證明：證明：00lim( )(),xxg xg x 由由于于

58、 0lim( )xxf g x 0( )yf g xx 即即在在處處連連續(xù)續(xù). .0lim( )uuf u 0()f u 0()f g x ( ),ug x 令令00limxxuu 則則0lim( )xxfg x 上述定理表明上述定理表明 即在求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)即在求連續(xù)函數(shù)的極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以交換次序可以交換次序.例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解 )(lim)()(lim000 xgfxgfxgfxxxx例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(li

59、m0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在), 0( 定理定理6

60、 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD定義域不是一個(gè)區(qū)間，而是離散點(diǎn)集（這些孤立定義域不是一個(gè)區(qū)間，而是離散點(diǎn)集（這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義），從而談不上連續(xù)點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義），從而談不上連續(xù).,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義，點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義，.), 1 上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函